四川省內江市2023屆高三第一次模擬考試數學（理）試題（解析版）

內江市高中2023屆第一次模擬考試題

數學（理科）

L本試卷包括第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分，共4頁.全卷滿分150分，考試

時間120分鐘.

2.答第I卷時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的K答案X標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它K答案H標號；答第∏卷時，用0?5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)

域內作答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上.

3.考試結束后，監(jiān)考員將答題卡收回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題所給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡的指定位置.）

1,復數Z滿足（l+3ι）z=（l+2ι）F,則目=（）

AeB1C.顯

223

K答案HA

K解析D

R祥解』利用復數的四則運算和模長公式計算即可.

K詳析』由,=T可得Z=MI2-i_(2-i)(l-3i)-l-7i

l+3i^(l+3i)(l-3i)-10

故選：A

則集合(條

2.設集合A=IXk2-4X+3<0∣,B=Vx∈Nlog2∣<θkA)CS=()

A.(0,l]B,(0,l]u[3,÷w)c.{1,2}D.{1,3}

K答案DD

K解析D

樣解化簡集合求出即得解.

KDA,8,δkA

K詳析D解：A={ψ2-4x+3<θ}=(l,3),所以4A=(-∞,1]∣J[3,+OO),

B=<%∈N*log2∣≤0>={1,2,3},

所以(Q4)B={l,3}.

故選：D

3.此次流行的冠狀病毒為一種新發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒，國際病毒分類委員會命名為SARS—Cov-2.因為人群

缺少對新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.為了解某中學對新冠疫情防控知識的宣傳情況，增強學生

日常防控意識，現(xiàn)從該校隨機抽取30名學生參加防控知識測試，得分（10分制）如圖所示，以下結論中錯

誤的是（）

+頻數

42~~~~"^?2"^^"2"

士一口-印書十計口-Tτπ一

°345678910得分

A.這30名學生測試得分的中位數為5.5

B.這30名學生測試得分的眾數為5

C.這30名學生測試得分的平均數比中位數大

D.從這30名學生的測試得分可預測該校學生對疫情防控的知識掌握較好

K答案，D

R解析H

K樣解》根據統(tǒng)計圖可依次計算中位數、眾數和平均數，由此依次判斷各個選項即可.

K詳析D對于A,這30名學生測試得分的中位數為得分從小到大排列后，第15和16名學生成績的平均數，

由統(tǒng)計圖可知：中位數為*=5.5,A正確；

2

對于B,由統(tǒng)計圖可知：這30名學生測試得分的眾數為5,B正確；

對于C,這30名學生測試得分的平均數為6+12+50+36+21+16+18+20。、斗＞5.5,即平均數比中

30

位數大，C正確；

對于D,這30名學生測試得分的平均數、眾數、中位數均較低，由此可預測該校學生對疫情防控的知識掌

握的不夠好，D錯誤.

故選：D.

4.已知向量α=（2,4）,ZJ=（-2,771）,若α+人與〃的夾角為60，則。在α+〃方向上的投影為（）

A6R百「2√3

D.-------------

333

K答案』c

K解析】

K祥解》根據向量夾角的坐標表示可構造方程求得機的值，根據投影的定義可直接求得結果.

yajrbyb團（加+4）?

R詳析H-,?+/?=（0,∕w+4）,.?cos<d+b,b>==

∣α+?∣?∣?∣n+nr?∣m+4|2

m1m=±"

當〃2>Y時，I------T=~,解得:

√4+∕nI23

若加=一^1,.?.cos<a+h,b>=m???/?

I2<0不合題意,.?"%=包

3√4+∕√3

m1??/?

當〃?<-4時,I,二T，解得：m=±——（舍）；

√4+∕n-23

c

m=空，：.b

綜上所述:-2,

3

c°s<a+…、QXL空

.?)在α+∕j方向上的投影為W

V323

故選：C.

2兀

5.ABC的內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,己知B=——,OCSinA=8sinB,。=4,則匕=()

3

A.4B.2√7C.2√3D.2及

K答案》B

K解析R

R祥解H利用正弦定理角化邊，可求得C?的值，再由余弦定理即可求得K答案Il.

K詳析D解：因為人CSinA=8sin3,所以a〃c=8Z?,即αc=8.

又α=4,所以c=2,

由余弦定理得b?="+c?-2αccos8，

從而8=/^+22-2χ8χcos年=2√7.

故選：B

6.己知數列｛α,,｝滿足：4=1024,點(〃%)在函數y=∕L)(α∈R)的圖象上，記S”為｛4｝的前"

項和，則S”-Sg=()

A3B.4C.5D.6

K答案，A

K解析H

K祥解H由卬以及R解析』式求出凡=2∣j,再由S”-Sg=4o+即得出K答案決

K詳析》由題得q=1024=gα,解得〃=2"，故4,=2∣j,所以與-Sg=q°+a”=2∣+2°=3

故選：A.

K解析H

R祥解力由函數為偶函數可排除AC,再由當x∈(0,l)時，/(x)<0,排除D,即可得解.

R詳析2設y=∕(χ)=5號，則函數/(x)的定義域為｛x∣x≠0｝,關于原點對稱，

又/(τ)=｛：，：；=/(x),所以函數/(χ)為偶函數，排除AC；

當x∈(0,l)時，比國(0,/+2)0,所以/(x)<(),排除D.

故選：B.

8.******多次強調生態(tài)文明建設關系人民福祉、關乎民族未來，是事關實現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標；事

關中華民族永續(xù)發(fā)展的大事.“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！?，隨著經濟的發(fā)展和社會的

進步，人們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產生的廢氣中污染物的含量為3mg∕cn√,排放前每過濾一次，

該污染物的含量都會減少20%,當地環(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0?25mg∕cm3,若要使

該工廠的廢氣達標排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數至少為()

(參考數據：lg220.3010,lg3αθ.4771)

A.10B.HC.12D.13

K答案DC

K解析H

K祥解11根據已知關系可構造不等式3x(1—20%)"≤0.25,利用指數與對數互化可得〃Nbgd],結合

5"

換底公式和對數運算法則可求得〃的最小值.

K詳析D設排放前需要過濾〃次則3x(1-20%)”<0.25,

lg12^lg3+lg4Ig3+21g20.4771+0.602

口—?8-lgl031g2-l0.903-1

又“∈N*,???"min=12,即排放前需要過濾的次數至少為12次.

故選：C.

9.“女排精神”是中國女子排球隊頑強戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神的總概括，她們在世界杯排球賽中憑著頑強戰(zhàn)斗、

勇敢拼搏的精神，五次獲得世界冠軍，為國爭光?2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本舉行，

中國隊以上屆冠軍的身份出戰(zhàn)，最終以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的成績成功衛(wèi)冕世界杯冠軍，為中華人民共和國

70華誕獻上最及時的賀禮.朱婷連續(xù)兩屆當選女排世界杯MVP,她和顏妮、丁霞、王夢潔共同入選最佳陣

容，賽后4人和主教練郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中間，她們4人隨機站于兩側，則朱婷和王夢

潔站于郎平同一側的概率為()

??1

A.B.C.一D.

2346

K答案』B

K解析H

K祥解D利用排列組合與概率的定義，進行計算即可

K詳析Il4人和主教練郎平站一排合影留念，郎平站在最中間，她們4人隨機站于兩側，則不同排法有

C；A；A；=24種，若要使朱婷和王夢潔站于郎平同一側，則不同的排法有2A；A；=8種，所以所求概率

故選：B

10.已知函數/(x)=Sintυx(cos0x-sin(yx)+；((y〉0),若函數/(x)在兀)上單調遞減，則。不能

取()

151

A.2B.-C.一D.-

3384

K答案HA

工解析H

R祥解》化簡/(χ),得/(X)=在sin(2ox+^),求出函數/*)的單調遞減區(qū)間為——

724|_8/ω8tyω

TTkτr,STTkττ1S?

伏62),再根據(|>71)=—+—,—+—(Z∈Z),得2Z+L≤。≤%+己，&eZ,再分別令3=*,

8<υω8ωω_]483

ω=-,ω=~,求出整數我,由此可得R答案H.

384

K詳析》因為/(x)=sin5(COSGX-si∏5)+g=sinG%?cos5-Sin2s+；

1.C1-cos269%11/.cc、

—sin2ωx---------------÷-=—(Sln2ωx÷cos2ωx)

2222

=(sin2ωx??+cos2ωx??)=Sin(20尤+：)，

Trτt3兀

由一+2kτt≤2coxH—≤—+2kn,k￡Z,

242

zαπku5兀E

得一+—≤x≤—+—kEZ,

8(oω869ω

πkπ5πkπ

所以函數/(χ)的單調遞減區(qū)間為—+—,—+—(&∈Z).

SωωSωω

(兀］/兀πkπ5πku

又函數/(χ)在不,兀上單調遞減，所以3,兀ɑ—+——,—+—(Z∈Z),

?/?/3ωω3ωω

πkπ,it

------1-----≤——

3ωω2

所以《kwZ,因為69>0,所以2攵4—<①≤ZH—,kwZ,

5兀kπ48

——+—≥π

8Gω

2125152

當刃=一時，得2k+-≤-≤k+-,得一≤k≤i不成立；所以口=一不可?。?/p>

343824243

當時，得因為所以時，可取到；

6y=?l2A+?L≤L≤Z+2,得-二≤k≤L,AeZ,Z=O<υ=L

343824123

當O=*時，得2A+?!?≤*≤Z+*,得0≤Z≤a,因為AeZ,所以攵=0時，?=3可取到；

8488168

當①=L時，得2氏+J≤L≤A+3,得一3≤攵<0,因為&eZ,所以Z=O時，0可取到.

444884

2

綜上所述：0不能取

故選：A

已知函數設02則()

11./(X)=/+2COSX,α=∕Q02),?=∕(θ.2),c=./(Iog022),

A.a>c>bB,a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

K答案HB

K解析》

K祥解D確定函數的奇偶性，利用導數證明函數的單調性，將c=∕(logo?22)化為/(logo?2θ?5),比較

2°2,0.2°2,logo2θ?5的大小關系即可得［答案》.

K詳析》函數/(X)=/+2COSX的定義域為R,

/(-%)=(-x)2+2COS(-Λ)=/(x),故/(x)=/+2COSX為偶函數,

當x≥0時，/(x)=2x-2si∏Λ,令

g'(x)=2-2cosx≥0,

即g(x)=2x-2sinx,x∈[0,+∞)單調遞增,故g(x)≥g(O)=O,

所以/'(X)≥O,則AX)=/+2CoSX在xe[0,+8)時單調遞增，

由于C=/(log022)=/(-Iog02().5)=/(Iog020.5)

02O2

因為2>l,0<O,2?<l,0<Iog020.5<1,

而0.2。2=*>=?,Iog020?5=?og,?<logI七=；，

即2°?2>0.2°?2>k>go2θ?5>θ,貝∣]q”>c,

故選：B

0v?<Q1

I'∣(e為自然對數的底數)，則函數F(X)=Fiy(X)—l的零點

)i?r?x?9X>Ue

個數為()

A.5B.6C.7D.3

K答案XA

R解析H

R祥解》令"χ)=f,由尸(X)=O可得〃r)=-U+l,利用導數可確定/(χ)與y=[x+l圖象的位

e~e

置關系，進而得到與y=*f+l有三個不同交點，并根據圖象可確定三個交點。采

用數形結合的方式可確定/(χ)與y=G、y=L和>=A的交點總數，即為所求的零點個數.

K詳析』設/(χ)=f,令F(X)=O可得：/(f)=-U+l;

e

設y=用》+1與y=e`相切于點(玉,eA|),

vv

(e?)'=/,；?切線斜率為e”，則切線方程為：γ-e'=e'(x-xl),即y=e"x+(I-Xje為，

k=ex,

?"?'Z?>解得：Xl=O,%|=1；

(I-XjeWχ=1

設y=&x+l與y=lnx相切于點(w,lnw),

?「(Inx)'切線斜率為一，則切線方程為：>一比々二」-(九一W)，即y二工了+也看一1,

1

攵2二-1

=e

，J工2，解得：X2^?左2二F；

Inx2-1=1

作出/(x)與y=±x+l圖象如下圖所示，

e

.?.y=?x+l與/(x)有三個不同交點，

即y=二/+1與/(r)有三個不同交點，設三個交點為r1√2√3(r1<z2<r3),

e

由圖象可知：r?<O<z2<1<r3；

/(χ)與y=%無交點，與y=J有三個不同交點，與y=J有兩個不同交點，

.?.F(χ)=4/⑴―1的零點個數為5個.

故選：A.

In點石成金D方法r點石成金h求解函數零點個數常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根的個數，即為所求零點個數；

(2)數形結合法：先對K解析』式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的

圖象，利用數形結合的方法求解.

第II卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(本大題共4.小題，每小題5分，滿分20分.)

0≤x≤2

13.若實數XJ滿足不等式組<x+y-2≥0,則z=2x+y的最小值為.

x-γ+2>0

K答案H2

K解析H

K祥解D根據不等式組可作出可行域，將問題轉化為直線y=-2χ+z在y軸截距最小值的求解，采用數

形結合的方式可求得結果.

K詳析》根據不等式組可得可行域如下圖陰影部分所示，

當z=2x+y取得最小值時，直線y=-2x+z在y軸截距最小,

由圖象可知：當y=-2x+z過A(0,2)時，在y軸截距最小，???znιhl=0+2=2.

故R答案H為：2.

14.(l+2f)[χ+f的展開式中的常數項為.(用數字作答)

K答案，50

K解析H

,再分別根據二項式定理求解(X+L]中的

IXj

常數項與χ-2項即可

+2x2fx+lT考慮(X+』)中的常數項與χ-2項.由通項公

K詳析D因為(1+2/

I×)

式7；M=C，即4+∣=C?6g,故當r=3時，(x+_l)中的常數項為C：=20,當r=4時,

(X+』)中χ-2的項系數為c：=15,故(l+2χ2)[χ+T)的展開式中的常數項為20+2x15=50

故K答案』為：50

15.已知/(x)是定義域為R的奇函數，且對任意的X都有/(%+l)=-∕(%),當O<x<l時，有

/(x)=4,+3,則/(3?5)=.

K答案，-5

R解析D

R祥解》先求出函數/(x)的周期為2,再利用函數的周期和奇偶性得解.

R詳析2解：由題得/(x+2)=∕[(x+l)+l]=-∕(x+l)=-[-∕(x)]=∕(x),

所以函數/(x)的周期為2.

所以/(3.5)=/(4-05)=/(-0.5)=T(O5)=-(405+3)=-5.

故K答案』為：—5

16.已知實數m6滿足3"=5〃=15,則服力滿足的關系有.(填序號)

@a+b>4；+(/?-1)2<2；③3α<5Z?;@a2+b2>10.

K答案D①③

K解析H

"羊解》對于①，先得到！+,=1,再利用基本不等式判斷得解；對于②③，利用作差比較即得解；對于

ab

④，先作差，再求出4VV4.3,即可判斷得解.

a

K詳析X解：3"=5”=15，「?—?θg?15,b=Iog515,

131

對于①，==°gi5+°gi55=Iog1515=1,

abIog315Iog515

所以。+匕=(。+匕)(工+，]=2+0+2>2+2、3.2=4(由于標b,所以不能取等).

IabJba?ba

所以該命題正確；

對于②，由,+』=1得α+h=M,因為。+人>4,.二出?>4.

ab

(Q—if+(Z?-1)2—2=6f2+?2—2(a+b)=(a+b)2—2ab—2(a÷?)=a2b2—4ab

=ah(ab-4)>0,所以(a—iy+(8-l)2>2,所以該命題錯誤;

對于③，3a-5∕j=31ogU5-51ogs15=?^-?^=lgl5(?-?

Ig3Ig5Ig3Ig5

=lgl5(34：-5f3)=[g[5(lgl2：-lg：43)<0,所以為<5從所以該命題正確;

Ig3?lg5Ig31g5

對于④，a2+h2-l0^(a+h)2-2ab-?0^a2h2-2ah-?Q=(ab-?)2-Π,

545-5-5259

a=log315<log39√3≈-,?.?5>3,Λ5>3,∕.5>15,Λ∕?=Iog515<log5(5)=,

25

所以4va+bv4.3,所以4va?v4.3,

所以("-1)2-11<(4.3-1)2-11=10.89-11<0,

所以/+〃<10,所以該命題錯誤.

故K答案X為：①③

K1點石成金口關鍵［點石成金上這道題關鍵是如何處理④，利用作差法得到a2+b2-?0^(ah-?)2-??,

r5-59

然后用利用a=Iog315<log,9√3=j,b=Iog515<Iog5(5)=?得到4<ah<4.3,即可求解

三、解答題(共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據要求作答.)

(-)必考題：共60分.

17.第24屆北京冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至2月20日在北京和張家口聯(lián)合舉辦.這是中國

歷史上第一次舉辦冬季奧運會，它掀起了中國人民參與冬季運動的大熱潮.某中學共有學生：1200名，其中

男生640名，女生560名，按性別分層抽樣，從中抽取60名學生進行調查，了解他們是否參與過滑雪運動.

情況如下：

參與過滑雪未參與過滑雪

力生20m

女生Xy

(1)若x21(),y≥10,求參與調查的女生中，參與過滑雪運動的女生比未參與過滑雪運動的女生多的概

舉；

(2)若參與調查的女生中，參與過滑雪運動的女生比未參與過滑雪運動的女生少8人，試根據以上2x2列

聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為“該校學生是否參與過滑雪運動與性別有關”.

附：

2

P(κ≥k0)0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

n(ad-be)"

(α+A)(C+d)(α+c)Q+d)

4

K答案U(I)一

9

(2)沒有99%的把握認為“該校學生是否參與過滑雪運動與性別有關”

K解析D

K祥解II(I)根據分層抽樣原則可確定抽取的60名學生中，女生有28人，由此可列舉出(χ,y)所有可能

的取值結果，并確定的取值結果，根據古典概型概率公式可求得結果；

x+y=28

(2)根據〈?C可求得x，>的值，進而得到加，由列聯(lián)表可求得K?弓4.286<6.635,對比臨界值

yτ=8

表可得結論.

K小問1詳析工

根據分層抽樣原則知：抽取的60名學生中，女生有60X=28人，

若xN10,y≥10,則(XM所有可能的取值結果有(10,18),(11,17),(12,16),(13,15),(14,14),(15,13),

(16,12),(17,11),(18,10),共9個；

其中滿足x>y的有(15,13),(16,12),(17,11),(18,10),共4個,

4

???參與過滑雪運動的女生比未參與過滑雪運動的女生多的概率為一.

9

R小問2詳析H

由(1)知：x+y=28,又y-x=8,.?.χ=10,y=18,

/?1=60—20—28=12>

K2_60(20xl8-12x10)2

*4.286<6.635,

"-32x28x30x30

???沒有99%的把握認為“該校學生是否參與過滑雪運動與性別有關”.

18.己知向量機=〃=(X.2x

cos—,sιn—,設函數/(x)=m?"?

22

(1)若/(x)=0,求Sinl2x+V的值;

(2)設一ABC內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且,求/(B)的取值范圍.從下面兩個

條件中任選一個，補充在上面的空隔中作答.

①Ej→tanA+tanB=O;②(2c+h)cosA+αcosB=()；注：若選擇多個條件分別解答，則按第一

acosB

個解答計分.

K答案7(1)?；

(2)選①和②K答案H都是(0,1).

K解析H

再解方程

K祥解》(1)結合向量坐標乘法及三角恒等變換，將/(x)化簡成/(元)=+g,

/(X)=O求出X的值即得解;

(2)結合正弦定理、三角恒等變換及三角形角的范圍，可解出A的值，即可求出8的范圍，即可求出/(B)

的取值范圍.

R小問1詳析Il

解：因為加=?/?sin^/，n=cos—X,sι.n2—X

IL22

x.x√3.1-cosx

所以/(x)=?=?/?sincos—+sin2—=——smx+---------

2222

π1

=SinX----+2,

1π?

當/(x)=0時，sin[x-?^+—0n,..sinX——

2I62

TTTTTTITl

所以X----=2kπ——或無----=2Zrπ+—,Z∈Z.

6666

4π

所以X=2Aπ或無=2?π+—,k∈Z.

3

鹿ππ1

當x=2kπ,A∈Z時，sin：Mx+-=sin(4Λπ+-)=-；

秒662

當X=2kπ+—,k∈ZH'f,sin?.r+-=sin(4Λπ+竺+&)=sin(4Λπ+-)=?.

3秒63662

綜合得Sin照x+/=：.

秒62

K小問2詳析H

解：若選①"c+tan4+tan8=O,

acosB

爾√3sinCsinAsinB_

由正弦定理可得二-------÷------+-----=O,

sinAcosBcosAcosB

Hn√3sinCsinAcosB+sinBcosA八

SinACoSBcosAcosB

ππGSinCSin(A+5)6SinCsinC?

sinΛcosBcosAcosBsinAcosBcosAcosB

由于sinC≠O,所以?/?cosA+sinA=O，解得tanA=-?/??

由于O<A<71,得A=空，所以0<B<二，

33

所以—乙<8—乙<四，得0<sin(6—色]+,<1,

666V6√2

即J(B)的取值范圍是(0,1).

若選②(2c+))cosA+αcosB=0,

由正弦定理可得2sinCcosA+sinBCoSA+sinAcosB=O,

即2sinCcosA+sin(A+β)=2sinCcosΛ+sinC=0,

由于SinCH(),所以COSA=—1，由于0<A<7i,得A==,所以0<8<二，

233

所以—C<B-二<二，得0<sin(8_2]+」<l,

666I6J2

即/(B)取值范圍是(0,1).

n

19.數列｛a,J滿足：αl+202+303+???+(n-l)αn,t=2+(n-2)?2(n≥2).

(1)求數列｛a,,｝的通項公式；

(2)設24J)，7；為數列｛4｝的前〃項和'若7；(加一3根+3恒成立'求實數”的取值

范圍.

K答案》(1)a,=T

(2)(-oo,l]u[2,+∞)

K解析》

K祥解Il(I)把遞推關系式里的〃換成〃+1得到一個新的遞推公式，兩個遞推相減可得到.

(2)裂項相消求和，然后求和的范圍.

K小問I詳析』

當〃=2時，α∣=2+(2—2)?2?=2

4+2ft,+3A3H----F-2)a”.2+(〃—l)α,∣-ι=2+(〃-2)?2"("22)①

Aj+2外+3%^∣----F(2)a“_2+(〃—1)ɑ,?+=2+(〃—1>2""1)②

,,l

②減①得：nan=n?2'(n>2)/.all=2(n>2)

經檢驗力也符合q=2"

綜上：a,,=2"

K小問2詳析』

.b-_____4_____=______二________」________L_

,n+nn+

■'(?-l)(β,,+1-l)(2--l)(2'-l)2-l2'-l

1-

又因為I-F—<1,又因為《<加2—3機+3恒成立，即

2-1

l≤m12-3m+3.,.m2-3m+2≥0.?.(加一2)(〃?一l)20.?."∕≤1或加之2

所以加的范圍為(-8,1]D[2,+OO)

20.已知函數/(x)=χ3+f-eR).

(1)求/(x)在區(qū)間[T,2]上的最值；

(2)若過點P(l,4)可作曲線y=∕(x)的3條切線，求實數。的取值范圍.

K答案』(1)最大值10+”,最小值-----hCi；

K解析H

工祥解II(I)求導得到函數的單調性，根據單調性求得函數的極值和端點值，比較可得函數的最值；

(2)設切點。，進而得方程2d-2∕-2χ+5-α=O有3個根，然后構造函數利用單調性、極值求解即

得.

R小問1詳析』

?//(Λ)=x3+x2-x+α(α∈R),

.?.∕,(Λ)=3X2+2X-1=(3X-1)(X+1),

由∕<x)>0解得χ>∣■或x<T,

由r(x)<o解得一ι<x<g,

又x∈[-l,2],

所以/(x)在-1,；上單調遞減，在?2上單調遞增，

(1?5

又/(-l)=α+l,/(2)=10+α,f-

.?.∕(x)的最大值是10+α,最小值是―一+。；

K小問2詳析X

設切點Q(Xo,片+片一方+a),則∕[Λ0)=3片+2%)-1,

則切線為y-xj+內)-〃=(3x；+2x0—,

4—片—+XQ—Q=(3尤：+2xθ—1)(1一兀0)

整理得—2xθ—2Λ^O+5—α=0,

由題意知此方程應有3個解，

令χ∕(x)=2X3-2X2-2x+5-a,

則”(x)=6χ2-4x-2=2(3x+l)(x-l),

由/Z(X)>0解得x>l或x<-g,由"(x)<()解得-g<x<1,

-?,-?k0,+∞)上單調遞增,在1-1)

函數〃(x)在-J上單調遞減,

?√\3/

145

.?.當X=-g時，〃(x)有極大值，且極大值為〃------a

27

當X=I時，〃(x)有極小值，且極小值為從(1)=3-。；

要使得方程〃(X)=O有3個根,

比…。

則V27

〃⑴=3-a<0

145

解得3<α<—,

27

(145

.?.實數。的取值范圍為3,方

21.已知函數/(x)=αr+cosx(0≤xWτι,aeR).

(1)當α=(時，求/(x)的單調遞增區(qū)間；

若函數/(x)恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為利"，求2加-〃的取值范圍.

案』⑴(力和垮5π，π

R答

6

(2)-3

2,

K解析D

K祥解D⑴求導后，根據了'(X)正負可確定/(x)的單調遞增區(qū)間;

求導后，根據正弦函數對稱性可知Sin玉=SinX2=。且玉+*2=π,并可確定/(x)的單調性，由此

可得〃?,“，進而將2加一〃化為3x∣SinXl-兀SinXl+3COS玉，令g(x)=3xsinx—兀SinX+3COSx,

0<χ<p利用導數可求得g(x)單調性，進而確定g(x)的取值范圍，即為2根一〃的取值范圍.

K小問1詳析』

當時，()則用

Q=gfX=gχ+COSX,X)sinx,

,

二當x∈(θ,?^)u停',兀1時，f?x)>0；當尤∈(聿,?時，∕(x)<0i

?/(X)的單調遞增區(qū)間為(0,部忤,冗)

K小問2詳析D

,

∕(x)=α-sinx,?/(χ)若有兩個極值點分別為/,x2(xι<x2),

兀

則SinXl=SinX2=。，%/關于X=I對稱，

>0;

且當尤∈(0,%)(x2,兀)時，/V)當X時，/'(x)<0;

\/⑴在(O,xJ,(乙,兀)上單調遞增，在(為々)上單調遞減，

,?m=/(x1)=0x1+cosx1,n-/(x2)=αx2+∞sx2,

,

..2m-n=2(?axl÷cosx1)-0x2-cosX2,

又X+x2=π,x1∈fθ,?I,

.?.2tn-n=2aX[+2cosx1-4z(π-xl)-2cos(π-x1)=30x1-τuz+3cosx1=3玉sinx1-πsinx1+3cosx1,

令g(x)=3xsinx—兀SinX+3COSx,0<x<-,.,.^,(x)=(3x-π)cosx,

TT

當0<X<一時，cosX>0,

2

/?/?

???當T嗚)

時，F(xiàn)(x)<0；當時?，g'(x)>O;

.?