2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-圓的綜合

2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破一圓的綜合

1.如圖，在Rt^ABC中，N54C=90。，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于

點(diǎn)、D,交A5于點(diǎn)E,連接DE.

⑴若ZABC=20。，求NDE4的度數(shù)；

(2)若AC=3,AB—4,求CD的長(zhǎng).

2.如圖，。。是AABC的外接圓，AE切。。于點(diǎn)A,AE與直徑8。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

E.

(1)如圖①，若/C=71。，求/E的大小；

(2)如圖②，當(dāng)AE=AB,DE=2時(shí)，求NE的大小和。。的半徑.

3.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。上，NGW=30,點(diǎn)。在48上由點(diǎn)B開始向點(diǎn)A

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，于點(diǎn)。，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

⑴求證：CE=CF；

(2)如果CDLAB,求證：EF為。的切線.

4.如圖所示，在J1BC中，/54C=9O。，點(diǎn)E在BC邊上，且C4=CE,過AC、E三

點(diǎn)的。交48于另一點(diǎn)尸，作直徑AD,連接。E并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)G,連接8,CF.

⑴求證：四邊形。CPG是平行四邊形.

3

(2)當(dāng)BE=4,C￡)=gAB時(shí)，求O的直徑長(zhǎng).

5.如圖，AB,AC分別是。的直徑和弦，半徑OE1AC于點(diǎn)。.過點(diǎn)A作的切

線與0E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，PC,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

⑴求證：「。是＜。的切線；

(2)若PC=2AD,AB=10,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，ABC是：。的內(nèi)接三角形，ZBAC=75°,^ABC=45°,連接AO,并延長(zhǎng)

交(。于點(diǎn)過點(diǎn)C作。的切線，與胡的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

C

⑴求證：AD//EC-

⑵若AD=4,求線段AE的長(zhǎng).

7.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的。O,點(diǎn)尸在圓弧上以2倍速度從B

向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在圓弧3c上以1倍速度從C向8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸，O,Q三點(diǎn)處于同一

條直線時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).

試卷第2頁，共6頁

A

(1)求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；

(2)若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過程中CM的最大值.

8.如圖，。是ASC的外接圓，是，。的直徑，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，。的切線

DE交OC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：DE//AC；

4

⑵連接交AC于點(diǎn)尸，若AC=8,cosA=-,求DE和BP的長(zhǎng).

9.如圖，出切。于點(diǎn)A,PC交＜。于C,。兩點(diǎn)，且與直徑交于點(diǎn)。.

⑴求證：AQ-BQ-CQ-DQ；

(2)若CQ=2,QD=3,BQ=1.5,求線段尸。的長(zhǎng).

10.如圖，。。是△ABC的外接圓，為直徑，NR4C的平分線交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)

。的切線分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于E,F,連接3D.

(1)求證：AFLEF；

(2)若AC=6,CF=2,求。。的半徑.

(1)如圖①，若BD為1O的直徑，連接8,求—DBC和—ACD的大??；

(II)如圖②，若CD//W,連接AD,過點(diǎn)。作。的切線，與0C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

求NE的大小.

12.如圖，在.ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)O,延長(zhǎng)C4交OO

于點(diǎn)￡.連接即交A3于點(diǎn)E

(1)求證：CDE是等腰三角形.

(2)當(dāng)CD：AC=2：6時(shí)，求二；的值.

13.如圖，在R3ABC中，NACB=90。，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的。0

與邊AC相切于點(diǎn)E,連接DE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

試卷第4頁，共6頁

(1)求證：BD=BF；

(2)若BC=6,AD=4,求。。的半徑.

14.如圖，直線4^/2，。為垂足.以。圓心，G的半徑作圓，交4于點(diǎn)M,N,交4

于點(diǎn)尸,Q.在一。上任取一點(diǎn)A,作：ABC,使ZA=90。，NACB=30。，頂點(diǎn)A,B,

C按順時(shí)針方向分布，點(diǎn)C落在射線ON上，且不在。內(nèi).若ABC的某一邊所在直

(1)如圖1,C4為1。的“相伴切邊”，C4平分求0C的長(zhǎng)；

(2)是否存在ABC三邊中兩邊都是：。的“相伴切邊”的情形？若存在，請(qǐng)求出AC的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.如圖，在放△ABC中，ZC=90°,以BC為直徑的。O交斜邊AB于點(diǎn)若，是

AC的中點(diǎn)，連接必/.

(1)求證：為。。的切線.

3AC

⑵若MH=：,黑=：,求。O的半徑.

2BC4

(3)在(2)的條件下分別過點(diǎn)A、B作。。的切線，兩切線交于點(diǎn)O,A。與。。相切

于N點(diǎn)，過N點(diǎn)作NQ_LBC,垂足為E,且交。。于。點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度.

16.如圖，已知CE是圓。的直徑，點(diǎn)8在圓。上由點(diǎn)E順時(shí)針向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B不與

點(diǎn)E,C重合)，弦BD交CE于點(diǎn)、F,且=過點(diǎn)8作弦8的平行線與CE的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)A.

BB

O

DD

備用圖

(1)若圓。的半徑為2,且點(diǎn)。為弧EC的中點(diǎn)時(shí)，求圓心。到弦的距離;

(2)在(1)的條件下，當(dāng)。F?￡>B=Cr>2時(shí)，求的大小;

(3)若=且CD=12,求△BCD的面積.

17.如圖1,。為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且BZ)=a).連接AC并延長(zhǎng),

與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

(2)AD與OC,8c分別交于點(diǎn)RH.

①若CF=CH,如圖2,求證：CFAF=FOAH-

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

18.如圖，AB是圓。的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且/PDA=/PBD.延

長(zhǎng)PD交圓的切線BE于點(diǎn)E.

(1)證明：直線PD是。O的切線；

(2)如果NBED=60。，PD=6,求PA的長(zhǎng)；

(3)將線段PD以直線AD為對(duì)稱軸作對(duì)稱線段DF,點(diǎn)F正好在圓O上，如圖2,求

證：四邊形DFBE為菱形.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.(1)65°

(2)CZ)=y

【分析】本題主要考等腰三角形，勾股定理的綜合，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，等面積法求高等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖所示，連接AD,可得AACO,LADE是等腰三角形，根據(jù)直角三角形可求出ZACB

的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出NC4R/ZME的度數(shù)，由此即可求解；

(2)如圖所示，過點(diǎn)A作3c與點(diǎn)/，根據(jù)等面積法可求出”的值，根據(jù)勾股定理，

等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接AD,

?.?點(diǎn)C,￡),E在圓上，

AAC=AD=AE,即"⑦,△ADE是等腰三角形，

?.?在RtZkABC中，ZS4C=90°,ZABC=20°,

ZACB=90°-20°=70°,

ZACD=ZAT)C=70°,

ZCAD=180°-ZACZ)-ZADC=180°-70°-70°=40°,

ZDAE=ABAC-ZCAD=90°-40°=50°,

ZADE=ZAED=1(180°-ZDA￡)=1x(180°-50°)=65°,

的度數(shù)為65。.

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)A作AF1BC與點(diǎn)尸，

答案第1頁，共30頁

.,.在RtAABC中，BC=>jAC2+AB2=732+42=5>

S^c=^AC.AB=^BC.AF,

.yAC-AB3x412

BC55

VAF±CD,ACD是等腰三角形，

:.CD=2CF=2DF,

在RtACF中，CF=JAC?一AU=卜_旨］=|

CD=2x-=—,即CD=身.

555

2.(1)52°；

(2)30°,2.

【分析】（1）連接。4,先由切線的性質(zhì)得NAOE的度數(shù)，求出NAO3=2/C=142。，進(jìn)而

得NAOE,則可求出答案；

（2）連接Q4,由等腰三角形的性質(zhì)求出/E=30。，根據(jù)含30。解的直角三角形的性質(zhì)求解

即可.

【詳解】（1）解：連接。4.

；AE切O于點(diǎn)A,

Z.OArAE,

：.ZO4E=90°,

"?ZC=71°,

ZAOB=2ZC=2x71。=142°,

又ZAOB+ZAOE=180°,

ZAOE=38°,

答案第2頁，共30頁

???ZAOE+ZE=90°,

圖①

連接。1,

設(shè)NE=x.

AB=AE,

AABE=Z_E—x,

OA=OB,

AOAB=AABO=x,

.\ZAOE=ZABO+ZBAO=2x.

AE是。的切線，

/.OA_LAE,即ZOAE=90°,

在△OAE1中，ZAOE+ZE=90°,

即2x+x=90°,

解得x=30?,

/.ZE=30°.

在&OAE中，OA=^OE9

QOA=OD,

OA=OD=DE,

DE=2,

.?.Q4=2,即.。的半徑為2；

答案第3頁，共30頁

A

圖②

本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，含

30。角的直角三角形的性質(zhì)，用方程思想解決幾何問題，關(guān)鍵是熟悉掌握這些性質(zhì).

3.(1)答案見詳解

(2)答案見詳解

【分析】(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，CE=CD,再求出=得出CD=CF,即可

得出結(jié)論.

(2)連接OC,先證出BOC是等邊三角形，得出ZOCB=60。再求出ZOCD=ZDCB=30°,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，ZECA=ZDCA=60°,求出NECO=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：?.?點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，

：.CE=CD,

:.ZECA=ZDCA,

又??DF_LDE,

???NCDF=90。—NCDE=90。—ZE=ZF,

；.CD=CF,

:.CE=CF,

(2)證明：連接OC,

vZACB=90°,ZCAB=3Q°,

??.ZCBA=60°,

答案第4頁，共30頁

.OB=OC,

??.50。是等邊三角形，

???NQCB=60。，

-CDLAB,

??.ZOCD=ZDCB=30°,

???點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，

**.CE=CD,

??.NEC4=ZZ)C4=60。，

???/ECO=ZECA+ZOCA=600+30°=90°,

；?EF為;。的切線.

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定，等邊

三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析

⑵36

【分析】(1)如圖所示，連接AE,由/B4C=90。，得到CF是。的直徑，根據(jù)圓周角定

(2)設(shè)CD=3x,AB=8x,得到8=FG=3x,于是得到AF=8=3x,求得

BG=8x-3x-3x=2x,求得8c=6+4=10,根據(jù)勾股定理，得AB=加力=8=8x，求

得x=l,在放中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接AE,

ABAC=90°,

是。的直徑,

答案第5頁，共30頁

AC=EC,

CF1AE,

AD是，。的直徑,

ZAED=90°,

:.CFDG.

AD是。的直徑，

.?.ZACD=90,

.?.NACD+NB4c=180。，

:.AB//CDf

???四邊形OC尸G是平行四邊形；

_3

(2)解：由C￡)=GA8,設(shè)CD=3X,AB=8X,

8

.\CD=FG=3x.

ZAOF=NCOD,

AF=CD—3x,

/.BG=8x—3x—3x=2xf

AB//CD,

:.ZB=NECD,

ZGEB=ZCEDf

BEGs.CED,

BEBG

'~CE~~CD9

.BEBG_2

>EC-GF-3?

BE=4,

:.AC=CE=6f

BC=6+4=10,

:.AB=y/BC2-AC2=7102-62=8>

..尤=1.

答案第6頁，共30頁

在RfAb中，AF=3,AC=6,

:.CF=VAF2+AC2=732+62=3亞，

即.o的直徑長(zhǎng)為3君.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓

周角定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.（1）見解析

25莊25n

~26~

【分析】（1）連接OC,可以證得△Aauacop,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)

定理可以得到NOCP=90。，即OC_LPC,即可證得PC是O的切線；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AO=CD=gAC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到R4=PC,求得

Z.CAF=ZPAO-APAC=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NG4F=NACO=30。，根據(jù)勾股

定理得到b=一OC。=而==5G，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接OC,

以是。。的切線，A5是O的直徑,

:.ZPAO=90°f

?！?，人。于點(diǎn)。，

AE=CE,

ZAOE=/COE,

在AAQP和ACOP中，

AO=CO

<ZAOP=/COP,

OP=OP

答案第7頁，共30頁

.'.^AOP^ACOP(SAS),

.\ZPCO=ZPAO=9Q0,

s.OCVPC,

OC是。的半徑，

.?.尸。是。的切線.

(2)解：OE_LAC于點(diǎn)。，

...AD=CD=-AC,

2

PA,PC是。的切線，

:.PA=PC,

PC=2AD,

：.PA=PC=AC,

.\ZPAC=60°,

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

OA=OC,

.\ZCAF=ZACO=30°f

ZCOF=2ZCAF=60°,

/.ZF=90°-ZCOF=30°,

:.OF=2OC=10,

在RfOC尸中，CF=yJoF2-OC2=^102-52=5^.

.ss_1SA?60?乃-52_25布25萬

-XDXD

,,J陰影一^\COF-J扇形80c2V260-—26~?

故答案為：.

26

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形

的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.⑴見解析

(2)AE=4

【分析】(1)連接OC,根據(jù)CE是。。的切線，可得NOCE=90。，根據(jù)圓周角定理，可得

ZAOC=90°,從而得到/AOC+/OCE=180。，即可求證；

(2)過點(diǎn)A作AFLEC交EC于點(diǎn)F，由/AOC=90。，OA=OC,可得NO4C=45。，從而

答案第8頁，共30頁

得到NR4O=30。，再由可得NE=30。，然后證得四邊形QA尸C是正方形，可得

AF=OA,從而得到AQ3,再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】（1）證明：連接。G

VCE>(。的切線，

ZOCE=90°,

二"AC，"*，

???ZAOC=2ZABC=90°,

9：ZAOC+ZOCE=180°,

???AD//EC.

(2)解：過點(diǎn)A作AFJ_￡C交EC于點(diǎn)憶

E

^AOC=90°,OA=OC,

：.ZOAC=45°,

???NBAC=75。，

???ABAD=ZBAC-ZOAC=75°-45°=30°,

9：AD//EC,

：.ZE=ZBAD=30°,

VZOCE=90°,^AOC=90°,OA=OC,

四邊形OAFC是正方形，

???AF=OA,

,/4)=4,

答案第9頁，共30頁

AF=-AD^2,

2

在RtAFE中，

..AF1

..sinhP=----=一,

AE2

???A￡=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.(1)—7T

3

⑵4+1.

【分析】(1)如圖，設(shè)？COQa,結(jié)合題意可得：?BOP2a,結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解

“=60?,再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)解：如圖，取。8的中點(diǎn)N,連接NM,NC,MC,過N作他J_3C于K,過。作OE，BC

于￡,證明M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，CM

最大，從而可得答案.

【詳解】⑴解：如圖，設(shè)？C。。結(jié)合題意可得：2BOP2a,

ABC為等邊三角形,

360°

\1BOC------=120?,

3

\1BOQ120?a,

而尸,O,Q三點(diǎn)共線，

\7BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：。=60。，

答案第10頁，共30頁

??.Q運(yùn)動(dòng)的總長(zhǎng)度為：里與工=。

lot)3

(2)解：如圖，取。8的中點(diǎn)N,連接NM,NC,MC,過N作NKJ_3C于K,過。作OE_L3C

于￡,

M為尸B的中點(diǎn)，

\NM=-OP=\,

2

在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng),

...當(dāng)C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，CM最大,

Q7BOC120?,03OC,

\?0BC30?,

\NK=-BN=-,BK=—,

222

同理可得：BE=?則BC=2石，

\CM=CN+NM=y/7+l,

?1.CM的最大值為：77+1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì),

勾股定理的應(yīng)用，熟練的構(gòu)造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題的關(guān)鍵.

8.⑴見解析

(2)D￡=y,BP=3非

答案第11頁，共30頁

【分析】(I)連接0,用垂徑定理的推論和切線性質(zhì)定理證明；

(2)設(shè)。。與AC交點(diǎn)為憶連接AD,根據(jù)NA4c的余弦值和勾股定理求出AS3c的長(zhǎng)，

證明NE=N3AC,ZED0=ZACBf得至根據(jù)相似比求出的長(zhǎng)；根據(jù)三

角形中位線定理求出。尸的長(zhǎng)，得到。尸的長(zhǎng)，用勾股定理求出AO的長(zhǎng)，最后用

ZCAD=ZCBD的余弦值求出BP的長(zhǎng)

【詳解】⑴連接

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

：.OD±AC,

???。6是。。切線,

C.DEL0D,

J.DE//AC

(2)設(shè)OD與AC交點(diǎn)為尸，連接A。，則NCAD=NC30,

9：DE//AC,

：./E=/OCA,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZOAC=ZEf

TAB是。。的直徑，

???ZACB=90°,

：.ZACB=ZEDO=90°f

bABCsbEOD,

.0DDE

??拓一花’

AC4

VcosZBAC=——=-,AC=8,

AB5

：.AB=10f

答案第12頁，共30頁

；?BC7AB2—AC2=6,8=5,

5DE

6~~8~

-D￡=f

u：OF=-BC=3,

2

：.DF=OD-OF=5-3=2,

;AF=-AC=4,

2

???AD=^AF2+DF2=245^

AF_4_2

cos/CAD=

AD-2小一小'

/.BP=3A/5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，切線性質(zhì)定理，平行線的判定，圓周角定理推論，相似

三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是連接

OD,AD,熟練運(yùn)用上述性質(zhì)和判定定理解答

9.⑴證明見解析

⑵線段PD的長(zhǎng)為7.

【分析】⑴連接AC,由同弧所對(duì)的圓周角相等得到乙4BC=N">C,再由N3QC=NOQA,

可證△BQC^^DQA,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證；

(2)由切線性質(zhì)得到/BAP=/RW+/BU)=90。，由直徑所對(duì)的圓周角為90。，得

ZABD+ZBAD=90°,ZPAD=ZABD=ZACD,從而△PDAsAf^c,由相似三角形的性質(zhì)得

到Ap2=p￡).pc,即人尸二陽.(尸。+5)在尺公人尸。中，由勾股定理得尸2+AQ2=PQ2,即可求

解.

答案第13頁，共30頁

【詳解】（1）證明：連接AC

???/ABC和/">C所對(duì)的圓弧都為AC，

ZABC=ZADC,

'：ZBQC=ZDQA,

:.△BQCs^DQA,

.BQ=CQ

''DQ~XQ'

AQBQ^CQDQ

解：由(1)知：AQBQ=CQDQ,且CQ=2,QD=3,80=1.5,

：.AQ=4,

?.?必切。于點(diǎn)A,

ZBAP=ZBAD+ZPAD=90°,

為直徑，

ZBDA=90°,ZABD+ZBAD=90°,

：.ZPAD=ZABD=ZACD,

'：ZP=ZP,

：./\PDA^/\PAC,

PDPA

：.—=—,即Ap2=po，c,^AP2=PD-(PD+5)

A尸PC

在RdAPQ中，AP2+AQ2=PQ2,

：.PD-(PD+5)+42=(PD+3)2,

解得：PD=T,

答案第14頁，共30頁

即線段的長(zhǎng)為7.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵正確添加輔

助線構(gòu)造相似三角形.

10.(1)見解析；(2)5

【分析】(1)連接OD,由切線的性質(zhì)和已知條件可證得OD//E尸，則可證得結(jié)論；

(2)過。作DGJ_他于點(diǎn)G,連接8,則可證得AAO尸學(xué)AWG、\CDF^\BDG,則可求得

A5的長(zhǎng)，可求得圓的半徑.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接OD,

FDE

圖1

EF是。的切線，且點(diǎn)。在。上，

：.OD.LEF,

OA=OD,

:./DAB=ZADO,

AD平分/B4C,

:.ZDAB=ZDAC,

.\ZADO=ZDAC,

s.AFHOD,

:,AF1.EF；

二(2)解：如圖2,過。作。GLAE于點(diǎn)G,連接。,

FDE

圖2

ZBAD=ZDAF,AFLEF,DGLAE,

答案第15頁，共30頁

:.BD=CD,DG=DF,

在RfA"和放ADG中

[AD=AD

[DF=DG

RtADF^RtADG(HL),

同理可得小CDF名RtBDG,

.-.BG=CF=2,AG=AF=AC+CF=6+2=8,

..AB=AG+BG=8+2=10,

的半徑Q4=；AB=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂

直，注意全等三角形的應(yīng)用.

11.(I)ZDBC=48°,ZACD=21°；(II)ZE=36°.

【分析】(I)由圓周角定理的推論可知/BCD=90。，ZBDC=ZBAC=42°,即可推出

NDBC=90°-ZBDC=48°；由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出

ZABC=ZACB=69°,從而求出NACD=NBCD-NACB=21。.

(H)連接OD,由平行線的性質(zhì)可知NACD=NB4C=42。.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出

ZADC=180°-ZABC=lll°.再由三角形內(nèi)角和定理可求出/D4C=27。.從而由圓周角定

理求出N￡?OC=2/A4C=54。.由切線的性質(zhì)可知NO/)E=90。.即可求出

ZE=90°-ZDOE=36°.

【詳解】(I)BD為'。的直徑，

NBCD=90°.

?.?在中，NBDC=NBAC=42°,

：.ZDBC=90°-ZBDC=48°；

VAB=AC,ABAC=AT,

答案第16頁，共30頁

ZABC=/ACB=g（180。一ABAC）=69°.

ZACD=ZBCD-ZACB=21°.

（ID如圖，連接OD.

,/CDBA,

ZACD=ZBAC=42°.

??,四邊形A3CD是圓內(nèi)接四邊形，ZABC=69°,

：.ZADC=1800-ZABC=111°.

：.ZDAC=180°-ZACD-ZADC=27°.

ZDOC=2ZDAC=54°.

0￡是1。的切線，

DEAOD,即NODE=90°.

ZE=90°-ZDOE=36°.

【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題.考查圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和

定理，平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想以及連

接常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

3

12.（1）見解析；（2）-

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出NABC=NC,由圓周角定理得出證

出NA￡D=/C,即可得出結(jié)論；

（2）連接AD,過點(diǎn)D作。于點(diǎn)，，設(shè)CO=2x,AC=亞x,則AD=x,由三角形

AOC的面積可得出?！钡拈L(zhǎng)，求出AE,則可得出答案.

【詳解】解：（1）證明：：4臺(tái)二人。，

ZABC=ZC,

答案第17頁，共30頁

"?ZAED=ZABC,

：.ZC=ZAED,

.?.△CDE是等腰三角形；

(2)如圖，連接AD過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,

設(shè)C￡)=2x,AC=yj5x,

；AB是直徑，

ZADC=90°,

'-AD=dAC?-CD。=x,

"：S^ADC=^AD>DC=gAODH,

?cq—ADCD275

??Dn.----------=-----X,

AC5

?;DE=CD,

CH=EH=y/DC2-HD2=

5

???AE=2CH-AC=場(chǎng)x-y/5x=-x.

55

3.

AAE=3,

AC布x5

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，三角形的面積等知

識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析；(2)。。半徑為4.

【分析】(1)連接0E,如圖，利用切線的性質(zhì)得OELAC,再證明0E〃:BF得到NDEO=

NF,然后利用NODE=NOED得到NOED=NF,從而根據(jù)等腰三角形的判定得到結(jié)論；

(2)設(shè)。。的半徑為r,證明△AOEs^ABC,利用相似比列解方程解答即可.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接OE

答案第18頁，共30頁

AOEXAC,

又?:ZACB=90°,

NOEA=NACB=90。，

???OE〃BF,

???NF=NOED,

又???OE=OD,

???NBDF=NOED,

即NF=NBDF,故BD=BF.

(2)設(shè)。O半徑為，由OE〃BC得NOEA=NACB=90。，

NOAE=NBAC,則△AOEs^ABC,

.AOOE4+rr

??=,Bnn-J=，

ABBC4+2r6

r-r-12=0,

解得r=4,r=-3(舍去)，

經(jīng)檢驗(yàn)，r=4是原分式的解.

所以，。。半徑為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

14.(1)273；(2)6或36或2百-3.

【分析】(1)如圖(見解析)，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得Q4,AC,再根據(jù)角平分線的性

質(zhì)可得ZOCA=ZACB=30°,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得；

(2)如圖(見解析),分①邊AB、BC都是＜O的“相伴切邊”，②邊AC、BC都是C。的“相

伴切邊”，③邊AC、AB都是,：。的“相伴切邊”三種情況，再分別根據(jù)圓的切線的性質(zhì)、直

角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)求解即可得.

答案第19頁，共30頁

【詳解】（I）如圖，連接0A,貝1］。4=6,

C4為。的“相伴切邊”，

:.OALAC,即/Q4C=90°,

ZACB=30°,C4平分/0C3,

，NOC4=/ACS=30。，

則在RrZkAOC中，OC=2OA=2A/3；

(2)存在，求解過程如下：

由題意，分以下三種情況：

①當(dāng)邊AB、BC都是。的“相伴切邊”時(shí)，則。

N54C=90。，即AC_LAB,

.,.點(diǎn)O、A、C共線，

又；點(diǎn)C落在射線ON上，且不在二。內(nèi)，

二點(diǎn)A只能在點(diǎn)M或點(diǎn)N處，

如圖2-1,當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)N處時(shí)，

設(shè)BC與相切于點(diǎn)D,連接OD,則OD_LCD,

NACB=30。，

.-.OC=20。=273,

AC=OC-OA=y/3；

答案第20頁，共30頁

如圖2-2,當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)M處時(shí)，

設(shè)BC與。相切于點(diǎn)D,連接0D,則8LCD,

ZACB=30°,

OC=2OD=2A/3,

AC=OC+OA=3A/3；

②當(dāng)邊AC、BC都是。的“相伴切邊”時(shí)，則Q4LAC,

ABAC=90°,

.-.Z(MB=180o,即點(diǎn)0、A、B共線，

如圖2-3,設(shè)BC與，。相切于點(diǎn)D,連接OD,則ODLCD,

設(shè)AB=x,則BC=2x,AC=屈。-AB?=瓜，

OB=OA+AB=A/3+x,

答案第21頁，共30頁

ZBAC=ZBDO=90°

在，ABC和05。中,

/B=NB

ABC?、.DBO,

ACBC上x2x

——=——，即—=-=——

ODOB上上+x

解得x=2-括或x=0(舍去),

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=2-6是所列方程的解,

貝l]AC=&=2宕-3；

③當(dāng)邊AC、AB都是。的“相伴切邊”時(shí)，

.AC是O的“相伴切邊”，

:.OA±AC,即/Q4c=90。，

ABAC=90°,

.-.Z(MB=180o,即點(diǎn)0、A、B共線，

AB不可能是。的“相伴切邊”，

則邊AC、AB不能同時(shí)是＜O的“相伴切邊”；

綜上，AC的長(zhǎng)為后或或2石-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(2),正確分三種情況討論，并畫出圖形是解題關(guān)鍵.

48

15.(1)證明見解析；(2)2；(3)—.

【分析】(1)連接OH、OM,易證?！笔恰鰽BC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明

答案第22頁，共30頁

&COH名△MOH,所以NHCO=NHMO=90。，從而可知必?是。。的切線；

AC3

(2)由切線長(zhǎng)定理可知：MH=HC,再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3,由==二，所以

BC4

BC=4,從而可知。。的半徑為2；

(3)連接CMAO,CN與A。相交于/,由AC、AN是。。的切線可知AOLCN,利用等

面積可求出可求得C7的長(zhǎng)度，設(shè)CE為x,然后利用勾股定理可求得CE的長(zhǎng)度，利用垂徑

定理即可求得NQ.

【詳解】解：(1)連接OH、OM,

是AC的中點(diǎn)，。是3c的中點(diǎn)

是△ABC的中位線,

：.OH//AB,

：.ZCOH=ZABC,ZMOH=ZOMB

又＜OB=OM,

：.ZOMB=ZMBO,

ZCOH=ZMOH,

在小COH與△MO”中，

OC=OM,ZCOH=ZMOH,OH=OH

:.△COH義AMOH(SAS),

ZHCO=ZHMO=90°,

...MH是。。的切線；

(2)〈MH、AC是。。的切線，

：.HC=MH=~,

2

：.AC=2.HC=3,

答案第23頁，共30頁

..AC_3

'BC~4'

：.BC=4,

的半徑為2；

(3)連接。4、CN、ON,0A與CN相交于點(diǎn)/,

：AC與AN都是。O的切線，

：.AC=AN,AO平分NCAD,

：.AO1,CN,

'：AC=3,0C=2,

；?由勾股定理可求得：AO=JB,

'：^AC-OC=^AO-CI,

._6A/T3

?R?I----,

13

二由垂徑定理可求得：CN=D姮，

13

設(shè)OE=x,由勾股定理可得：CN2-CE2=ON2-OE2,

.?.也-(2+4=4-尤②,

13

?.?X1-29

13

??CE—,

13

24

由勾股定理可求得：EN=—,

48

二由垂徑定理可知：NQ=2EN=w.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，切

線的判定等知識(shí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來.

答案第24頁，共30頁

16.(1)V2；(2)45°；(3)72

【分析】(1)過。作OHLCD于根據(jù)點(diǎn)。為弧EC的中點(diǎn)，可得/OCW=45。，進(jìn)而得

出OH=CH,再根據(jù)圓。的半徑為2,即可得到OH=0；

(2)先判定ACDPSMDC,可得ZDCF=NDBC,再根據(jù)NOC「=45。，即可得出

ZDBC=45°；

(3)連接BE,BO,DO,并延長(zhǎng)3。至H點(diǎn)，依據(jù)=NOBC=NOCB,=

Aft2

判定AAB石sAAC5,即可得至ljAC=——,設(shè)AE=x,再根據(jù)AAO3sAeO”,可得

AE

33

4CRCAR'%一%O

—=—=7^7,即中-=焉7=高，解得x=5,OH=4.5,08=7.5,即可得到ABCD的

COHOCH±XUHo

2

面積=！xl2xl2=72.

2

【詳解】解：(1)如圖，過。作O"_LCD于H,

C

D

點(diǎn)。為弧EC的中點(diǎn),

，弧￡￡)=弧8,

:.ZOCH=45°,

OH=CH,

圓。的半徑為2,即OC=2,

:.0H=叵;

(2)；?當(dāng)￡)F.￡)8=CD2時(shí)，-=—,

CDBD

又ZCDF=ZBDC,

:.\CDF^\BDC,

:.ZDCF=ZDBC,

由(1)可得NDCF=45。,

.-.ZDBC=45°；

(3)如圖，連接BE,BO,DO,并延長(zhǎng)3。至H點(diǎn),

BD=BC,OD=OC,

答案第25頁，共30頁

垂直平分8,B,O,H三點(diǎn)共線,

又AB//CD,

ZABO=ZCHO=90°,

.-.ZABO=90°=ZEBC,

ZABE+/OBE=90°=/OBE+NOBC,

:.ZABE=ZOBC,

OB=OC,

ZOBC=/OCB,

ZABE=NOBC=ZOCB,

又ZA=ZA,

/.AABE^AACB,

AEAB

?即AB2=AExAC,

ABAC

設(shè)AE=%,由AS=2AE,則AB=2x,

AC=4x,EC=3xf

3

OE=OB=OC=—x,

2

CD=12,

CH=6,

AB//CH,

:.^AOB^\COH,

33

x+XX

AOBOABa?222x

COHOCHlxOH6

2

解得九=5,OH=4.5,05=7.5,

:.BH=BO+OH=12,

.?.ABCD的面積=gxl2xl2=72.

答案第26頁，共30頁

【點(diǎn)睛】本題屬于