上海七寶中學(xué)高三上學(xué)期期中仿真密卷（數(shù)學(xué)學(xué)科）參考答案

上海20202021學(xué)年七寶中學(xué)高三上學(xué)期期中仿真密卷數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一.填空題1.2.3.4.（）5.6.7.8.9.10.11.12.選擇題13.B14.C15.C16.B

三.解答題17．如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.【詳解】證明（1）因?yàn)槭情L方體，所以側(cè)面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，所以，所以，，設(shè)是平面的法向量，所以，設(shè)是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的絕對值為，所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大?。唬?）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．19．華為董事會決定投資開發(fā)新款軟件，估計(jì)能獲得萬元到萬元的投資收益，討論了一個(gè)對課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的.（1）請分析函數(shù)是否符合華為要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因；（2）若華為公司采用模型函數(shù)作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定正整數(shù)的取值集合.【答案】（1）不符合，原因見解析（2）的取值集合為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，總結(jié)獎(jiǎng)勵(lì)模型需要滿足的條件①在定義域上是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立；判斷單調(diào)性及最值，即可求解；（2）由題意，依此判斷分段函數(shù)的單調(diào)性，最大值和，即可求解參數(shù)范圍，由為正整數(shù)，即可確定取值集合.【詳解】（1）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為，按公司對函數(shù)模型的基本要求，函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí)，①在定義域上是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立.對于函數(shù)模型.當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以不恒成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.（2）對于函數(shù)模型，當(dāng)時(shí)，在定義域上是增函數(shù)，且恒成立；當(dāng)時(shí)，，只有時(shí)，在定義域上是增函數(shù)；要使在恒成立，，即；要使恒成立對恒成立，即，即恒成立，所以；綜上所述，，所以滿足條件的正整數(shù)a的取值集合為【點(diǎn)睛】本題結(jié)合實(shí)際問題，考查了（1）函數(shù)的單調(diào)性，最值和恒成立問題；（2）由函數(shù)的單調(diào)性最值和不等式確定參數(shù)的取值范圍；考查計(jì)算能力，考查數(shù)學(xué)建模思想，屬于中等題型.20．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）設(shè)直線和的斜率分別為和，求證:為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和代入橢圓方程可求得和，進(jìn)而求得，方程可得；（2）由題意顯然直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去得.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，∴，可得，再用坐標(biāo)表示出，即可求取值范圍.（3）由（2）用坐標(biāo)表示出化簡即可.【詳解】（1）由題意得，解得，.∴橢圓的方程為.（2）由題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得.

∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，∴，解得.設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，，又，，，∵，∴，∴的范圍為.（3）由（2）得所以為定值，【點(diǎn)睛】本題考查主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，運(yùn)用韋達(dá)定理解決直線與橢圓相交問題，橢圓定點(diǎn)問題，考查邏輯推理能力和計(jì)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.21．已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:，當(dāng)且時(shí)，且，其中均為非零常數(shù).（1）數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；（2）令，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.【答案】（1）1（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意知，，得，再由等差數(shù)列，即可求解值；（2）由，可得，因此，由此可知，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.（3）先進(jìn)行充分性證明：若則數(shù)列是等比數(shù)列；再進(jìn)行必要性證明：若數(shù)列是等比數(shù)列，則.【詳解】（1）由已知，，得，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，所以，，，得.（2）由，可得，且當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，因此，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.故通項(xiàng)公式為（3）是等比數(shù)列的充要條件是，充分性證明:若，則由已知，得，所以，是等比數(shù)列.必要性證明:若是等比數(shù)列，由（2）知，，，.當(dāng)時(shí)，.上式對也成立，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為: