上海市黃浦區(qū)2023屆高三上學期一模數(shù)學試題（解析版）

上海市黃浦區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試卷

一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

?.函數(shù)丁=igQ-χ)的定義域是.

R答案』(-∞,2)

K解析H

K詳析D由題設有2-%>0,解得x<2,故函數(shù)的定義域為(一8,2),填(一”,2).

2.已知集合A=(-2,2),B=(-3,-l)u(l,5),則ADB=.

K答案X(-3,5)

K解析』

K祥解Il運用數(shù)軸法求集合的并運算.

K詳析H

-3-2-10125X

如圖所示，則AB=(-3,5).

故K答案X為：(-3,5).

3.在(2x+1)'的二項展開式中，V的系數(shù)是

K答案280

K解析』

K祥解》寫出展開式的通項公式，利用公式即可得K答案》.

5r

K詳析』由題意得：τr+l=q(2%)^,

當r=2時，4=C(2x)3=80χ3

V的系數(shù)是80.

故K答案》為：80

4.已知向量α=(τn,l,3),Z?=(2,n,l),若則，""的值為.

K答案D-2

K解析H

K祥解》運用向量平行的坐標運算公式即可.

K詳析2,?*a1∕b，

-m13/1

?*----=——=—，角用得：m=—e，幾=一，

2n13

Λιτιn=-2.

故K答案》為：一2?

5.已知復數(shù)Z滿足(l+i)z=4-2i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)Z的模等于.

K答案》√10

K解析W

K祥解Il利用復數(shù)的除法化簡可得復數(shù)Z,利用復數(shù)的模長公式可求得∣z∣.

/.、4-2i(4-2i)(l-i)2-6i/------------7一

—-2

K詳析》因為(l+i)z=4—2i,則Z=—~~T=-Y、~~TZT1^~rc^--=1—3i,.?.∣z∣—Jl+(-3)~=VlO-

l+i(l+ι)(l-ι)2IlY\/

故K答案D：√10-

6.某個品種的小麥麥穗長度(單位：cm)的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、61、8,9、8.6、68、9.6、9.9、

11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

K答案H10.8

K解析』

K樣解》將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運用百分位數(shù)的運算公式即可.

R詳析》數(shù)據(jù)從小到大排序為：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有

12個，

所以12x80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)即：10.8.

故R答案》為：10.8

7.在平面直角坐標系XOy中，若角。的頂點為坐標原點，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊與以點。為圓

「34、(π?

心的單位圓交于點P∣一工,工I,則Sin2θ--的值為______.

155；I2)

7

K答案』—##0.28.

25

K解析H

K祥解U運用三角函數(shù)的定義、誘導公式及二倍角公式計算即可.

3

K詳析》由題意知，CoSe=-g,

Tt??3?7

所以sin(26-])=-COS26=—Reos2。-1)=1-2COS28=1-2X(-^)2=—.

7

故R答案H為：—.

25

8.若一個圓錐的側面展開圖是面積為二T的半圓面，則該圓錐的體積為.

K答案』宇]

K解析H

K詳析》由面積為二：的半圓面，可得圓的半徑為2,即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為所以底

面半徑為L即可得到圓錐的高為6.所以該圓錐的體積為立乃.

3

9.已知一ABC的三邊長分別為4、5、7,記的三個內(nèi)角的正切值所組成的集合為M,則集合M中

的最大元素為.

K答案?巫

5

K解析》

K祥解Il設JlBC的三邊長分別為α=4∕=5,c=7,根據(jù)余弦定理確定三角形最大角角C為鈍角，利用

大邊對大角及正確函數(shù)性質，可知三個內(nèi)角的正切值最大為tanB,再利用余弦定理及同角三角關系即可求

得tanB得值.

K詳析U不妨設-ABC的三邊長分別為α=4∕=5,c=7,則由大邊對大角可得A<8<C,

所以最大角為C,

由余弦定理得：CoSC="一+"JLJ。?：-49=_]_,又C∈(θ,),故角。為鈍角，

π

2ab2倉K55v,

Tt

所以0<A<B<—vC<τι,

2

又函數(shù)y=tanx在(OB)上遞增，此時tanx>O,在兀]上遞增，It匕時tanx<O,

所以三個內(nèi)角的正切值最大為tanB,

hAi≠?-工田汨+c2-h~16+49—255∣.r,2Λ∕6

r由余弦定理得：cosBd------------=------------=—,則msιn8=λ∕l-cos^^B—-------

2ac2×4×777

所以tan8=型且2√6

COSβ-3-

故R答案H為：巫.

5

10.現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機抽取一

張，直到3張中獎票都被抽出時活動結束，則活動恰好在第4人抽完后結束的概率為.

K答案2—

10

K解析》

K詳析』試題分析：由題活動恰好在第4人抽完后結束，包含的情況有；（不中）中中中，中（不中）中

2321322132211I13

中，中中（不中）中.則概率為；P=±×-×±×-+-×-×-×-+-×-×-×-=-+-+-=-

54325432543210101010

考點：相互獨立事件及互斥事件概率算法.

UUuILUUlULUClLIHUUuLUUU

11.已知四邊形ABCo是平行四邊形，若AD=2DE，BF//BE'AE?8E=0，且A∕?AC=60，則AC

在AF上的數(shù)量投影為.

K答案H10

K解析D

K祥解2運用向量共線、向量垂直畫圖，運用平行線性質及直角三角形性質可得IACI=IlAM|、

IAMICoSehAF∣,再運用數(shù)量積運算及幾何意義即可求得結果.

K詳析》因為AD=2DE，所以4D、E三點共線，且∣AO∣=2∣OE∣,

∣BC∣∣MC∣25

又因為AD〃8C,所以匕3=匕舊=彳，所以IACl=—IAM

?AE??AM?33

因為BF//BE，所以8、E、F三點共線，又因為AF?BE=O,所以A尸_1_8￡，如圖所示,

設NE4C=6,則I4MlCoSe=IAFJ,

55?

所以A尸?AC=∣A∕η∣AC∣cos6=-∣AMllAFICoSe=—IAfT=60,解得：∣A∕∏=6,

AC-AF60

所以AC在AF上的數(shù)量投影為IAClCOS6='——=—=10.

IAFl6

故K答案11為：10.

12.已知曲線￡：、=41一爐與曲線G：y=，2—,長度為1的線段AB的兩端點A、8分別在曲線C-

。2上沿順時針方向運動，若點4從點（-1,0）開始運動，點8到達點（、/5,0）時停止運動，則線段AB所掃

過的區(qū)域的面積為.

3TT3

K答案》—##-n

88

K解析工

K祥解】根據(jù)已知條件知，曲線Cl與曲線C?是兩個半圓，分別求出起點、終點處時4、8的坐標，可得線

段AB掃過的面積，進而通過三角形面積公式及扇形面積公式計算可得結果.

K詳析』設4、為分別為4、B點的起點，&、鳥分別為A、B點運動的終點，則圖中陰影部分即為線

段AB掃過的面積.如圖所示,

y

則A(TO),6(0,0),設4(芯，必),A2(x2,y2),

：曲線G方程：y=Vl-X2=>X2+γ2=l(γ≥0)，

曲線G方程：y=??∣2-x1=>X2+y2=2(y≥0)，

+(玉-(-i))^1Γχ=—1

Iι,即：B1(-1,1),

y=72-ΛI2IyI=I

[._72

2

√+(X2-√2)=112√2√2

------=><

也，即：A(τ,τ).

%^2^

2222

記SG為圓x+y=1的面積，SQ為圓X+y=2的面積，SA|M1為DBl與4。、Ag圍成的面積，Sa%F

為&F與鳥尸、為與圍成的面積，Sl為上半圓環(huán)的面積，S為線段AB掃過的面積.

則E=；（Scr5。）=3（2兀—兀）=g兀，

因為AM=1,OAi={,OBI=6,所以Ag?+OV=OBJ,所以OAJ?A耳，所以乙40片=

所以Sdnp=Skj—kSjz?cdn=—Sr—XlXI=-------,

〃「八VAoBlODBl^OAlBl8G242

又因為&心=1,OA2=1,OB2=√2,所以。42，為不，所以乙42。冬=45°,

sSS

所以A2B2f=?OA1B2~A2OF=]Xlxl-WSG=5一1

所以S=SM2F=g兀=

3兀

故K答案H為：—.

O

二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）

13.在平面直角坐標系Xoy中，“機<0”是“方程Y+my2=]表示的曲線是雙曲線,,的（）條件

A,充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

K答案》c

K解析》

K祥解』由雙曲線方程的特征計算得機的范圍，再由集合的包含關系可得結果.

K詳析』?.?f+my2=1表示雙曲線，

.*.m<0.

加<0是/+/”）2=1表示雙曲線的充要條件.

故選：C.

14.如圖，四邊形42Cz）是邊長為1的正方形，Mt）_L平面ABC。，NBj.平面ABC￡>,且MD=NB1,

點G為MC的中點.則下列結論中不正確的是（）

A.MC1.ANB.平面f>CΛ∕//平面43N

C.直線GB與AM是異面直線D,直線GB與平面AM。無公共點

K答案XD

K解析』

K祥解D根據(jù)給定條件，證明AN//DG判斷A；利用線面、面面平行的判定推理判斷B；取OM中點0,

證得四邊形ABGO是梯形判斷CD作答.

K詳析》因為MD_L平面A8CZλNBl平面ABa>,則"D//N3,

AB,CD,AN中點￡及“，連接EF,EG,FH,GH,如圖，點G為MC的中點,

馳EG/IMD/INB//FH,且EG=LMD=LNB=FH,于是四邊形EFHG是平行四邊形,

22

GHHEF,GH=EF,在正方形ABCf）中，EFHAD,EFAD,則G"∕∕AD,G"=AD,

因此四邊形AZ)G”為平行四邊形，ANHDG,而Mz)=Cr>=1,點G為MC的中點，

有。GLMC,所以MCLAN,A正確；

因為MDI/NB,MDU平面。CW,NBa平面OcM,則NB//平面。CM,

又ABI/CD,CDU平面。CM,ABa平面DCW,則AB//平面

而NBnAB=B,NB,ABu平面ABN,所以平面。CM//平面A8N,B正確；

取QM中點。，連接GO,AO,則有GO//CO//AB,GO=工CQ=LAB,即四邊形ABGo為梯形,

22

因此直線AO,BG必相交，而AOU平面4MD,于是直線G8與平面AM。有公共點，D錯誤:

顯然點A∈平面ABGO,點Me平面ABGO,直線BGu平面ABGO,點A任直線BG,所以直線GB

與AM是異面直線，C正確.

故選：D

H點石成金D結論1點石成金』：經(jīng)過平面內(nèi)一點和外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直

線.

15.已知/(x)=sin[s+'[w>0),且函數(shù)y=/(x)恰有兩個極大值點在θ?,則①的取值范圍

是()

A.(7,13]B.[7,13)C.(7,10]D.[7,10)

K答案HB

K解析』

TT

K祥解》運用整體思想法，求得0X+F的范圍，再運用正弦函數(shù)圖象分析即可.

O

TT

K詳析HVO≤X≤-,ω>0,

3

π八,兀/①ππ

-<ωx+-≤——+—

6636

Tr

又,：/(X)在[0,§]恰有2個極大值點，

、IT^r∣'γττττq^ττ"

???由正弦函數(shù)圖象可知，—≤—+,解得：7≤GV13?

2362

故選：B.

16.設。、b、c、〃為實數(shù)，若同時滿足不等式ox?+bχ+c>o、笈2+cχ+Q>O與CX2+⑦+。>0的全

體實數(shù)X所組成的集合等于(〃,一).則關于結論：①或b、C至少有一個為0；②P=O.下列判斷中正確的

是()

A.①和②都正確B.①和②都錯誤

C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②正確

K答案HD

K解析D

K祥解》分類討論研究一元二次不等式的解集即可.

K詳析11對于①假設。=0、/?=0、C=O,則三個不等式解集為0,不符合題意，所以“。、b、C至

少有一個為0”是錯誤的.

對于②，由題意知，a、b、C三個都不小于O,

22

當α=O,b=O,c>O時，OX2+∕7χ+c>o解集為R,/,?+cx+a>0WΛ?(θ,+∞).cx+ax+b>O

解集為(F,0)一(0,+∞),所以三個集合交集為(0,+8);

當α=0,b>0,C=O時，Gr2+feχ+c>O解集為(0,+8),版2+5+。>0解集為(—℃,0>(0,+8),

CX2+or+b>o解集為R,所以三個集合交集為(0,+8);

當α=0,b>0,c>0時，ax2+bx+c>O解集為(-~,+∞)>bxλ+ex+a>O解集為(一8,一；)(O,+∞),

bb

S2+以+人>0解集為R,所以三個集合交集為(O,+oo);

同理可得：當α>0,b-0,C=O時，當a>0,h=0,c>0時;當α>0,b>0,C=O時，，三個集合

交集也是(0,+8)；

當α>0,b>0,。>0時，

χ,

若OX2+bx+c=O有兩個不同的根，設ɑe?+bx+c=O的兩根為矛1、2則x∣+x,=-^^<0,

a

%%,=->0,所以x∣<0且無2<0，所以OX2+?+c>o解集為｛x∣χ<χ∣或x>∕｝，

lar

fee?+cx+α=o只有一個木艮時，fee?+cχ+α>0解集為(-00,一三)三,+∞),

2b2b

CX2+6lχ+∕7=o無根時，CX2+αr+b>0解集為R,

所以集合的交集為(-8,加)，(”,+8),與題意不符，

綜述：a、b、C中有一個為O且另外兩個大于O或a、b、C中有兩個為。且另外一個大于0,2=0.

故選：D.

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且4=3,4=9,%4=a.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設q,=4+(—1)%,,("∈N*),求數(shù)列｛q,｝的前2”項和.

K答案II(I)a,,=2n-l

K解析D

K祥解》(1)運用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項公式計算即可.

(2)運用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計算即可.

K小問1詳析』

設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為q,

bb

則4=廣=3,6f1==—=1,a｝4=b4=b3q=27,

bzq

又Q∣4=q+13d=l+13d=27,可得d=2,

所以4=4+(〃一l)d=l+2(n-l)=2n-l.

K小問2詳析1

由⑴可得2=31,

故(T)"%=一(—3)"T,以它為通項的數(shù)列是以-1為首項、公比為-3的等比數(shù)列,

所以%=(2及一1)一(一3)"τ,

所以數(shù)列｛%｝的前2〃項和為：(q+4+L+”2")-[1+(-3)+L+(-3)~,

2n(l+4/1-1)[1一(-3戶]

年+男」

21-(-3)44

/、QΛ1

即：數(shù)列｛%｝的前2〃項和為4二+彳一；.

18.如圖所示，四棱錐P—ABC。中，底面ABCD為菱形，且直線。4,平面ABCD又棱Q4=AB=2,E

為C。的中點，NABC=60°.

(I)求證：直線AEL平面PAB；

(II)求直線AE與平面PC。的正切值.

K答案》(1)見K解析》(2)公e

3

K解析，

K祥解D試題分析：(1)由線面垂直的判定定理證明，EALAB,EALPA,得￡4,平面∕?B;ZAEP

為直線AE與平面PCO所成角，所以tanNAEP=fA=2=述.

AE63

試題K解析n

解：(1)證明：?.?NAOE=/ABC=60。，ED=I,AD=I,

∕?AED是以ZAED為直角Rt?,

)1.'：AB//CD,：.EALAB,

又以_1_平面ABC￡>,.,.EA±PA,

.?.EA_L平面PAB↑

(2)如圖所示，連結PE,過A點作AH_LPE于H點.

'JCDLEA,CDYPA,

；.C￡)_L平面PAE,

XVAHc5FffiPAE,：.AHLCD,

又AHLPE,PECCD=E,PEu平面PCD,CDu平面PCD,

平面PCD,

.?.ZAEP為直線AE與平面PCD所成角.

在Rt△/?E中，VΛ4=2,AE=B

PA22√3

.*.IanZAEP-

AE^^√3

K詳析U

19.某展覽會有四個展館，分別位于矩形ABCD的四個頂點4、B、C、。處，現(xiàn)要修建如圖中實線所示的步

道（寬度忽略不計，長度可變）把這四個展館連在一起，其中AB=8百米，AO=6百米，且

AE=DE=BF=CF.

DC

6

AB

（1）試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量X,并求出步道的總長y（單位:

百米）關于X的函數(shù)關系式;

求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.

K答案1（1）K答案》見K解析》

(2)18.39百米

K解析》

K祥解》（1）若設AE=X百米，運用勾股定理表示尸N、ME，進而寫出y與X的關系式;

若設NM4E=x,運用三角函數(shù)表示AE、FN、ME，進而寫出y與X的關系式;

（2）運用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可.

K小問1詳析》

設直線EF與A。，BC分別交于點M,N,

D

6

M

A

若設AE=X百米，則MV=ME=J/一9,所以EF=MN—FN—ME=8—27幺一9，

AE>0x>0

又因為《=>0<Λ<3,

FN)金X2-9>0

3

若設NM4石=x,則AE=------，F(xiàn)N=ME=Manx9

COSX

EF=MN-FN-ME=8-6tanx，

則8-6tanx>0,解得tan尤<1,又因為XW(O

所以O<X<arctan—，

所以y=------+8-6tan%0<x<arctan—).

cosX?3)

K小問2詳析》

設/(x)=4x+8-2λ∕χ2一9(3<%<5))，

2X

Γω=4--p=(3<x<5)令rα)=o,可得x=26,

-?(?)=4—]<O-

當3<x<2百r時，??,當2Gr<x<5時，制冷>0，

所以/(x)(3,20)上單調遞減，在(2√j,5)上單調遞增，

故當尤=26時，/(x)取得極小值(最小值)/(2√3)=8+6√3≈18.39(百米).

所以步道的最短總長度約為18.39百米.

12(4、

設/(元)=----+8-6tan%O<x<arctan—),

cosx?3)

、12SinX-6(八4、?.、八，π

f(x)=-------?-----O<X<arctan—,令/ri(χ)=0,可得X=一,

cosX?3)6

(Tc4

當XWOq時，∕,(x)<0.當Xel-,arctan一時，/")>o,

k6√163

所以/（x）在（OE）上單調遞減，在J,arctan?∣）上單調遞增,

6k0

故當無=聿時，/（X）取得極小值（最小值）/（l）=8+6√‰18.39（百米）,

所以步道的最短總長度約為18.39百米.

20.已知橢圓U,+*?=l（α＞b＞（））的離心率為亨，以其四個頂點為頂點的四邊形的面積等于8√5?

動直線4、4都過點M（O,?。?＜加＜1），斜率分別為左、一3Z,4與橢圓C交于點A、P,4與橢圓C交

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線4與X軸交于點M求證：INH=2|例用；

（3）求直線A8的斜率的最小值，并求直線AB的斜率取最小值時的直線4的方程.

22

K答案』⑴二+二=1

84

（2）證明見K解析』（3）邁，y=X6χ+空

667

K解析D

K祥解》（1）根據(jù)已知條件，分別求出“、b、C的值即可.

（2）根據(jù)兩個斜率的關系式求得為=2根，由兩點間距離公式求得INH、INMl即可.

（3）聯(lián)立直線與橢圓方程解得為、代入直線AB的斜率公式再應用基本不等式可求得結果.

R小問1詳析』

設橢圓C的焦距為2c,則由￡=（,/=/+。2且2加,=8、歷，

可得h=c=2,fl=2√2,所以橢圓C的方程為工+二=1.

84

K小問2詳析』

設尸（々，九），。（玉），一%），則Z="丁",-3k=tn

Λ0?

-y∏-mCy-m

可得口—=-3?—π-，解得%=2加，

X。?o

又INH=Jl+Jr∣2m∣,∣NM∣l+gw∣,所以INH=2∣NM

K小問3詳析》

fcrzw

設A(Xl,y∣),B(x2,y2),直線4，4的方程分別為y=+,y=-3kx+m,

由（2）知為=2相，所以左=一，又機，%均大于0,可知攵〉0,

?

y=kx+m,,,,

由,22可得(I+2/?)/+4Amr+2"展-8=0，

,X+2y—8,

匚匚I42/7?"-812m1-8-12m2-812m2-8

所以xx=-------—，π即πX=---------V,r同1理可z得9---.--------------=--------------

π2?l+2(-3?)2?1+18?2'

°、?+2kX01+2%

?(2m2-8)-3?(2∕∕Z2-8)

直線AB的斜率為9=(H+MY-3在+m)=(1+2號。(1+1叩飛

x1-x2xi-x22m~-82m"-8

22

(1+2^)X0(1+18^)X0

（當且僅當無時取等號）.

=A（4+24A-）??r?+6A,Y√6=Yl

16F4^）26

當女=，時，χ0^y∣6m,此時P（加機,2機）在橢圓C上，

6m24m2.,-,2χ∕7

所ccm以-----1------=1t,又τ7O＜機＜1,可r得θ/%=-----

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所以直線AB的斜率的最小值為器，且當直線AB的斜率取最小值時的直線4的方程為y=乎％+干.

21.已知集合A和定義域為R的函數(shù)y=∕（x）,若對任意f∈A,xeR,都有/（x+。一/（X）GA,則

稱/（X）是關于A的同變函數(shù).

（1）當A=（O,+∞）與（0,1）時，分別判斷/（x）=2"是否為關于A的同變函數(shù)，并說明理由;

⑵若/(x)是關于｛2｝的同變函數(shù)，且當x∈［0,2)時，f(x)=y∕2x,試求〃尤)在［2&,2左+2)(AeZ)

上的表達式，并比較/(x)與x+g的大??；

⑶若〃為正整數(shù)，且/(x)是關于［2,25］的同變函數(shù)，求證：/(x)既是關于｛*2-"｝(meZ)的同

變函數(shù)，也是關于［0,+8)的同變函數(shù).

K答案1(1)當A=(O,”)時，/(x)=2*是關于(0,+8)的同變函數(shù);當A=(0,1)時，/(x)不是關

于(0,1)的同變函數(shù)，理由見K解析》.

(2)/(x)=j2(x-2%)+2),當x=2左+g(左eZ)時，/(x)=x+g;當xA2左+g(Z∈Z)時，

/(%)<%+∣

(3)證明見K解析》.

K解析H

K祥解力(1)當A=(O,”)時，運用定義證明即可；當A=(0,1)時，舉反例說明即可.

(2)由定義推導出y=f(χ)-χ是以2為周期的周期函數(shù)，進而可得/(χ)在［2Z,2Z+2)(Z∈Z)K解析】

式，再運用作差法后使用換元法研究函數(shù)的最值來比較/(χ)與X+L的大小.