復數(shù)必考題型分類訓練-沖刺2023年高考數(shù)學熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練

專題09復數(shù)必考題型分類訓練

津【一年高考真題練】

選擇題（共7小題）

1.（2022?新高考II）（2+2z）（1-20=（）

A.-2+4zB.-2-4/C.6+2zD.6-2z

【分析】由已知結(jié)合復數(shù)的四則運算即可求解.

【解答】解：（2+2i）（1-20=2-4z+2z-4z2=6-2i.

故選：D.

【點評】本題主要考查了復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

2.（2022?乙卷）已知z=l-2i,且z+a^6=0,其中a,b為實數(shù),則（）

A.a—\,b--2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b--2

【分析】根據(jù)復數(shù)與共軌復數(shù)的定義，利用復數(shù)相等列方程求出八b的值.

【解答】解：因為z=l-2i,且Z+Qz+Z?=0,

所以（1-2i）+〃（l+2z）+b=（1+。+/?）+（-2+2。）i=0,

所以#a+b=0,

l-2+2a=0

解得a=l,b=-2.

故選：A.

【點評】本題考查了復數(shù)與共輾復數(shù)以及復數(shù)相等的應用問題，是基礎題.

3.（2022?新高考I）若i（1-z）=1,則z+W=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出W，再求出z+W.

【解答】解：由i（1-z）=1,得1-z=<=々c=-i，

i.2i

x-1

.\z=l+i,則z=l-i，

???zG=l+i+l-i=2.

故選：D.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

4.（2022?全國）已知z=2iL,則z+W=（）

1+i

A.AB.1C.旦D.3

22

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共朝復數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，即可求解.

【解答】解:2+i=(2+i)(1-i)=31.,

TH?(i+i)(i-i)

，z+z=31j金

22。?。?/p>

故選：D.

【點評】本題主要考查共軌復數(shù)的定義，以及復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

5.(2022?甲卷)若z=-1+\/引，則二—=()

ZZ-1

A.-1+V3zB.-1-V3zC.」+返iD.-L-叵i

3333

【分析】由已知求得z?？，代入」一，則答案可求.

ZZ-1

【解答】解：：z=-l+?i,.??ZG=|Z|2="(一1)2+(禽)2)2=4,

zz-14-133

故選：c.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題.

6.(2022?乙卷)設(1+萬)a+b=2i,其中。，人為實數(shù)，貝U()

A.。=1,b~~-1B.。=1,b~~1C.〃=-1,1D.Q=:~1,b~~~1

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)相等的條件，即可求解.

【解答】解：..,答+2i)a+b=2i,

：.a+b+2ai=2i,gpja+b=0,

l2a=2

解得卜=1.

Ib=-1

故選：A.

【點評】本題主要考查復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.

7.(2022?甲卷)若z=l+i,則|反+3勺=()

A.4遙B.472C.275D.2&

【分析】先求出iz+3；=i+尸+3(1-z)=2-2。由此能求出位+3

【解答】解：z=l+i,

iz+32=，+a+3(1_z)=i-1+3-3i=2-2z\

則應+3勺=722+(-2)2=26?

故選：D.

【點評】本題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的運算法則、復數(shù)的模等基礎知識，考查運算

求解能力，是基礎題.

【二年自主招生練】

選擇題(共1小題)

1.(2021?北京自主招生)已知(o=cos三+isin匹，貝1J()

55

A.x4+x3+x2+x+l=(X-<0)(X-O)3)(X-(07)(X-co9)

B.x4-x3+x2-x+1=(x-co)(X-(JO3)(X-(JO7)(X-u)9)

C./_/_/+%+]=(%-3)(X-OO3)(X-(JO7)(X-u)9)

D.x4+x3+x2-x-1=(x-o))(x-co3)(x-co7)(x-a)9)

【分析】容易得到1、3、但2、…、0)9為3。一1=0的根，再分解因式求解即可.

【解答】解：容易得到1、3、0)2、…、0)9為？0_1=0的根,

則X10-1=(X-1)(X-0))(%-0)2)(%-0)3)…(X_0)9),

另外1、(AA川4、/、川8為1=。的根，

則％5-1=(X-1)(X-0)2)(X-0)4)(X-O)6)(X-O)8),

結(jié)合0)5=-1,兩個式子作比可得/+]=a一①)_^3)(x+1)(x-(A)7)(X-O)9),

5

即(X-O))(X-(A)3)(x-co7)(x-co9)=x=x4-x3+x2-x+l,

x+1

故選：B.

【點評】本題考查復數(shù)的三角形式，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

二.填空題(共3小題)

2.(2022?北京自主招生)已知。，/?GR,ZI=5-a+(6-4Z?)i,z2=2+2〃+(3+b)i,Z3=

3-〃+(1+3/?)i,當|zi|+|z2|+|z3|最小時，3〃+6b=_W"_.

—7—

【分析】根據(jù)復數(shù)三角不等式|Z1|+|Z2|+|Z3|2|Z1+Z2+Z3|得最小值后，利用取等條件求參數(shù)的

值即可.

【解答】解：已知|z[l+lzzl+lz?I>Izi+z9+ZqI=110+10iI=10A/2J

=

當且僅當argz^argz2argz3=arg(10+10i)時取等，

止匕時5-。=6-46,2+2a=3+b,3-a=\+3b,解得b—>

a77

所以當|zi|+|z2|+|z3|取最小值時3a+6b="^.

故答案為：33.

7

【點評】本題主要考查復數(shù)三角不等式的公式，以及復數(shù)模公式，屬于基礎題.

3.(2022?北京自主招生)復數(shù)列功滿足zi=0,幻什1=幻？+"那么|ziu|=_

【分析】根據(jù)題意，求得Z2、Z3、??歸納得到Zui,進而求解.

【解答】解：,復數(shù)列Z”滿足Zl=0,Z/LzU+i,

:.Zi=i,Z3=-1+z,7A--i,Z5=-1+i,?,,,Zno=-i,Zui—-1+z,

.'.|Zm|=V2>

故答案為：V2

【點評】本題以復數(shù)為載體，考查了歸納遞推，是基礎題.

4.(2022?北京自主招生)已知復數(shù)z,滿足三與2的實部和虛部均屬于[-1,1],則z在復

2z

平面上形成軌跡的面積為12-2TT.

【分析】設滿足要求的復數(shù)z=_r+yiyeR),根據(jù)復數(shù)的除法運算及題意可求得x,

y的范圍及x,y的關系式，從而可得出答案.

【解答】解：設滿足要求的復數(shù)z=x+yi(x,jGR),

zx-^ixy._2=22x2y.

v

萬"2二中'7x+yi=x2+y2x2+y2

則原命題即為2x一當二i與三，Lj的實部和虛部均屬于[-i,i],

2,22,2'oo1

x+yx+y4/

整理后得-2WxW2,-2WyW2,(x-1)2+y2^l,(x+1)2+y2^l,?+(y-1)2^1,

/+(y+1)221,

因此點z的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個邊長為4的正方形，

此區(qū)域面積為8X-兀；F)=12-2.-

故答案為：

【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

三.解答題(共3小題)

5.(2022?杭州自主招生)若復數(shù)z滿足z3=i,求所有滿足該式的z的虛部的乘積.

【分析】由復數(shù)的三角表示可得z=cos(2k2L+2L)+/sin(a2L+2L),kez；從而

3636

寫出所有滿足該式的Z的虛部，從而求解.

【解答】解：由復數(shù)的三角表示知，

z3=z=cos(2hr+—-)+fsin(2^TT+—L)，

22

故2=85(2kJ￡+2L)+/sin(2k2L+2L),fcez；

3636

故zi=cos-2L+/sin匹=返+1,

6622

Z2=COS(2兀+兀)+zsin(22L+2L)=一返+1,

363622

Z3=cos(/—4——兀+,-7-T)x+.z.s.in(/—4——兀+-兀--)、—-z,.

3636

故虛部的乘積為工X工x(-1)=-1.

224

【點評】本題考查了復數(shù)的三角表示的應用，屬于基礎題.

6.(2022?北京自主招生)已知復數(shù)z滿足|z|=l,求|(z-2)(z+1)2］的最大值.

【分析】由0?22］=0卜憶2|,02=2?Z可化簡I(Z-2)(Z+1)2|=V5-2(Z+Z)(Z+Z+2)，

設T={5-2(z+z)(z+z+2),令z+z=r，再利用不等式求最值即可.

【解答】解：,..|zl?z2|=|zl|*|z2|,|z|2=z?Z，

/.|(z-2)(z+1)2|

=|z-2|*|z+l|2

—V(z-2)(z-2J1*(z+1)(z+1)

=j5-2(z+z)(z+z+2),

設T=45-2(zG)(z+z+2)，

令z+z=f，

則T=7(5-2t)G+2)

=7(5-2t)(t+2)(t+2)

vI5-2t+t+2+t+2x3

z—§—)

—3^3;

當且僅當r=l,z=L+1_i時，等號成立.

22

故|(z-2)(z+1)2］的最大值為3我.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算及不等式的應用，屬于中檔題.

7.（2022?山西自主招生）設。、b、cER,b豐ac,a聲-c,z是復數(shù)，且z?-（a-c）z-b

2

=0.求證：.+b-（：+c）z?二逆充分必要條件是（Q-C）2+4/7＜O.

【分析】首先由（4-。）2+4。＜0求得方程的復數(shù)根

工j「c±1-（：-c）2-4bi=推理計算可證明充分性；利用反證法可證明必

要性.

【解答】證明：若（〃-。）2+4/7W0,則由求根公式得

-2

a-c±V(a-c)-4biz.2、

z=---------------g---------------=一1)，

所以，a2+b-(a+c)z?_產(chǎn)2+。2+21>+(a+cW-(a-c)工曲i.

ac_b2(ac-b)

_I(a2+c、+2b)a+c)2[(”c)2+4b

V(2ac-2b)2

二1(a2+c2+2b)2-(a2-c2)2-4b(a+3^~

v4(ac-b)2

_J(2a)+2b)(2c2+2b)-4b(42+。2+2@<:了

v4(ac-b產(chǎn)

_“a2+b)(c2+b)-b(a2+c2+2ac)

V(ac-b)2

_2c2+b?-2bac_](ac-b)?_,

V(ac-b)2V(ac-b)2

充分性得證.

2

若|a+b-(a+c)z.=假設(〃_c)2+4Z?>0>

1ac-b*1

則z2-（a-c）z-b=0有兩個不相等的實根,

從而，蟲也二D_2=1或7,即z=a或士2莊會,

ac-b-（a+c）

當把z=。代入z?-（a-c）z-b=00^,得至UQC-/?=0,與條件Z?WQC矛盾；

2

2

當把2二a一&c+乙b代入（〃-c）z-Z?=0時，可得到（Z?-ac）[（Q-c）+4Z?]=0,

a+c

與條件〃及前而的假設（〃-c）2+4。＞0矛盾，

2

因此，a、aPC+2b都不是方程^一（。-c）z-6=0的根，這就產(chǎn)生了矛盾.

a+c

故必有(a-c)2+46W0.必要性得證.

【點評】本題考查了利用反證法證明不等式的成立問題，屬于中檔題.

【最新模擬練】

選擇題(共8小題)

1.(2023?成都模擬)已知復數(shù)z=l-?i，則4?-=()

zz-2z

愿.7

A1B1V3.

422

【分析】可求出|z|=2,z?z=4，從而得出E=1=i

z*z-2z1-*V3i(1+V3i)(1-^3i)

進行復數(shù)的運算即可求出答案.

【解答】解：|z|=2,z,z=l-3i2=41

.=2=1=i

z*z-2z4-(2~2\[3i)1+>/3i444

故選：A.

【點評】本題考查了復數(shù)模的求法，復數(shù)的運算，考查了計算能力，屬于基礎題.

2.(2023?葉縣模擬)若復數(shù)z滿足(z-z)(z+2i)=0,則z2=()

A.-1B.-4C.-1或4D.-1或-4

【分析】先求出z,即可求出z2.

【解答】解：(z-z)(z+2i)=0,解得Z=7,或-2i,

當z=i時，z2=-1,

當z=-2i時，z2=-4.

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題.

3.(2023?河南模擬)若z=l+i,則|二一|=()

'z-l1

A.亞B.1C.-V2D.2

2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復數(shù)的定義，以及復數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：z=l+i,

則

貝U心|=V(-l)2+(-l)2=V2-

Z-1

故選：C.

【點評】本題主要考查共輾復數(shù)的定義，以及復數(shù)模公式，屬于基礎題.

4.(2023?南關區(qū)校級二模)i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=2+1,復數(shù)z的共軌復數(shù)為W，則W的

1-21

虛部為()

A.-1B.-2C.-2iD.-z

【分析】利用復數(shù)的除法的運算法則求解復數(shù)z,然后求解共軌復數(shù)為工即可得到結(jié)果.

【解答】解：復數(shù)z=~^=(2+i)(l+2i)至=工

l-2i(l-2i)(l+2i)5

所以復數(shù)z的共軌復數(shù)為W=~i.

則z的虛部為：-1.

故選：A.

【點評】本題考查復數(shù)的基本運算，是基礎題.

(1+2iz+

5.(2023?湖北模擬)設復數(shù)z滿足1)(l-2i)之=4,則z的虛部為(

(l-2i)z+(l+2i)z=6

A.AB._Ac.AD.-j-

2244

【分析】通過解方程組求得z,進而求得z的虛部.

【解答】解：|(l+2i)z+("i)上=4,

(l-2i)z+(l+2i)z=6

兩式相加并化簡可得，z+z=5，即2=5-2，

(1+20z+(1-2i)(5-z)=4,即4iz=-1+10Z,

所以z=-l+l°±=)i工」~i，即虛部為工.

1

z4i4i2244

故選：C.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

6.(2023?湖北模擬)已知復數(shù)z」一，則^=()

zi+1

A.1-iB.1+zC.-1+zD.-1-i

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，求出z,再結(jié)合共鈍復數(shù)的定義，即可求

解.

_2_2(1-i)1,

【解答】解：復數(shù)=(l+i)(1-i)-1-1

故z=l+L

故選：B.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共朝復數(shù)的定義，屬于基礎題.

7.（2023?乾縣校級一模）已知復數(shù)z=l-2z?的共朝復數(shù)為￡則W在復平面上對應的點在

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：由題知，z=l-2i,

所以共軌復數(shù)為W=l+2i，

在復平面上對應的點為（1,2）,在第一象限.

故選：A.

【點評】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

8.（2023?梅河口市校級一模）若復數(shù)zi,Z2在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，且zi=l+i,

則復數(shù)氏=（）

Z1

A.1B.-1C.iD.-i

【分析】由題意求得Z2,利用復數(shù)的四則運算，即可求解.

【解答】解：因為zi=l+i,且復數(shù)zi,Z2在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，

所以Z2=-1+i,

gcri_^2__~l+i_（-1+i）（1-i）「l+i+i-i,_2i_.

77"1+i"（1+i）（1-i）-2"V1'

故選：c.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

二.多選題（共2小題）

（多選）9.（2023?吉林模擬）已知復數(shù)z=l+i,則下列說法正確的是（）

A.z的共軌復數(shù)是1-i

B.z的虛部是i

D.若復數(shù)zo滿足|zo-z|=l,則|zo|的最大值是&+1

【分析】利用共輾復數(shù)的定義可判斷A選項；利用復數(shù)的概念可判斷8選項；利用復數(shù)

的除法可判斷C選項；利用復數(shù)模的三角不等式可判斷。選項.

【解答】解：對于A選項，因為z=l+i,貝噸=l-i，A對；

對于8選項，復數(shù)z的虛部為1,B錯;

z_1-i(1-i)2-2i

對于C選項,=-i，C錯;

z-1+i~(1+i)(1-i)-2

對于。選項，令zo=x+yi,(無，yeR),則|z0-z|2=(xT)2+(y-l)2=>

即zo在圓心為（1,1）,半徑為1的圓上，而|zo|表示圓上點到原點的距離，

由圓心（1,1）到原點的距離為加，結(jié)合圓上點到定點距離范圍易知：|zo|的最大值為

&+1，。對.

故選：AD.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.

（多選）10.（2023?忻州模擬）下列關于非零復數(shù)zi,Z2的結(jié)論正確的是（）

A.若Zl,Z2互為共輾復數(shù)，則Z1?Z2ER

B.若Z1?Z2ER,則Zl,Z2互為共軻復數(shù)

C.若Zl,Z2互為共輾復數(shù)，則|衛(wèi)1=1

z2

D.若|三L|=i，則zi,Z2互為共朝復數(shù)

z2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復數(shù)的定義，復數(shù)的四則運算，復數(shù)模公式，即可求

解.

【解答】解：設zi=a+4（a,i>GR）,由zi,Z2互為共輾復數(shù)，

22

則Z2=a-4，則②廠z.2=a+b€R）故A正確；

當zi=2+2i,z2=l-i時，zrz2=4eR,但zi,Z2不是共輾復數(shù)，故