河南省安陽市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（教師版）

高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合，再判斷包含關(guān)系.【詳解】依題意，，，所以，.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以的虛部為．故選：B.3.若圓與軸相切，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】求出圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到且，得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與軸相切，所以且，解得故選：D4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換得到或，從而得到答案.【詳解】，顯然，則，解得或．所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（）A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)是線段的五等分點(diǎn)，所以,所以的面積是的面積的5倍．故選：A.6.小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C7.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)p，q，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，得到方程組，求出，進(jìn)而得到，得到答案.【詳解】依題意，，則，因?yàn)椋裕@然，，兩式相除得，則，代入中，解得，則．故選：D8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線，，由得到，再根據(jù)條件得出，代入方程，即可求出結(jié)果.【詳解】易知的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.為的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以為的一個(gè)周期，故A正確；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)?，不具有奇偶性，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10.已知正三棱臺(tái)中，的面積為，的面積為，，棱的中點(diǎn)為，則（）A.該三棱臺(tái)的側(cè)面積為 B.該三棱臺(tái)的高為C.平面 D.二面角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算出正三棱臺(tái)側(cè)面上的高，結(jié)合梯形的面積公式可判斷A選項(xiàng)；利用梯形的幾何性質(zhì)求出該三棱臺(tái)的高，可判斷B選項(xiàng)；分別延長棱、、交于點(diǎn)，推導(dǎo)出三棱錐為正四面體，且為等邊的中心，結(jié)合正四面體的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，根據(jù)條件可得，，分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，因?yàn)?，，，所以，，則，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，即等腰梯形的高為，其面積為，所以該三棱臺(tái)的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)的中心為，的中心為，可知是直角梯形，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，因?yàn)?，解得，同理可得，所以，，，所以，，則，所以，，故B正確；對(duì)于C，分別延長棱、、交于點(diǎn)，因?yàn)?，，則，可得，則，同理可得，所以，四面體為正四面體，延長交于點(diǎn)，則，所以，，且，即，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋瑒t為正的中心，故平面，故C正確；對(duì)于D，二面角即正四面體相鄰側(cè)面的夾角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為等邊三角形，則，且，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，則，且，故二面角的平面角為，因?yàn)槠矫?，平面，則，則，故二面角的余弦值為，故D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.11.甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負(fù)責(zé)某個(gè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目由三個(gè)工序組成，甲只負(fù)責(zé)其中一個(gè)工序，且甲負(fù)責(zé)工序的概率分別為，當(dāng)他負(fù)責(zé)工序時(shí)，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率分別為,則下列結(jié)論正確的是（）A.該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.68B.若甲不負(fù)責(zé)工序C，則該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.54C.若該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為D.若該項(xiàng)目未達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】記甲負(fù)責(zé)工序?yàn)槭录?，甲?fù)責(zé)工序?yàn)槭录?，甲?fù)責(zé)工序?yàn)槭录?，該?xiàng)目達(dá)標(biāo)為事件．對(duì)于選項(xiàng)A，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12.已知拋物線的準(zhǔn)線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與相交B.若，則為坐標(biāo)原點(diǎn)C.過點(diǎn)分別作拋物線的切線，，若，交于點(diǎn)A，則D.若，則點(diǎn)到直線的距離大于等于【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件，逐一分析判斷即可得出結(jié)果.詳解】由題可得拋物線，設(shè)，，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，直線過的焦點(diǎn)，此時(shí)，又的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則以為直徑的圓與相切，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，直線，將代入，得，則，又易知，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題可設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由，消得到，由，得到，又，所以，得到，所以在點(diǎn)處的切線方程為，整理得到，同理可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，解得，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由拋物線的對(duì)稱性，可知當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，由，不妨取，代入，得到，所以，點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與弦端點(diǎn)相關(guān)問題的解法解決與弦端點(diǎn)有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開圖對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)體積先計(jì)算出圓錐的高，再根據(jù)高計(jì)算出圓錐的母線，即展開圖扇形的半徑，最后在根據(jù)弧長公式求出圓心角.【詳解】設(shè)圓錐（如圖所示）的高為．因，所以，母線．將圓錐沿展開所得扇形的弧長為底面周長，根據(jù)弧長公式，所以圓心角.故答案為：.14.已知數(shù)列中，，且，則的前12項(xiàng)和為_________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，借助數(shù)列的周期性、分組求和即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，故，,所以，，，…，故的前12項(xiàng)和為．故答案為：15.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為_________．【答案】2【解析】【分析】依題意得，再利用基本不等式求解.【詳解】依題意得，則，即，則，解得，則的最大值為2．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故答案為：2.16.若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】由可得出，令，，分析可知，直線與曲線沒有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，令，顯然，則，令，，則，令，得，，列表如下：增極大值減減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為、，且極大值為，極小值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)（從左邊趨于），；當(dāng)時(shí)（從右邊趨于），，當(dāng)時(shí)（從右邊趨于），.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線沒有交點(diǎn)，即在上沒有零點(diǎn)．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡計(jì)算求解.【小問1詳解】證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．【小問2詳解】由得，化簡得，又，故，所以，故．18.如圖所示，在三棱錐中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)要證明面面垂直，只需證明平面，即只需證明，.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后再求線面角.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，同理可得，故，因?yàn)?，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫妫拘?詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閯t，，，，，所以，，．設(shè)為平面的法向量，則即令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．【小問2詳解】由（1）可知，故．20.為了驗(yàn)證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了次試驗(yàn)，假設(shè)小王每次試驗(yàn)成功的概率為，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）若小王某天進(jìn)行了4次試驗(yàn)，且，求小王這一天試驗(yàn)成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，，以表示停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】分析】（1）利用二項(xiàng)分布求解；（2）法一：先求次試驗(yàn)中，成功了0次或1次的概率，再利用對(duì)立事件求解；法二：先求，再利用錯(cuò)位相減求和.【小問1詳解】依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．【小問2詳解】方法一：設(shè)“停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)總次數(shù)不大于”，則，“次試驗(yàn)中，成功了0次或1次”，“次試驗(yàn)中，成功了0次”的概率；“次試驗(yàn)中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次試驗(yàn)只成功了1次，且第次試驗(yàn)成功，故，所以，令，則，兩式相減得：，則．即21.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）極小值為0，無極大值；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到單調(diào)性，從而得到極值情況；（2）在（1）基礎(chǔ)上得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)得到函數(shù)的最小值，證明出結(jié)論.【詳解】（1）依題意，，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故的極小值為0，無極大值．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則．令，則，易知在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，，故，使得，即①．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②．由①可得，代入②，得，而，故，故，即原命題得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.22.已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與圓相切．（1）求的方程．（2）過上一點(diǎn)作圓的兩條切線，（均不與坐標(biāo)軸垂直），，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．證明：①