解析：安徽省2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末階段測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

安徽省2023屆九年級階段診斷

數(shù)學(xué)

第21?24章

一.選擇題（本大題共io小題）

i.下列四個(gè)圖形中，是中心對稱圖形的是（）

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，即可判斷出.

【詳解】解：A、此圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合，所以此圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題

-思zfc.；

B、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，所以此圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，所以此圖形是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、此圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合，所以此圖形不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵.

19

2.拋物線丁=-------（x-6）+2023的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

2023、）

A.（6,-2023）B,（6,2023）C.（-6,2023）D.（-6,-2023）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題目中的解析式，即可直接寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

19

【詳解】???拋物線解析式為：y=—丞而（%一6）+2023,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（6,2023）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)得性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線頂點(diǎn)式的特點(diǎn)與性質(zhì).

3.如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)了86。，小孩的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動到了4點(diǎn)，則

NQ4'A的度數(shù)為（）

A.33°B,37°C.43°D.47°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NA（M'=86。，OA=OA,再利用等邊對等角進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知NAQ4'=86°,OA=OA,

180?！狽AOA

ZOA'A=ZOAA'==47°,

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，若圓。的半徑為3,點(diǎn)。到一條直線的距離為3,則這條直線可能是（）

C.13D./4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系：當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，則直線與圓相切，當(dāng)圓心到直線的距

離大于半徑時(shí)，則直線與圓相離，當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，則直線與圓相交；由此問題可求解.

【詳解】解：；。的半徑為3,圓心。到一條直線的距離為3,3=3,

，這條直線與圓相切,

由圖可知只有直線4與圓相切,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.若烏心=3,則2的值等于（）

a4a

2121

A.-B.-C.----D.----

5454

【答案】B

【解析】

b3

分析】利用分離常數(shù)法得到1--=—,由此即可得到答案.

a4

【詳解】解：：巴女=2,

a4

—

a4

?k-1

??=-9

a4

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的求值，熟知分離常數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，。是"WC的外接圓，若△O3C為等腰直角三角形，則tanA的值為（）

A.1B.且C.—D.6

32

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/A的度數(shù)，即可求解.

【詳解】解：為等腰直角三角形，

:.ZBOC=90。

:.ZA=~ZBOC=45°

2

/.tanA=1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，掌握圓周角定理，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題

的關(guān)鍵.

7.如圖，B4與。相切于點(diǎn)A,將線段Q4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)H0°得到。4'.若NB=40。，貝U

NBOA的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D,70°

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)切線性質(zhì)得到/。42=90。，進(jìn)而求得NA08,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得/4。4=110。即可求解.

【詳解】解：與相切于點(diǎn)4

N048=90。，

VZB=40°,

，ZAOB=9Q0-ZB=50°,

:線段OA繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°得到04'.

ZAOA'=11Q°,

：.ZBOA'=llQ°-50o=60°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，準(zhǔn)確找到旋

轉(zhuǎn)角是解答的關(guān)鍵.

8.如圖，圓。的半徑0。垂直弦A3于點(diǎn)C,連接AO并延長交圓。于點(diǎn)E,連接5E.若48=8,

BE=6,則長為（）

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)。的半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=4,進(jìn)而在RtAOC中，勾股定理求得半

徑，進(jìn)而根據(jù)CD=OD—OC=5—3=2,即可求解.

【詳解】解：設(shè)。的半徑為

ODLAB,

.-.AC=BC=4,

AE為直徑，

:.BE±AB,

。是AE的中點(diǎn)，

0C=yBE=3,

在Rt_AOC中，

OA2=OC2+AC2.

Ar2=32+42,

：.r=5（負(fù)值舍去），

OD=5,

:.CD=OD-OC=5-3=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

9.冉冉錄入一篇文章，錄入時(shí)間y（分鐘）與錄字速度x（字/分鐘）之間的關(guān)系如圖所示；

M分鐘）

（1）求）與x間的函數(shù)表達(dá)式;

（2）若冉冉將原有錄入速度提高20%,結(jié)果提前2分鐘完成了錄入任務(wù)，求冉冉原來的錄入速度.

【答案】（1）丁=身2

X

（2）125字/分鐘

【解析】

【分析】（1）根據(jù)錄入的時(shí)間=錄入總量+錄入速度即可得出函數(shù)關(guān)系式;

（2）設(shè)冉冉實(shí)際用了/分鐘,則原計(jì)劃用時(shí)?+2）分鐘，由題意得關(guān)于r的分式方程，解方程即可求出/的

值.

【小問1詳解】

解：設(shè)y=—

X

kk

把（150,10）代入y=—得，10=三,

X150

k=1500,

?..y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=幽；

X

【小問2詳解】

設(shè)冉冉實(shí)際用了f分鐘，則原計(jì)劃用時(shí)（，+2）分鐘，原來的錄入速度為x字/分鐘

日

由4題意得，t+c2=-1-5-0-0

x

整理得：x=等，

/+2

...錄入速度提高了20%，則實(shí)際錄入速度為（1+20%卜字/分,

則(l+20%)x=i^,即(l+20%)x^^1500

解得：t=io,

經(jīng)檢驗(yàn)/=10是原方程的解，

???冉冉原錄入速度為：￡2=125（字/分鐘），

答：冉冉原來的錄入速度為125字/分鐘.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、解分式方程，根據(jù)工作量得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在ABC中，AB=BC,過點(diǎn)8作比）J_AC于點(diǎn)Q,P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

ZBPC=108°,連接CP交5。于點(diǎn)E,若點(diǎn)P恰好為A3E內(nèi)心，則NPE3的度數(shù)為（）

B

A.36°B.48°C.60°D.72°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)內(nèi)心定義可知PB,PE,Q4分別是/ABE,NAEB,的角平分線，推導(dǎo)出

ZBAE=36°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得=由全等三角形的判定及其性質(zhì)可得

XABE=△儂'（必S）,NBCE=NE4E=36°,繼而可得NCBP=36°,NCBE=24°,進(jìn)而即可求解.

【詳解】：點(diǎn)尸恰好為,ABE內(nèi)心，

:.PB,PE,Q4分別是/ABE，ZAEB,"4后的角平分線，

ZPBE+ZPEB+ZPAE=90°,

又NBPC=108。，

/.ZPBE+ZPEB=72°,

：.ZPAE=18°,

：.ZBAE=36°,

?：AB=BC,LAC于點(diǎn)。，

.?.點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，ZABE=NCBE,

又BE=BE，AB=CB,

：.叢ABE=4CBE（S4S）

/.ZBCE=ZBAE=36°,

又N5PC=108°,

ZCBP=180°-108°-36°=36°,

又ZCBE=ZABE=2ZPBE,

：.NCBE=24。,

：.ZPEB=ZBCE+ZCBE=60°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)心的定義及其性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性

質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識點(diǎn).

二.填空題（本大題共4小題）

11.計(jì)算：2sin30°+l=.

【答案】2

【解析】

【分析】將sin30°的值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=2x=+1=1+1=2.

2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了含有三角函數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握sin30?的值是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，正方形A3CD是半徑為我的圓。內(nèi)接四邊形，若R=6,求正方形A3CD的邊長與邊心距.

【答案】正方形的邊長為6應(yīng)，邊心距為3亞-

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作垂足為E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出N3OC=90。，ZOBC=45°,然后

在Rt,OBE中，根據(jù)勾股定理求出BE、OE即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作垂足為E,

:正方形A3CD是半徑為R的。。內(nèi)接四邊形，R=6,

360°

二.NBOC=——=90。，ZOBC=45°,OB=OC=6,

4

BE-OE.

在6中，ZBEO=90°,

由勾股定理可得

OE2+BE2^OB2，

:.OE2+BE2=36，

:.OE=BE=3y/2，

BC=2BE=642，

即半徑為6的圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長為60，邊心距為3行.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等,

正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正w邊形每個(gè)中心角都等于3衛(wèi)60上°.

n

13.如圖1所示的是一塊弘揚(yáng)“社會主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所

示，它是以。為圓心，OA,02長分別為半徑，圓心角NO=120。形成的扇面，若0D=5m,

OC=3m,則陰影部分的面積為

圖2

【解析】

【分析］根據(jù)S陰影=S扇形加。_5扇形求解即可.

【詳解】解:S陰影二S扇形A。。一S扇形30c

1201120萬

一360360

UOTT^OD2-OC2)

―360

3

故答案為：—萬.

3

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

14.在矩形A3CD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A3—3C以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)

動，過點(diǎn)尸作PQ，"，交CD于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為/s(O</<14).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在上，且NBA尸=45°時(shí)，求點(diǎn)P到AC的距離.

【答案】(1)32(2)1

【解析】

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)尸在A5上運(yùn)動了x秒，則AP=X,由PQLAP可得八4五￡6八43。，利用相似比,

求出PE為關(guān)于x的代數(shù)式，再根據(jù)面積，求出x的值，求出尸2,最后根據(jù)矩形面積公式求解即可；

(2)過點(diǎn)B作BN±AC于點(diǎn)N,過點(diǎn)尸作PM±AC于點(diǎn)M,根據(jù)等面積求出BN,再證明_PCMS_BCN,

利用相似比即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)尸在AB邊上運(yùn)動了x秒，則=

PQ-LAP,

ZAPE=90°,

:.ZAPE=ZABC=90°.

:.PE〃BC,

sNAPE^NABC,

APPE

C_8

°APE-]

iQ148

:.—APxPE--,即一xx—x=—,

23233

解得x=2或x=—2（不合題意舍去負(fù)值），

AP=2；

:.PB=AB-AP^6-2=4,

四邊形PBCQ的面積為4X8=32；

【小問2詳解】

四邊形A3CD是矩形，AB=3,BC=4,

:.AC=y/AB2+BC2=5

:點(diǎn)尸在上，ZBAP=45°,且NABC=90°,

:.ZAPB=45°,

:.PC=BC—BP=8-6=2,

過點(diǎn)B作BNLAC于點(diǎn)N,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,

-ABBC=-ACBN,

22

ABBC6x824

AC105

PM//BN,

.,.PCMSBCN,

PCPM

924

D”PCxBN256；

BC85

二點(diǎn)尸到AC的距離為1.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識，注意結(jié)合圖形分析已知條件與問

題之間的位置關(guān)系，把條件與問題的聯(lián)系作為主要的思考方向.

三.（本大題共2小題）

15.如圖，在.ABC中，ABAC=90°,AB=6,BC=10,。是BC的中點(diǎn)，以A為圓心，/?為半徑作

A,若點(diǎn)8,D,C均在以外，求廠的取值范圍.

K

AB

【答案】0<r<5

【解析】

【分析】先根據(jù)勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得A3、AD,再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求

解.

【詳解】解：：在-ABC中，ZBAC=90°,AB=6,BC=10,

AC=yjBC2-AB2=A/102-62=8，

?.?。是5C的中點(diǎn)，

：.AD=-BC=5,

2

V5<6<8,

：.AD<AB<AC,

為圓心，/■為半徑，點(diǎn)、B,D,C均在。A外，

.,.0<r<5.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角二角形斜邊上的中線性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)

與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為廣，點(diǎn)與圓心的距離為d,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)

d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外.

16.如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，一ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交

點(diǎn)）.

（1）請畫出一ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到的圖形△44G.（點(diǎn)A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

A，Bi，G）

（2）請畫出（I）中△A4G關(guān)于原點(diǎn)。對稱的圖形△人與C2.（點(diǎn)A，B1,q的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4,

C）

B2,2

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）先畫出三角形各頂點(diǎn)繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的位置，再用線段依次連接各頂點(diǎn)，得到旋

轉(zhuǎn)后的三角形；

（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，畫出三角形各頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)。的對稱點(diǎn)，再用線段依次連接各頂點(diǎn)，得到圖形;

【小問1詳解】

解：如下圖：

作圖步驟：

①連接04、OB、OC

②以。為旋轉(zhuǎn)中心，在逆時(shí)針90°方向作出。&、OB：0G與原對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

%G，

③連接各點(diǎn)即可;

【小問2詳解】

如下圖：

作圖步驟:

①反向延長OA、。4、OG，根據(jù)對應(yīng)線段相等作出對應(yīng)點(diǎn)為，B2,c2,

②連接4，B2,即可?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形基本變換中的旋轉(zhuǎn)及中心對稱的知識，解決問題的關(guān)鍵是先找準(zhǔn)對應(yīng)點(diǎn)，并

依次連接對應(yīng)點(diǎn).

四.（本大題共2小題）

17.如圖，圓。是RtAABC的外接圓，ZACB-90°,過點(diǎn)C作圓。的切線，交A8的延長線于點(diǎn)

D.若"=26。，求ZA的度數(shù).

【答案】320

【解析】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知NOCD=90。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出/AOC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接co,

：c是圓。的切點(diǎn)，co是圓。的半徑，

OCLCD,NOCD=90。，

VND=26。，

ZAOC^ZOCD+ZD=116°,

■：OA=OC,

：.ZA=ZOCA=1(1800-ZAOC)=32°.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，四邊形A3CD是邊長為1的正方形，曲線。4與。124…是由多段90。的圓心角所對的弧組

成的.其中，弧。A的圓心為A,半徑為A。；弧4耳的圓心為B,半徑為BA1；弧與q的圓心為C,

半徑為C4；弧GA的圓心為。，半徑為DC].…弧弧AM，弧用G，弧GA…的圓心依次按點(diǎn)

A,B,C,。循環(huán)，請回答下列問題：

(2)直接寫出弧的半徑.

【答案】(1)4(2)弧的半徑為4〃

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，依次推導(dǎo)即可求解.

（2）根據(jù)題意可得后一段弧的半徑總比前一段弧的半徑長1,又因?yàn)锳&的半徑為A4=1,可知任何一段

弧的弧長都是的倍數(shù)，根據(jù)圓心以。四次一個(gè)循環(huán)，可得的半徑為

1A,B,C,nnlx4x”.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，得：

M的半徑為AA=I,

A4的半徑為84=A3+A4,=2,

4G的半徑為CCt=BC+BBi=3,

CR的半徑為DDX=CD+CC1=4,

【小問2詳解】

由（1）知：A4,的半徑為AA=1,

A4的半徑為BBi=AB+AA}=2,

B￡的半徑為CC,=BC+BBl=3,

GR半徑為D1=CD+CG=4,

楸的半徑為A4=AD+=5,

A2B2的半徑為=AB+4%=6,

年的半徑為

2CG=BC+BB2=J,

電的半徑為DD2=CD+CC2=S,

以此類推可知，弧C“O"的半徑為1X4X〃=472,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，根據(jù)題意得出圖形的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.

五.（本大題共2小題）

19.如圖，反比例函數(shù)y=—（x<0）的圖象經(jīng)過格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）4（—3,3）,過點(diǎn)A作ACLx軸于

點(diǎn)C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)已知直線=左<0)經(jīng)過格點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)3.記.ABC(不含邊界)圍成的區(qū)域?yàn)?/p>

W.當(dāng)直線A3經(jīng)過格點(diǎn)(0』)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的格點(diǎn)坐標(biāo)有幾個(gè)？分別為哪些？

O

【答案】(1)y=——(x<0)

X

⑵區(qū)域W內(nèi)的格點(diǎn)坐標(biāo)有3個(gè)，分別為(—2,1),(—2,2),(-1,1).

【解析】

【分析】(1)將點(diǎn)4(—3,3)代入反比例函數(shù)丁='(％<0)即可求解；

X

(2)當(dāng)直線/3:丁=近+/左<0)經(jīng)過格點(diǎn)4(—3,3),點(diǎn)(0,1),求出直線AB的解析式，結(jié)合圖象即可

求得W內(nèi)的格點(diǎn)坐標(biāo)及個(gè)數(shù)；

【小問1詳解】

將點(diǎn)4(—3,3)代入反比例函數(shù)y=-(x<0),得：

X

,m

臺='

m=-9，

o

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為：j=--(x<0)；

X

【小問2詳解】

?.?直線AB:y=H+N左<0)經(jīng)過格點(diǎn)4(—3,3)，點(diǎn)(0,1),

3=—3k+b

\，

l=b

?.?點(diǎn)4（—3,3）,4。，工軸于點(diǎn)。,

點(diǎn)C（-3,0）,

故W區(qū)域的左邊界為線段AC的部分，其解析式為：x=-3（0<y<3）,

上方的邊界為線段A3的部分，其解析式為y=-gx+l,

23

令,=—x+1=0,得：x——,

32

（3、

?,?點(diǎn)5坐標(biāo)為：-,0,

（2）

故當(dāng)x=—2時(shí)，y=L2,即（一2,1）與（—2,2）,

當(dāng)x=—1時(shí)，y=L即（—1,1）,

區(qū)域W內(nèi)的格點(diǎn)坐標(biāo)有3個(gè)，分別為（—2,1）,（-2,2）,（-1,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵是，

學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想.

20.如圖，A5C是：。的內(nèi)接三角形，CD是。的直徑，ABLCD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作；。的切線交

CD的延長線于點(diǎn)尸，連接EB.

A

D

C

(1)求證：FB是一O切線.

(2)若AC=4，^"，tan^.ACD=—,求「0的半徑.

【答案】(1)見解析(2)。的半徑為5.

【解析】

【分析】⑴欲證￡8是。的切線，只需證明即可；通過全等三角形△Q4E0X9BE(SAS)

的對應(yīng)角ZOAF=NOM來證明該結(jié)論；

(2)由tan/ACD=工和AC=46，結(jié)合勾股定理求得AE=4，CE=8,在Rt^AOE中，再利用勾

2

股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接Q4、0B,

C

:在。中，OA=OB,ABLCD于點(diǎn)E,

AOF=ZBOF,

OA=OB

在AOAF和.。B尸中，＜ZAOF=ZBOF,

OF=OF

：.△OAF^AOBF(SAS).

:.ZOAF=ZOBF.

又尸切；。于點(diǎn)A,Q4為(O半徑,

OALFA,

：.ZOAF=9Q°.

ZOBF=90°.

OB上FB于點(diǎn)、B.

，￡8是（。的切線；

【小問2詳解】

解：tanZACD=~,

2

4/71

tanZACD=——=—,

CE2

CE=2AE,

VAC=475-

；?AE2+CE2=AC2，即AE2+（2AE『=卜扃，

AAE=4,CE=8,

設(shè)【。的半徑為r,則Q4=OC=r,OE=8-r,

在Rtz\49E中，AE-+EO2=A0~，即4?+（8—rf=產(chǎn)，

解得r=5,

/.。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形全等的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，作出輔助線根

據(jù)全等三角形是解題的關(guān)鍵.

六.解答題

21.我省某通信公司準(zhǔn)備逐步在浮山上建設(shè)5G基站.如圖，某處斜坡CB的坡度（或坡比）為

z=1:2.4,通訊塔A3垂直于水平地面，在。處測得塔頂A的仰角為45。，在。處測得塔頂A的仰角為

53。，斜坡路段CD長26米.

（1）求點(diǎn)￡）到水平地面CQ的距離.

434

（2）求通訊塔AB的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°土一）

553

【答案】（1）點(diǎn)。到水平地面CQ的距離為io米

（2）通訊塔AB的高度圍為38.5米

【解析】

【分析】（1）通過作輔助線，利用斜坡CB的坡度（或坡比）為，=1:2.4,8=26米，由勾股定理可求

出DM的長，

（2）設(shè)5G=。米，根據(jù)坡度表示DG=2.4a米，進(jìn)而表示出AGAF＞在△A0G中由銳角三角函數(shù)可

列方程求出。G,進(jìn)而求出A3.

【小問1詳解】

如圖，過￡＞作。M_LC。，M為垂足，DM即為點(diǎn)。到水平地面CQ的距離，

:斜坡C8的坡度（或坡比）為i=1:2.4,

.DM_1

設(shè)DM=左米，則aw=2.4左米，

RtVCDM中，CD=26米，

由勾股定理得：CM~+DM2=CD?,

即（2.4左『+42=262,

解得左=±10（負(fù)數(shù)舍去），

：.DM=10（米），CM=24（米），

答：點(diǎn)。到水平地面CQ的距離為io米；

【小問2詳解】

如圖，延長A3與水平線CQ交于尸，過。作。GLAF,G為垂足，連接AC,AD,

:斜坡CB的坡度（或坡比）為，=1:2.4,

設(shè)3G=a米，DG=2.4。米，

ZACF=45°,

AF=CF=QW+MF=(24+2.4a)米,

/.AG=AF-G/=24+2.4?！?0=（14+2.4。）米，

在RtzXADG中，DG=2.4。米，AG=（14+2.4a）米,

■4G4

?ZtanZADG=——=tan530--，

DG3

.14+2.4a_4

2.4a-3,

解得，a=17.5

：.DG=2.4a=42（米），AG=14+2.4a=56（米），

BG=a=11.5（米），

AAB=AG-BG=56-17.5=38.5（米），

答：通訊塔AB的高度圍為38.5米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，坡度坡角問題，通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三

角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

七.解答題

22.拋物線弘=g(x—/1y+左與%=。(％+3)2—1交于點(diǎn)A,分別交》軸于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)A作x軸的平

行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)8,C.已知6(3,3),BC=10.

⑵若點(diǎn)（2,m），（3,〃）及（4,川都在拋物線為上，判斷加，九，2的大小關(guān)系，并說明理由.

（3）求PQ的值.

【答案】（1）-

4

（2）m<n<p

⑶U

4

【解析】

【分析】（1）由8（3,3）,BC=10,可得C（—7,3）,然后代入%=「（x+3）2—1可得。的值；

⑵求出4（1,3）,可得拋物線％=g（x—獷+左的對稱軸是直線彳=2,根據(jù)點(diǎn)（2,加），（3,〃）及（4,7）

并結(jié)合增減性可得加，n,。的大小關(guān)系；

（3）求出P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得尸。的值.

【小問1詳解】

解：：8（3,3）,BC=10,5C〃x軸，

C（-7,3）,

?點(diǎn)C在拋物線%=。（九+3）2—1上，

3=ax（―7+3）—1,

解得：a=—.

4

的值為

4

【小問2詳解】

1、2

由（1）可得：y2=-（%+3）--1,

19

當(dāng)y=3時(shí)，得3=［（x+3）-1,

解得：x=1或無=-7,

A（l,3），

/i=*=2,即拋物線必=g（x—/z）2+%的對稱軸是直線x=2,

?.?點(diǎn)（2,m）,（3,〃）及（4,p）都在拋物線％上，

12

又；拋物線%=5（x—力）~+上開口向上，且2<3<4,

m<n<p_

：.m,n,。的大小關(guān)系為機(jī)<“<〃.

【小問3詳解】

；〃=2,

1、,

???X=5（x—2）+k,

19

?.?點(diǎn)8（3,3）在拋物線％=5（%—2）一+左上，

1

.?.3=：x（3-2）9-+左，

解得：4="

2

1/_\25

M=5（1―2）+2，

9

當(dāng)x=0時(shí)，得〉=一，

...P陷，

19

,:%=）（%+3）-1,

當(dāng)x=0時(shí)，得y=°,

???加的值為十

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)相關(guān)的性質(zhì).

八.解答題

23.如圖1,在矩形ABCD中，4)=5,AB=12,E,尸分別是對角線AC上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與A點(diǎn)重

合，點(diǎn)產(chǎn)可以與點(diǎn)。重合)，已知點(diǎn)A,尸關(guān)于點(diǎn)E對稱，G是CE的中點(diǎn)，以G為圓心，G/長為半徑

在AC的下方作半圓，設(shè)=

(1)若％=1,求半圓G的半徑.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)半圓G與CB交于另一點(diǎn)加,求板的長.

(3)當(dāng)半圓G與矩形A3CD的邊相切時(shí)，求x的值.(參考數(shù)據(jù)：sin25°?—,cos65°?—,

1212

tan23°?—)

12

2997r

【答案】(1)5(2)CM=-----

360

(3)竺或竺

1127

【解析】

【分析】(1)由勾股定理可得AC,根據(jù)線段和差和線段中點(diǎn)定義可得EG,進(jìn)而即可求解；

(2)設(shè)半圓G與5。交于另一點(diǎn)N