四川省廣安市華鎣中學2023-2024學年高二上學期1月月考數(shù)學試題

四川省華鎣中學高2025屆1月月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知直線經(jīng)過點和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解出斜率，然后根據(jù)求解出傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，因為，所以且，所以，故選：C.2.若直線與直線平行，則的值是（）A.1或 B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由直線與直線平行，可得，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C3.已知拋物線經(jīng)過點，點到拋物線的焦點的距離為3，則拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點在拋物線上及焦半徑公式列方程組求出，進而可得準線方程.【詳解】由已知，解得，故拋物線的準線方程為，故選：A.4.如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為原點，所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，求出，，利用向量的夾角公式可得答案.【詳解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以，所以互相垂直，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，可得，，所以.所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：C.5.我國古代數(shù)學典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人 C.8天716人 D.9天795人【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值．【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B．6.已知兩點，，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當直線與線段有交點時，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C7.已知點是橢圓上的動點，于點，若，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)點在橢圓上可得，繼而根據(jù)，設(shè)，求出，代入中，即可求得答案.【詳解】由于點是橢圓上的動點，設(shè)，則，又于點，則；設(shè)，由，得，則，代入，得，即點的軌跡方程為，故選：A8.若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程確定直線過定點，曲線是半圓，作出圖形后，由圖形易得參數(shù)范圍．【詳解】由已知直線過定點，曲線是以為圓心，2為半徑的圓的左半部分弧，，作出它們的圖形，如圖，直線的斜率為，當直線斜率不存在時，它與該半圓相切，由圖可知，它們有兩個交點時，，故選：C．二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.已知是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知等比數(shù)列判斷選項中的數(shù)列是否為等比數(shù)列時，一般從舉反例否定和按照等比數(shù)列定義推理兩個角度進行即可.【詳解】不妨設(shè)等比數(shù)列的公比為.對于A選項，不妨取數(shù)列展開為，則展開為，顯然不是等比數(shù)列，故A項錯誤；對于B選項，由則數(shù)列為等比數(shù)列，故B項正確；對于C選項，由則數(shù)列為等比數(shù)列，故C項正確；對于D選項，當時，數(shù)列為首項為0的常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D項錯誤.故選：BC.10.下列說法中，正確是（）A.過兩點的直線方程為B.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8C.過點且與直線相互平行的直線方程是D.經(jīng)過點且在兩坐標軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【解析】【分析】由x2＝x1或y2＝y(tǒng)1時，式子無意義可判斷A；求解直線與兩個軸交點坐標，計算面積可判斷B；設(shè)平行的直線為，代入點坐標求解可判斷C；過原點的直線在兩個坐標軸上截距也相等，分析可判斷D.【詳解】對A，當x2＝x1或y2＝y(tǒng)1時，式子＝無意義，故A不正確；對B，直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標軸交點坐標為，故圍成的三角形的面積是×4×4＝8，故B正確；對C，與直線平行，所求直線設(shè)為，將點代入得，所以所求直線為，即，故C正確；對D，斜率為1以及過原點的直線在兩個坐標軸上截距都相等，故經(jīng)過點（1，2）且在兩坐標軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣3＝0或y＝2x，故D錯誤.故選：BC.11.以下四個命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點不同B.，為橢圓的左、右焦點，則該橢圓上存在點滿足C.曲線的漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的充要條件【答案】CD【解析】【分析】A選項，求出雙曲線和橢圓方程的焦點坐標，判斷A錯誤；B選項，求出，故點的縱坐標為2或即可，根據(jù)橢圓上點的有界性判斷B錯誤；C選項，根據(jù)雙曲線漸近線方程公式求出答案；D選項，根據(jù)焦點所在位置得到不等式，求出，D正確.【詳解】A選項，雙曲線，即，焦點在軸上，由于，故其焦點為，，而橢圓，焦點在軸上，且，故焦點為，，故A錯誤；B選項，橢圓，則，，即，所以，，則，要使，則，即，即點的縱坐標為2或即可，而橢圓上的點縱坐標取值范圍為，則不存在點滿足，故B錯誤；C選項，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；D選項，曲線，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故D正確.故選：CD.12.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，的面積的最大值為B.當時，三棱雉的體積為定值C.當時，的最小值為D.當時，不存在點，使得【答案】ABC【解析】【分析】當時，當點與重合時，證得，結(jié)合，可判定A正確；當時，得到點在上運動，根據(jù)，可判定B正確；設(shè)的中點為，的中點為，得到點在線段上運動，當點運動到線段的中點時，，求得，可判定C正確；當時，設(shè)的中點為，的中點為，得到點在上運動，當點與點重合時，證得；當點與點重合時，，可判定D錯誤；【詳解】對于A中，當時，，則點在上運動，則當點與重合時，則此時面積取得最大值，，由于直三棱柱，則，為等腰直角三角形，則，又由，面，則面，因為面，所以，則，故選項A正確；對于B中，當時，則，點在上運動，則，由于點到平面的距離為定值，點到線段的距離恒為，則，則，故選項B正確；對于C中，設(shè)的中點為，的中點為，當時，，則點在線段上運動，因為，，所以當點運動到線段的中點時，，此時，所以，故選項C正確；對于D中，當時，，設(shè)的中點為，的中點為，則點在上運動，當點與點重合時，，，因為，平面，則面，又因為面，則，當點與點重合時，面，即面，則，故選項D錯誤；故選：ABC.【點睛】方法點睛：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分．）13.已知是公比為2的等比數(shù)列，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】是公比為2的等比數(shù)列，故答案為：.14.設(shè)橢圓C：的焦點分別為，，過的直線與橢圓相交于A，B兩點，則的周長為________．【答案】16【解析】【分析】，利用橢圓定義可求出的周長．【詳解】橢圓C：的長半軸長，則的周長為．故答案為：16.15.已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，，三向量共面，由求解.【詳解】解：因為，，，且，，三向量共面，所以，即，所以，解得，故答案為：116.已知點，點P在拋物線上運動，點B在曲線上運動，則的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求解【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)點坐標，則，由題意當時，，令，則，，由基本不等式知，當且僅當時等號成立故的最小值為．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值為–16．【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式即得結(jié)果；（2）方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】公式法設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列通項公式為，易得，由，即，即，解得：，所以．（2）[方法1]：鄰項變號法由可得．當，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．【整體點評】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計算，利用等差數(shù)列前n項和公式求出公差，即可得到通項公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程組求解；（2）方法一：利用等差數(shù)列前n項和公式求，再利用鄰項變號法求最值；方法二：利用等差數(shù)列前n項和公式求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值．18.已知動點與兩個定點，的距離的比是2.（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用條件求出點的軌跡方程，所求方程表示一個圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當直線的斜率存在時，用點斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進而求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)點，動點與兩個定點，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點的軌跡的方程為；【小問2詳解】由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.19.已知雙曲線C和橢圓有公共焦點，且離心率為．（1）經(jīng)過點作直線l交橢圓交于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程．（2）求雙曲線C的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用點差法求出直線l的斜率，進而得到直線方程；（2）求出橢圓方程的焦點坐標，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合離心率得到方程組，求出，求出雙曲線方程.【小問1詳解】設(shè)，當時，此時不是AB的中點，不合要求，故，則，兩式相減得，故，因為，故，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】的焦點坐標為，設(shè)雙曲線C的方程為，則，解得，故雙曲線方程為.20.第22屆亞運會已于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為慶祝這場體育盛會的勝利召開，某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，，，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．（1）求這3人中至多有2人通過初賽的概率；（2）求這3人都參加市知識競賽的概率；（3）某品牌商贊助了社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了獎勵方案：只參加了初賽的選手獎勵200元，參加了決賽的選手獎勵500元．求三人獎金總額為1200元的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）計算出3人都沒有通過初賽的概率，再利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）)計算出3人各自參加市知識競賽的概率，再利用獨立事件概率公式可求得所求事件的概率；（3）計算出3人中有兩人通過初賽的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；【小問1詳解】由題意可得：3人全通過初賽的概率為，所以這3人中至多有2人通過初賽的概率為；【小問2詳解】甲參加市知識競賽的概率為，乙參加市知識競賽的概率為，丙參加市知識競賽的概率為，所以這3人都參加市知識競賽的概率為；【小問3詳解】由題意可得：要使得獎金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，記“甲、乙、丙三人獲得獎金之和為1200元”為事件，則.21.如圖，在四棱錐中，是正三角形，，平面平面，是棱上動點．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為30°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）由題設(shè)證得，取AD的中點，連結(jié)PO，應用面面垂直的性質(zhì)證平面，再由線面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定證結(jié)論；（2）取AB的中點，連結(jié)ON，則，構(gòu)建空間直角坐標系，設(shè)，應用向量法，結(jié)合線面角大小列方程求，即可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，取AD的中點，連結(jié)PO，因為是正三角形，所以又面面ABCD，面面，面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】取AB的中點，連結(jié)ON，則，所以以為正交基底建立空間直角坐