浙江省嘉興市2022-2023學年高三年級上冊期末數學試題（解析版）

嘉興市2022?2023學年第一學期期末檢測

高三數學試題卷

2023.1

本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答

題紙上規(guī)定的位置.

2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應位置規(guī)范作答，在本試題

卷上的作答一律無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,設全集"J，3,4,5},集合A={2,3,5},集合3={1,2},則(”)【"=()

A.{2}B.{3,5}C.{1,3,4,5}D.{3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據補集和交集的定義求解即可.

【詳解】全集。={1,2,3,4,5},集合A={2,3集},集合5={1,2},

”={3,4,5},

A={3,5}.

故選：B

2.若復數z滿足z+i=.(i為虛數單位)，則忖=()

【答案】A

【解析】

【分析】先根據條件求出復數z的代數形式，進而直接求模即可.

7

【詳解】z+i=-,

——i_-i(j)=1%

I1+i(l+i)(l-i)22,

3.已知向量a=(-l,2),Z?=,1),若a+2Z?與2a-6平行，則實數加=()

5137

A.——B.——C.—D.—

2222

【答案】B

【解析】

【分析】先將a+2〃與2a-6的坐標表示出來，再根據向量平行的充要條件列出方程，解方程即可求解.

【詳解】已知向量。=(-1,2)2=(加,1),

a+2b=(-1,2)+2(/n,1)=(2m-l,4),2a-b=2(-l,2)-(m,l)=(-m-2,3).

由a+2Z?與2a平行，有3(2加—1)=4(一加一2),解得根=-g.

故選：B

4.袋中裝有大小相同的2個白球和5個紅球，從中任取2個球，則取到的2個球顏色相同的概率是

()

341011

A.-B.-C.—D.—

772121

【答案】D

【解析】

【分析】利用組合數及古典概型的概率的計算公式即可求解.

【詳解】設“取到的2個球顏色相同”為事件為A,則

「(仆號1」，

'JC21

所以取到的2個球顏色相同的概率為—.

21

故選：D.

5.已知圓。過點(1,0),且圓心在了軸的正半軸上，直線/：y=x-1被圓C所截得的弦長為2夜，則過

圓心。且與直線/垂直的直線的方程為（）

A.x+y-3=0B.x-y+3=0

C.x+y+3=0D.x-y-3-0

【答案】A

【解析】

【分析】利用己知弦長先求圓心坐標，然后可求過圓心與直線L垂直的直線的方程.

【詳解】由題意，設所求的直線方程為x+y+%=0,并設圓心坐標為（。,0）,

則由題意知：+2=（a—I）?解得。=3或a=—l,

又因為圓心在x軸的正半軸上，所以。=3,故圓心坐標為（3,0）,

..?圓心（3,0）在所求的直線上，所以有3+0+機=0,即〃?=-3,

故所求直線方程為x+y-3=0.

故選：A.

6.在某校的“迎新年”歌詠比賽中，6位評委給某位參賽選手打分，6個分數的平均分為&5分，方差為

0.5,若去掉一個最高分9.5分和一個最低分7.5分，則剩下的4個分數滿足（）

A.平均分8.8分，方差0.25B.平均分&8分，方差0.4

C.平均分&5分，方差0.25D,平均分8.5分，方差0.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用平均數和方差公式即可求解.

【詳解】設這6個數分別為7.5,和乙,工，乙，9.5,平均數為"方差為和馬,%，%，的平均數為P，

方差為s’?,則

由題意可知，x=8.5,s2=0.5,

by—7.5+x++Xo+x+9.5

所以x=------------------4----=8.5,即再+%+%%=o34A,

6

所以？=石+々+工3+匕=膽=8.5,

44

22

所以s?=:[（7.5—8.5）2+&-8.5）2+（%—8.5）2+（電—8.5）2+（/,85）+（9.5-8.5）]=0.5,即

(尤i-8.5)2+(9—8.5)2+(%—g5)2+(%—8.5)2=6s2_2=6x0.5-2=l,

所以s'?=；[(/—8.5)2+(々_8.5『+伉—8.5)2+(%_8.5)〔=；=0.25,

所以剩下的4個分數滿足平均分&5分，方差0.25.

故選：C.

7.若Jl+2a=eh=—-—=1.1,貝!]()

1-c

A.a>b>cB.b>a>C

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】由己知等式解出a,dc,通過構造函數，利用單調性比較大小.

【詳解】71+2a=eh=—=1.1,可得由已知得a=二1,c=l-—,

1-c21.1

尤2_]

比較。和/7,構造函數/(%)=---In%,

當％>1,f(x)=x-->0,〃龍)在(1,+8)上單調遞增，故〃1.1)>〃1)=0,即

同理比較〃和C,構造函數g(x)=lnx-11-

當x〉l,g'(x)=W〉0,所以g(x)在(1,+8)上單調遞增，所以g(l」)>g⑴=0,即6>c.

綜上a>b>c.

故選：A.

8.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—&4GR中，E為棱4線的中點，M,N分別是底面A3CD與側

面C￡>AG的中心，P為該正方體表面上的一個動點，且滿足記點P的軌跡所在的平面為a,

則過N,C,耳,C四點的球面被平面a截得的圓的周長是()

4668D.述萬

A.-71B.------71C.-71

3533

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，找到球心。和點尸的軌跡，求出。到平面a的距離，利用幾何法求截面圓

的半徑和周長.

【詳解】取面對角線用。中點。，連接QV,B】N,CN,GN,"，/分別在3耳,CG上，且

B]H=3HB,CJ=3IC,

以A為原點，AB.AD,AA的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

B（2,0,0）,C（2,2,0）^（2,0,2）,E（l,0,2）,F（l,2,0）,G（l,0,0）,,O（2,l,l）,（2,2,g

N（l,2,l）,

4N=（T2,—1）,CN=（-1,0,1），BlN-CN=0,BtN1CN,

三棱錐G-BiNC中，△5]NC為直角三角形，所以OC]=OC=ON=QB],

因此點。即為三棱錐C「B〔NC的外接球球心，球半徑長為:用C=血,

BE=(-1,0,2),GF=(0,2,0),跖=11,0,-￡|,HZ=(0,2,0),GF=HIFUm共面，

GF-BE=Q，HG-BE=Q，GFLBE,HGJ_BE,

GR"Gu平面FGm，GF?HG=G,3E_L平面FGHZ,Me平面FG印，

點尸的軌跡為矩形FGm的四邊，如圖所示，

OG=(-1,-1,-1),3E為平面FGm的法向量，

\OG-BE\1J5

則球心。到平面FGHI的距離為\1=F=三,

\BE\V55

球面被平面a截得的圓的半徑向/1=乎，圓的周長為半兀.

故選：B

【點睛】本題找球心。考查學生的空間想象能力，其余的計算和證明問題，則利用空間向量法.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若實數a1滿足a</?<0,則()

11

A.—<TB.Ind!29>In/?29

ab

C.<何.D.a+gVbH—

【答案】BCD

【解析】

【分析】運用不等式的性質，結合對數函數的單調性、作差比較法逐一判斷即可.

【詳解】A：由a<6<0nab>0n=<與因此本選項不正確；

ababba

B：由avZ?<0=(—a)>(—/?)>0=〃2>/?2>0=>lna2>]nb2,因此本選項正確；

C：因為avZ?<0,所以〃同一方網=—a2+b2=0—〃)伍+0)〈0=。同一〃同<0=〃同<b\b\,因此

本選項正確；

D：因為a<b<0,所以

11(a-b\(ab+\\1111「”一山上十-

a+——b——=------八-----^<0n〃+——b——<0na+—<b+—,因此本選項正確，

baabbaba

故選：BCD

10.在正四棱臺ABCD-4耳。101中，A3=3,4用=1,A&=2,E,P分別是棱AB,A,B1的中點，則

()

A.所與CG是異面直線

B.A4與平面A3CD所成的角為45

C.正四棱臺的體積為上叵

3

D.正四棱臺的表面積為10+8后

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A：根據已知結合棱臺的性質得出所與CG交于一點，即可判斷；

對于B：根據已知設A在平面ABCD中的投影為G,則4G，平面ABC。，且AG=g(AC—4G)，

即A4與平面A3CD所成的角為N^AG,即可計算得出cos幺AG,即可得出答案來判斷；

對于C：根據正四棱臺的體積求法得出即可判斷；

對于D：根據正四棱臺的表面積求法得出即可判斷；

【詳解】對于A：

ABCD—4用G。為正四棱臺，

，四條側棱所在直線交于一點，記為P,

耳廠分別是棱A3,44中點，

EF也過點P,

:.CGEF=P,

.?.E尸與CG屬于同一平面，故A錯誤;

對于B：

ABC?！擞肎A為正四棱臺，

，點A在平面A3CD上的射影一定在AC上，記為G,則4G，平面A3CZ),且

AG=1(AC-Aq),

M與平面A3CD所成的角為N4AG,

AB=3,AB]=1,

AC=3^2>A1ci=◎,

二.AG=行，

,/__AG拒

..cos/AAG------——,

、A4j2

Z^AG=45,故B正確；

對于C：

根據選項B中可得4G=,22—=J5,即正四棱臺ABCD—的高力=J5,

設SpS2分別為正四棱臺ABC?！狝B1G2上、下底面積，

，+S2+#37)=13,,故C正確；

對于D：

正四棱臺4BCD-44儲。是四個全等的等腰梯形，

梯形的上、下底分別為1、3,高為亞匚正=6，

則面積為gx/(l+3)=2jL

根據選項C可得，=1,$2=9,

則正四棱臺ABC。—A4G2的表面積為“CDYBIGA=1+9+4x26=10+8百，

故D錯誤；

故選：BC.

11.設產為拋物線C:;/=2px(p>0)的焦點，點尸在C上且在x軸上方，點A(_6,0),B(0,2⑹,若

\FA\=\FP\=2\FB\,則()

A.拋物線。的方程為V=8x

B.點尸到y(tǒng)軸的距離為8

C.直線AP與拋物線。相切

D.A,B,P三點在同一條直線上

【答案】ACD

【解析】

【分析】由|E4|=2|EB|,先求設尸點坐標，得拋物線方程，再驗證每個選項.

【詳解】拋物線。：丁=2。；15>0)的焦點/1,0],由附=2同，有言+6=2$g+(2⑹2，

解得。=4,

所以拋物線C的方程為V=8x,A選項正確；

|E4|=|EP|=8,點尸在拋物線上且在x軸上方，到焦點距離為8,到準線x=-2距離也為8,所以點尸

到y(tǒng)軸的距離為6,B選項錯誤；

點尸在拋物線上且在X軸上方，到y(tǒng)軸的距離為6,有點P橫坐標為6,代入拋物線方程，可得

P(6,4G),則直線AP的方程為y=g(x+6)，

由<y=?(x+6)消去x得/+8百y+48=0,△=(86)2—4x48=0,所以直線AP與拋物線C相

V=8x

切，C選項正確；

由4(一6,0),網0,2網，尸(6,4百)，得A3=取=(6,2月)，則三點在同一條直線上，D選

項正確.

故選：ACD.

12.已知定義在R上的函數/(x),g(x),其導函數分別為了'(%),g'(x),若/(x)=f(—x)，

g(-l)=0,/(x)+g/(x-l)=x2,/,(x-l)+g(x)=x-l,貝！|()

A.g(x)是奇函數B.g(x)是周期函數

C./(6)=32+/(2)D.r(6)=3r(2)

【答案】BCD

【解析】

【分析】通過函數的奇偶對稱性和圖像的平移，結合導數的運算，得到函數g(x)的對稱性，得到周期，再

由周期計算函數值驗證選項.

【詳解】由/(%)=/■(—X)知函數"X)為偶函數，又g'(x—1)=%2一〃力，

gf(-x-l)=(-x)2-/(-x)=%-/(%)=g'(x—1)，則g'(無T)的圖像關于y軸對稱，

所以g'(x)的圖像關于直線x=—1對稱，有g'(x)=g'(—2—X),即g'(x)—g'(—2—x)=0,

設G(x)=g(x)+g(—2—x),則G'(x)=g'(x)—g'(-2—x)=0,G(x)=c(c為常數),

G(-l)=g(-1)+g(-2+1)=2g(-l)=0,G(x)=O,所以g(x)=_g(_2_x)；

由/(九)于'(一九),兩邊同時求導,有/'(力=_/'(_力，可知/'(X)為奇函數,

函數y=x-/'(X)仍然是奇函數，圖像關于原點對稱，

又g(x)=(x—1)—/'(X—1)，所以g(x)的圖像關于點(1,0)中心對稱，有g(x)=—g(2—X)；

函數g(x)=cos：滿足以上函數g(x)的性質，但g(x)=cosT不是奇函數，A選項錯誤；

g(x)=-g(-2-x)^ng(x)=-g(2-x)g(2-x)=g(-2-x),令—2—x=/，則有g(/)=g"+4),

所以函數g(x)為周期函數，B選項正確；

7=4為g(x)的一個周期，則g(—l)=0=g(3)=2—/(2),所以r(2)=2,g(7)=0=6—/'(6),

r(6)=6,所以廣(6)=3廣(2),D選項正確;

由g(x)周期為4知T=4也是g'(x—1)的一個周期,所以g'(l)=g'(5),gp22-/(2)=62-/(6),即

/(6)=32+/(2),C選項正確.

故選：BCD.

【點睛】此題通過函數的奇偶性和對稱性，結合導數的運算，尋找函數g(x)圖像的對稱中心是解題關鍵,

原函數與導函數圖像的聯系，奇偶性的聯系，都是解題的思路.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(l-x)4(l+2y)3的展開式中孫,的系數為(用數字作答).

【答案】-48

【解析】

【分析】利用二項式定理求所需項的系數即可得出.

【詳解】(1-x)4(l+2y)3的展開式中孫2的系數，是(1-x)4的展開式中x的系數與(l+2y)3的展開式中

V的系數之積，

即Ci-(-l)xC^-22=-48

故答案：T8

14.中國古代數學著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳

痛減一半，如此六日過其關.”則此人在第五天行走的路程是__________里(用數字作答).

【答案】12

【解析】

【分析】根據給定條件，利用等比數列前力項和公式求出第1天行走的路程，即可計算作答.

【詳解】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數列｛4｝,〃eN*,〃<6,其公比q=g,

令數列｛4｝的前w項和為S“，則$6=378,而=：6)=嚕,因止匕出里=378,解得

1--3232

2

%=192,

所以此人在第五天行走的路程%=4=12(里).

故答案為：12

15.若函數/(x)=cos[2x+6]+a在區(qū)間0,y上有3個零點，則實數。的取值范圍是.

【答案】三

_22J

【解析】

【分析】根據函數零點的定義，結合余弦函數的單調性利用轉化法、數形結合思想進行求解即可.

[詳解]/(x)=cos12%+弓)+〃=0=〃=-cos1J=cos

由函數/(x)=cos(2x+￡1+〃在區(qū)間04上有3個零點，可以轉化為直線y和函數

y2x*在3兀一

0,y上有三個不同的交點，

,,「八3兀］一-，，C5?！?兀13兀

L因為X￡0,--,所以2%---€---,---

2666

c5兀5?！?71(5711

當2%---€一K時，即當xe0,—時，函數y=cos[2x-《J單調遞增,

612

函數值從cos1—g)=—5增力口至iJcosO=l；

當2%一變￡[0,兀]時，即當工￡時,函數y=cos12x-^-｝單調遞減,

6|_1212_

函數值從COS0=l減少到COS7l=-l;

函數y=cos12x—g)單調遞增,

當2x——《兀,2句時，即當xe—時,

61212_

函數值從cos兀二一1增加至Ucos2兀=1,

t.5?！竎13兀］,口t「17兀3兀1,函數y=COS[2X—￡)單調遞減,

當2%——e時，即當％￡~時,

6L6JL122J

函數值從cos2兀=1減小到cos—=-.

62

(5兀?3兀

所以函數丁=＜：0$[2工-■在°，萬上的函數圖象如下圖所示:

2

(5兀?3兀

因此要想直線y=a和函數y=cos2x-%■在0,—上有三個不同的交點,

2

只需—走Va＜立，

22

故答案為：

L22J

22

16.已知橢圓C：土+上=1（機〉2）的左、右焦點分別為片，巴，尸是C上的一個動點，直線,尸工分別

m2

8

交。于43兩點.設助=；1片4根=〃b5,則當^——+加取最小值時，C的離心率為__________.

Z+//

【答案】旦井工6

33

【解析】

【分析】設尸（Xo，%），A（X，X），5（X2，%），4（—c,O）,g（c,O）,則即及=一設

X。十C

:x=也二y-c,聯立尸耳與C的方程根據韋達定理結合條件可得

[][11

2+〃=—%—+—=-yl——+——，進而得出2+〃=2m—2,然后根據基本不等式得出

1%y2JI%%y0y2J

--+加取最小值時機的值，即可根據橢圓離心率的計算得出答案.

4+〃

【詳解】設尸（孫娟，4（4%）,網孫％），￡（Y，0），耳（c，。），則。2=加一2

所以即吁=［上

%+C

故可設尸耳：X=」一y-c,

%

X+C

x=-n---y-c

則點A坐標滿足＜%?

2x2+my2=2m

消去x整理得2（”。：c）+「y2-4c^o+C\+2c2-2m=O,

%為

2c2-2m

故J.%

2”二

y0

設尸片：x=也，y+c,

y0

2c2-2m

2

同理可得為2（x0-c），

2+m

%

PR=X4C,曰1為+%%=（）

PF2—piF2B[%+4y2=0

七]（11[2（11）

又2x1+myl=2m,

2（/+。）[2（Xo-c）2

----+m

222222

%_______%2x0+my0+2c_2m+2c

故X+〃=_%2+

22―2~

2c—2m2c之—2mm—cm—c

而c?=m-2，

244

故4+〃=2m—2,即------\-m--------\-m>2A-------（m—1）+1=5,

2+//m-1\m-1\

’4?

-------m—\

當且僅當,根-1,即根=3時取等號，

m>2

此時C:二+上=1,離心率為也.

323

故答案為：&

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2

17.記Sn為數列｛4｝的前“項和，已知4=1,且對于任意“eN*，都有2S“=n+pn.

（1）求實數2及凡；

(2)令2=2%+2%++2金,求數列｛〃｝的前〃項和..

【答案】(1)夕=1,a“="(〃eN*)；

(2)7；=2"2一2〃-4.

【解析】

【分析】(1)令2s,+中的〃=1,得出2%=。+1,根據已知即可得出。=1,貝I]

2

2Sn=n+n,當時，2s,一=(〃—1尸+〃—1,兩式相減根據數列和與通項的關系得出q=〃，注

意驗證n=1符不符合求出的式子；

(2)根據小問一與等比數列求和公式得出句=2向-2,即可根據分組求和法得出答案.

【小問1詳解】

在2S”=中令〃=1,得2S]=l"+pxl,即2%=p+l,

又4=1,則2=1,

所以2S“="+”，

當時，2s=(〃—1)2+”—1,

得2(S〃-S"T)=2〃，即?！?〃，

又％=1，

故a"="("eN*)；

【小問2詳解】

因為=n,

所以人=2"'+2%++T-=21+22++T=22=2,,+1-2-

"1-2

+12n+2

故得北=4+%++a=2?—2+23—2++2"-2^-2n=2-2n-4-

18.記，RC的內角AB,C的對邊分別為a,4c,已知三角形s的=組僅2+02—叫，角A的平分線

AD交邊于點O.

3?

（1）證明:

b+c

(2)若BD=2DC,AD=4￡,求_ABC的周長.

【答案】（1）證明見解析

（2）18+60

【解析】

【分析】（1）由SABC=￥僅2+02一4）結合三角形面積公式和余弦定理，解得A=],再根據角平分

|7T17T17T

線和面積公式由SABC=SABD+SAC。得一人csin—=—c-ADsin—+—/??ADsin—,化簡既可；

232626

（2）由內角平分線定理結合（1）中的結論，求出b,c,再由余弦定理求。，可得三角形周長.

【小問1詳解】

由SABC+/-a?）可知，^bcsinA=^~?2bccosA，

所以tanA=百，又AG（O,TI）,故4=三，如圖所示，

A

BDC

|jr17rljr

所以S.ABC—SABD+SACD,得一bcsin—=-ceADsin—I—b,AZ）sin一,

232626

化簡整理得AD=走絲；

b+c

【小問2詳解】

因為5。=2￡＞。，故工=些=2,所以c=2/?,又4。=4逐=心區(qū)，

bDCb+c

化簡得4伍+0）=A，解得人=6,c=12,又A=]，

故a=sjb2+c2—2bccosA=6^/3,所以-ABC的周長為18+6石?

19.為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識競賽，規(guī)定：滿分為100

分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲、乙兩個車間中各抽取了100位職工的競賽成績作為樣本.對甲車間100

位職工的成績進行統(tǒng)計后，得到了如圖所示的成績頻率分布直方圖.

（1）估算甲車間職工此次“反詐”知識競賽的合格率;

（2）若將頻率視為概率，以樣本估計總體.從甲車間職工中，采用有放回的隨機抽樣方法抽取3次，每次

抽1人，每次抽取的結果相互獨立，記被抽取的3人次中成績合格的人數為X.求隨機變量X的分布列；

（3）若乙車間參加此次知識競賽的合格率為60%,請根據所給數據，完成下面的2x2列聯表，并根據列

聯表判斷是否有99%的把握認為此次職工“反計”知識競賽的成績與其所在車間有關？

2x2列聯表

甲車間乙車間合計

合格人數

不合格人數

合計

2_n(ad-be#

附參考公式:”(a+c)(b+d)(a+))(c+d)其中〃=a+b+c+d.

②獨立性檢驗臨界值表

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴80%

（2）分布列見解析（3）表格見解析，有

【解析】

【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質，可得答案;

(2)根據二項分布的分布列的解題步驟，可得答案；

(3)由題意，補全列聯表，利用獨立性檢驗的解題步驟，可得答案.

【小問1詳解】

根據頻率分布直方圖可求得甲車間此次參加“反詐”知識競賽的合格率

=0.02xl0+0.03xl0+0.02xl0+0.01xl0=0.8,即80%.

【小問2詳解】

由題意可知X=0,1,2,3,由于每次抽取的結果是相互獨立的，故X5(3,0.8),

p(X=k)=《?(0.8??(1—O.8)3Y=C：.0摩.0.23*,(左=0,1,2,3),

2

所以P(X=0)=C；?0.8°?0.23=00G&P(X=1)=C；?0.81?0.2=0.096,

p(X=2)=C；?OU.0.2i=0384,p(x=3)=C；?。忌?0.2°=0.512,

故隨機變量X的分布列為

X0123

P0.0080.0960.3840.512

【小問3詳解】根據題中統(tǒng)計數據可填寫2x2列聯表如下,

甲車間乙車間合計

合格人數8060140

不合格人數204060

合計100100200

200(80x40-20x60)2

?9.524>6.635,

100x100x140x60

所以有99%的把握認為“此次職工'反計'知識競賽的成績與職工所在車間有關系”.

20.如圖，在三棱錐A—BCD中，平面ACD,平面BCD,ZACD=ZBCD=30°,點E在棱

上，且3。=33￡=24。=百。。=6.

A

（1）證明：。石工平面ACD；

（2）設尸是A5的中點，點G在棱上，且所〃平面AOG,求二面角E—AD—G的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵亞

13

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求出OE,利用勾股定理可證得。￡工CD,再利用面面垂直的性質的定理可證

得結論成立；

（2）推導出點G為CE的中點，然后以點。為坐標原點，以。石、。。所在直線分別為x、y軸，過點

￡（且垂直于平面5CD的直線作z軸建立空間直角坐標系，求出點A的坐標，利用空間向量法可求得二面

角￡—A?！狦的余弦值.

【小問1詳解】

證明：由3C=33E=2AC=GZ）C=6得5E=2,AC=3,CD=25

CE=BC-BE=4,由余弦定理可得?！?=。￡2+°2—2C￡.CDCOS30=4，

CD2+DE2=CE1,則DE工CD,

因為平面AGO,平面BCD,平面ACO］平面BCD=CD,OEu平面5C。，

平面ACD.

【小問2詳解】

解：因為所〃平面ADG,上戶u平面ABC,平面ABCc平面AOG=AG,故跳7/AG,

而產是A3的中點，故EF為ASG中位線，得BE=EG=2,

又BC=6,故GCE中點，

由（1）可知曾石工平面ACD,以點。為坐標原點，以DE、。。所在直線分別為x、J軸，

過點。且垂直于平面5CD的直線作z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則￡（2,0,0）、C（0,2A/3,0）,G（l,月,0）、D（0,0,0）,

設點A（0,a,3）,其中a>0,b>0,CD=（0,-2A/3,0）,C4=（0,a—2GM

2百（2回a）出

CACD解得a=立,

所以,cosZACD=

HR2A/3X3—22

則|CA|J宜I]+/=3,解得匕=2,故點,

11Vl2J2I22）

（63、

設平面ADE的法向量為m=（%,,%,zj,DE=（2,0,0）,DA=0,——

I22J

n-DE=2Xj=0

則,取y=G，可得根=（0,6,—1卜

n?DA=-y,+—z,=0

2121

設平面ADG的法向量為〃=（%2，y2，Z2），DG=（1,6,0）,

n-DG=x2+6%=0

,取%=—G，可得〃=（3,-6,1）,

則3八

n-DA=%+-z2=0

~2

m-n42^3

所以，cos<m,n>=

|/?z|-|zz|2x5/013.

由圖可知，二面角石-AO-G的平面角為銳角，故二面角E-AO-G的余弦值為竺3.

13

22

21.已知雙曲線C:工-3=1（。>0,6>0）過點（2,3）,左、右頂點分別是A3,右焦點尸到漸近線的距離

ab

為6，動直線/：丁=辰+m與以AB為直徑的圓相切，且/與。的左、右兩支分別交于

尸（%,%）,。（%2，%）兩點?

（1）求雙曲線C的方程;

(2)記直線AP,8。的斜率分別為尢，左2,求的最小值.

2

【答案】(1)爐_匕=1

3

G36+21百

4

【解析】

【分析】(1)由點(2,3)在雙曲線C上，以及焦點到漸近線的距離得出雙曲線C的方程；

(2)由直線與圓的位置關系得出??=左2+1，聯立直線和雙曲線方程，由韋達定理、斜率公式得出

KK=-21-1273,結合禺_々,手得出k,-L

的最小值.

【小問1詳解】

923q249

因為點(2,3)在雙曲線C上，故二—二=1,即/7=1'

ab

而雙曲線。的漸近線方程為樂土今=0,尸(G。)到一條漸近線的距離為6,

\b'c\r-L49

所以/==v3,解得b=A/3，又——-y—1，

ylb2+a2。b

2

所以“2=1，故所求雙曲線C的方程為Y—匕=1；

3

【小問2詳解】

2

因為雙曲線C的方程為f—匕=1,

3

所以4(—1,0),5(1,0),故以A5為直徑的圓為

必+/=1,而直線/:y=Ax+/是其切線，所以應滿足一^=1,得加2=儲+1，

sjk+1

%丫2_2_o

而P,Q坐標滿足＜j,消去＞得（3—左2）d—2爪—（根2+3）=0（3—左2wo）,

2km

X+x=------7

123-F

求得A=12加2—12%2+36，而根2=產+1，故A=48,由此可得＜（*），

m92+3

上2—3

m2+3

由于P(玉,%)分別在c的左、右兩支，故西?々<0,因此3—42>0,

42—3

112"左2+3）

所以上-九2|=J"]+%2)2-4%].%2，將(*)代入整理得上-馬|

473

又加？:左？+1,3—左2>0,Xj<%2，故|芯一%|=X?一芯=2，顯然|元1一/|，

J—K