《17.1勾股定理》課件（兩套）

第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）123

相傳兩千多年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀(guān)察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖2-1圖2-2（1）觀(guān)察圖2-1

正方形A中含有

個(gè)小方格，即它的面積是

個(gè)單位面積。正方形B的面積是

個(gè)單位面積。正方形C的面積是

個(gè)單位面積。

99918你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同伴交流交流。ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1-1圖1-2分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1-1圖1-2（單位面積）把C看成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半

ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖2-1圖2-2（2）在圖2-2中，正方形A，B，C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)兩圖中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？

SA+SB=SC等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系？a2+b2=c2PQCR

如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)也均為1.你能求出正方形R的面積嗎？(1)用了“補(bǔ)”的方法PQCR用了“割”的方法Q

等腰三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？PQRacbSP+SQ=SR

觀(guān)察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c216925acbSP+SQ=SR

觀(guān)察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb命題1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.我們?nèi)绾巫C明這個(gè)命題？下面我們用拼圖法來(lái)證明這個(gè)猜想：

用4個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的大正方形如下圖:ababababccccCCCC證法一：aaaabbbbcccc又∵S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4ab+c2

=c2+2ab整理得：a2+b2=c2∴a2+b2+2ab＝c2+2ab∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab用趙爽弦圖證明證法二：abc∴a2+b2=c2aabbcc證法三、美國(guó)第20任總統(tǒng)伽菲爾德證法：

∵

s梯形=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)

s梯形=2×ab+c2=ab+c2∴a2+ab+b2=ab+c2

∴a2+b2=c2=a2+ab+b2證法四：畢達(dá)哥拉斯證法:abcaabbcＳ大正方形=4×ab+a2+b2

=2ab+a2+b2Ｓ大正方形=4×ab+c2=2ab+c2∵Ｓ大正方形=Ｓ大正方形∴2ab+a2+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理：我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱(chēng)為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為股，斜邊稱(chēng)為弦結(jié)論變形：c2

=

a2

+

b2abcABCa2

=

c2－b2b2

=

c2－a2勾股世界畢達(dá)哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。

兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱(chēng)勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。

在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為“勾”，下半部分稱(chēng)為“股”．所以古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”．因此就把這一定理稱(chēng)為勾股定理.勾股勾股弦

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中?！铩吨荀滤憬?jīng)》中還記載了公元前六、七世紀(jì)的榮方與陳子的對(duì)話(huà)，再次提到勾股理。——陳子定理★古巴比侖人在公元前19世紀(jì)也發(fā)現(xiàn)此定理。具調(diào)查在公元前1900年的一塊巴比倫上午泥板中，記載了15組勾股數(shù)。所以古巴比倫人才是勾股定理最先的發(fā)現(xiàn)人。★定理從提出到現(xiàn)在的兩千多年中，已經(jīng)找到證明400多種，由魯密斯搜集整理的《畢達(dá)哥拉斯》一書(shū)中就給出370種不同證法?！锕垂啥ɡ碛址Q(chēng)商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理百牛定理、驢橋定理、埃及三角形定理

學(xué)以致用：1.求圖中字母所代表的正方形的面積。2480ABB400625∟81144A2252255680結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7=10S5=s1+s2=4S6=s3+s4=62、3、求出下列直角三角形中未知的邊．610ACB8A15CB30°2245°①在解決上述問(wèn)題時(shí)，每個(gè)直角三角形需知道幾個(gè)條件？②直角三角形哪條邊最長(zhǎng)？8171兩個(gè)條件斜邊方法小結(jié):可用勾股定理建立方程.4、在△ABC中,∠C=90°，a=6,b=8,則c=＿＿6、在一個(gè)直角三角形中,兩邊長(zhǎng)分別為6、8,則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)_______1010或5、一直角三角形的一直角邊長(zhǎng)為6，斜邊長(zhǎng)比另一直角邊長(zhǎng)大2，則斜邊的長(zhǎng)為_(kāi)____。107、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=_______；④若a∶b=3∶4，c=10則a=________,b=________。13201168補(bǔ)充：如圖,分別以直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓,這三個(gè)半圓的面積之間有什么關(guān)系?為什么?S1=

（

c）2S2=

（

b）2S3=

（

a）2∵

a2+b2=c2∴

S1=S2+S3cbaS1S2S3收獲與反思想一想我們這一節(jié)課有哪些收獲？1.必做題：習(xí)題18.1第1,7題。2.選做題：課本“閱讀與思考”，了解勾股定理的多種證法。布置作業(yè)：謝謝！

這棵樹(shù)漂亮嗎？如果在樹(shù)上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹(shù)．也許有人會(huì)問(wèn)：“它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？”仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹(shù)干和樹(shù)枝上，整棵樹(shù)都是由下方的這個(gè)基本圖形組成的：一個(gè)直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形．

這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理．

劉徽在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不移動(dòng)也．合成弦方之冪，開(kāi)方除之，即弦也．令正方形ABCD為朱方，正方形BEFG為青方．在BG間取一點(diǎn)H，使AH=BG，裁下△ADH，移至△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是為“出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)”，其余不動(dòng)，則形成弦方正方形DHFI．勾股定理由此得證．劉徽的證法返回abc①②③④⑤證法二無(wú)字證明青出朱入朱出朱方青方青入青入青出青出證法三、青朱出入圖朱入朱出證法六、拼圖游戲

又∵這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a＋b，所以面積相等，即⑵⑴證明:圖1的大正方形的面積為：圖2的大正方形的面積為：圓柱(錐)中的最值問(wèn)題例1、有一圓柱，底面圓的半徑為3cm，高為12cm，一只螞蟻從底面的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為多少？ABBAC一只螞蟻從距底面1cm的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為多少？ABBAC例4、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線(xiàn)最短？最短路線(xiàn)長(zhǎng)為多少？ABA1B1DCD1C1214長(zhǎng)方體中的最值問(wèn)題如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c（a＞b＞c），你能求出螞蟻從頂點(diǎn)A到C1的最短路徑嗎？從A到C1的最短路徑是例1、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？201015BCA分析根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線(xiàn)有兩種情況(如圖①②),由勾股定理可求得圖1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625

BAB=√102+252=√725

②A(yíng)2010155例2、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線(xiàn)路是多少？BAABC531512臺(tái)階中的最值問(wèn)題∵AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13.DABC螞蟻從A點(diǎn)經(jīng)B、C、到D點(diǎn)的最少要爬了多少厘米？（小方格的邊長(zhǎng)為1厘米）GFE假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走3千米，在折向北走到6千米處往東一拐，僅走1千米就找到寶藏，問(wèn)登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米？AB82361小溪邊長(zhǎng)著兩棵樹(shù)，恰好隔岸相望，一棵樹(shù)高30尺，另外一棵樹(shù)高20尺；兩棵樹(shù)干間的距離是50尺，每棵樹(shù)上都停著一只鳥(niǎo)，忽然兩只鳥(niǎo)同時(shí)看到兩樹(shù)間水面上游出一條魚(yú)，它們立刻以同樣的速度飛去抓魚(yú)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)目標(biāo)。問(wèn)這條魚(yú)出現(xiàn)在兩樹(shù)之間的何處？如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2。（1）求高AD的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)三角形的面積。ABDC若等邊三角形的邊長(zhǎng)是a呢？如圖，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積。ABC151413如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AB=50cm，BC=30cm，CD⊥AB于D，求CD的長(zhǎng)。ABCD已知，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A(yíng)出發(fā)向西北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A(yíng)出發(fā)向東北方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距（）

A、25海里 B、30海里

C、35海里 D、40海里一個(gè)圓柱狀的杯子，由內(nèi)部測(cè)得其底面直徑為4cm，高為10cm，現(xiàn)有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管

_露出杯口外.(填“能”或“不能”)1、放學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿著東方向和南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎用20分鐘到家，小紅和小穎家的距離為（）

A、600米B、800米

C、1000米D、不能確定2、直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、80/13厘米；D、60/13厘米；CD補(bǔ)充練習(xí)：例2：如圖，求矩形零件上兩孔中心A、B的距離.21214060ABC?折疊四邊形例1：折疊矩形紙片，先折出折痕對(duì)角線(xiàn)BD，在繞點(diǎn)D折疊，使點(diǎn)A落在BD的E處，折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的長(zhǎng)。DAGBCE例2：矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長(zhǎng)。ABCDFE例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對(duì)折，折痕為EF，展開(kāi)后再沿BG折疊，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的長(zhǎng)。ABCDEFA1G正三角形AA1B例4：邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的X軸和Y軸上，若沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交X軸于點(diǎn)D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線(xiàn)解析式。OCBAB1D123E折疊三角形例1、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎？CABDE例2：三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，將AB向AC方向?qū)φ郏賹D折疊到CA邊上，折痕CE，求三角形ACE的面積ABCDADCDCAD1E勾股定理的拓展訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=900，∠DBC=900

，AD=3，AB=4，BC=12，求CD；ABCD2．已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。3、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC=10cm,求△ABC的面積和AC邊上的高。ABCD131310H提示：利用面積相等的關(guān)系4、已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是6cm，(1)求高AD的長(zhǎng)；(2)S△ABCABCD解：(1)∵△ABC是等邊三角形，AD是高在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理5、如圖，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的長(zhǎng)。解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°∴BD=AD=4在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理在Rt△ABC中，又AD=8ABCD30°86、如圖，在△ABC中，AB=AC，D點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：AD2-AB2=BD·CDABCD證明：過(guò)A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD歷史因你而改變學(xué)習(xí)因你而精彩第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）

兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱(chēng)勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955勾股世界國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前

兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱(chēng)勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為"勾"，下半部分稱(chēng)為"股"。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”.勾股千古第一定理數(shù)與形的第一定理導(dǎo)致第一次數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)由計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明是第一個(gè)不定方程畢達(dá)哥拉斯定理勾股（商高）定理看一看

相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀(guān)察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話(huà)人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀(guān)、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法。

有趣的總統(tǒng)證法ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖2-1圖2-2（1）觀(guān)察圖2-1

正方形A中含有

個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積。

正方形B的面積是

個(gè)單位面積。正方形C的面積是

個(gè)單位面積。99918你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同伴交流交流。ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖2-1圖2-2分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖2-1圖2-2（單位面積）把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖2-1圖2-2（2）在圖2-2中，正方形A，B，C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積ABC圖3-1ABC圖3-2分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（面積單位）一般的直角三角形三邊為邊作正方形ABC圖3-1ABC圖3-2把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為7的正方形面積加1單位面積的一半（面積單位）思考：面積A，B，C還有上述關(guān)系嗎？ABC圖3-1ABC圖3-2（1）你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？與同伴進(jìn)行交流。議一議

ABCacbSa+Sb=Sc

觀(guān)察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2acb

觀(guān)察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2Sa+Sb=Sc┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)1.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169做一做：

P62540026xP的面積=______________X=____________225BACAB=__________AC=__________BC=__________251520比一比看看誰(shuí)算得快！2.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):8x171620x125x做一做１、如圖,一個(gè)高3米,寬4米的大門(mén),需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條,則木條的長(zhǎng)為