第三節(jié) 條件概率 事件的獨(dú)立性

第一章隨機(jī)事件與概率

§1.3條件概率事件的獨(dú)立性本節(jié)要點(diǎn)：條件概率乘法公式事件的獨(dú)立性

一、條件概率例1、擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若已知出現(xiàn)的是奇數(shù)點(diǎn)，求點(diǎn)數(shù)大于1的概率。解：設(shè)A={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}

B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于1}稱為在事件A已發(fā)生的條件下事件B的條件概率，簡(jiǎn)稱為B在A之下的條件概率。定義：設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且則

P24

2)從加入條件后改變了的情況去算條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(A)>0

擲骰子例：B={擲出2點(diǎn)}，

A={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(B|A）=A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)例2設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4解：設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}所求為P(B|A).

對(duì)于兩個(gè)事件A、B，

概率的乘法公式可以推廣到有限多事件的情形。二、乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)若P(B)>0,則有：P(AB)=P(A)P(B|A)若P(A)>0,則有：例3P26

某地區(qū)一銀行的貸款范圍內(nèi)，有甲、乙兩家同類企業(yè)。若其中任一家向該行申請(qǐng)貸款更新設(shè)備時(shí)，則該行一年內(nèi)的計(jì)劃貸款就會(huì)突破。設(shè)一年內(nèi)甲申請(qǐng)貸款的概率為0.15，乙申請(qǐng)貸款的概率為0.2。當(dāng)甲申請(qǐng)貸款后，乙也向該行申請(qǐng)貸款的概率為0.3，求（1）一年內(nèi)該行計(jì)劃貸款被突破的概率．（2）乙申請(qǐng)貸款后甲也向該行申請(qǐng)貸款的概率解：設(shè)A={一年內(nèi)甲申請(qǐng)更新設(shè)備貸款}，

B={一年內(nèi)乙申請(qǐng)更新設(shè)備貸款}

據(jù)題意有P(A)=0.15P(B)=0.2P(B/A)=0.3（1）若一年內(nèi)該行計(jì)劃貸款總額被突破，則事件中至少有一個(gè)發(fā)生，故所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B/A)=0.15+0.2–0.15×0.3=0.3051、從樣本空間上看，P(AB)為SA∪B

P(B/A)為SA2、凡涉及A與B“同時(shí)”發(fā)生，用P(AB)

有“包含”關(guān)系或主從條件關(guān)系，用P(B/A)條件概率與概率的乘法公式的區(qū)別：三、事件的獨(dú)立性

顯然

P(A|B)=P(A)這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，例、將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)1、兩個(gè)事件的獨(dú)立性事件獨(dú)立性的定義

P28設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，如果

則稱A與B是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件．

性質(zhì)1:P28A與B是兩個(gè)事件，而且證明：必要性由于事件A與B相互獨(dú)立，故充分性若P(B/A)=P(B)則P(AB)=P(A)P(B/A)=P(A)P(B)

性質(zhì)2：必然事件Ω與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；不可能事件Φ與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立．

可知不可能事件Φ與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立.可知必然事件Ω

與任意事件A相互獨(dú)立；證明：由性質(zhì)3：若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.由于解：為方便起見，只證相互獨(dú)立即可

三個(gè)事件的獨(dú)立性P292、多個(gè)事件的獨(dú)立性定義：對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若下列四個(gè)等式:P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)同時(shí)成立，則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。

對(duì)于三個(gè)事件的獨(dú)立性，要求其中任何一事件發(fā)生的概率不受其它事件發(fā)生與否的影響。

A、B、C兩兩獨(dú)立

n個(gè)事件的相互獨(dú)立性注：1、上式代表2、若，則它們中任意m個(gè)事件也一定相互獨(dú)立，特別地兩兩獨(dú)立。但反之不然。

3、若，則它們中任意m個(gè)事件換成各自事件的對(duì)立事件，則所得的n個(gè)事件也相互獨(dú)立n個(gè)事件的相互獨(dú)立，則有

例3

三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人編號(hào)為1，2，3，所求為P(A1+A2+A3)記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}

i=1,2,3P(A1+A2+A3)

已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]例4、由n個(gè)人組成的小組，在同一時(shí)間內(nèi)分別破譯某一密碼，并假定每人能譯出的概率都是0.7，若要以99.9999%的把握能夠譯出，問(wèn)n至少為幾人？解：Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}

i=1,2,3

B={密碼被破譯出}P(B)=1-P()=1-P()=1-P(