平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示-2022年高考數(shù)學(xué)訓(xùn)練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練

專題14平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示

一、單選題（本大題共12小題，共60分）

I.在AABC中，OA=α-OB=K.OP=p>若萬(wàn)=喘+1）,t6R,則點(diǎn)P在（）

A.乙4OB平分線所在的直線上B.線段AB垂直平分線上

C?AB邊所在直線上D?AB邊的中線上

【答案】A

【解析】解：???科=五，OB=b?OP=萬(wàn)，

期=嚅+部，

T7』和「富是AOAB中邊。4、。8上的單位向量，

IalIbI

?埸+給在〃。B平分線上，

幅+給在B平分線上，

???則點(diǎn)P一定在NAoB平分線上，

故選A.

2.已知點(diǎn)A,8,C在圓O上6？+而I=|初一面|,4成一〃加=歷,則M+“2=（）

?-iB?lC.∣D.2

【答案】B

【解析】解：點(diǎn)4，B,C在圓。上，設(shè)圓。半徑為r,PJiJ∣0^∣=∣0F∣=?θC?=r,

又|函+函=?OA-OB?l

.?.（OA+OB"）2=（OA-OBy）2

于是2N+2OAOB=2r2-2OA?OB>

.?.0AOB=O^從而a1而.

因此，可以。為原點(diǎn)，直線。4,OB分別為X,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則圓。的方程為/+y2=r2(r>0),力(r,0),β(O,r),設(shè)C(X,y),

于是由A萬(wàn)？一〃而=沆f,得：λ(r,0)-μ(0,r)=(x,y),

???(rA,-λμ~)=(x,y),從而~

Xx2+y2=r2,

???(Ar)2÷(―μr)2=r2,

因此M+〃2=1.

故選8.

3.如圖，在△?!BC中，4。14B,而一All.；Hι,|而|=2,月.而=12,

貝!∣2X+y=()

A.1B.--C.-?D.--

334

【答案】C

【解析】解：因?yàn)榍?X荏+y旅，

所以同一四=xAB+yAC

則同=(x+l)AB+y?C.AD-AD=AD-[(x+ly)AB+yAC]

一”?一,”―?一?,

=(?x+1)AD-AB+yAD-AC,

因?yàn)镮而|=2，且而?而=12，ADLAB,

所以4=12y,所以y=1,

又B,D,C共線，

則x+l+y=l,X=—

所以2x+y=-?.

故選C

4.已知所在的平面內(nèi)一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A,8,C不重合),且壽=5而+2詬+3旅,

則△力CP與ABCP的面積之比為()

A.2/1B.31C.3?-2D.43

【答案】A

【解析】解：因?yàn)槎?5而+2而+3近r=2而+3瓦f=2(存一而)+3(而一扉)，

整理得而=9荏+T尼，如圖：

D

其中。為AC中點(diǎn)，AE=^AB,

則SMCP=ACBfSMBP=GSWB，

Ill

SdBCP=S&ACB~WSMCB一QS&ACB=NSXACB，

故F

3陽(yáng)TP

故選人

5.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段

A。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段8C的中點(diǎn)，則而=()

A.iDE-?COB.-DE-COC.-DE--COD,-DE--CO

2433324

【答案】A

【解析】解：以南，而為基底，

CO=--AC=--AB--AD,

222

DE=AE-AD=-AC-AD=-（AD+AB}-AD=-AB--AD,

44kj44

AF=AB+BF=AB-^--AD.

2

設(shè)而=%DE+y而，

則荏+g而=%（：松-；而）+y（-海后同）.

11.1

-X——y=1,x=P

所以42J

311解得?7

一—X——V

42z7y=_Z

即而=癖

故選A.

6.將函數(shù)/(x)=4SinG-IX)和直線g(x)=x-l的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A2,

…，A"若尸點(diǎn)坐標(biāo)為(0,百)，貝IJl兩+兩+…+艱I=()

A.0B.2C.6D.10

【答案】D

【解析】解：f(x)=4sin；X)=4cosC與g(x)=X-1的所有交點(diǎn)從左往右依次記

為A]、A2、注3、人4和45，

旦必和4，&和4，都關(guān)于點(diǎn)&對(duì)稱，顯然在3(1，。)，

.?.兩=(l,-√3),

如圖所示：

貝爐歷+兩+...+砒=5引=5(l,-√3).

所以I兩+兩+...+限I=10.

故選：D.

7.。是平面上一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足(?=θλ+〃(黑τ+

?AB?

儡)，μ∈[0,+∞),則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△4BC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】解：???7??稟分別表示向量而、正方向上的單位向量，

篇+篇的方向與/B4C的角平分線一致,

又「而=耐+"??+??b

???EMR=嶗i+窗

.響量而的方向與NBAC的角平分線一致,

.?.P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)AZBC的內(nèi)心.

故選B.

8.定理：點(diǎn)P是Λ4BC內(nèi)任一點(diǎn)，則SwribL，.SΛ,1..,√VI'其中

SZBPC,SMPC,S/4PB分別是/BPC,ΔAPC,44PB的面積).該定理的幾何圖形類似于奔馳

車標(biāo)，也被戲稱為平面向量的'‘奔馳定理已知44BC內(nèi)一點(diǎn)0,滿足SBOC=l,‰c=7,

且2函+3而+m元=6，則m=()

A.9B.5C.2D.7

【答案】4

【解析】解：因?yàn)?。是WJ「內(nèi)一點(diǎn)，滿足SZMMh.Sxuw7,

所以若“ITx?i?>()),則S,?/陽(yáng)-6X,

因此由“奔馳定理'知：OA+xOB+(6-x)0C=0<

即37=-X麗+0-6)元.

又因?yàn)?65+3赤+小元=6，

所以2[-x而+(x-6)西+3而+m元=6,

即(3-2x)0B+(2x-12+m)0C=0.

又因?yàn)榉脚c云不共線，

所以￡—2：:0解得m=9.

故選A.

9.已知在RtAABC中，4BAC=90°,4B=IMC=2,力是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NfMB=60°,

設(shè)近=4近+〃而(2,〃∈R),則5=()

A.巫B.3C.3D.2√3

33

【答案】A

【解析】解：由題意可建立坐標(biāo)系并作出如下圖形：

??.4(0,0),B(l,0),C(0,2),

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(α,b),???4IM8=6O。，.??b=√5α,

??.D[a,√3α),而=(α,√3α)^

?：=λAβ+μ~AC(λ,μWR)，

?(α,√3α)=λ(lzO)+"(0,2)=(Λ,2μ),

?L,解穌號(hào)

故選A.

10.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,=泉點(diǎn)尸是線段AB上的一點(diǎn)，M

為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，若元=3在，AF=λAB,且荏.前=-1，則而?麗的最大

值為()

A.?B.-?C.-1D.-g

46464

【答案】B

【解析】解：因?yàn)?B〃C。，AB=2,AD=1,/-DAD,BC=3CE,AF=λAB,

貝∣L4C=BC=I,由荏.麗=一1，

得到(泰-BA)-(AF-AD)=(∣BC+Aβ)■(AAB-AD)

=-A-2r(ι?,"?÷A?2^-<?<ιβ?—2COR-=—1,

33333

解得

Zl=4

設(shè)48的中點(diǎn)為0,C。的中點(diǎn)為H,

以AB的中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為X軸，?！睘閥軸建立直角坐標(biāo)系，

則B(l,0),CG凈,“心凈,F(-∣,0),

直線BC的方程為y=(X—1)即y=-y∕3x+V3>

2~1

設(shè)M(X,一百x+√5),所以而?麗=(-i-x,√3x-√3)?(x+∣,-√3x+y)

=---X2-X-3X2+-X--=—4X2+-X--,

42224

當(dāng)X=——2—=工時(shí)赤"兩取最大值，

2X(-4)16

最大值為-4X(?)2+：XW=一瑪

故選民

11.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，A和8是圓(；：0-1)2+丫2=1上的兩點(diǎn)，且AB=點(diǎn)、

P(2,l),則|2同一而I的取值范圍是()

A.[√5-√2,√5+√2]B.[√5-l,√?Γ5+1]

C.[6-2√5,6+2√5]D.[7-2√10,7+2√Tθ]

【答案】A

【解析】解：AB=√2.取AB中點(diǎn)為M,CM=-,且CMlAB,

2

延長(zhǎng)MA至。，使得MQ=3MA=乎，

所以2同一而=同+萬(wàn)一而=麗+討+麗=麗+3麗=麗+麗=麗，

因?yàn)?2

QC=y]MC+MQ=√5,

所以。的軌跡是以C為圓心，花為半徑的圓，

因?yàn)镻C=√(2-I)2+(1-0)2=√2,

所以IPQl∈[V5—√2,√5+√2].

故選：A.

12.設(shè)MBl=I0,若平面上點(diǎn)P滿足對(duì)任意的；I6R.,恒有|2萬(wàn)一；!而I》8，則一定正確

的是()

A.?PA?≥5B.?^PA+^PB?≥10

C.^PA^PB≥-ciD.4APB≤90°

【答案】C

【解析】解：由|29一4四∣≥8,得到Im一：耳同≥4可知點(diǎn)P到直線AB的距離為4,

???∣m∣≥4,所以選項(xiàng)A不正確，

設(shè)線段48的中點(diǎn)為M,則IPMlmm=4,

.?.?^PA+^PB?=?2^PM?≥8,所以選項(xiàng)B不正確，

當(dāng)IPMImm=4時(shí),乙4PB>90",；.選項(xiàng)。不正確,PA-TB=(PM-AM)■(PM+AM~)=

∣PΛf∣2-?MA?2≥16-25=-9???萬(wàn)?麗≥-9，故選C.

二、單空題(本大題共6小題，共3。分)

13.如圖，在AABC中，己知4B=10,AC=5,-AAL-J,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)

N在直線4C上，且前=3前，直線CM與BN相交于點(diǎn)P,則線段4P的長(zhǎng)為.

【答案】√21

【解析】解：因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)X滿足Q=xAB+(1-x)AN=xAB+等旅,

因?yàn)镃,P,M三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)y滿足而=y宿+(l-y)前=9而+(l—y)前f,

(TG=Z

又荏，而不共線，貝IJhr

y-=1~y(y=i

所以方=|荏+：而，

所以府|2=±(4∣AB∣2+4Aβ?AC+∣AC∣2)

=?×(4×10^4×10×5×i+5≡)=21,

所以I彳同=√21.

故答案為√∑τ.

14.在梯形A8CZ)中，己知48//CD,AB=2CD,^DM=MC,CN=2NB，若萬(wàn)7=λAC+

μ^AN，貝!M+μ=-

【答案以

【解析】如圖示：梯形ABCD中，4B//CD,AB=2CD,DM=MC，CN=2NB.?AM=

>,，,1，一一>....?1..>?■，”，...11..?..J1.，1....

AC+CM=AC-{--BA=AC+-(BNNA)=∕1C+1(i∕VC+NA)=AC-NC-NA=

vjJ

444、284

AC-^-AC--AN--AN

884

=1AC-^AN.又祠+,前，???A='4=_|.故/+〃='+(_?)=：.故答

OOOOOO?

案為：

4

15.如圖，在等腰三角形ABC中，已知IABl=∣AC∣=L乙4=120°,瓦F分別是邊AB,AC上

的點(diǎn)，且AE=AAB,AF=〃AS其中九〃W(0,1)且入+4〃=1,若線段EF,BC的中點(diǎn)分別

為M,N,則IMM的最小值是.

【答案】,

7

【解析】解：連接AM、AN,

.?等腰三角形ABC中，∣ΛB∣=?AC?=1,A=120o,.?.AB-AC=?AB?■?AC?cosl20°=-?

??AM是AAEF的中線，

.?.AM=∣(AEf+AF)=∣(ΛAB+μ?C),

同理，可得而=X超+前)，

由此可得麗=而一宿="l-∕l)而+“1-〃)前二而2=[1(1_2)AS+l(i-

=

[i)AC]^^(1-a)?AB+~(1—λ)(l-QAB■AC+—(1—i4C=Z(I—--(1-

λ)(l-μ)+J(I-M)2.

??'λ+4μ=1,可得1—A=4μ,；.代入上式得MM之=1×(4μ)z—?×4μ(l—μ)+(1—μ)?=

γμ2-∣μ+?=γ(μ-?)2+1Vλ,〃€(0,1),；.當(dāng)“=決寸，而2的最小值為此時(shí)|麗|

的最小值為叱.

7

故答案為：包.

7

16.如圖,在△ABC中，BD=：BC,點(diǎn)E在線段AQ上移動(dòng)(不含端點(diǎn)),若荏=U超+〃正,

則；的取值范圍是.

【答案】(g,+8)

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)E在線段4〃上移動(dòng)(不含端點(diǎn))，

所以設(shè)荏=k^AD(Q<fc<1).

又因?yàn)榍?；反t,

所以前=∣BC=∣(^c-?β),

因此荏=kAD=k-(AB+JD)=k?(?B+-AC--AB)=k-(-ΛB+-AC)=-AB+

k

_

3

又因?yàn)檐?λAB+μAC^

r,_2/c

所以=3因此打;

設(shè)的="鴻。+3（0<%<1），

JKO?K/

而由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)y=k+（在（0,1）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f（k）=g+j在（0,1）上單調(diào)遞減，

因此f（k）>/（D=7.

所以打押取值范圍是小,+8）.

故答案為（T,+8）.

17.己知正方形48CZ）的邊長(zhǎng)為1.當(dāng)Aa=I,2,3,4,5,6）每個(gè)取遍±1時(shí)，荏+友元+

λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6^BD?的最大值是.

【答案】2√5

【解析】解:如圖，

正方形ABCZ)的邊長(zhǎng)為1,可得超+而=而，JD=AD-AB，ABAD=0,?λ1AB+

入2BC+&CD+4+入54。+26BD∣=IalAB+%BC+CD+DA+λct(^AB+

AD')+λ6(AD-AB)?=?(λ1-λ3+λ5-λ6)AB+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD\=

J氏--zU)2+(42-羽+色+及產(chǎn)，

由于40=1,2,3,4,5,6)取遍±1,

IA1-力3+，5—46∣，1，2—，4++%6∣的最大值都為%

但是①當(dāng)原+?=2或一2時(shí)，λ5-λ6=0,

&—，4+，5+%6∣可取最大值4,|%1—?λ?3+，5—46∣最大值只能取2；

②當(dāng)心+及=。時(shí)，25-26=2或-2,

∣λi-λ3+λs-欠|可取最大值4,∣λ2-λ4+λs+及|最大值只能取2.

可得所求最大值為√42+22=2√5.

故答案為：2√5?

18.如圖，在△4BC中，AB=4,AC=2,.∣1,?('-()11已知點(diǎn)E,F分別是邊AB,AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊BC上.若三?前=及，則線段BO的長(zhǎng)為_.

4

D

【答案】立

2

【解析】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48為X軸，過(guò)A點(diǎn)的AB的垂線為y軸建立坐標(biāo)系，如下圖:

由題意得A(0,0),B(4,0),C(l,√3),E(2,0),FM)，

設(shè)O(%,y)(l≤%≤4,0≤y≤√3),

則笳=(2-x,-y),DF=(∣-x,y-y)-FC=(-3,√3).BD=(x-4,y).

則屁.而=(2-X)G-X)-y倍-y)=g①，

又B、D、C三點(diǎn)共線，則有就與前共線，

**?-3y—√3(x—4)>(2)?

由①②聯(lián)立解得

.?.BD=(-j,γ).

工國(guó)=J（可+（功=導(dǎo)

故答案為當(dāng)

三'解答題（本大題共2小題，共30分）

19.設(shè)兩個(gè)非零向量α與b不共線，

（1）若AB=α+6,BC=2α+勖，CD=3（d-h）,求證：4B,〃三點(diǎn)共線;

（2）試確定實(shí)數(shù)A,使3+b和α+Q共線.

【答案】（1）證明見解析；（2）