2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)試題4-2-1等差數(shù)列的概念（第2課時(shí)）

4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時(shí)）（分層作業(yè)）

（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?北京房山?高二期末）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，α6=5,?+α8=15,則劭的值為（????）

A.15B.-15C.10D.-10

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解為=10,進(jìn)而可得公差，即可求.

【詳解】牝+%=/+%=15,故可得：%=1°，所以公差d=%-"5=-5,

因此為=4+3J=5-15=-10

故選：D

2.（2022?四川?雅安中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列｛〃〃｝中，④+〃4+45+。6+〃7=450,求〃2+〃8=（????）

A.45B.75C.180D.300

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)：若加+〃=〃+夕，則4+∕=<+%,運(yùn)算求解.

【詳解】∕｛mι｝為等差數(shù)列,則/+4+―+4+%=5%=450,Eβa5=90

/.%+4=2%=?80

故選：C.

3.（2022?北京市第十二中學(xué)高二期中）已知在等差數(shù)列｛《,｝中，6=1,。5=9,則/=（????）

A.2B.4C.5D.7

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得2%=%+%=1+9=10,

所以a3=5.

故選：C

4.（2022?北京西城?高二期末）若a、b、C成等差數(shù)列，則（????）

A.2b=a+cB.2b=acC.b2=a+cD.?2=ac

【答案】A

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。、b、C成等差數(shù)列，則6-α=c-b,可得26=α+c.

故選：A.

5.（2022.北京豐臺(tái).高二期中）《張邱建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：

，，今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布,

每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布

（????）

Hc1050c65口-7口

A.^τ^0∕?.B.——∕?,C.—XD.7■尺

329293

【答案】B

【解析】女子每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)和末項(xiàng)以及項(xiàng)數(shù)可求公差，從而可得第11天的織布數(shù).

【詳解】設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛%｝,由題設(shè)可知｛%｝為等差數(shù)列,

且4=5,/=1,故公差4=芯1-］5=-/4,

故選：B.

6.（2022?廣東?高二階段練習(xí)）已知在等差數(shù)列｛g｝中，4+4=20,%=12,則%=（????）

A.8B.10C.14D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)公差為d,

4+3d+q+7d=20q=0

則,解得

4+6d=12d=2

所以％=4+8d=16.

故選：D.

7.（2022?江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）已知數(shù)列｛%｝,｛2｝均為等差數(shù)列，且％=25,?1=75,

?+?=120,則知+多的值為（????）

A.760B.820C.780D.860

02/20

【答案】B

【分析】數(shù)列｛%｝,｛%｝均為等差數(shù)列，則數(shù)列｛q,+d｝也為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)進(jìn)行

運(yùn)算求解.

【詳解】：數(shù)列｛0,,｝,｛d｝均為等差數(shù)列，設(shè)公差分別為4,4

(4用+d+J-(q,+2)=(q,+∣-4)+(〃用一￡)=4+d2

則數(shù)列｛q+〃｝也為等差數(shù)列

ax+bl=IOO,a2+b2=120,

數(shù)列｛4+2｝的首項(xiàng)為100,公差為20

/.α37+?=100+20×36=820,

故選:B.

8.(2022?北京八中高二期中)已知等差數(shù)列5,9,13,…，則下列哪個(gè)數(shù)是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)(????)

A.2B.7C.18D.21

【答案】D

【分析】根據(jù)前兩項(xiàng)求出通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式可得答案.

［詳解］記等差數(shù)列為差J,則4=5,a2=9,

所以公差d=a2-q=9-5=4,

所以an=al+(/7-1)J=5+4(〃-1)=4〃+1,

所以％=4χ5+l=21.

故選：D

9.(2022.全國(guó)?高二單元測(cè)試)若數(shù)列｛4｝滿足吊-。3="(其中4是常數(shù))，則稱數(shù)列｛4“｝是"等方差

數(shù)列已知數(shù)列也｝是公差為〃?的等差數(shù)列，則“機(jī)=0”是”｛2｝是等方差數(shù)歹廣的(????).

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】C

【分析】由機(jī)=0得到也｝為常數(shù)列，從而尤-fτ=o,故低｝是等方差數(shù)列，充分性成立，再由｛d｝是等

方差數(shù)列，也是等差數(shù)列，得至IJMd+dτ)=d,結(jié)合2+。1=愁+(2〃—3"，分析出d=O,m=0,必

要性得證.

【詳解】若m=0,則也｝為常數(shù)列，滿足昭-酸τ=O,所以他｝是等方差數(shù)列，充分性成立，

因?yàn)椋?｝是等方差數(shù)列,所以d-％=",則(〃,+%)(2-%)=d,

因?yàn)閿?shù)列｛〃,｝是公差為m的等差數(shù)列，所以2-b?.t=m,

所以m(bn+b,τ)=d,由于0+%=2bl+(2n-3)d,

當(dāng)dwθ時(shí)，4+dτ=也+(2〃-3”隨著"的改變而改變，

d

m=不是定值,不合要求，

unun-?

當(dāng)d=o時(shí)，d+2τ=2%為定值，此時(shí)機(jī)=O滿足題意，

綜上必要性成立.

故選：c

10.(2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在等差數(shù)列｛%｝中，若公差為d,金、4,為數(shù)列的任意兩項(xiàng)，則當(dāng)〃沖〃

時(shí)，下列結(jié)論：

?am+an=(m+n)d；?am-an=(ιn-n)d-③d="；@"；@am-ail+(m-n')d.

其中必定成立的有(????).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式依次討論即可得答案.

【詳解】解：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得4,,=4+("Ll)d,q,=%+(,T)d,加工〃

所以““+a”=2q+(m+"-2)d,am-an=(rn-ιi)d,d=-~,am-an+(m-n)d.

n—m

故②③④成立，①不成立.

故選：C

11.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)｛可｝是等差數(shù)列，且q+∕=12,O3+H4=18,則%+%=(????)

A.-12B.OC.6D.24

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知4+%，/+4，%+4成等差數(shù)列，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】.｛%｝是等差數(shù)列，ai+a4,%+4成等差數(shù)列，

5+//AJ

.?.2((?+?)=(a1+α2)+(a5+(76),a5+ah=36-12=24.

故選：D.

12.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)q,=2"-9,則當(dāng)數(shù)列｛助｝的前"項(xiàng)和取得最小值時(shí)，〃的值為(????)

A.4B.5

C.4或5D.5或6

【答案】A

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到解不等式組即可求出結(jié)果.

l?÷.≥0

【詳解叫fd<2,<00,即∣[2(2"n+-9>≤90≥0,解得7六町9，因?yàn)樾?,故I.

故選：A.

13.(2022?廣東珠海?高二期末)已知數(shù)列｛αj,4=1,點(diǎn)P(%,%J在直線y=x+g上，則%=(????)

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由題意可得4M-%=J,從而可得數(shù)列｛4｝是以T為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，從而可求出色

【詳解】因點(diǎn)尸(4,/)在直線y=x+；上，

所以4+]??，

所以數(shù)列｛4｝是以3為公差，I為首項(xiàng)的等差數(shù)列，

所以=l+8xg=5,

故選：D

二、多選題

14.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))(多選)已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為勺=〃+加(a,。為常數(shù))，則下

列說法正確的是(????)

A.若a2>al,則%>4

B.若4>%，貝∣J%>aι

C.若03>q,則02>01

>a

D.若02>01,則4+%\

【答案】ABC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)可判斷｛為｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性即可逐一判斷.

【詳解】由4=α+加,知/+∣="+M"+l）,???——4=力，故數(shù)列｛.｝是等差數(shù)歹U,且公差為由

由等差數(shù)列的單調(diào)性可得，若生>4,則公差d>0,所以數(shù)列｛4,｝是遞增數(shù)列，故A,B一定成立；

若?3>%，則α3-α,=2√>0,所以數(shù)列｛α,,｝是遞增數(shù)列，所以%>4，故C一定成立；當(dāng)令<。時(shí)，％+?2>?,

不成立，故D不一定成立.

故選：ABC.

三、填空題

15.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）設(shè)｛α,,｝是公差為-2的等差數(shù)列，如果％+%+%++4”=50,那么

a3+ab+α9++α99=.

【答案】-82

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解.

【詳解】；｛4“｝是公差為一2的等差數(shù)列，

ɑ3+%+4++。臾=（4+）+（q+2^）+（%+）++（見7+2d）

=q+q+Qj+++33X2d=50—132=—82.

故答案為：-82

16.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，若%+/+%+&+%=450,則卬+%=.

【答案】180

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求值.

【詳解】由q+%=%+%=%+%=2%，??+?4+a5+a6+a1=5α5=450,

所以％=90,則q+%=180.

故答案為：180

17.（2022■全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若TH和2”的等差中項(xiàng)是4‘2/"和"的等差中項(xiàng)是5‘則，"和"的等差中

項(xiàng)是.

【答案】3

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程組求參數(shù)機(jī)、〃，即可得結(jié)果.

06/20

（"z+2"=8,f加=4

【詳解】由題設(shè)，CS，可得C，

[2〃?+〃=10[〃=2

所以m+/=6,故冽和〃的等差中項(xiàng)是3.

故答案為：3

18.（2022?上海?華師大二附中高二階段練習(xí)）“《+%=4+%”是“數(shù)列為、出、/、為依次成等差數(shù)列“

的條件.

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)特殊值法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷可得出結(jié)論.

【詳解】取4=1,a2=2,α3=4,%=5,則4+4=%+%，但數(shù)列4、%、處、見不成等差數(shù)列，

即“4+4=%+4"R“數(shù)列4、出、/、%依次成等差數(shù)列“；

若數(shù)列%、%、%、%依次成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+4=/+生，

即“％+%=/+%”<="數(shù)列6、右、％、。4依次成等差數(shù)列

因此，“4+%=電+。3”是'數(shù)列4、%、的、應(yīng)依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

19.（2022?陜西?渭南市三賢中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在數(shù)列｛%｝中，al=l,all+l=an+l,則喙等于

【答案】2012

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義推知數(shù)列｛α,J的首項(xiàng)是1,公差是1的等差數(shù)列，即可得到通項(xiàng)公式并解答.

【詳解】由%+∣=α,,+l,得又4=1,

；?數(shù)列｛叫是首項(xiàng)4=1，公差d=l的等差數(shù)列，

；?等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a,,=l+（n-l）-l=n,故?l2=2012.

故答案為：2012.

20.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列｛能｝滿足4=：,am=/，則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為_____.

2十。

【答案_】4=一3]

n+?

111[1121

【分析】對(duì)遞推數(shù)列兩邊同時(shí)去倒數(shù)，可得-------=￡，所以數(shù)列一是首項(xiàng)為彳，公差為:的等差數(shù)

%43M33

列，即可求出數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式.

31a+311

【詳解】因?yàn)閝=9,“e=一七，所以一=2lt一=5+一,

3

2?+?+l34,,3an

即」一一，=:，所以數(shù)列是首項(xiàng)為q，公差為!的等差數(shù)列，

?÷l3[《J33

121/×/?+13

所以一=τ+-(zj-1)=-^-,所以4=--.

a”JJ5n+1

一.3

故答案為：a“=-----"

n+l

四、解答題

21.(2022.全國(guó).高二課時(shí)練習(xí))已知｛%｝是等差數(shù)列.

(1)2%=%+%是否成立？2〃5=4+“9呢？為什么？

(2)2α,,=α,τ+，.(〃>1)是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？

(3)2%=%+cιll+k(π>?>0)是否成立？你又能得出什么結(jié)論？

【答案】(1)都成立，答案見解析；

(2)成立，答案見解析；

(3)成立，答案見解析.

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算判斷作答.

(2)(3)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算判斷，并寫出結(jié)論作答.

⑴

都成立，

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為％,公差為"，則%=4+(〃-Dd,

則a5=al+4dfa3=al+2dfa1=al+6dfα9=+8J,

因此2%=2%+8J,%+%=2%+8d,ax+a9=2al+8〃,

所以2%=%+%,2a5=al+a9.

(2)

成立，

由(1)知，2?=+(九―l)d[=2q+2(九—l)d,

當(dāng)">]時(shí)，?,1÷4?+[=4+(〃-1—1)d+4+(〃+1—1)Q=2“1+2(〃-1)Q,

UO∕∕Λ√

所以24,,=%τ

由此可得，在等差數(shù)列中，除首項(xiàng)和末項(xiàng)外，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).

(3)

成立，

由(1)知，1an=2[al+(zj-l)√]=2ɑl+2(n-l)t/,

當(dāng)”>Z>0時(shí)，*+a,l+k=a↑+(〃-&-1”+4+(〃+%-l)d=2q+2(π-l)t/,

所以4=%+%,

由此可得，在等差數(shù)列中，除首項(xiàng)和末項(xiàng)外，每一項(xiàng)都是距它等距離兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).

22.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知在等差數(shù)列｛《｝中，公差d>0,其前〃項(xiàng)和為S,,,且%?4=45,

%+g=14.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵通過。=工構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列｛〃｝,求非零常數(shù)c,使色｝也為等差數(shù)列.

/?+(?

【答案MIM=4〃-3；

⑵c=-；.

QI=5

【分析】(1)利用等差中項(xiàng)性質(zhì)及已知求得一C，即可得通項(xiàng)公式；

Ia3=9

(2)由(1)寫出｛%｝前三項(xiàng)，根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)求出參數(shù)C即可.

(1)

a2a3=45出=5

由題意且d>0,可得《C或(舍),

q+4=出+%=14,3=9

所以d=4,則q=l,故q,=4"-3.

(2)

Cw(2n-l)

由(1)知：s,,=n(2"-l),則仇=-?

n+c〃+c

所以4=/一，?=—^―,4=*_.

1+c~2+c3+c

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，所以a+&=2優(yōu)，即可得C=-1或C=O(舍)，

1+c3+c2+c2

所以"=2〃是等差數(shù)列，有c=-J?

23.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在等差數(shù)列｛q,｝中，已知q=70,α21=-100.

CD求出首項(xiàng)《與公差d,并寫出通項(xiàng)公式；

(2)｛4｝中有多少項(xiàng)屬于區(qū)間[-18,18]?

【答案】⑴4=100,d=-10,an=-IOn+110；(2)3項(xiàng).

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為％利用已知條件列出方程組，解出6,d,利用等差數(shù)列的公式求

解即可；(2)由T8≤-10”+100M18,求出滿足題意的"，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為乩

由%=70,?1=-100,

徨J〃4=4+3d=7°

付L=q+20d=TO0'

解得4=Ioo,d=-10,

.?.an-4+("-l)d=100+(n-l)(-10)=-10n+l10.

(2)由-18≤T0w+110≤18,

W9.2≤/2≤12.8,

nWN*，

.?."=10,11,12共三項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí).屬于較易題.

【能力提升】

一、單選題

1.(2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為“，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列圾｝滿足2="k?

an

若對(duì)任意的"∈N*,都有或≥4成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(？??？)

A.[-6,-5]B.(-6,—5)C.5,—4]D.(—5,-4)

【答案】B

【分析】依題意，對(duì)任意的〃∈N*,都有〃≥d成立，即一≥一,利用數(shù)列｛q｝的單調(diào)性可得為<o,%>o,

an。6

即可求解.

10/20

【詳解】由已知d=x=ι→ι,

anan

1111

對(duì)任意的〃∈N,都有或≥d成立，即一+1≥-+1,即一≥一,

an。6ana6

又?jǐn)?shù)列｛q｝是首項(xiàng)為。，公差為1的等差數(shù)列，

.?.an=a+n-?,且｛4“｝是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)“→+∞時(shí)，^~→0,

fa+5<O

.?.?<0,α>0,即〈,解得-6<α<-5.

7[a+6>0

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要利用數(shù)列的單調(diào)性

結(jié)合已知條件得到％<0,%>0?

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,…，190和2,8,14,....200,由這兩個(gè)等

差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（????）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解析】根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的公差，得到公共項(xiàng)的公差，從而得到新數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過新數(shù)列中的項(xiàng)

小于等于190,從而得到〃的范圍，得到答案.

【詳解】等差數(shù)列2,6,10,...?190,公差為4,

等差數(shù)列2,8,14.........200,公差為6,

所以由兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，

其公差為12,首項(xiàng)為2,

所以通項(xiàng)為q=12〃-10,

所以12〃—104190,解得〃杉，

而〃eN",所以〃的最大值為16,

即新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為16.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查求兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列，屬于中檔題.

3.（2022.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)東戴河分校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且q+%+%=41,則

tan(α3+a7)=(????)

A.√3B.-3C.-√3D.昱

33

【答案】C

【分析】由題知見=三4τr，進(jìn)而根據(jù)為+%=2%結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛q｝為等差數(shù)列，且4+%+佝=4萬

所以4+%+為=3%=4"，解得%=與，

LL…/?C8;F(_7VI71[T

所以Ian(%+%)=Ian2a5=tan—=tanI3^?-?-I=-tan?-=-√3.

故選：C

4.(2022.山東.萊州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試)數(shù)列｛q,｝是等差數(shù)列，%=642>O,數(shù)列g(shù),｝滿足

?=aπ+lan+2an+3,∏wN*，設(shè)S,為的前〃項(xiàng)和,則當(dāng)5,取得最大值時(shí)，〃的值等于(????)

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【解析】由%=6%>0,得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系以及公差的范圍，然后求得通項(xiàng)公式，判斷凡也的正負(fù),

再利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系求解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為乩

因?yàn)棣?=6?|,>O,

所以q+4d=6(q+1W)>0,即4∣=-■,

因?yàn)?>%，

所以d<0,

所以==

當(dāng)1≤"≤13時(shí)，。〃>。，當(dāng)"≥14時(shí)，?！?lt;0,

所以々>%>...>Z?IO>O>?13>?l4>...,

又因?yàn)?。I+%=%3須(《12+《5)=?.3?.4y>0>

所以s∣2>Sio,故Slt中S12最大9

故選：D

12/20

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，還考查邏輯推理的能力，屬于

中檔題.

5.(2022.廣東深圳.高二期末)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)

列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.例如“百層球堆垛”：第一層有1個(gè)

球(4=1),第二層有3個(gè)球(出=3),第三層有6個(gè)球(％=6),第四層有10個(gè)球(%=10)，第五層有15

個(gè)球3=15),…，各層球數(shù)之差{。用-。“}：a2-al,a3-a2,a4-a3,…即2,3,4,5,…是

等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1,3,6,12,23,41,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為(????).

A.51B.68C.106D.157

【答案】C

【分析】對(duì)高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列{。向-q,},直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞

推關(guān)系進(jìn)行求解.

【詳解】現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1,3,6,12,23,41,

aaaa

各項(xiàng)與前一項(xiàng)之差{0,,+∣-q,}:42-。1，3~2<t~3>%,ab-a5,...

即2,3,6,11,18,

3一2,6—3,11—6,18—11,...

即1,3,5,7,…是等差數(shù)列，

所以％=41+(18+9)=68,?=68+(18+9+11)=106.

故選：C.

二、填空題

6.(2022?河北?高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí))從1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，可組成不

同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為—.

【答案】8

【分析】分別根據(jù)公差為1,-1,2,-2進(jìn)行分類討論，由此即可求解.

【詳解】解：從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，

可組成公差為1的等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為(】，2,3),(2,3,4),(3,4,5),共3個(gè)，

可組成公差為T的等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為(3,2,1),(4,3,2),(5,4,3),共3個(gè)，

可組成公差為2的等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為(1,3,5),共1個(gè)，

可組成公差為-2等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為(5,3,1),共1個(gè)，

綜上，可組成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)共有3+3+1+1=8個(gè)，

故答案為：8.

7.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)αb,C成等差數(shù)列，則點(diǎn)尸（2,-1）到直線以+辦+C=O的最大距

離是—?

【答案】0

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式把距離表示出來，再利用基本不等式求出最值.

【詳解】由a,b,C成等差數(shù)列，得a+c=2i>,所以c=2∕>-

又點(diǎn)P（2,T）到直線依+外+c=0的距離是

d∣2Λ-6+C∣?2a-b+2b-a?∣α+?∣

?∣a2+h2?∣a2+b2?∣a2+b2'

由α+b?≤2（/+/）,B[Ja2+b2≥^a+b2,

所以J∕+82出…當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以萬壽Ti，

√2l1

即點(diǎn)P（2，-1）到直線0x+勿+c=0的最大距離是應(yīng).

故答案為：√2.

8.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列｛q,｝中，q=3,?0=21,已知該數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于"的一次

函數(shù)，則?）19=?

【答案】4039

【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)知｛%｝為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件求公差，并寫出其通項(xiàng)公式，

再求《2019?

【詳解】因?yàn)閿?shù)列包｝的通項(xiàng)公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，

所以數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,則d=??子=牛=2.

IU—1

所以a”=3+2（π-l）=2n+l,則a2nt9=2×2019+l=4039.

故答案為：4039

9.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛q,｝滿足％+%+%>0,a1+aω<0,若%>0,則項(xiàng)數(shù)〃的

最大值是.

14/20

【答案】8

【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)有2%+4=3%>0、%+4°=∕+6<0,即可判斷數(shù)列的正負(fù)邊界位置,

即可得結(jié)果.

【詳解】由％+/+“9=2%+4o=3%>。，而為+《0=4+”9<。，

所以的>0,%>0,為<0,?<0,故等差數(shù)列｛4｝遞減,

所以，對(duì)于等差數(shù)列｛《,｝,要使4>0最大"值為&

故答案為：8

三、解答題

,

10.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知在數(shù)列｛4,,｝中，d,=∣,an=2--（n≥2,n^N）,數(shù)列圾｝滿足

a

5n-?

2=-l~j?（"wN"）.

⑴求證：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛q｝中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）最小值-1,最大值3,理由見解析

【分析】⑴求b,,-b,?,化簡(jiǎn)后由等差數(shù)列定義證明

（2）先求他｝的通項(xiàng)公式后得出｛可｝的通項(xiàng)公式，結(jié)合單調(diào)性求解

(1)

,

證明：因?yàn)?=2--—(n≥2,n∈^)1hll=-^(ne∕V'),

?-/'4-1

b-b,=---------=7----?------

a

所以當(dāng)“≥2時(shí)，?-ι?-1-ιL__Ll1-

L

又4=-zT=所以數(shù)列｛〃｝是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)歹W

41Z2

⑵

712

由⑴知b,,="?貝k"=ι+祀=ι+亦7?

）在區(qū)間（-8和6,+8）上單調(diào)遞減,

設(shè)函數(shù)〃力=1+於亍,“X

結(jié)合函數(shù)“X）的圖象可知,

當(dāng)〃=3時(shí)，a〃取得最小值-1；

當(dāng)〃=4時(shí)，?！比〉米畲笾?.

11.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）無窮數(shù)列｛4｝滿足：。〃+口+3。川+?！?4=。且q≠-2.

（1）求證：為等差數(shù)列;

IA+2j

（2）若々⑼為數(shù)列｛4｝中的最小項(xiàng)，求4的取值范圍.

（40414043、

【答案】（1）證明見解析；（2）-石不，-而τ.

?.4?U4>U∕<UN>1J

【分析】（I）利用遞推公式證得一?二=1,

根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)論;

%+ι+24+2

（2）由于數(shù)列一LJ是以1為公差的等差數(shù)列，所以若=>0,則數(shù)列一LJ是遞增數(shù)列，所以

l4+2j4+2l?+2j

+2020<0

1.?14+2

數(shù)列?無最大項(xiàng)，因此｛4｝中無最小項(xiàng)，故F<O,然后結(jié)合題意即可得到｛

4+2021>0

4+2

解不等式組即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)椤?,+~,,+34,,,∣+α,,+4=0,則一31-α,,-4

而“I]__1_=一一4+1

所以。e+2%+2-(~+2)(α,,+2)

,4,一%

+2+4

?÷∣?(?+?÷l)

=___________。〃一％___________

-3?！?|一?！?4+2(。〃+?！?1)+4

=1,

故數(shù)列一Lj是以1為公差的等差數(shù)列；

Ia"+2J

（2）若一二>0,則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列1―k7］無最大項(xiàng)，因此｛q｝中無最小項(xiàng)，故

4+2∣A+2Jl?+2j

-?7<θ.又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，且%）21為數(shù)列｛4｝中的最小項(xiàng)，所以一?是數(shù)列,一LJ中

4+2IA+2J?ι÷2IA+2,

16/20

—+2020<0

%(PI1Q

+2-?_=___A_+"1,則<?!+2J4Θ40414043

的最大負(fù)項(xiàng)，從而有FftJG，解得-----<

q+l2\202012021

---------->0—÷2021>0

、“2022+2?1+2

故U4的…取…值共氾圍(為上404痢1'一40麗43、>

12.(2022?四川省成都市新都一中高一期中(理))已知數(shù)列｛q｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=6-%,

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列他,｝滿足；〃,=(4+1)(4+3),請(qǐng)問是否存在正整數(shù)機(jī)，使得2,+8=口2-%1成立？若存在，

請(qǐng)求出正整數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(IM,=2"-l("wN*)

(2)存在，m=2

【分析】(1)根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的等差中項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

(2)根據(jù)已知條件及(I)的結(jié)論，得出數(shù)列他,｝的通項(xiàng)公式，假設(shè)存在正整數(shù)機(jī)，使得以+8=超+2-6,向

成立，由此列出關(guān)于〃，的方程即可求解.

(1)

*

?.?6Zj=6—%,即%+°3=6,***2。2=6,..a?=3.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,(4*0)則

■:aj=a2?<∕l4,(Q2+3d)~=a2?(α2+12rf).

：.d2=2d.解得d=O(舍)或d=2.

??ClT—a?—d=3—2—1,

'

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為：αn=l+(∕1-l)×2=2n-l(w∈N).

⑵

由(1)知，/=2〃一l("eN"),

所以d=(απ+l)(0,,+3)=2n(2n+2)=4n(n+1),

假設(shè)存在正整數(shù)，"，使得b,,l+8=?,,,+2-bg成立,

即4m(m+l)÷8=4(∕w+2)(w+3)-4(∕w+l)(w+2).

化筒整理，得/—帆―2=O,Bp(/72—2)(∕τz÷1)=O,解得m=2或m=一1(舍).

所以存在正整數(shù)機(jī)=2,使得0+8=?ztt+2-bm+l成立.

13.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))對(duì)任意"∈N*,定義

t,

(1+揚(yáng)"Y+C?向d?(揚(yáng)2+...+￡〉(√2)+...+??(√2Γ=α,,+?√2,其中%,bl,為正整數(shù).

(1)求42+2爐，42+2仇2的值：

(2)探究Ia「-242|是否為定值，并證明你的結(jié)論；

2

(3)設(shè)%=*,是否存在正整數(shù)機(jī),〃(心〃?<〃)，使得3?！?3C,成等差數(shù)列，若存在，求出〃〃的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴崎+2短=99,αj+2∕√=577;⑵是定值，答案見解析;(3)答案見解析.

【分析】⑴由題意求出生也