高中數(shù)學(xué)必修2課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)9-3-1平面向量基本定理

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)五平面向量基本定理(15分鐘30分)1.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是 ()A.e1e2與e2e1B.2e1+3e2與4e16e2C.e1+2e2與2e1e2D.QUOTEe1+QUOTEe2與e1QUOTEe2【解析】選C.因?yàn)橹挥胁还簿€(xiàn)的兩個(gè)向量才能作為基底,選項(xiàng)A、B、D中的兩個(gè)向量都是共線(xiàn)的,不可以作為基底.選項(xiàng)C中的兩個(gè)向量不共線(xiàn),可作為基底.2.(2020·湖州高一檢測(cè))在△OAB中,P為線(xiàn)段AB上的一點(diǎn),=x+y,且=2,則 ()A.x=QUOTE,y=QUOTE B.x=QUOTE,y=QUOTEC.x=QUOTE,y=QUOTE D.x=QUOTE,y=QUOTE【解析】選A.因?yàn)?2,所以+=2+2,即3=2+,所以=QUOTE+QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE.3.(2020·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),點(diǎn)F滿(mǎn)足=2,那么= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTEQUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選C.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),F為CE的中點(diǎn),則= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+ D.QUOTE+QUOTE【解析】選D.根據(jù)題意得:=QUOTE(+),又=+,=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE+QUOTE.4.如圖所示,在6×4的方格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)O,A,B,C均為格點(diǎn)(格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)),則·=________.

【解析】設(shè)水平向右和豎直向上的單位向量為e1和e2,則|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,由題圖可知,=3e1+2e2,=6e13e2,·=(3e1+2e2)·(6e13e2)=18QUOTE+3e1·e26QUOTE=12.答案:125.(2020·臺(tái)州高一檢測(cè))如圖,在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,=2,=2.(1)求CD的長(zhǎng);(2)求·的值.【解析】(1)因?yàn)?2,所以=QUOTE,所以==QUOTE,所以===QUOTE=QUOTE,即CD的長(zhǎng)為QUOTE;(2)==QUOTE+QUOTE=QUOTE()+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以·=·=QUOTE+QUOTE·=QUOTE+QUOTE×2×3×QUOTE=QUOTE.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分,其中多選題全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.A,B,O是平面內(nèi)不共線(xiàn)的三個(gè)定點(diǎn),且=a,=b,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R,則等于 ()A.ab B.2(ba)C.2(ab) D.ba【解析】選B.如圖,a=QUOTE(+),b=QUOTE(+),相減得ba=QUOTE(),所以=2(ba).2.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=QUOTEAB,CF=QUOTECD,G為EF的中點(diǎn),則= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTEQUOTEC.QUOTEQUOTE D.QUOTEQUOTE【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,AE=QUOTEAB,CF=QUOTECD,G為EF的中點(diǎn),=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE.3.已知非零向量,不共線(xiàn),且2=x+y,若=λ(λ∈R),則x,y滿(mǎn)足的關(guān)系式是 ()A.x+y2=0 B.2x+y1=0C.x+2y2=0 D.2x+y2=0【解析】選A.由=λ,得=λ(),即=(1+λ)λ.又2=x+y,所以QUOTE消去λ得x+y=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b為平面內(nèi)所有向量的一組基底,已知向量=akb,=2a+b,=3ab,若A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),則實(shí)數(shù)k的值等于 ()A.2B.-2C.10D.10【解析】選A.=++=(akb)+(2ab)+(3ab)=2a(k+2)b.因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),所以存在實(shí)數(shù)λ使得=λ,即akb=λ[2a(k+2)b]=2λaλ(k+2)b.因?yàn)閍,b為基底向量,所以QUOTE解得λ=QUOTE,k=2.4.(多選題)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),給出下列向量組,其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的基底的是 ()A.與 B.與C.與 D.與【解析】選AC.對(duì)于A,與不共線(xiàn);對(duì)于B,=,則與共線(xiàn);對(duì)于C,與不共線(xiàn);對(duì)于D,=,則與共線(xiàn).由平面向量基底的概念知A、C中的向量組可以作為平面的基底.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2020·德州高一檢測(cè))若點(diǎn)D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn),且=a,=b,則下列結(jié)論正確的是 ()A.=aQUOTEb B.=QUOTEa+QUOTEbC.=QUOTEab D.=QUOTEa+QUOTEb【解析】選BC.因?yàn)辄c(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),所以=+=+QUOTE=a+QUOTEb,所以=aQUOTEb;因?yàn)辄c(diǎn)E為邊CA的中點(diǎn),所以=QUOTE=QUOTEa+QUOTEb;因?yàn)辄c(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn),所以=+=QUOTE=QUOTEab;因?yàn)?+=a+b,所以=QUOTE=QUOTEaQUOTEb.二、填空題(每小題5分,共10分)5.如圖所示,已知點(diǎn)G是△ABC的重心,過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)分別交AB,AC兩邊于M,N兩點(diǎn),且=x,=y,則3x+y的最小值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)镚是△ABC的重心,所以=QUOTE+QUOTE,又=x,=y,所以=QUOTE+QUOTE,因?yàn)镸,G,N三點(diǎn)共線(xiàn),所以QUOTE+QUOTE=1,所以3x+y=(3x+y)QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE時(shí),等號(hào)成立,故3x+y的最小值為QUOTE.答案:QUOTE6.方格紙中向量a,b,c如圖所示,若c=λa+μb,則λ+μ=________.

【解析】設(shè)水平向右,豎直向上的單位向量分別為e1,e2,則a=e1+3e2,b=3e1e2,c=5e1+5e2,又c=λa+μb,所以QUOTE所以QUOTE即λ+μ=3.答案:3三、解答題7.(10分)(2020·錦州高一檢測(cè))如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的中點(diǎn),G為BE與DF的交點(diǎn).若=a,=b.(1)試以a,b為基底表示,;(2)求證:A,G,C三點(diǎn)共線(xiàn).【解析】(1)==QUOTEba,==QUOTEab;(2)因?yàn)镈,G,F三點(diǎn)共線(xiàn),所以與共線(xiàn),所以存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,所以=+λ=b+λQUOTE=QUOTEλa+QUOTEb,因?yàn)锽,G,E三點(diǎn)共線(xiàn),所以與共線(xiàn),所以存在實(shí)數(shù)μ,使得=μ,所以=+μ=a+QUOTE=QUOTEa+QUOTEμb,因?yàn)閍,b不共線(xiàn),所以QUOTE解得λ=μ=QUOTE,所以=QUOTE(a+b)=QUOTE=QUOTE,所以A,G,C三點(diǎn)共線(xiàn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),=QUOTE,=a,=b.(1)用a,b表示,,,,;(2)求證:B,E,F三點(diǎn)共線(xiàn).【解析】(1)如圖所示,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使=2,連接BG,CG,得到