第三章,復變函數的積分

第三章復變函數的積分1§3.1柯西定理§3.2柯西公式§3.1柯西定理21復變函數的積分2幾個引理3柯西定理3曲線，

定義

C是區(qū)域D內以為起點,為終點的一條光滑的設是定義在區(qū)域D內的復變函數.在C上依次取分點把曲線C分割為n個小段.D1復變函數的積分在每個小弧段上任取一點做和數令如果分點的個數無限增多，并且下述極限存在,

則稱該極限為函數沿曲線C的積分,記作5當C是實軸上的區(qū)間方向從a到b,并且為實值函數，那么這個積分就是定積分.注1:并且定理

設C是光滑(或可求長)的有向曲線，如果

上連續(xù)，則存在，在C注2:可積函數類為連續(xù)函數6設，則證明

u,v連續(xù)取極限

u,v連續(xù)取極限7積分公式從形式上可以看成8定理

設光滑曲線C由參數方程給出：是起點,是終點，在C上連續(xù)，則9證明10(

是復常數);積分的基本性質(5)設曲線C的長度為L,函數f(z)在C上滿足則估值不等式

其中C是由光滑曲線C1,C2,…,Cn連接而成。11其中,是與兩點之間弧段的長度.根據積分定義，令即得性質(5).事實上,12解積分路徑的參數方程為例2

計算積分(n是整數),其中C是圓周:，方向為逆時針.13重要結論：積分值與圓周的中心、半徑無關.14例

計算,其中C為從原點到點3+4i的直線段.15(1)從原點到1+i的直線段；(3)

拋物線y=x2上從原點到1+i的弧段；(2)從原點沿x軸到1,再從1到1+i的折線.y=x例

計算積分其中C為

相同的路徑進行時積分值不同,

而積分值與路徑無關。是否可以討論積分與積分路徑的關系?注意

從上兩例看到,積分沿著三條不柯西定理

設f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數。(1)設C是D內任何一條簡單閉合曲線，那么2幾個引理這里沿C的積分是按反時針方向取的。(2)設C是D內連接及兩點的任一條簡單曲線，那么沿C

從

到

的積分值不依賴于曲線C；

此積分也可記作（3.1）18定理的這個證明的主要部分是柯西在1825年給出的。直接證明是比較困難的，在加上f(z)的導數在C上連續(xù)這個條件后，黎曼于1851年運用

格林公式給出了簡明的證明過程。1900年古薩對定理進行了修改，并給出了正

式的證明。19引理2.1設f(z)是單連通區(qū)域D內的解析函數。設C是D內一個多角形的周界，那么證明：先對C是三角形周界的情形作出證明，然后證明一般情況。(1)

C為一三角形的周界△。設下面證明M=0。引理2.1

20等分給定三角形的每一邊。兩兩連接這些分點。三角形被分成四個全等的三角形，于是不妨假設周界分別記為同樣，將周界分成四個全等的三角形，其中一個周界滿足把這種作法無限制地繼續(xù)下去，于是我們得到具有周界的一個三角形序列，其中，并且22下面估計用U表示周界

的長度，于是周界

(n)的長度是由存在一點屬于序列中所有的三角形。23因為在解析，設其導數為，所以使得當并且時，即由的取法知，因此，24因此，再由我們有(5)設曲線C的長度為L,函數f(z)在C上滿足則25比較于是由的任意性知。26(2)

C為一多角形的周界P

。用對角線把以P為周界的多邊形分成幾個三角形由(1)知，于是27注1：設P是D中任一條閉合折線，其各段可能彼此相交，注2：用折線逼近曲線的方法可以證明柯西定理。本書中用另一種方法。28注設F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的原函數,則(常數).定義設f(z)是定義在區(qū)域D上的復變函數,若存在D上的解析函數使得在D內成立，則稱是f(z)在區(qū)域D上的原函數.

引理2.2

或不定積分。凸區(qū)域：區(qū)域D稱為凸區(qū)域，如果29那么它就有無窮多個原函數,一般表達式為根據以上討論可知:證明設F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的根據第44頁例3可知,為常數.原函數,于是如果F(z)是f(z)在區(qū)域D上的一個原函數，(其中

是任意復常數).30引理2.2

設是凸區(qū)域D內的解析函數，那么在D內有原函數。證明：取定。任取，那么連接此兩點的線段必含在D內。令本引理中的積分都是沿連接積分上下限的線段取的于是是在D內確定的函數。實際上，是在D內的一個原函數。任取及,的三角形在D內。于是頂點是由引理2.1于是由于在連續(xù)，故使得于是可證明，又由從而存在，因此是在D內的原函數。引理2.3設是在區(qū)域D內的連續(xù)函數，并且在D內有原函數。如果,并且C是D內連接的一條曲線，那么注1：此定理是牛頓-萊布尼茨公式的推廣。注2：上述積分值只與曲線的起點與終點有關，與路徑無關。注3：此定理也適用于函數在D內解析的情形。引理2.2

設是凸區(qū)域D內的解析函數，那么在D內有原函數。證明：若曲線是光滑曲線。，那么因為,并且因為微積分基本定理對實變函數復數值函數顯然成立，所以若曲線是分段光滑的，那么把積分分成幾段計算，然后求和，結果仍然成立。35柯西定理的證明先證1：在C上任取一點，可以作出圓盤因圓盤是凸區(qū)域，由引理2.2，在內有原函數由

C是緊集，可以找到有限個圓盤覆蓋C，把他們按逆時針方向依次排列為并且用表示，在各圓盤中原函數。3636取于是由引理2.3，有再由引理2.3，有因為構成D中一閉合折線，于是由引理2.1的說明知（3.1）成立。37下證2：分別內接的兩條折線，及，使得

設C1是D內連接及兩點的另一條簡單曲線，

同(1)的證明，可在內作出連接及，并與及由引理2.1的說明知，有38柯西定理(1)的等價定理柯西定理

設f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數。(1)設C是D內任何一條簡單閉合曲線，那么這里沿C的積分是按反時針方向取的。（3.1）定理3.1′設C一條簡單閉合曲線，f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么這里沿C的積分是按反時針方向取的。39定理3.2設f(z)是在單連通區(qū)域D內的解析函數，那么f(z)在D內有原函數。證明：取定。任取。由定理3.1(2),于是是在D內確定的函數。取，使其與z充分接近，40于是由于在連續(xù)，故使得于是與引理2.2類似可證明從而存在，因此是在D內的原函數。41結合定理3.2與引理2.3，可見可用原函數求解析函數的積分。注:42例1:設D是不含

的一個單連通區(qū)域，并且，那么其中m是不等于1的整數。另外，設D

在復平面沿從

出發(fā)的任何射線割開而得的區(qū)域，則有其中，對數應理解為在D

內的一個解析分支在在及的值。其中積分曲線為簡單曲線。43柯西定理在多連通區(qū)域上的推廣44定理

(復合閉路定理)

設C為多連通域D內的一條簡單閉曲線，是在C內部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于D，如果f(z)在D內解析，那么這里C及Ck均取正向，Γ為由C及Ck（k=1,2,…,n）所組成的復合閉路（其方向是：C按逆時針進行，其余按順時針進行）。45定理3.1′設C一條簡單閉合曲線，f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域上解析，那么這里沿C的積分是按反時針方向取的。定理’

設有n+1條簡單閉曲線C0，，它們互不包含也互不相交，設D是圍成的多連通區(qū)域，D及其邊界構成一個閉區(qū)域。設f(z)在上解析，那么其中C表示D的全部邊界。46注1：以后寫出沿區(qū)域邊界的積分，除了特別說明，都是關于區(qū)域的正向取的。注2：以后寫出沿簡單閉曲線的積分，除了特別說明，都是按反時針方向取的。47==49復合閉路定理的證明5050多連通區(qū)域內的不定積分多連通區(qū)域內，是多值函數。設是包含z的一個單連通區(qū)域，取曲線如下：從沿一固定的簡單曲線到內一點，然后從沿在內的任一簡單曲線到z。沿這種曲線取積分所得的函數是內的單值解析函數。改變從到的曲線，得到不同的解析函數，它們是F(x)在內的不同解析分支。51例2:在圓環(huán)內，解析。在D內取定兩點及。作連接此兩點的兩條曲線及。取定在的值為。當z沿C1從連續(xù)變動到時，z的幅角從連續(xù)變動到。于是當z沿C2從連續(xù)變動到時，z的幅角從連續(xù)變動到。52從而現求沿的積分。令，則同樣求得這樣，在含的一個單連通區(qū)域(在D內)內，相應于及，多值函數有兩個不同的解析分支§3.2柯西公式534柯西公式5莫雷拉定理為邊界的閉圓盤上解析。由于在曲線C

上54但I

的值不一定等于零。4柯西公式設f(z)在以圓

連續(xù)所以下述積分存在,作以為心，為半徑的圓。55因為f(z)在z0連續(xù),故上函數f(z)的值將隨著r的減小而接近因此,隨著r的減小,應該有而接近于定理

為邊界的閉圓盤上解析。則設f(z)在以圓

定理4.1設D是以有限條簡單閉曲線C(如圖C為及組成)為邊界的有界區(qū)域。上解析，那么在D內任一點z

,設在D及C所組成的閉區(qū)域Cauchy公式57證明57作以為心，為半徑的圓。58積分值值與ρ

無關,所以由e的任意性,可知根據f(z)在z0連續(xù),則

e>0,存在d>0,使得當

時證明設。顯然，函數在滿足的點處解析。以z為心作一包含在D

內的閉圓盤，設其半徑為，邊界為圓。在

上，挖去以為邊界的圓盤，余下的點集是一閉區(qū)域。在上，以及解析，于是其中沿C的積分按關于D的正向取，沿的積分按反時針方向取。60高階導數公式高階導數公式定理4.2設D是以有限條簡單閉曲線C(如圖C為及組成)為邊界的有界區(qū)域。設在D及C所組成的閉區(qū)域意階導數，并且在D內任一點z

,上解析，那么在D內有任+61

可知所以應用證明首先考慮n=1的情形.