第5講　一元二次不等式及其解法（解析版）

第5講一元二次不等式及其解法基礎(chǔ)知識(shí)1.一元二次不等式一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式稱為一元二次不等式,其中a,b,c是常數(shù),而且a≠0.2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-b沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

3.分式不等式(1)f(x(2)f(x)g(x)>0?f(x)·2.{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}??常用結(jié)論1.絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞);絕對(duì)值不等式|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).2.(1)對(duì)于不等式ax2+bx+c>0,求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情形;(2)注意區(qū)分Δ<0時(shí),ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是?.分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1(1)解不等式組:-1<x2+2x-1≤2.(2)解關(guān)于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.[總結(jié)反思](1)解一元二次不等式的一般步驟是:①化為標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0);②確定判別式Δ的符號(hào),若Δ≥0,則求出該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,若Δ<0,則對(duì)應(yīng)的一元二次方程無(wú)根;③結(jié)合二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.特別地,若一元二次不等式的左邊能因式分解,則可直接寫(xiě)出不等式的解集.(2)求解含有參數(shù)的不等式時(shí),首先需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論,再比較(相應(yīng)方程)根的大小,注意分類討論思想的應(yīng)用.例1[思路點(diǎn)撥](1)解兩個(gè)一元二次不等式x2+2x-1≤2和x2+2x-1>-1,然后求交集;(2)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論,分類解不等式.解:(1)原不等式組可化為x即x2+2∴x可得原不等式組的解集為{x|-3≤x<-2或0<x≤1}.(2)當(dāng)a=0時(shí),解得x<2,故不等式的解集為(-∞,2).當(dāng)a<0時(shí),不等式(x-2)(ax-2)>0可化為(x-2)x-2a<0,解得2a<x<2,故不等式的解集為2a,2.當(dāng)a>0時(shí),不等式(x-2)(ax-2)>0可化為(x-2)x-2a>0.①當(dāng)0<a<1時(shí),解得x<2或x>2a,故不等式的解集為(-∞,2)∪2a,+∞;②當(dāng)a>1時(shí),解得x<2a或x>2,故不等式的解集為-∞,2a∪(2,+∞);③當(dāng)a=1時(shí),可得(x-2)2>0,解得x≠2,故不等式的解集為(-∞,2)∪(2,+∞).變式題(1)關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)(2)解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).變式題(1)A[解析]∵關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,ba=1,∴關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化為(x+1)(x-3)>0,∴x<-1或x>3,∴關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>(2)解:由ax2-(a+1)x+1<0,得(ax-1)(x-1)<0,∵a>0,∴不等式可化為x-1a(x-1)<0,令x-1a(x-1)=0,解得x1=1a,x2=1,∴當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為x1<x<1a;當(dāng)a=1時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為x1a<x<1.探究點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問(wèn)題角度1在實(shí)數(shù)集R上的恒成立問(wèn)題例2若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2] D.(-∞,2][總結(jié)反思](1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,則滿足a(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,則滿足a(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,則要考慮a=0時(shí)是否滿足.例2[思路點(diǎn)撥]分情況討論,當(dāng)a-2=0時(shí),求出滿足條件的a的值;當(dāng)a-2≠0時(shí),求出滿足條件的a的取值范圍.取并集即可得出結(jié)果.C[解析]由題意,不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化為(a-2)x2+2(a-2)x-4<0.當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),不等式恒成立,符合題意;當(dāng)a-2≠0時(shí),要使不等式恒成立,只需a-2<0,Δ=4(a-2)2+4×4(a-2)<0,變式題已知函數(shù)f(x)=-mx2+6mx-A.{m|-1≤m≤0}B.{m|-1<m<0}C.{m|m≤0}D.{m|m<-1或m>0}變式題A[解析]∵函數(shù)f(x)=-mx2+6mx-m+8的定義域?yàn)镽,∴-mx2+6mx-m+8≥0在R上恒成立.當(dāng)m=0時(shí),8>0恒成立,符合題意;當(dāng)m≠0時(shí),要使-mx2+6mx-m+8≥0在R上恒成立,則-m>0,且(6m)2-4(-m)(-m+8)≤0,即m<0,且m2+m≤0,解得-1≤m<0.綜上,實(shí)數(shù)m角度2在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題例3設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對(duì)于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.(-∞,0] B.0,57C.-∞,57 D.(-∞,0)∪0,57

[總結(jié)反思](1)一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,其本質(zhì)是將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最大(小)值問(wèn)題,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等價(jià)于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等價(jià)于f(x)max≤0(x∈[a,b]).若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與變量分離于不等式的兩端,即變量分離,則可避免分類討論,直接求出參數(shù)范圍.例3[思路點(diǎn)撥]利用分離參數(shù)法得到m<5x2-x+1,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=C[解析]由f(x)<-m+4,可得m(x2-x+1)<5,當(dāng)x∈[1,3]時(shí),x2-x+1∈[1,7],∴不等式f(x)<-m+4等價(jià)于m<5x2-x+1.∵x∈[1,3],∴當(dāng)x=3時(shí),5x2-x+1取得最小值57,要使不等式m<5x2-x變式題若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈0,12恒成立,則a的最小值為 ()A.-52 B.C.-2 D.-3變式題A[解析]不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈0,12恒成立?a≥-x-1xmax,x∈0,12.令f(x)=-x-1x,x∈0,12,則f'(x)=-1+1x2=1-x2∴函數(shù)f(x)在0,12上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=12時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為f12=-12-2=-52∴a≥-52,即a的最小值為-52.角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題例4已知集合A={t|t2-4≤0},對(duì)于滿足集合A的所有實(shí)數(shù)t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為 ()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)[總結(jié)反思]利用變換主元法解決一元二次不等式在給出參數(shù)取值范圍情況下恒成立問(wèn)題時(shí),一定要搞清誰(shuí)是變換后的主元,誰(shuí)是變換后的參數(shù),一般地,知道誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是變換后的主元,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是變換后的參數(shù).例4[思路點(diǎn)撥]由已知條件求出t的取值范圍.不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式(x+t-1)(x-1)>0恒成立,由不等式左邊的兩個(gè)因式同為正或同為負(fù)得x的取值范圍(或建立關(guān)于t的一次函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解).B[解析]方法一:由t2-4≤0得-2≤t≤2.不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式x2+tx-t-2x+1>0恒成立,即不等式(x+t-1)(x-1)>0恒成立,∴x-1>0,x+t-1>0或x-1<0,x+t-1<0恒成立,∴x>1,x>1-方法二:不等式x2+tx-t>2x-1恒成立,即不等式(x-1)t+x2-2x+1>0恒成立.設(shè)g(t)=(x-1)t+x2-2x+1,由t2-4≤0,得-2≤t≤2,∴原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)g(t)在區(qū)間[-2,2]上恒大于0,∴g(-2)=x2-4x+3>0,g(2)=變式題若對(duì)于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

變式題(-1,2)[解析]不等式mx2-mx-1<-m+5可化為(x2-x+1)m-6<0,令f(m)=(x2-x+1)m-6,則對(duì)于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立等價(jià)于f(m)max<0,m∈[-2,2].因?yàn)閤2-x+1=x-122+34>0恒成立,所以f(m)為[-2,2]上的增函數(shù),所以f(m)max=f(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2,故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-1,2).探究點(diǎn)三一元二次方程根的分布例5已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程的不同兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍;(2)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取值范圍.[總結(jié)反思](1)關(guān)于正根、負(fù)根問(wèn)題,一般有兩種解題方法:一是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷;二是應(yīng)用根的分布,從f(0)的符號(hào)、對(duì)稱軸與直線x=0的位置關(guān)系、判別式與0的關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)一元二次方程根的分布問(wèn)題主要是根據(jù)圖像并結(jié)合開(kāi)口方向、判別式、特殊值符號(hào)、對(duì)稱軸位置四個(gè)方面進(jìn)行條件限制.具體問(wèn)題中,如兩個(gè)根都在直線x=r的兩側(cè),此時(shí)結(jié)合圖像可知只需考慮f(r)的符號(hào)即可,而不需要考慮判別式的限制條件,因此對(duì)于根的分布限制條件的確定一定要結(jié)合圖像和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理限定.例5[思路點(diǎn)撥](1)設(shè)f(x)=x2+2mx+2m+1,由關(guān)于x的方程f(x)=0的不同兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),構(gòu)造函數(shù)值應(yīng)該滿足的不等式組,解不等式組即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)由已知條件得,函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1在(-1,0)與(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),由此構(gòu)造函數(shù)值應(yīng)該滿足的不等式組,解不等式組即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:設(shè)f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)要使f(x)=0的不同兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),只需滿足Δ>0,0<解得-12<m<1-2故m的取值范圍是-12,1-2.(2)易知f(x)的圖像為開(kāi)口向上的拋物線.根據(jù)已知條件得,函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2滿足x1∈(-1,0),x2∈(1,2),所以f(-1)>0,f解得-56<m<-1故m的取值范圍是-56,-12.變式題設(shè)方程x2-mx+2=0的兩根為α,β,其中α∈(1,2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式題[22,3)[解析]∵方程x2-mx+2=0的兩根為α,β,∴Δ=m2-8≥0,解得m≥22或m≤-22①.由α·β=2,得β=2α,則m=α+β=α+2α,α∈(1,2),易知m∈[22,3)②.由①②可得m∈[22同步作業(yè)1.設(shè)集合A={x|x2-6x-7<0},B={x||x-1|>2},則集合A∩B= ()A.{x|3<x<7} B.{x|-7<x<-1}C.{x|-1<x<3} D.{x|-3<x<1}1.A[解析]由x2-6x-7<0,得(x-7)(x+1)<0,解得-1<x<7,∴A={x|-1<x<7}.由|x-1|>2,得x-1<-2或x-1>2,解得x<-1或x>3,∴B={x|x<-1或x>3},∴A∩B={x|3<x<7}.故選A.2.若0<t<1,則關(guān)于x的不等式(t-x)x-1t>0的解集為 ()A.xB.xC.xD.x2.D[解析]設(shè)f(x)=(t-x)x-1t,則其圖像開(kāi)口向下,令f(x)=0,得x=t或x=1t,因?yàn)?<t<1,所以1t>t,所以不等式(t-x)x-1t>0的解集為x|t3.2x2-5x-3<0的一個(gè)必要不充分條件是 ()A.-12<x<3 B.-1<x<C.-12<x<0 D.-3<x<3.B[解析]由2x2-5x-3<0,得-12<x<3.結(jié)合選項(xiàng)知2x2-5x-3<0的一個(gè)必要不充分條件是-1<x<6.故選B4.關(guān)于x的方程x2-2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.1<a<53 B.a<1或a>C.-1<a<53 D.-534.A[解析]令f(x)=x2-2ax+1,∵關(guān)于x的方程x2-2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,3)內(nèi),∴f(0)>0,f(1)<0,f(3)>0,∴1>0,2-5.已知關(guān)于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對(duì)任意x∈R恒成立,則k的取值范圍是 ()A.[0,1]B.(0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)5.A[解析]當(dāng)k=0時(shí),8≥0恒成立;當(dāng)k≠0時(shí),要使關(guān)于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對(duì)任意x∈R恒成立,只需k>0,Δ=36k2-4k(k+8)6.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},則關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集為 ()A.xB.xC.{x|2<x<3}D.x6.A[解析]由關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},可得2+3=-b代入不等式cx2-bx+a>0,可得6ax2+5ax+a>0(a<0),即6x2+5x+1<0,解得-12<x<-13,所以所求不等式的解集為7.若關(guān)于x的不等式x2-mx+3<0的解集是(1,3),則實(shí)數(shù)m的值為.

7.4[解析]因?yàn)椴坏仁絰2-mx+3<0的解集是(1,3),所以方程x2-mx+3=0的根為1和3,由根與系數(shù)的關(guān)系知,m=1+3=4.8.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(-1,3),則 ()A.f(4)>f(0)>f(1)B.f(1)>f(0)>f(4)C.f(0)>f(1)>f(4)D.f(1)>f(4)>f(0)8.B[解析]由關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(-1,3),可得a<0,且-1,3為方程ax2+bx+c=0的兩根,可得-1+3=-ba,-1×3=ca,即b=-2a,c=-3a,所以f(x)=ax2-2ax-3a(a<0),則f(0)=-3a,f(1)=-4a,f(4)=5a,可得f(4)<f(0)<f9.若不等式x2+ax+1≥0對(duì)x∈0,12恒成立,則a的最小值為 ()A.0 B.-2C.-52 D.-9.C[解析]設(shè)f(x)=x2+ax+1,則其圖像的對(duì)稱軸方程為x=-a2.當(dāng)-a2≥12,即a≤-1時(shí),f(x)在0,12上是減函數(shù),應(yīng)有f12≥0,可得-52≤a≤-1;當(dāng)-a2≤0,即a≥0時(shí),f(x)在0,12上是增函數(shù),應(yīng)有f(0)≥0,而f(0)=1>0恒成立,故a≥0;當(dāng)0<-a2<12,即-1<a<0時(shí),應(yīng)有f-a2=a24-a22+1=1-a24≥0,可得-1<a<010.使不等式2ax2+ax-3>0對(duì)任意的a∈[1,3]恒成立的x的取值集合為A,使不等式mx2+(m-1)x-m>0對(duì)任意的x∈[1,3]恒成立的m的取值集合為B,則有 ()A.A??RBB.A?BC.B??RAD.B?A10.D[解析]令f(a)=(2x2+x)a-3,則f(a)在[1,3]上必單調(diào),由題意知f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=-∞,-32∪(1,+∞).因?yàn)椴坏仁絤x2+(m-1)x-m>0對(duì)任意的x∈[1,3]恒成立,所以m>xx2+x-1對(duì)任意的x∈[1,3]恒成立,又y=xx2+x-1=1x-111.(多選題)設(shè)[x]表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù),則滿足關(guān)于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以為 ()A.10 B.3C.-4.5 D.-511.BC[解析]不等式[x]2+[x]-12≤0可化為([x]+4)([x]-3)≤0,解得-4≤[x]≤3.因?yàn)閇10]=4,[3]=3,[-4.5]=-4,[-5]=-5,故選BC.12.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.a2-b2≤4B.a2+1bC.若關(guān)于x的不等式x2+ax-b<0的解集為(x1,x2),則x1x2>0D.若關(guān)于x的不等式x2+ax+b<c(c>0)的解集為(x1,x2),且|x1-x2|=4,則c=412.ABD[解析]因?yàn)閒(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一個(gè)零點(diǎn),所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0.對(duì)于A,a2-b2≤4等價(jià)于b2-4b+4≥0,即(b-2)2≥0,顯然成立,故A正確;對(duì)于B,a2+1b=4b+1b≥24b·1b=4當(dāng)且僅當(dāng)b=12時(shí)取等號(hào),故B正確;對(duì)于C,因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+ax-b<0的解集為(x1,x2),所以x1x2=-b<0,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+ax+b<c(c>0)的解集為(x1,x2),所以方程x2+ax+b-c=0的兩根為x1,x2,由|x1-x2|=4,可得(x1+x2)2-4x13.不等式x+5(x13.-12,1∪(1,3][解析]x+5(x-1)2≥2?x+5≥2(x-1)2且x≠1?2x2-5x-3≤0且x≠1,可得其解集為-114.若關(guān)于x的不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,則m的取值范圍是.

14.(-∞,0)∪(4,+∞)[解析]若m=0,則原不等式等價(jià)于1<0,此時(shí)不等式的解集為空集,不符合題意,所以m≠0.要使不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,則①m>0時(shí),有Δ=m2-4m>0,解得m>4;②m<0時(shí),Δ=m2-4m>0恒成立,所以m<0.綜上,滿足條件的m的取值范圍是(-∞,0)∪(4,+∞).15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.(1)求證:不論m為何實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)若方程的一個(gè)根大于2,另一個(gè)根小于2,求m的取值范圍.15.解:(1)證明:Δ=(4m+1)2-4(2m-1)=16m2+5,∵16m2≥0,∴Δ≥5>0,∴不論m為何實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,則x1+x2=-(4m+1),x1x2=2m-1,∵方程的一個(gè)根大于2,另一個(gè)根小于2,∴(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4<0,∴2m-1+2(4m+1)+4<0,解得m<-12,∴m的取值范圍是m<-116.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(m+1)x+m.(1)若m=2,求不等式f(x)<0的解集;(2)求