新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修2習(xí)題第一章立體幾何初步1.6.2

6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)1.已知直線l垂直于△ABC的兩邊AB,AC,直線m垂直于△ABC的兩邊BC,BA,則直線l,m的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行 C.相交 D.不確定答案:B2.已知平面α,β,γ,直線a,b,則下列命題正確的是()A.α⊥β,β⊥γ,則α∥γB.α∥β,β⊥γ,則α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,則a⊥bD.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,則b⊥α解析:選項(xiàng)A中α,γ可以相交;選項(xiàng)C中,如圖所示,a與b不一定垂直;選項(xiàng)D中,b僅垂直于α內(nèi)的一條直線a,不能判定b⊥α.答案:B3.已知平面α,β,直線l,若α⊥β,α∩β=l,則()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直解析:若α⊥β,α∩β=l,則垂直于β的平面可以與α相交,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)直線在β內(nèi),且垂直于交線l時(shí),才垂直于平面α,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;垂直于β的平面可以與l相交,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;由面面垂直的判定定理可知D項(xiàng)正確.答案:D4.若P為△ABC所在平面外的一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,有下列命題,則其中真命題的個(gè)數(shù)是()①PA⊥BC;②AB⊥BC;③P在平面ABC上的射影為△ABC的內(nèi)心.A.0 B.1 C.2 D.3解析:PA⊥PB,PA⊥PC?PA⊥面PBC,∴PA⊥BC,即①為真命題;同理PC⊥AB,若AB⊥BC,則AB⊥面PBC,PA∥AB,矛盾,即②為假命題;設(shè)點(diǎn)P在面ABC上的射影為點(diǎn)H,易證AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB,所以點(diǎn)H為△ABC的垂心,即③為假命題.答案:B5.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總是保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.線段B1CB.線段BC1C.BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段答案:A6.已知α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,給出如下四個(gè)論斷:①m⊥α;②n∥β;③α⊥β;④m∥n.現(xiàn)以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,請(qǐng)寫出其中一個(gè)正確的命題.

解析:由m⊥α,m∥n可知n⊥α,結(jié)合n∥β,可得α⊥β.答案:①②④?③7.如圖所示,三棱錐ABCD是長(zhǎng)方體木料的一角,現(xiàn)欲從頂點(diǎn)A沿著底面BCD的垂線方向鉆孔,則出口位置是△BCD的(填“重心”“垂心”“內(nèi)心”或“外心”).

解析:由于三棱錐ABCD的頂點(diǎn)A所在的三個(gè)角都為直角,過(guò)點(diǎn)A作AO垂直于底面BCD,則點(diǎn)O為△BCD的垂心.答案:垂心★8.在空間四邊形ABCD中,△ABD,△CBD都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,且平面ABD⊥平面CBD,E,F,G,H為空間四邊形AB,AD,CD,BC邊上的中點(diǎn),則四邊形EFGH的面積是.

解析:依題意,作出如右示意圖,取BD的中點(diǎn)為O,連接AO,CO,因?yàn)椤鰽BD,△CBD都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,AC?平面AOC,所以BD⊥AC.因?yàn)镋,F,G,H為空間四邊形AB,AD,CD,BC邊上的中點(diǎn),所以EFGH12BD,FGEH12因?yàn)锽D⊥AC,故EF⊥FG,即四邊形EFGH為矩形.在等腰直角三角形AOC中,AC2=AO2+CO2=322+322=32所以四邊形EFGH的面積S=EF·FG=12答案:69.如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=9,BC=12,AB=15.求證:AC⊥B1C.證明∵AC=9,BC=12,AB=15,∴AB2=AC2+BC2.∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.∵CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴AC⊥CC1.又CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BB1C1C.∵B1C?平面BB1C1C,∴AC⊥B1C.★10.如圖所示,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一點(diǎn).(1)若CD∥平面PBO,試指出點(diǎn)O的位置;(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.分析(1)可以證明BO∥CD,則四邊形BCDO是平行四邊形,從而確定點(diǎn)O的位置;(2)轉(zhuǎn)化為證明PD⊥平面PAB.(1)解∵CD∥平面PBO,CD?平面ABCD,且平面ABCD∩平面PBO=BO,∴BO∥CD.又BC∥AD,∴四邊形BCDO為平行四邊形,則BC=DO.而AD=3BC,∴AD=3OD,即點(diǎn)O是靠近點(diǎn)D的線段AD的一個(gè)三等分點(diǎn).(2)證明∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?底面ABC