2023年新高考1卷22題解析一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優(yōu)化講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2023新高考1卷圓錐曲線“一題多解”——談?wù)剤A錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應(yīng)用的形式呈現(xiàn)，考察動(dòng)態(tài)情形下的范圍、最值、定點(diǎn)、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數(shù)的關(guān)系法（主流方法）．設(shè)出動(dòng)直線的方程（，），與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時(shí)兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進(jìn)行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數(shù)聯(lián)動(dòng)變換法（圓曲不聯(lián)立）．此種方法有別于方法1，不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線（直線）方程和題設(shè)中，得到若干個(gè)關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)間的關(guān)系式，對(duì)這些關(guān)系式進(jìn)行整體變形整體代換而求解．如弦中點(diǎn)問題常用點(diǎn)差法處理，定比分點(diǎn)問題可嘗試定比點(diǎn)差法處理．此種方法對(duì)多變量多參數(shù)的代數(shù)式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗(yàn)．3、設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．方法1、2均采用了設(shè)而不求的策略．當(dāng)問題中直線與曲線的交點(diǎn)易求時(shí)，可考慮直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解，即設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．如：動(dòng)直線過曲線上一已知點(diǎn)時(shí)，則另一交點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出；再如動(dòng)直線與橢圓的交點(diǎn)易求出．【2023新高考22題】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長大于．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：點(diǎn)參+多變量聯(lián)動(dòng)變形+不等式放縮+導(dǎo)數(shù)【分析】設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.【詳解】設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長為,由對(duì)稱性不妨設(shè)，，則.，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：直線雙參點(diǎn)斜式+方程聯(lián)立+不等式放縮+導(dǎo)數(shù)【分析】設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即可.【詳解】不妨設(shè)在上，且，依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：坐標(biāo)平移+點(diǎn)參+三角代換+基本不等式放縮【分析】利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價(jià)于矩形的周長大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)