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考點突破練5數(shù)列求和方法及綜合應(yīng)用
L(2022?陜西寶雞三模)已知數(shù)列{斯}中,α∣=G=1,且an+2=an+?+2即記bl,=an+?+an.
(1)求證:數(shù)列{兒}是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{九}的前〃項和為北,求數(shù)歹∣J{*J的前〃項和.
2.(2022?云南昆明一模)已知數(shù)列{斯}滿足aι=?,‰+1=?
?5Qn十?
⑴設(shè)6“=°,計算6力2,九,并證明數(shù)列{仇}是等差數(shù)列;
an
⑵求數(shù)列{署}的前〃項和S”.
3.(2022?新疆烏魯木齊二模)設(shè)數(shù)列{%}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,其中42=4,01=16.
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(2)若數(shù)歹臉}是公差為1的等差數(shù)歹U,其中"=2,求數(shù)列{娟的前〃項和Tn.
4.(2022?黑龍江哈師大附中三模)已知數(shù)列{出}的前"項和為S”,且a,l+Sn=l.
(1)求數(shù)列{α,,}的通項公式;
⑵設(shè)b"=""+k?g2<‰,求數(shù)列{b"}的前n項和Tn.
an+l,n為奇數(shù),
5.已知等差數(shù)列{斯}中,<13=3,46=6,且hn=
,2tln,n為偶數(shù).
(1)求數(shù)列{辦}的通項公式及前20項和;
⑵若C"=?2n-r??,記數(shù)列{<:”}的前n項和為Sb求Sn.
6.(2022?四川達(dá)州二模汜知數(shù)列{斯}滿足0=1,%+尸斯+25為{小}的前"項和.
(D求{%}的通項公式;
⑵設(shè)6"=(-l)"S",數(shù)列{%”}的前n項和為〃,且7>"W2>0對一一切正奇數(shù)〃恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點突破練5數(shù)列求和方法及綜合應(yīng)用
1.(1)證明由?!?2=斯+1+2斯,得bn+ι=aπ+2+d!π+ι=2(αzι+]+a,i)=2bn.
又匕尸0+。2=2#0,所以{為}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.
⑵解由⑴知,乙=駕3=2"+∣-2.
I-Z
設(shè)數(shù)列{「}的前〃項和為S,,由7>2"+∣-2,知
S,,=(22+23+???+2π+l)-2n=^?^-2n=2π+2-2π-4.
I-Z
2.解(1)因為〃”+1=且
αn+l3
所以。2=;,。3=4,所以加=3也=4為3=5.
4?
因為b+?-b=-----=即+1——=1,
nnan+lananan
所以數(shù)列{為}是首項為3,公差為1的等差數(shù)列.
(2)由⑴可得〃,尸3+(〃-l)xl="+2,所以a=-^~,
nn+z
?an_?___1____?
n+1(n÷l)(n+2)n÷ln+2,
3.解(1)設(shè){““}的首項為4ι,公比為d由題可知q>0.
Ja2=4,分(a1q=4,
田b?=16,何(%q3=16,
所以Cl二22'所以跖尸2".
(2)因為數(shù)歹U{那}是公差為1的等差數(shù)列,
其中5=2,即"=91,
ɑ?2
所以組=”,所以bn=*?2",
an
所以7),=l×2+2×22+???+n?2n,
27],=l×22+2×23+-+n?2n+l,
所以Z=2+2?+…+2"m2/1=2言I:")/.2"+I=(I-“""+I-2,
1-2
所以7j,=(n-l)?2π+l+2.
4.解(1)由題可知‰+5,,=1.①
當(dāng)n=]時,α∣+αι=l,即^ι=j.
當(dāng)時,即ι+S“∕=l.②
①-②得2mS.I=O,即aft=^an.?,
???數(shù)列{為}是以T為首項§為公比的等比數(shù)列,
??Cln~
(2)由⑴知C=G"+lθg24尸號”+10g21"=P'",
Λ7j,=?ι+?2÷???+?,∣=^p1+4?+十時(W尸置一嗜=L"手=*4)
5.解⑴設(shè)等差數(shù)列{斯}的公差為d,則介鬻=1,所以斯=6+(小3)"〃,所以勿=「+l'n為,奇數(shù)'所以
M3l2zι,n為偶數(shù),
?ι+?2+?3+???+^i9+?=(2+4+???+20)+(22+24+???+220)=i^?^+^4^^=110+^×(4'0-l)=?^+^-
21-4333
2n
(2)由(1)可得cπ?1??2n=2n×2"=2n?4,
23π
所以Sl,=2×4'+4×4+6×4+???+2n?4,
4S,,=2×42+4×43+6×44+???+2(n-l)-4,,+2n?4,,+l,
l^-35,,=2×4l+2×42+2×43+???+2×4"-2n?4n+'=^≥p-2n?4,,+l=(∣-2n)4,'+1-∣,
所以s,=(|〃-|)4"+嗎.
6.解(1):。1=1,0什1=?!?2,
??斯+1?斯=2,
???數(shù)列{劣}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,
β
..an=l+2(π-l)=2π-l.
(2)由(1)可得S.=*M)="2,
n2
Λ?π=(-l)?=(-l)n,
b"+b〃+1=-n2+(〃+1P=2〃+1為奇數(shù),
???當(dāng)〃為奇數(shù),且〃23時,
n-1?
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