學(xué)考專題06 函數(shù)零點與函數(shù)模型（解析版）

學(xué)考專題06函數(shù)零點與函數(shù)模型考點歸納考點歸納函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把的實數(shù)叫做函數(shù)的零點函數(shù)的零點與方程的根和圖象與軸交點的關(guān)系函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解，也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)方程的實數(shù)解函數(shù)的零點函數(shù)的圖象與軸有交點零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間至少有一個零點，即存在，使得，這個也是方程的解真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)零點的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】因為是連續(xù)的減函數(shù)，，，，，有，所以的零點所在的區(qū)間為．故選：C2．（2022秋·廣東·高三?？紝W(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用零點存在定理判斷后可得正確的選項.【詳解】因為均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故至多有一個零點，.而，，因為的圖象不間斷，由零點存在定理可知在區(qū)間有且只有一個零點，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的零點的位置，注意根據(jù)零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性來判斷，在應(yīng)用零點存在定理判斷零點的位置時，需函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷，本題屬于基礎(chǔ)題.3．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）方程的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，因為，，，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：C.4．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判斷各個區(qū)間端點處函數(shù)值的符號，根據(jù)零點存在定理可判斷得到結(jié)果.【詳解】由題意得：定義域為,且在定義域上為增函數(shù),故至多一個零點,；；

零點所在區(qū)間為故選：【點睛】本題考查利用零點存在定理判斷零點所在區(qū)間的問題，屬于基礎(chǔ)題.5．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點在區(qū)間．A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由零點存在定理直接跑到即可.詳解：∵，，∴函數(shù)的零點在區(qū)間．故選．點睛：本題考查零點存在定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.二、填空題6．（廣東廣州·高二學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)的零點在區(qū)間上,則的值為.【答案】1【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求解作答.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域為：，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則函數(shù)的唯一零點在區(qū)間上，所以.故答案為：17．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某數(shù)學(xué)練習(xí)冊，定價為40元.若一次性購買超過9本，則每本優(yōu)惠5元，并且贈送10元代金券；若一次性購買超過19本，則每本優(yōu)惠10元，并且贈送20元代金券.某班購買x(x∈N*，x≤40)本，則總費(fèi)用與x的函數(shù)關(guān)系式為(代金券相當(dāng)于等價金額).【答案】，【分析】由題意，將購買x本書，按0＜x＜10、10≤x＜20、20≤x≤40有三種不同的購書方案寫出對應(yīng)的函數(shù)模型，最后將它們整合為分段函數(shù)的形式即可【詳解】當(dāng)0＜x＜10時，＝40x當(dāng)10≤x＜20時，＝35x－10當(dāng)20≤x≤40時，＝30x－20綜上，有，故答案為：，【點睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)實際問題由不同的購買方案得到不同的函數(shù)模型，最后整合為分段函數(shù)形式8．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】【解析】由題意可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)在上有零點，可得，由此求得a的范圍．【詳解】函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)在上有零點，可得，解得?2<a<0.故答案為:.【點睛】本題主要求函數(shù)的零點的判定定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題9．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民用水實行“階梯水價”，計算方法如下表：每戶每月用水量水價不超過的部分3元超過的部分但不超過的部分6元超過的部分9元(1)甲用戶某月的用水量為，求甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)；(2)乙用戶某月繳納的水費(fèi)為54元，求乙用戶該月的用水量．【答案】(1)30元(2).【分析】(1)直接根據(jù)圖表數(shù)據(jù)求解;(2)建立分段函數(shù)模型可求解.【詳解】（1）甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)：元.（2）設(shè)用水量為，需要繳納的水費(fèi)為，由題可知，整理得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以令，解得，因此乙用戶該月的用水量為.10．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司為獎勵員工實施了兩種獎勵方案，方案一：每賣出一件產(chǎn)品獎勵4.5元；方案二：賣出30件以內(nèi)（含30件）的部分每賣出一件產(chǎn)品獎勵4元，超出30件的部分每賣出一件產(chǎn)品獎勵7元．（1）記利用方案二員工甲獲得的日獎勵為Y（單位：元），日賣出產(chǎn)品數(shù)為．求日獎勵Y關(guān)于日賣出產(chǎn)品數(shù)n的函數(shù)解析式；（2）員工甲在前10天內(nèi)賣出的產(chǎn)品數(shù)依次為22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若將頻率視為概率，如果僅從日平均獎勵的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為員工甲選擇獎勵方案，并說明理由．【答案】（1）；（2）選擇方案一，理由見解析.【分析】（1）由題意可得分和兩種情況求解函數(shù)解析式；（2）先求出員工甲日平均賣出的產(chǎn)品件數(shù)，然后分別求兩種獎勵方案中的獎勵大小，再比較可得答案【詳解】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，．綜上可知：（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，可估算員工甲日平均賣出的產(chǎn)品件數(shù)為．

員工甲根據(jù)方案一的日平均獎勵為（元），

員工甲根據(jù)方案二的日平均獎勵為，

因為，所以建議員工甲選擇方案一．11．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）某移動公司推出兩種不同的通話套餐類型供客戶選擇：套餐一：零月租，按照0.4元/分鐘計算話費(fèi)；套餐二：月租為40元，包含通話100分鐘，若通話時長超過100分鐘，則按照0.2元/分鐘計算話費(fèi).(1)寫出兩種套餐對應(yīng)的話費(fèi)與月通話時長之間的函數(shù)關(guān)系.(2)如果某用戶月通話時長為200分鐘，則他選擇哪個套餐會更劃算？【答案】(1)答案見解析(2)他選擇套餐二會更劃算【分析】（1）根據(jù)題意直接進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】（1）設(shè)通話時長為（分）設(shè)套餐一話費(fèi)與月通話時長之間的函數(shù)關(guān)系，由題意可知：；設(shè)套餐二話費(fèi)與月通話時長之間的函數(shù)關(guān)系，由題意可知：；（2）如果某用戶用套餐一，當(dāng)用戶月通話時長為200分鐘，他的話費(fèi)為元；如果某用戶用套餐二，當(dāng)用戶月通話時長為200分鐘，他的話費(fèi)為元，顯然，因此他選擇套餐二會更劃算.12．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）某市出租車的票價按以下規(guī)則制定：起步公里為2.6公里，收費(fèi)10元；若超過2.6公里的，每公里按2.4元收費(fèi).(1)設(shè)A地到B地的路程為4.1公里，若搭乘出租車從A地到B地，需要付費(fèi)多少？(2)若某乘客搭乘出租車共付費(fèi)16元，則該出租車共行駛了多少公里？【答案】(1)元(2)公里【分析】（1）設(shè)出租車行駛公里，根據(jù)題設(shè)寫出付費(fèi)額的分段函數(shù)形式，進(jìn)而求從A地到B地需要的付費(fèi)；（2）由題意出租車行駛公里數(shù)，結(jié)合解析式列方程求該出租車共行駛的公里數(shù).【詳解】（1）設(shè)出租車行駛公里，則付費(fèi)額，所以元.（2）由題意，出租車行駛公里數(shù)，令，則公里.13．（廣東廣州·高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0），（1）若a=﹣1，求函數(shù)的零點；（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，1]上恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)a=﹣1時，函數(shù)f（x）的零點是1；（2）﹣1≤a≤0或a≤﹣2.【分析】（1）令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，求解即可；（2）討論當(dāng)a=0時和當(dāng)a＜0時二次函數(shù)在區(qū)間（0，1]的零點分別求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)a=﹣1時，f（x）=﹣x2+2x﹣1，令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1，∴當(dāng)a=﹣1時，函數(shù)f（x）的零點是1．（2）①當(dāng)a=0時，2x﹣2=0得x=1，符合題意．②當(dāng)a＜0時，f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=a（x﹣1）（x+），則x1=1，x2=﹣，由于函數(shù)在區(qū)間（0，1]上恰有一個零點，則﹣或﹣≤0，解得或a≤﹣2，綜上可得，a的取值范圍為﹣1≤a≤0或a≤﹣2．【點睛】解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)在區(qū)間上零點問題，對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個方面研究：一是，開口；二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點個數(shù)；四是，區(qū)間端點值.四、應(yīng)用題14．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）為落實中央“精準(zhǔn)扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2020年在其扶貧基地投入300萬元研發(fā)資金用于蔬菜的開發(fā)與種植，并計劃今后10年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金數(shù)比上一年增長.（1）以2021年為第1年，分別計算該企業(yè)第1年、第2年投入的研發(fā)資金數(shù)，并寫出第年該企業(yè)投入的研發(fā)資金數(shù)（萬元）與的函數(shù)關(guān)系式以及函數(shù)的定義域；（2）該企業(yè)從哪年開始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過600萬元？【答案】（1），；（2）從年開始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過600萬元.【分析】（1）由題設(shè)，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型，寫出前2年的研發(fā)資金，進(jìn)而確定函數(shù)解析式及定義域；（2）由（1）得，利用指數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運(yùn)算求解集，進(jìn)而判斷從哪年開始研發(fā)資金數(shù)將超過600萬元即可.【詳解】（1）由題設(shè)，第1年研發(fā)資金為：萬元；第2年研發(fā)資金為：萬元；∴第年研發(fā)資金：且定義域為；（2）由（1）知：，即，∴，故從第8年即年開始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過600萬元.15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費(fèi)用之和最小？并求出該值．【答案】5km；最小費(fèi)用為8萬元【分析】先設(shè)出，代入自變量及對應(yīng)的函數(shù)值，求出，從而得到兩項費(fèi)用之和，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，∴，∴，∴兩項費(fèi)用之和為．當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時等號成立．即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為8萬元．16．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某商店試銷一種成本單價為40元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于80元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量（件）與銷售單價（元/件）可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系．設(shè)商店獲得的利潤（利潤銷售總收入總成本）為元．（1）試用銷售單價表示利潤；（2）試問銷售單價定為多少時，該商店可獲得最大利潤？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價為70元/件時，可獲得最大利潤900元，此時銷售量是30件．【分析】（1）由利潤銷售總收入總成本可得答案；（2）對于配方法即可求得最大值．【詳解】（1）.（2），∴當(dāng)銷售單價為70元/件時，可獲得最大利潤900元，此時銷售量是30件．17．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某企業(yè)十年內(nèi)投資一個項目，2022年投資200萬，之后每一年的投資額比前一年增長10%.(1)求該企業(yè)在2024年該項目的頭投資金額；(2)該企業(yè)在哪一年的投資金額將達(dá)到400萬元?（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)242萬元；(2)2030年．【分析】（1）根據(jù)增長率的定義求解；（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)模型列方程求解．【詳解】（1）由題意2023年投資額為，2024年投資額為（萬元）；（2）設(shè)第年投資金額將達(dá)到400萬元，即，，，，因此在第9年即2030年投資金額將達(dá)到400萬元．18．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）吉祥物“冰墩墩”在北京年冬奧會強(qiáng)勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為萬元.每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于等于萬盒時，；當(dāng)產(chǎn)量大于萬盒時，，若每盒玩具手辦售價元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）.(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】(1)(2)萬盒【分析】（1）根據(jù)題設(shè)公式，討論產(chǎn)量小于等于萬盒和產(chǎn)量大于萬盒兩種情況，從而寫出所求函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)分段函數(shù)中一次與二次函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于等于萬盒時，,當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，故銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)產(chǎn)量為萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大.19．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某工廠生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個零件要增加投入100元，已知總收入（單位：元）關(guān)于產(chǎn)量