2023年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何(試題)

05空間向量與立體幾何

高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)試攻略

簡單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，重在考查直觀想象

和邏輯推理兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).立體兒何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求軌跡長度及動(dòng)

角的范圍及涉及的知識點(diǎn)，多年來是復(fù)習(xí)的難點(diǎn).立體幾何問題中的多選題、主要集中在平面公理、定理、

性質(zhì)，涉及位置有關(guān)系的判斷，特別是平行與垂直的處理，以及體積、表面積、夾角等數(shù)量關(guān)系的計(jì)算.是

每年的必考內(nèi)容之一，且占有較大的分值比重.

?.從考點(diǎn)頻率看，空間向量與立體幾何是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須完全掌握.

2.從題型角度看，可以是選擇題、填空題、解答題，分值20分左右，著實(shí)不少！

?知識必備

課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀

L認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.

考查形式：一般為2個(gè)客觀題，1個(gè)解答題.

2.用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判

考查內(nèi)容：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、體積與表

定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證.

面積的計(jì)算、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，直線、

3.了解一些簡單兒何體的表面積與體積的計(jì)算

平面的平行、垂直關(guān)系，及三種角的計(jì)算.

方法.

備考策略：(1)了解兒何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)

4.利用類比的方法理解空間向量的概念、運(yùn)算、

用體積、表面積公式.

基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量的

(2)重視對定理的記憶，注意對空間幾何體的位

共性和差異.

置關(guān)系分析.

5.運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)

⑶熟練掌握向量法解決立體兒何問題.

系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法

核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

的共性和差異.

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

S而

圖形E通?C

ARARAR

底面互相平行且一全等多邊形互相堊任

相交于一點(diǎn)但不一定相

側(cè)棱平行且相等延長線交于二?

等

側(cè)面形

平行四邊形三角形梯形

狀

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

意?虐

圖形

平行、相等且垂工

母線相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)

于底面

全等的等腰=?一

軸截面全等的更密全等的等腰梯形圓

側(cè)面展

矩形扇形扇環(huán)

開圖

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫.其規(guī)則是：

(1)“斜”：直觀圖中，X軸、y軸的夾角為45?；?35。.

(2)“二測"：圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線,

在直觀圖中長度為原來的一半.

4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

側(cè)面展開

圖

側(cè)面積公

S圓柱側(cè)=2πr∕S圓錐側(cè)=3S圓臺惻=兀(r1+尸2)/

式

5.空間幾何體的表面積與體積公式

表面積體積

幾何體

柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底

P=;S底力

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S偏+S底

臺體(棱臺

Y(S+S+√S5)A

S表面積=S側(cè)+S上+S下kτhτ

和圓臺)

球S=4πβrV=*火3

注意：

(1)求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積時(shí)，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決.

(2)一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決.

(3)求幾何體的體積時(shí)，要注意利用分割、補(bǔ)形與等積法.

6.常用結(jié)論

(1)斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

［坐標(biāo)軸的夾角改變，

“三變”與歹軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

Iffl形改變.

［平行性不改變，

“三不變”與X軸和2軸平行的線段的長度不改變,

向?qū)ξ恢貌桓淖?

(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

①正方體的棱長為4,球的半徑為￡

(i)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=瓜；

(ii)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2火=公

(iii)若球與正方體的各棱相切，則2火=也以

②若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=y∣a2+b2+c2.

③正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

7.平面的基本性質(zhì)

基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn).有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線2的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi).那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn).那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共

直線.

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

基本事實(shí)1及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法；基本事實(shí)2的作用

是判斷直線是否在某個(gè)平面內(nèi)；基本事實(shí)3的作用是如何尋找兩相交平面的交線以及證明“線

共點(diǎn)”的理論依據(jù)；基本事實(shí)4是對初中平行線的傳遞性在空間中的推廣.

8.直線與直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

線；在同一平面內(nèi)，有且只有

共點(diǎn)；

—線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線E：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線a'〃a,b'∕∕b,把直線

優(yōu)與〃所成的銳角(或宜一角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(0-

②范圍：l√21

9.空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)aua無數(shù)個(gè)

-----a-

直線與平面平行a//a9個(gè)

直線

不在

直線與平面斜交aΠa=AL個(gè)

平面直線與平

內(nèi)面相交I￡__7

直線與平面垂直aLaL個(gè)

17

(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)

兩平面平行a∕∕βQ個(gè)

%/

/^7

兩平面相交a∏β=l無數(shù)個(gè)

10.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行.那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

11.直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

a?二b—a-------

圖形L/?zkZJ

條件α∩r=0aUa,a"ball.CIU6,aC8=b

結(jié)論a//ab//aa∏a=0a[b

注意：

(1)證明線面平行常用的方法是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平行.但一定要說明一條

直線在平面外，一■條直線在平面內(nèi).

(2)輔助線(面)是解(證)線面平行的關(guān)鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往

往需要作輔助線(面).

12.兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

7

/B彳W∕βW7

圖形2≡

?ΞΣ7

au[5,buB,aC?b=P,alls、a∩ι=4,6∩y

條件aC8=。a∣∣S,acβ

a∣∣a,bIla=b

結(jié)論a∕∕βa∕∕βa∕∕ba//a

注意：

判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平

行，那么這兩個(gè)平面平行.

13.常用結(jié)論

(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.

(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等.

(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

(5)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等.

(6)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.

14.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如果直線/與平面ɑ內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線/與平面ɑ

互相垂直，記作/_La.直線I叫做平面α的垂線,平面α叫做直線/的垂面一直線與平面垂直時(shí)，

它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

。，bua

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的I

判定α∩b=O

兩條相交直線垂直，那么該直線7,_LQ

定理Ila

與此平面垂直

Ilb.

a5

性質(zhì)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線a_La

0aHb

7bLa

定理平行L

注意：

(1)線面垂直的判定定理的推論：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個(gè)平面，

那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

(2)直線和平面垂直的常用性質(zhì)：

①若直線垂直于平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任意直線.

②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

15.平面與平面垂直

(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面

互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

判定如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的l_La

=>alβ

定理垂線，那么這兩個(gè)平面垂直力O.

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面cβ

性質(zhì)內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面I

luβ.=?∕±β

定理的交線，那么這條直線與另一力a∩6=4

個(gè)平面垂直/_La

注意：

面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是

先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可.

16.線面角與二面角

(1)直線與平面所成的角(線面角)

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.若一

條直線垂直于平面，它們所成的角是90。.若一條直線和平面壬行，或在平面內(nèi)，它們所成的角

是0°?直線與平面所成的角。的取值范圍是o。WeW90。.

(2)二面角

①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂

直于棱的兩條射線.這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

-^題

(1)線面角的取值范圍是［0°,90°］,二面角的取值范圍是［0。，180。］.

(2)當(dāng)線面角為90。時(shí)，線面垂直；當(dāng)二面角為90。時(shí)，面面垂直.

17.常用結(jié)論

(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.

(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.

(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

18.空間向量的有關(guān)概念

名稱概念表示

零向量長度(模)為一的向量0

單位向量長度(模)為L的向量

相等向量方向相同且模相等的向量a=b

相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為-“

表示空間向量的有向線段所在的直線互相壬

共線向量a∕∕b

行或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)堊面的向量

18.空間向量中的有關(guān)定理

語言描述

共線向

對空間任意兩個(gè)向量4,風(fēng)原0),合存在2∈R,使4=勸

量定理

共面向如果兩個(gè)向量α,。不共線，那么向量P與向量4,萬共面=存在唯一

量定理的有序?qū)崝?shù)對(X,歹)，使P=X4+功

空間向量如果三個(gè)向量α,dC不共面，那么對任意一個(gè)空間向量P，存在唯

基本定理一的有序?qū)崝?shù)組(X,y,Z),使得P=Xa+W+ZC

19.空間向量的數(shù)量積

⑴兩向量的夾角

①已知兩個(gè)非零向量α,b,在空間任取一點(diǎn)。作可I=α,θk=b,則4/08叫做向量令

〃的夾角，記作〈*b).

②范圍：OW〈a,b)≤π.

(2)兩個(gè)非零向量”,〃的數(shù)量積：

ah=㈤向COS〈〃，力〉.

aS

(1)兩向量的夾角概念中的兩個(gè)注意點(diǎn)：①兩個(gè)向量有相同的起點(diǎn).②向量的方向.

(2)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，即a?b=b?a,a-(b+c)^a-b+a?c

成立，(ɑ√>)?c=4?S?c)不一定成立.

20.空間向量的坐標(biāo)表示

設(shè)α=(α∣,。2,。3),b=(bι,歷，bi).

向量表ZFC坐標(biāo)表示

數(shù)量積abaibi+4262+4363

a=λb(b≠01Λ∈R)41=Ibl,42='/2,。3=昉3

垂直ah=0(α≠0,?≠0)〃仍1+々2歷+〃3力3=0

~~S-l?l?∣a]+ai+al

cos〈a,b)=

夾角(a,b)(a≠0,Z>≠0)a?b?÷a2b2+a3b3

?Q4+-2+a4?∣b彳+厲+濟(jì)

注意：

用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一

線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面

直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

21.常用結(jié)論

(1)證明空間任意三點(diǎn)共線的方法

對空間三點(diǎn)P,A,8可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線：

①否=祝α∈R);

②對空間任一點(diǎn)O,辦=/+∕?∈R)；

③對空間任一點(diǎn)O,θP=xθk+yθb(x+y=1).

(2)證明空間四點(diǎn)共面的方法

對空間四點(diǎn)P,M,A,B,除空間向量基本定理外，也可通過證明下列結(jié)論成立來證明共

①/=函+y您

②對空間任一點(diǎn)O,分=威+X設(shè)+yMb-,

③命〃力(或可〃前或彷/∕AKΓ).

22.直線的方向向量與平面的法向量

直線的直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量.一條直線的

方向向量方向向量有無數(shù)個(gè)

平面的直線/1.平面ɑ.取直線/的方向向量4我們稱向量”為平面ɑ的法向

法向量量.顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，它們是共線向量

注意：

(1)若/是空間一條直線，A,8是/上任意兩點(diǎn)，則成及與港平行的非零向量均為直線/

的方向向量.

(2)設(shè)“，〃是平面ɑ內(nèi)兩個(gè)不共線向量，〃為平面。的法向量，則求法向量的方程組為

∕IΛ=O,

nb=0.

23.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線/?,/2的方向向量分別為m,li//hn↑∕/=λ∏2

〃2l?Lhn1±∕i2θ"ι.2=0

直線/的方向向量為〃，平面α的法IIIanA_fn^mn=0

向量為tnI_Lan//m<^n=λm

平面ɑ,夕的法向量分別為〃，mallBn//m<^n=λm

alβn±nι<^nm-O

注意:

用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需

要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明

直線α〃兒只需證明向量4=勸Q∈R）即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明

線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

24.利用空間向量求距離

⑴點(diǎn)到直線的距離

如圖所示，

已知直線/的單位方向向量為"，/是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線

/的距離PQ=確2_（力?"）2.

（2）點(diǎn)到平面的距離

如圖所示，

〃為平面渝法向量，則5到平面α的距離為孫智.

已知AB為平面ɑ的一條斜線段,

25.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)力分別是兩異面直線八，/2的方向向量，則

/l與/2所成的角。a與b的夾角夕

范圍R[0,π]

COSe3

求法COSβ=

?a??b??a??b?

注意:

求兩異面直線/1,/2的夾角e,須求出它們的方向向量4,b的夾角〈a,b},由于夾角范圍

不同，有COSe=ICOS(a,b}∣.

26.直線與平面所成角的求法

設(shè)直線/的方向向量為4,平面α的法向量為〃，直線/與平面α所成的角為“。與〃的夾

角為尸，則sinθ=ICoS陰=

Iall川

微提醒■■■1

求直線/與平面α所成的角氏可先求出平面α的法向量〃與直線/的方向向量”的夾角，

則sinθ=∣cos〈〃，a}∣.

27.求二面角的大小

(1)如圖①，AB,CD分別是二面角α-"的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大

小6>=(超南.

(2)如圖②③，〃i,“2分別是二面角α-//的兩個(gè)半平面ɑ,4的法向量，則二面角。的大小滿

足ICoSeI=ICoS〈〃1,〃2〉I，二面角的平面角的大小是向量〃「與〃2的夾角(或其補(bǔ)角).

-a?

利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，求出兩半平面ɑ,尸的法向量“I,〃2后，要根據(jù)向

量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量〃2的夾角是相等，還是互補(bǔ).

1.空間幾何體表面積、體積的求法

(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等求解.

2.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明

(1)證明共面的方法：一是先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；二是

證明兩平面重合.

(2)證明共線的方法：一是先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；二是

直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.

(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).

3.用平移法求異面直線所成的角的步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如

果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.

4.空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法

空

間

中

兩

宜

線

位

置

關(guān)

異面直線的判定定理：平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.

5.直線、平面平行的判定方法

(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理，并注意定理中易忽視的條件.

(2)結(jié)合題意構(gòu)造圖形，結(jié)合圖形做出判斷.

(3)利用實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷.

(4)熟記一些常見結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等.

6.解決線面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)與已知直線平行的直線.可先直

觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]作三角形的中位線、平行四邊形

的對邊或過已知直線作一平面找其交線.

(2)線面平行的性質(zhì)定理是空間圖形中產(chǎn)生線線平行的主要途徑，常用于作截面.

7.判定面面平行的方法

(1)利用定義，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用).

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).

(3)利用垂直于同一條直線兩平面平行.

(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.

8.解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)

⑴在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行''到“線面平行”，再到“面面平行

而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而

定，絕不可過于“模式化

(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要

思想方法.

9.求線面角、二面角的常用方法

(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到

一個(gè)三角形中求解.

(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量.平面角的作法常見的有①定義

法，②垂面法.注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì).

10.解決線面垂直問題的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)證明直線和平面垂直的常用方法.

①判定定理.

②平行直線的傳遞性(a4b,alɑ^b?ɑ).

③面面平行的性質(zhì)(a_La,a//β=>a1β).

④面面垂直的性質(zhì)(aJLβ,a∏p=a,lj_a,lcp=>l_|_a).

(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，

判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.

IL解決面面垂直問題的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)證明平面和平面垂直的方法.

①面面垂直的定義.

②面面垂直的判定定理.

(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為

線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

12.用已知向量表示未知向量的方法

(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由

起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

13.證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法

(1)證明點(diǎn)共線的方法

證明點(diǎn)共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題，如證明A,B,C三點(diǎn)共線，即證明屆，

At共線，即證明A?=λA4(λ≠0).

(2)證明點(diǎn)共面的方法

證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明尸，A,B,C四點(diǎn)共面，只要能證明

用=X或或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有國=辦+x或+y死或辦=X次1+歹仍+z3t(x+y

+z=1)即可.共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件.

14.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

∩?h

設(shè)向量4,〃的夾角為區(qū)則COSe=黑7,進(jìn)而可求兩異面直線所成的

求夾角同向

角

利用公式∣“∣2=α?4,可將線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)

求長度(距離)

算問題

利用“JL504?b=O(αKθ,/>#0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的

解決垂直問題

計(jì)算問題

15.利用空間向量證明線面、面面平行的方法

(1)證明線面平行的常用方法：

①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面；

②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個(gè)向量平行；

③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

(2)證明面面平行常用的方法：

①利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都平行于另一個(gè)平面;

②證明兩個(gè)平面的法向量平行；

③證明一個(gè)平面的法向量也是另一個(gè)平面的法向量.

16.利用空間向量證明線面、面面垂直的方法

(1)證明線面垂直的常見思路

①將線面垂直的判定定理用向量表示.

②證明直線的方向向量與平面的法向量共線.

(2)證明面面垂直的常見思路

①利用面面垂直的判定定理，證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向

量.

②證明兩平面的法向量互相垂直.

17.“是否存在”型問題的兩種探索方式

(1)根據(jù)條件做出判斷，再進(jìn)一步論證.(2)利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)

條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.

18.用向量法求異面直線所成角的一般步驟

(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.

19.利用空間向量求線面角的方法

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或

其補(bǔ)角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余

能就是斜線和平面所成的角.

20.利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法

向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)

的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

21.求點(diǎn)面距一般的方法

(1)作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.

(2)等體積法.

(3)向量法.

其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便.

典例剖析

一、多選題命題熱點(diǎn)之立體幾何

立體兒何問題中的多選題、主要集中在平面公理、定理、性質(zhì)，涉及位置有關(guān)系的判斷,

特別是平行與垂直的處理，以及體積、表面積、夾角等數(shù)量關(guān)系的計(jì)算.

例1.（多選題）如圖，在四棱柱ABCD-AIBlCIDl中，AA1J_平面ABCD,AB//CD,

o

ZDCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CCl上一動(dòng)點(diǎn)，過直線AQ的平面

分別與棱BB],DD]交點(diǎn)P,R,則下列結(jié)論正確的是（）

A.對于任意的點(diǎn)Q,都有AP//QR

B.對于任意的點(diǎn)Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形

C.存在點(diǎn)Q,使得aARP為等腰直角三角形

D.存在點(diǎn)Q,使得直線BC〃平面APQR

例2、（多選題）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A[B]C]D]中，P,Q分

別為棱BC,CC]的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是

A.AD1∕∕PQ

B.A1D1PQ

C.Q到平面ABF的距離為與

D.直線Bg與AD1所成角的余弦值為嚶

例3、（多選題）如圖，在空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別在BC,CD±,

且BG:GC=DHrHC=1:2,則（）

A.BD〃平面EGHFB.FH〃平面ABC

C.AC〃平面EGHFD.直線GE,HF,AC交于一點(diǎn)

例4、（多選題）已知三棱錐S-ABC中，SA平面ABC,SA=AB=BC=VE,AC=2,點(diǎn)E,F分別是線

段AB,BC的中點(diǎn)，直線AF,CE相交于點(diǎn)G,則過點(diǎn)G的平面α與截三棱錐S-ABC的外接球。所得截面

面積可以是（）

2°8

?λ-???b-911C.πD?1Π

二、簡單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

簡單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，重在考

查直觀想象和邏輯推理兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1、點(diǎn)P為棱長是2的正方體ABCD-A[B]C]D]的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為B[C]的中點(diǎn)，若滿足

DFlBM,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長度為()

?VδπB2V5∏C4芯11D8JGu

--5~■5-5,5

例2、(多選題)已知在三棱錐P-ABC中，AP,AB,AC兩兩互相垂直，AP=5cm,AB=4cm,AC=3cm,

點(diǎn)。為三棱錐P-ABC的外接球的球心，點(diǎn)D為AABC的外接圓的圓心，下列說法正確的是()

A.三棱錐P-ABC的體積為IOCm3

B.直線BC與平面PAC所成角的正切值為g

C.球。的表面積為50πcm2

D.OD1PA

例3、有四個(gè)半徑為1的小球，球01，球。2,球。3放置在水平桌面上，第四個(gè)小球。4放在這三個(gè)小球的上

方，且四個(gè)小球兩兩外切.在四個(gè)小球之間有一個(gè)小球。，與這四個(gè)小球均外切.則球心。到水平桌面的

距離為.

例4、如圖所示，球。的表面積為16n,球心。為空間直角坐標(biāo)系O-XyZ的原點(diǎn)，且球O分別與x,y,z

軸的正交半軸交于A,B,C三點(diǎn)，已知球面上一點(diǎn)D(0,-√5,t)(t>0).

(1)求口，C兩點(diǎn)在球。上的球面距離；

(2)過點(diǎn)A作平面DCB的垂線，垂足H,求H的坐標(biāo)，并計(jì)算四面體A-BCD的體積；

(3)求平面ADC與平面AOB所成銳二面角的余弦值.

三、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題

立體兒何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求軌跡長度及動(dòng)角的范圍及涉及

的知識點(diǎn)，多年來是復(fù)習(xí)的難點(diǎn).

例1、如圖，在棱柱的側(cè)棱AIA和B]B上各有一動(dòng)點(diǎn)P,Q滿足AlP=BQ,過P,Q,C

三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為（）

A.3：1

B.2：1

C.4:1

D.√3：1

例2、（多選題）如圖，大擺錘是一種大型游樂設(shè)備，常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中，面向外.

通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn).座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)

動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).今年五一，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點(diǎn)A處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸OB

在平面α內(nèi)繞點(diǎn)。左右擺動(dòng)，平面a與水平地面垂直，OB擺動(dòng)的過程中，點(diǎn)A在平面B內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)

動(dòng)，并且始終保持OBJ.B,B∈國已知OB=6AB,在“大擺錘”啟動(dòng)后，下列結(jié)論中正確的是（）

A.點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)

B.線段AB在水平地面上的正投影的長度為定值

C.直線。A與平面a所成角的正弦值的最大值為場

37

D.B與水平地面所成角記為。，直線OB與水平地面所成角記為6,當(dāng)o<e<1時(shí)，e+6為定值

例3、正方體IA（D-IAa〃的棱長為1,/,為次的中點(diǎn)，。為線段（。的動(dòng)點(diǎn)，過M./'.。的平面

截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是0

D?Cl

COI吐S為四邊形；②?C0=1時(shí)，S為等腰梯形;

③當(dāng)(0-,時(shí)，S與G〃的交點(diǎn);？滿足(凡1；

43

④當(dāng)[v(?0?I時(shí)，S為六邊形；

⑤當(dāng)《工)工1時(shí)，S的面積為中.

例4、如圖，圓柱OOi內(nèi)有一個(gè)直三棱柱ABC-A[Big,三棱柱的底面為圓柱

底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓0直徑，AC=CB=2.E,F分別為AC,BC±

的動(dòng)點(diǎn),且CE=BF.

(I)若該圓柱有一個(gè)內(nèi)切球，求圓柱的側(cè)面積和內(nèi)切球的體積.

(∏)在(I)的條件下，當(dāng)CE=1時(shí)，求異面直線BIE與CIF所成角的余弦值.

四、利用空間向量求角的問題

~直線與直線.直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算

設(shè)直線/,小的方向向量分別為4=(αι,b?,ci),b=(a2,bi,C2).平面α,4的法向量分別

為μ=3,岳,C3),V-(a4,?4,C4)(以下相同).

(1)線線夾角

設(shè)/,m的夾角為加收3

?a?b?Iala2+b1b2+cιC2∣

則cosθ-

?a??b?^?∣a^+??+cj?Ja^+bi+ci

（2）線面夾角

θ

設(shè)直線/與平面α的夾角為^4

則sin。=冷卜∣cos<?,μ>|.

同同

（3）二面角

設(shè)α-α∕的平面角為e(0w8Wτr),

則ICOSel=J^=ICOS〈"，v>|.

例1、在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=√2,AB=AC=BC=√5,點(diǎn)Q為4ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),

若PQ與PA所成角為定值30。，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

例2、（多選題）若將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則下列結(jié)論正確的有（）

A.AD與BC所成的角為45。

B.AC與BD所成的角為90。

C.BC與平面ACD所成角的正弦值為女

3

D.平面ABC與平面BCD所成角的正切值是√2

例3、在正三角形ABC中，過其中心G作邊BC的平行線，分別交AB,AC與B1，C1,將4AB[C]沿B￡i

折起到△A]B]C]的位置，使點(diǎn)Al在平面BB1C1C上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M,則二面角Al-B1C1-M

的平面角的大小是.

例4如圖,在斜三棱柱ABC-AIBICI中,側(cè)面AA1B1B，底面ABC,側(cè)棱AAl與底面ABC成60。的角,AA〕=2.

底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段BC]上一點(diǎn)，且

（1）求證:GE〃側(cè)面AAIBIB;

（2）求平面B]GE與底面ABC所成銳二面角的正切值；

（3）在直線AG上是否存在點(diǎn)T,使得B]T，AG?若存在，指出點(diǎn)T的位置;若不存在，說明理由.

五、

六、

七、

八、

九、利用空間向■解決探索性問題軌跡問題

與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角

或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問題.處理原則是：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有

些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，

從而作出判斷.

例1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AIB[C]D]中，點(diǎn)M是左側(cè)面ADD[A]

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足元ι?WM=L則ECl與目M的夾角的最大值為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

例2、（多選題）已知三棱錐P-ABC中，。為AB中點(diǎn)，PO_L平面ABC,NAPB=90。，PA=PB=2,

則下列說法中正確的是（）

A.若O為AABC的外心，貝IJPC=2

B.若AABC為等邊三角形，則AP1BC

C.當(dāng)NACB=90。時(shí),PC與平面PAB所成角的范圍為（0,守

D.當(dāng)PC=4時(shí)，M為平面PBC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，若OM〃平面PAC,則M在三角形PBC內(nèi)的軌跡長度為2

例3、如圖，在三棱柱ABC-AIB]g中，AB,AC,AAl兩兩互相垂直，AA】=2AB=2AC,M,N是線段BB1,

CCl上的點(diǎn)，平面AMN與平面ABC所成(銳)二面角為?當(dāng)B]M最小時(shí)，

ZAMB=.

例4、如圖，在三棱柱ABC-A[B[C]中，AA]_L平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC1BC,且D,E,F分

別為棱AB,BC,Ae的中點(diǎn).

(I)證明：直線AF與BR共面；并求其所成角的余弦值;

(∏)在棱JC上是否存在點(diǎn)M,使得DM_L平面A]B]EF,若存在，求黑的值；若不存在，請說明理由.

誤區(qū)點(diǎn)撥

一、忽視異面直線夾角范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤

典例1在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，4PAB為等邊三角形,

二面角P-AB-C的平面角的余弦值為四，點(diǎn)E,F分別為PA,PB的中點(diǎn).

3

(I)求證：DE±PA；

(∏)求異面直線DE與AF的夾角的余弦值.

典例2已知四棱錐S-ABCD中，^SAB,ΔABC,4ACD均為等邊三角形，二面角S-AB-C的大小為

90o,E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段SD上.

(I)若SF=DF,在平面AFC中繪制出一條直線與直線SB平行，并保留作圖軌跡;

(∏)若二面角F-EC-D的大小為60°,求直線FC與直線SA夾角的余弦值.

二、角的關(guān)系沒找準(zhǔn)

典例1如圖，五邊形ABSCD中，四邊形ABCD為長方形，三角形SBC為邊長為2的正三角形，將三角形

SBC沿BC折起，使得點(diǎn)S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.

(I)當(dāng)AB=VE時(shí)，證明:SA1SD；

(II)若AB=1,求平面SCD與平面SBC所成二面角的余弦值的絕對值.

典例2如圖，在四棱柱ABCD-AIBICIDl中，底面ABCD為平行四邊形，AB=AA1=4,AD=2,ZABC=

60°,且Cl在底面上的射影E恰為CD的中點(diǎn).

(I)過gE作與AD垂直的平面α,交棱AD于點(diǎn)F,試確定點(diǎn)F的位置，并說明理由;

(∏)求直線C]E與平面BCCIBl所成角的正弦值.

名校模擬

單選題

l.（2022?廣東省?模擬題）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面

②兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面一定平行

③過平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面只能相交或平行

④和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線

A.4B.3C.2D.1

2.（2022?廣東省?模擬題）已知正三棱錐P-ABC,AB=2,PA=√3.D為PC中點(diǎn)，則三棱錐D