高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019選擇性必修一）專題1.9空間向量的應用-重難點題型精講（學生版）

專題1.9空間向量的應用重難點題型精講1．空間中點、直線和平面的向量表示(1)空間中點的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．2．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.3．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.4．距離問題(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)點P到平面α的距離：設平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．5．夾角問題(1)兩個平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型1求平面的法向量】【方法點撥】(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設平面的法向量為n＝(x，y，z)；(3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關(guān)系，設定一個坐標為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量．【例1】（2022春?連云港期中）在三棱錐P﹣ABC中，CP，CA，CB兩兩互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則下列向量是平面PAB的一個法向量的是（）A．(1，1，12) B．(1，2，1) C．（1，1，1【變式11】（2022春?湖北月考）已知平面α內(nèi)有兩點M（1，﹣1，2），N（a，3，3），平面α的一個法向量為n→=(6，A．4 B．3 C．2 D．1【變式12】（2021秋?河北區(qū)期末）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則平面A1BC1的一個法向量為（）A．（1，1，1） B．（﹣1，1，1） C．（1，﹣1，1） D．（1，1，﹣1）【變式13】（2021秋?諸暨市期末）在空間直角坐標系內(nèi)，平面α經(jīng)過三點A（1，0，2），B（0，1，0），C（﹣2，1，1），向量n→=(1，λ，μ)是平面A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7【題型2空間線面平行關(guān)系的判定及應用】【方法點撥】利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．【例2】（2021秋?成都期中）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點．分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz．①求點E、F的坐標；②求證：EF∥平面ACD1．【變式21】如圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若DMMP=CNNA，用向量法證明：直線【變式22】（2021秋?黃陵縣校級期末）如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面AMN∥平面EFBD．【變式23】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F．【題型3空間線面垂直關(guān)系的判定及應用】【方法點撥】證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．用坐標法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【例3】（2021?常熟市校級模擬）如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中點，cos＜DP→，（1）建立適當?shù)目臻g坐標系，寫出點E的坐標；（2）在平面PAD內(nèi)求一點F，使EF⊥平面PCB．【變式31】（2022春?青羊區(qū)校級期末）如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點，在CC1上求一點P，使面A1B1P⊥面C1DE．【變式32】（2021?浦東新區(qū)校級模擬）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，AB→=（﹣1，2，1），AD→=（0，﹣2，3），AP→=（（1）求證：PA⊥底面ABCD；（2）求PC的長．【變式33】（2021秋?吉林期末）如圖，直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）ABC﹣A1B1C1，在底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點．（1）求cos＜（2）求證：BN⊥平面C1MN．【題型4利用空間向量研究距離問題】【方法點撥】用向量法求點到直線的距離的一般步驟：(1)求直線的方向向量．(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．用向量法求點面距的步驟：(1)建系：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求點坐標：寫出(求出)相關(guān)點的坐標．(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(eq\o(AP,\s\up6(→))，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).【例4】（2022春?南通期末）如圖，在四面體P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2PA＝2，點D在線段AC上．（1）當D是線段AC中點時，求A到平面PBD的距離；（2）若二面角A﹣PD﹣B的余弦值為13，求AD【變式41】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD=12AD＝1．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為（1）在平面PAB內(nèi)是否存在一點M，使得直線CM∥平面PBE，如果存在，請確定點M的位置，如果不存在，請說明理由；（2）若二面角P?CD?A的大小為45°，求P到直線CE的距離．【變式42】（2022春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為AA1，AC，A1C1的中點，AB=BC=5，AC＝AA1＝2（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求點D與平面BEC1的距離；（3）求二面角B﹣CD﹣C1的正弦值．【變式43】（2022秋?渝中區(qū)月考）在如圖所示的五面體ABCDFE中，面ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DF=12AE＝1，N為（Ⅰ）求證：FN∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；（Ⅲ）求點A到平面MNF的距離．【題型5利用空間向量求空間角】【方法點撥】求異面直線夾角的方法：(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進而構(gòu)造三角形求解．(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟：(1)建立空間直角坐標系；(2)求直線的方向向量u；(3)求平面的法向量n；(4)設線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：(1)求平面的垂線的方向向量；(2)利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解.【例5】（2021秋?盤龍區(qū)月考）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E為線段PD的中點，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．（1）證明：直線PB∥平面ACE；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【變式51】（2022秋?安徽月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C．（1）求證：AB⊥B1C；（2）若∠B1BC＝60°，直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°，求二面角A1﹣B1C1﹣A的正弦值．【變式52】（2022春?江都區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，直線AC⊥平面BDEF，點O為AC與BD的交點，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°．（1）求異面直線DE與CF所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣FB﹣C的余弦值．【變式53】（2022?南京模擬）如圖，AB為圓柱底面的直徑，△ACD是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，AP和DQ為圓柱的兩條母線，若AB＝2AP＝2．（1）求證：平面PCQ⊥平面BDQ；（2）求BP與面ABQ所成角正弦值；（3）求二面角B﹣AQ﹣C的余弦值．【題型6利用空間向量研究存在性問題】【例6】（2022?歷城區(qū)校級模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=BC=2AB=2AC，點（1）證明：AC1∥平面A1BM；（2）AC上是否存在點N，使二面角B﹣A1M﹣N的大小為π4，若存在，求AN【變式61】（2022春?內(nèi)江期末）四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，PA=PD=2，E是BC的中點，點Q在側(cè)棱PC（1）若Q是PC的中點，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；（2）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出PQPC【變式62】（2022?迎