提分專項訓練第5招 與二次函數(shù)相關的存在性問題課件2023-2024學年蘇科版九年級數(shù)學下冊

第5招與二次函數(shù)相關的存在性問題蘇科版九年級下冊九年級數(shù)學（下）提分專項訓練典例剖析已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過點A(－2，5)，B(－1，0)，與x軸交于另一點C.(1)求這個二次函數(shù)的表達式．

例典例剖析解題秘方：根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的表達式．直角三角形的存在性問題的求解要抓住直角，利用勾股定理列出方程．典例剖析典例剖析(2)在圖像的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：存在．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴對稱軸是直線x＝1.令y＝0，則x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，則C(3，0)．∴AC2＝(3＋2)2＋(0－5)2＝50.設點Q的坐標為(1，y)，分三種情況：①如果∠QAC＝90°，那么QA2＋AC2＝QC2，則(1＋2)2＋(y－5)2＋50＝(1－3)2＋(y－0)2，解得y＝8，∴點Q的坐標為(1，8)；②如果∠QCA＝90°，那么QC2＋AC2＝QA2，則(1－3)2＋(y－0)2＋50＝(1＋2)2＋(y－5)2，解得y＝－2，∴點Q的坐標為(1，－2)；③如果∠CQA＝90°，那么QC2＋QA2＝AC2，則(1－3)2＋(y－0)2＋(1＋2)2＋(y－5)2＝50，解得y＝－1或6，∴點Q的坐標為(1，－1)或(1，6)．綜上所述，所求點Q的坐標為(1，8)或(1，－2)或(1，－1)或(1，6)．存在巧用二次函數(shù)的定義求字母的值1分類訓練1.

[2023·江蘇昆山市二中開學測試]已知二次函數(shù)

y＝x2＋bx＋c的圖像與x軸分別交于點A，B(A在B的左側)，與y軸交于點C，若將它的圖像向上平移4個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線的頂點坐標為(－2，0)．(1)原拋物線的函數(shù)表達式是_____________．(2)如圖①，點P是線段BC下方的拋物線上的點，求△PBC面積的最大值及此時點P的坐標；y＝x2－6x＋5解：如圖①，過P作PN⊥AB交BC于N，在y＝x2－6x＋5中，當y＝0時，x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5，當x＝0時，y＝5，∴A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)，∴直線BC的表達式為y＝－x＋5，設P(x，x2－6x＋5)，則N(x，－x＋5)．(3)如圖②，點Q是線段OB上一動點，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．分類訓練2.

[2023·成都七中模擬]如圖，直線l過x軸上一點

A(2，0)，且與拋物線y＝ax2相交于B，C兩點，B點坐標為(1，1)．存在等腰三角形存在性問題2(1)求直線AB的表達式及拋物線y＝ax2的表達式．(2)求點C的坐標．(3)點P(m，y1)在直線AB上，點Q(m，y2)在拋物線y＝ax2上．若y2＜y1，直接寫出m的取值范圍．解：m的取值范圍為－2＜m＜1.(4)若拋物線上有一點D(在第一象限內(nèi))，使得S△AOD＝S△COB，求D點的坐標．(5)在x軸上是否存在一點E，使△EOC為等腰三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．分類訓練3.

[2023·徐州]如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4，將它剪去4個全等的直角三角形，得到四邊形EFGH.設AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y.存在平行四邊形存在性問題3解：∵正方形紙片ABCD的邊長為4，4個直角三角形全等，AE的長為x，∴AD＝4，AE＝DH＝x，∠A＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∴AH＝4－x，四邊形EFGH為菱形，(1)求y關于x的函數(shù)表達式；∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形，∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16.解：當y＝10時，即2x2－8x＋16＝10，解得x＝1或x＝3.∴當AE取1或3時，四邊形EFGH的面積為10.(2)當AE取何值時，四邊形EFGH的面積為10?解：存在．∵y