人教版八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題18.4菱形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）（原卷版+解析）

專題18.4菱形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?寶山區(qū)校級月考）對角線（）的平行四邊形是菱形．A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．相交2．(2023春?江源區(qū)期中）下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是（）A．對角線相等的平行四邊形 B．對角線互相垂直且相等的四邊形 C．對角線互相平分且垂直的四邊形 D．對角線互相垂直的四邊形3．(2023春?衡山縣期末）從下列條件中選擇一個條件添加后，還不能判定平行四邊形ABCD是菱形，則這個條件是（）A．AC⊥BD B．AD＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD4．(2023春?通榆縣期末）?ABCD中，AC，BD是兩條對角線，如果添如一個條件，可推出?ABCD是菱形，那么這個條件可以是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD5．(2023春?青龍縣期末）如圖，以O為圓心，OA長為半徑畫弧別交OM、ON于A、B兩點，再分別以為A、B為圓心，以OA長為半徑畫弧，兩弧交于點C，分別連接AC、BC，則四邊形OACB一定是（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形6．(2023?南京模擬）如圖，ABCD是一張平行四邊形紙片，要求利用所學知識作出一個菱形，甲、乙兩位同學的作法如下：則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的為（）A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤7．(2023春?路北區(qū)期末）如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形8．(2023?五華區(qū)校級模擬）如圖，AP是△ABC的角平分線，MN垂直平分AP，且交AP于點D，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分線 D．四邊形AMPN是矩形9．(2023?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，點G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC10．(2023?上海模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四邊形BCDE的頂點E在邊AB上，聯(lián)結(jié)CE、AD．添加一個條件，可以使四邊形ADCE成為菱形的是（）A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．(2023?富拉爾基區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點，使四邊形AFDE為菱形，應添加的條件是（添加一個條件即可）．12．(2023秋?陳倉區(qū)期中）如圖，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝時，四邊形ABCD是菱形，且BD＝．13．(2023春?陵城區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加一個條件判定?ABCD是菱形，所添條件為（寫出一個即可）14．(2023春?陽谷縣期中）如圖所示，正方形ABCD中，E、F是對角線AC上兩點，連接BE、BF、DE、DF，則添加一個條件，可以判定四邊形BEDF是菱形．15．(2023春?同安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，將Rt△ABF沿著BE方向平移到Rt△DEC的位置，此時點E恰為邊BF的中點，若AE＝2，則四邊形AEFD的面積為．16．(2023?夏津縣二模）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，D，E為線段AC上兩動點，且∠DBE＝30°，過點D，E分別作AB，BC的平行線相交于點F，分別交BC，AB于點H，G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①S△ABC＝；②當點D與點C重合時，F(xiàn)H＝；③AE+CD＝DE；④當AE＝CD時，四邊形BHFG為菱形．則其中正確的結(jié)論的序號是．17．(2023春?夏邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當AD＝時，平行四邊形CDEB為菱形．18．(2023?金水區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，∠D＝30°，對角線AC＝AD＝3，點E，F(xiàn)分別為CD，AB邊上的動點，且DE＝BF．現(xiàn)將△ADE關(guān)于直線AE對稱，點D的對應點記為D′，將△CBF關(guān)于直線CF對稱，點B的對應點記為B′，當以點A，B'，C，D'為頂點的四邊形是菱形時，DE的長度為．三、解答題（本大題共6小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．(2023?南京模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．（1）求證：∠BAC＝∠DAC．（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形．20．(2023秋?寧德期末）利用所給的圖形證明：一個頂點到它所對的兩邊距離相等的平行四邊形是菱形．（寫出已知、求證并加以證明）已知：求證：證明：21．(2023?武威模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是對角線AC上一點，∠ADC＝∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）分別過點E，B作EF∥AB，BF∥AC，當∠FCE和∠DCE滿足怎么樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形EFCD是菱形？請說明理由．22．(2023春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M是BD上任意一點，連接AM并延長至點N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．（1）求證：OM∥CN．（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．23．(2023春?巴東縣期末）已知點E是平行四邊形ABCD邊CD上的一點（不與點C，D重合）．（1）如圖1，當點E運動到CD的中點時，連接AE、BE，若AE平分∠BAD，證明：CE＝CB．（2）如圖2，過點E作EF⊥DC交直線CB于點F，連接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在線段CF上是否存在一點H．使得四邊形AFHD為菱形？若存在，請求出ED，CH的長；若不存在，請簡單地說明理由．24．(2023秋?鄄城縣期中）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，BD＝12cm，AC＝6cm，點E在線段BO上從點B出發(fā)以1cm/s的速度向點O運動，點F在線段OD上從點O出發(fā)以2cm/s的速度向點D運動．（1）若點E，F(xiàn)同時運動，設運動時間為ts，當t為何值時，四邊形AECF是平行四邊形？（2）在（1）的條件下，當AB為何值時，平行四邊形AECF是菱形？專題18.4菱形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?寶山區(qū)校級月考）對角線（）的平行四邊形是菱形．A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．相交【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行判斷即可．【解答】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項正確；B、對角線互相平分的平行四邊形不一定是菱形，故本選項錯誤；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形，故本選項錯誤；D、對角線相交的平行四邊形不一定是菱形，故本選項錯誤．故選：A．2．(2023春?江源區(qū)期中）下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是（）A．對角線相等的平行四邊形 B．對角線互相垂直且相等的四邊形 C．對角線互相平分且垂直的四邊形 D．對角線互相垂直的四邊形【分析】利用菱形的判定進行判斷即可．【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項A錯誤；B、對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是菱形，故選項B錯誤；C、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故選項C正確；D、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故選項D錯誤；故選：C．3．(2023春?衡山縣期末）從下列條件中選擇一個條件添加后，還不能判定平行四邊形ABCD是菱形，則這個條件是（）A．AC⊥BD B．AD＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD【分析】根據(jù)菱形的判斷方法即可一一判斷．【解答】解：∵一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴根據(jù)A、B、C可以判定四邊形是菱形，故選：D．4．(2023春?通榆縣期末）?ABCD中，AC，BD是兩條對角線，如果添如一個條件，可推出?ABCD是菱形，那么這個條件可以是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可解答．【解答】解：∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴當AC⊥BD時，?ABCD是菱形．故選：C．5．(2023春?青龍縣期末）如圖，以O為圓心，OA長為半徑畫弧別交OM、ON于A、B兩點，再分別以為A、B為圓心，以OA長為半徑畫弧，兩弧交于點C，分別連接AC、BC，則四邊形OACB一定是（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【分析】利用菱形的判定方法可以判定四邊形ABCD是菱形．【解答】解：由題意可得：OA＝OB＝AC＝BC，則四邊形ABCD是菱形．故選：B．6．(2023?南京模擬）如圖，ABCD是一張平行四邊形紙片，要求利用所學知識作出一個菱形，甲、乙兩位同學的作法如下：則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的為（）A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤【分析】首先證明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形AECF是平行四邊形，再由AC⊥EF，可根據(jù)對角線互相垂直的四邊形是菱形判定出AECF是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得AB＝AF，所以四邊形ABEF是菱形．【解答】解：甲的作法正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形；乙的作法正確；∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴平行四邊形ABEF是菱形；故選：C．7．(2023春?路北區(qū)期末）如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【分析】根據(jù)菱形的判定方法：四條邊都相等的四邊形是菱形進行判定即可．【解答】解：根據(jù)作圖方法可得AC＝AD＝BD＝BC，因此四邊形ADBC一定是菱形，故選：B．8．(2023?五華區(qū)校級模擬）如圖，AP是△ABC的角平分線，MN垂直平分AP，且交AP于點D，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分線 D．四邊形AMPN是矩形【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)得AM＝PM，AN＝PN，則∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再證∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，則AM∥PN，MP∥AC，得四邊形AMPN是平行四邊形，然后證平行四邊形AMPN是菱形，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵MN垂直平分AP，∴AM＝PM，AN＝PN，∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，∵AP是△ABC的角平分線，∴∠MAP＝∠NAP，∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，∴AM∥PN，MP∥AC，∴四邊形AMPN是平行四邊形，又∵AM＝PM，∴平行四邊形AMPN是菱形，∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分線，故選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意，故選：D．9．(2023?大名縣三模）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，點G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一個條件使四邊形EGFH是菱形，則下列可以添加的條件是（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AD∥BC，推出四邊形ABFE是平行四邊形，得到AB∥EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，推出四邊形EGFH是平行四邊形，連接EF交AC于O，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：可以添加的條件是AB⊥AC，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E、F分別為邊AD、BC的中點，∴AE＝AD，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF＝CF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF，∵AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCH，∵AH＝CG，∴AH﹣HG＝CG﹣HG，即AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝FHG，∴EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，連接EF交AC于O，∵AB∥EF，AB⊥AC，∴EF⊥AC，∴四邊形EGFH是菱形，故選：D．10．(2023?上海模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四邊形BCDE的頂點E在邊AB上，聯(lián)結(jié)CE、AD．添加一個條件，可以使四邊形ADCE成為菱形的是（）A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE【分析】設AC于ED交于點O，證明△AOE≌△COD，可得OA＝OC，可以判斷四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可解決問題．【解答】解：添加CD＝CE，可以使四邊形ADCE成為菱形，理由如下：如圖，設AC于ED交于點O，∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC，BE∥CD，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，∵CD＝CE，∴OD＝OE，∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠DCO，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS），∴OA＝OC，∵OD＝OE，四邊形ADCE是平行四邊形，∵CE＝CD，∴四邊形ADCE是菱形．因為添加其他條件，都不可以使四邊形ADCE成為菱形．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．(2023?富拉爾基區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點，使四邊形AFDE為菱形，應添加的條件是AF＝AE（添加一個條件即可）．【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得DF∥AC，DE∥AB，進而可得四邊形AFDE為平行四邊形，再AF＝AE，可得四邊形AFDE為菱形．【解答】解：添加AF＝AE，∵點D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點，∴DF∥AC，DE∥AB，∴四邊形AFDE為平行四邊形，∵AF＝AE，∴四邊形AFDE為菱形，故答案為：AF＝AE．12．(2023秋?陳倉區(qū)期中）如圖，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝120°時，四邊形ABCD是菱形，且BD＝4．【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)求得∠ADB＝∠ABD，從而求得∠A，然后根據(jù)特殊角及AB的長即可求得對角線BD的長．【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ADE＝150°，∴∠ADB＝30°，當四邊形ABCD是菱形時，AB＝AD，則∠ADB＝∠ABD＝30°，此時∠A＝120°，∵AB＝4，∴BD＝4，故答案為：120°，4．13．(2023春?陵城區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加一個條件判定?ABCD是菱形，所添條件為AB＝AD（寫出一個即可）【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得解．【解答】解：根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，則可添加條件為：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）也可添加∠1＝∠2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求AD＝CD．根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，則可添加條件為：AC⊥BD．故答案為：AB＝AD（答案不唯一）14．(2023春?陽谷縣期中）如圖所示，正方形ABCD中，E、F是對角線AC上兩點，連接BE、BF、DE、DF，則添加一個條件BE＝BF，可以判定四邊形BEDF是菱形．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，再證明△ADE≌△ABE可得ED＝EB，同理可得DF＝BF，再加上條件EB＝FB，可得四邊形BEDF是菱形．【解答】解：添加條件BE＝BF．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，在△ABE和△ADE中，∴△ADE≌△ABE（SAS），∴ED＝EB，同理：DF＝BF，∵EB＝FB，∴四邊形BEDF是菱形．故答案為：BE＝BF．15．(2023春?同安區(qū)期中）如圖，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，將Rt△ABF沿著BE方向平移到Rt△DEC的位置，此時點E恰為邊BF的中點，若AE＝2，則四邊形AEFD的面積為2．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，AD∥BE，AD＝BE，再利用線段中點可得BE＝EF，從而可得AD＝EF，進而可得四邊形AEFD是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AE＝EF，從而可得四邊形AEFD是菱形，進而可得四邊形AEFD的面積＝2△AEF的面積，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，從而求出△ABF的面積，即可解答．【解答】解：由平移得：AD∥BE，AD＝BE，∵點E為邊BF的中點，∴BE＝EF，∴AD＝EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵∠BAF＝90°，∴AE＝EF＝BF，∴四邊形AEFD是菱形，∴四邊形AEFD的面積＝2△AEF的面積，∵AE＝2，∴BF＝2AE＝4，∵∠B＝30°，∴AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，∴△ABF的面積＝AB?AF＝×2×2＝2，∵△ABF的面積＝2△AEF的面積，∴四邊形AEFD的面積＝△ABF的面積＝2；故答案為：2．16．(2023?夏津縣二模）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，D，E為線段AC上兩動點，且∠DBE＝30°，過點D，E分別作AB，BC的平行線相交于點F，分別交BC，AB于點H，G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①S△ABC＝；②當點D與點C重合時，F(xiàn)H＝；③AE+CD＝DE；④當AE＝CD時，四邊形BHFG為菱形．則其中正確的結(jié)論的序號是①②④．【分析】①利用三角形的面積公式計算即可；②依題意畫出圖形，利用等邊三角形和平行線的性質(zhì)求出FH即可；③將△CBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABN，由“SAS”可證△DBE≌△NBE，可得DE＝NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的關(guān)系，可判斷③；④先證△AGE，△DCH都是等邊三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定理判定即可．【解答】解：①過點A作AP⊥BC于點P，如圖1：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，AP⊥BC，∴BP＝BC＝，∴AP＝，∴．故①正確；②當點D與點C重合時，H，D，C三點重合，如圖2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，∴BE是∠ABC的平分線，∵AB＝BC，∴AE＝EC＝AC＝，∵CF∥AB，∴∠FCA＝∠A＝60°，∵GF∥BC，∴∠FEC＝∠ACB＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，∴△EFC為等邊三角形，∴FC＝EC＝，即FH＝．故②正確；③如圖3，將△CBD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABN，連接NE，過點N作NP⊥AC，交CA的延長線于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，∵∠DBE＝30°，∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，∴∠EBN＝∠DBE＝30°，又∵BD＝BN，BE＝BE，∴△DBE≌△NBE（SAS），∴DE＝NE，∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，∵NP2+PE2＝NE2，∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，∴AE2+CD2+AE?CD＝DE2，故③錯誤；∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵GF∥BH，BG∥HF，∴四邊形BHFG是平行四邊形，∵GF∥BH，BG∥HF，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，∴△AGE，△DCH都是等邊三角形，∴AG＝AE，CH＝CD，∵AE＝CD，∴AG＝CH，∴BH＝BG，∴?BHFG是菱形，故④正確，故答案為：①②④．17．(2023春?夏邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當AD＝時，平行四邊形CDEB為菱形．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB＝5，再由菱形的性質(zhì)得OD＝OB，CD＝CB，然后由勾股定理求出OB的長，即可得出答案．【解答】解：如圖，連接CE交AB于點O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5．若平行四邊形CDEB為菱形，則CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵S△ACB＝AB?OC＝AC?BC，∴OC＝．在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得，OB＝，∴AD＝AB﹣2OB＝．故答案為：．18．(2023?金水區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，∠D＝30°，對角線AC＝AD＝3，點E，F(xiàn)分別為CD，AB邊上的動點，且DE＝BF．現(xiàn)將△ADE關(guān)于直線AE對稱，點D的對應點記為D′，將△CBF關(guān)于直線CF對稱，點B的對應點記為B′，當以點A，B'，C，D'為頂點的四邊形是菱形時，DE的長度為．【分析】連接CD'，AB'，先證△ACD'是等邊三角形，再證∠ED'C＝90°，再在Rt△CD'E中利用三角函數(shù)求出D'E，進而解答即可．【解答】解：連接CD'，AB'，∵四邊形AB'CD'是菱形，∴AB'＝CD'＝AD'＝B'C，根據(jù)對稱的性質(zhì)有AD＝AD'，∠D＝∠AD'E＝30°，∵AC＝AD＝3，∴AD'＝AC＝CD'，∴△ACD'是等邊三角形，∴∠ACD'＝∠AD'C＝60°，∴∠ED'C＝90°，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD＝30°，∴∠DCD'＝∠ACD'﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，在Rt△CD'E中，tan∠DCD'＝，∴D'E＝D'C×tan∠DCD'＝3×tan30°＝3×，根據(jù)對稱的性質(zhì)有DE＝D'E＝，故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．(2023?南京模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．（1）求證：∠BAC＝∠DAC．（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）根據(jù)SSS證明△ABC≌△ADC，即可解決問題；（2）先證明AD＝CD，根據(jù)已知可得AB＝AD＝CB＝CD，利用四邊相等即可解決問題；【解答】證明：（1）∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．20．(2023秋?寧德期末）利用所給的圖形證明：一個頂點到它所對的兩邊距離相等的平行四邊形是菱形．（寫出已知、求證并加以證明）已知：求證：證明：【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠A＝∠C，由“AAS”可證△DAE≌△DCF，可得AD＝DC，即可得結(jié)論．【解答】解：已知：在?ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，求證：?ABCD是菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，又∵DE＝DF，∴△DAE≌△DCF（AAS）∴DA＝DC，∴?ABCD是菱形21．(2023?武威模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是對角線AC上一點，∠ADC＝∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）分別過點E，B作EF∥AB，BF∥AC，當∠FCE和∠DCE滿足怎么樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形EFCD是菱形？請說明理由．【分析】（1）由平行線的在得∠ABC+∠BCD＝180°．再證∠ADC+∠BCD＝180°，則AD∥BC，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）先證四邊形ABFE是平行四邊形，得AB∥EF，AB＝EF，再證CD∥EF，CD＝EF，則四邊形EFCD是平行四邊形，然后證EF＝FC，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∠FCE＝∠DCE時，四邊形EFCD是菱形，理由如下：∵EF∥AB，BF∥AE，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF，AB＝EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∵CD∥EF，∴∠FEC＝∠DCE，又∵∠FCE＝∠DCE，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴平行四邊形EFCD是菱形．22．(2023春?郯城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M是BD上任意一點，連接AM并延長至點N，使AM＝MN，交BC于H，連接CN、BN．（1）求證：OM∥CN．（2）連接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求證：四邊形BNCM是菱形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，再證OM是△ACN的中位線，即可得出結(jié)論；（2）證△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再證四邊形BNCM是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AM＝MN，∴OM是△ACN的中位線，∴OM∥CN；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AD⊥AN，∴BC⊥AN，∵AB＝AC，∴BH＝CH，由（1）可知，OM∥CN，∴∠MBH＝∠NCH，在△MBH和△NCH中，，∴△MBH≌△NCH（ASA），∴MH＝NH，∴四邊形BNCM是平行四邊形，又∵BC⊥MN，∴平行四邊形BNCM是菱形．23．(2023春?巴東縣期末）已知點E是平行四邊形ABCD邊CD上的一點（不與點C，D重合