2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末練習(xí)01 數(shù)列（重點(diǎn)） 含解析

專題Ol數(shù)列(重點(diǎn))

一、單選題

1.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是()

A.同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B.數(shù)列-2,0,2與數(shù)列2,0,-2是同一個(gè)數(shù)列

C.數(shù)列2,4,6,8可表示為｛2,4,6,8｝D.數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解析】對(duì)于A中，常數(shù)列中任意兩項(xiàng)都是相等的，所以A不正確；

對(duì)于B中，數(shù)列-2,0,2與2,0,-2中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，所以B不正確;

對(duì)于C中，｛2,4,6,8｝表示一個(gè)集合，不是數(shù)列，所以C不正確：

對(duì)于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)是有關(guān)的，所以D正確.

故選：D.

2.已知°是4與6的等差中項(xiàng)，方是-1與-64的等比中項(xiàng)，則α+b=()

A.13B.-3C.3或-13D.-3或13

【答案】D

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)得到。=5,根據(jù)等比中項(xiàng)得到b=±8,計(jì)算得到答案.

【解析】“是4與6的等差中項(xiàng)，故〃=寄=5,

%是-1與-64的等比中項(xiàng)，則A2=-lχ(-64)=64,則是=±8,α+6=13或-3.

故選：D

3.在等比數(shù)列｛4｝中，已知6為%=8,則。凸=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】用基本量4,4表示出來可以求；或者考慮下標(biāo)和公式.

【解析】在等比數(shù)列｛“"｝中，α√?%=C=8,解得％=2,

則ala9=a；=4.

故選：A.

4.已知等比數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和為5,,=3"+a("∈N*),則實(shí)數(shù)。的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】C

【分析】先求出q%,也，由a??=q為解得即可；

【解析】等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5?=3"+α(n∈N^),

當(dāng)〃=]時(shí)，可得3∣+α=α∣=S],可得q=3+o,

當(dāng)n≥2時(shí)，Sll,l=3"-'+a,貝Ij4=S“-S,-=3"+a-。，+α)=2?3”∣

所以∕=2?32τ=6,4=2?33τ=18

因?yàn)樗埃秊榈缺葦?shù)列，

所以,2=%%，即6χ6=18(3+α)

解得α=-l,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故選：C.

5.設(shè)等差數(shù)列｛加｝的前"項(xiàng)和為S"，若8=6,S4=12,則S7=()

A.30B.36C.42D.48

【答案】C

【分析】由題目條件及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式列出方程，可得答案.

【解析】設(shè)｛“〃｝首項(xiàng)為,公差為d.因$3=6,S4=12,

[3α,+3d=6[a.=0

則4=4.則J=Ial+21J=42.

[4q+6d=12↑d=271

故選：C

6.已知等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若4,>0,公比q>l,a?+%=?。，a2a6=64,則$6=()

A.31B.36C.48D.63

【答案】D

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得/牝=%%=64,解方程即可得數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而可得首項(xiàng)與公比，求

得S-

【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得/4=4%=64,

又。3+?5=20,

十或0=16

解得3

a5=16[a5=4

當(dāng)?shù)模?時(shí)，g=2或q=-2(舍),

8=16

此時(shí)q=l,

H(I-V)l×(l-26)

所以Se==63,

1一4~1-2

故選：D.

7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+g+；++止^<〃（〃上2,〃€^^）的過程中，由〃=Z到〃=%+1,左邊

增加了（）

A.1項(xiàng)B.Z項(xiàng)C.2*τ項(xiàng)D.2人項(xiàng)

【答案】D

【分析】分別分析當(dāng)與〃=A+1時(shí)等號(hào)左邊的項(xiàng)，再分析增加項(xiàng)即可

【解析】由題意知當(dāng)"=Z時(shí)，左邊為l+；+g++??,當(dāng)〃=&+1時(shí)，左邊為

,I111111??.,AAf八位111I4.“

1+―+―++τ7~~τ+~7÷τ;~^+~i^++τ77∣~；，增力口的部分為*+;;7~7+^7~~++τ*+ι~；，J共2'

232t-12*2*+l2k+22k+'-12，2t+12k+22*+l-l

項(xiàng).

故選：D

8.已知數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式為仇=n2-λn-3（nwN*）,且數(shù)列出｝是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

A.(→∞,2)B.(→o,2]C.(→3O,3)D.(→x>,3]

【答案】C

【分析】利用遞增數(shù)列的定義即可.

【解析】由包7_勿=5+1)2_/1(〃+1)_3_(/_/1〃_3)=(2“+1)_/1>0,

ΛΛ<2n+l,即是幾小于2〃+1的最小值，；.4<3,

故選：C

9.已知數(shù)列｛q,｝滿足q=g,則4oM=()

A-!-B—!—c—!—D]

1000?IOOl1002?1003

【答案】B

【分析】構(gòu)造等差數(shù)列-L,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得4,,再求結(jié)果即可.

1-L=1,故數(shù)列-L是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

β

【解析］根據(jù)題意可得:?-π÷ι=?÷A-則

故"≡*=I?

則一=〃+1,an=-?-

ati?+1

故選：B.

2(,0≤∕≤53

10.若數(shù)列m｝滿足4+1g,則數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)的值不可能為（）

CI,

1<l

4

abC.d

?I?t5??

【答案】D

3

【分析】利用數(shù)列｛α,,｝滿足的遞推關(guān)系及《依次取〃=1,2,3,4代入計(jì)算〃2，〃3，〃4，〃5,能得到數(shù)列｛〃〃｝

5

是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.

2α,,,0≤α,,≤∣

【解析】數(shù)列｛4｝滿足。向，4=；，依次取”=1,2,3,4,...代入計(jì)算得,

2an-?,-<a,l<?

?=2^l-1=?,ɑ3=2α2=∣^,〃4=2〃3=W，%=244-l=?∣=4,因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)列｛《J是周期

1234

為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：?

故選：D.

11.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.,出=3,且4,M=3S,,+2（"WN*）,則下列說法中革氓的是（）

C.｛4｝是等比數(shù)列D.卜,+弗是等比數(shù)列

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，令〃=1代入%s=2S,,+2,求得q=g,判斷A；結(jié)合數(shù)列前〃項(xiàng)和與““的關(guān)系

式，求出w≥2時(shí).=也，結(jié)合出=3M=：,判斷C,求出生必，即可判斷B;利用∕=35“+2可得

SHn+i1+Q-

S,,M-S,,=3S,,+2,構(gòu)造出——尹4,即可判斷D.

S+-

"3

【解析】由題意數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，?=3,且4M=3SZ,+2,

則%=351+2,即3=3%+2,

所以4=g即選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?+1=3S,,+2①，

.?.當(dāng)"≥2時(shí)，",,=3S,ι+2②，

①-②可得，?+ι-all=2>an,即4+∣=4an,

當(dāng)”=1時(shí)，4=g,不滿足/=44,

故數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤，

由“22時(shí)，α,,+∣=44,,可得，則Oi=4%=12,a4=4ai=48

?S4=→3+12+48=ly,故B正確；

由%=3S,,+2得：Sπ+1-S,,=3S,,+2,

所以SZ=45“+2

令Snt,+λ=4(Sπ+2),則Sntl=4S“+32

2

所以32=2=>2=-

3

S+-

n+l

所以S用+2*g+23即——3a=4,

5+-

〃N3

故卜”+∣j是首項(xiàng)為S1+l=01+l=?^,

公比為4的等比數(shù)列，D正確，

故選：C.

12.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一

連串直角三角形演化而成的，其中。4=44=4人3=…=44=1,如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下

去，記0Al,OA2,的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為｛α,J,由此數(shù)列的通項(xiàng)公式為()

A.〃B.y/nC./2+1D.+1

【答案】B

【分析】由幾何關(guān)系得%2="3+l,4=1即可求出等差數(shù)列｛“：｝的通項(xiàng)，從而求得｛q｝的通項(xiàng).

【解析】由題意知，OA=AA=AA=…=44=1,且OA4，都是直角三角形，所

以4=1,且α∕=”,3+l,

所以數(shù)列｛4,,I是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以α,,2=l+("-1)x1=〃，由q>0nq=G?

故選：B.

13.已知數(shù)列｛4｝和也｝首項(xiàng)均為1,且凡τ加O≥2),a,^≥all,數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足

2S,S,,+∣+α也+∣=0,則S20∣9=()

A.2019B.」一C.4037D.」一

20194037

【答案】D

【分析】先利用條件得到42”“舊4,進(jìn)而得到勺=1，代入2S,,Sz+a也+∣=0,利用S“與"的關(guān)系推得

是等差數(shù)列，進(jìn)而求出S,=不二，代入即可求得結(jié)果.

⑶2n-↑

［解析］解：,,≥an(,∏≥2),aπ+l≥an,

..≥?+∣—，

另外：al≥a2≥ai,可得的=%=1，

2S,,S,,+∣+α也+∣=0,

???2ξ,5,,+1+bn+l=0,即25πSπ+1+SN-Sn=0,

?■?T-----T=2,又τ=7^=l,

S“+iSIlS11bl

???數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

.?.-^-=l+2(n-l)=2n-lr故

S?2〃-1

1

.?.s,019=——5——=—-.

-0l92×2019-l4037

故選：D.

14.已知數(shù)列｛q｝滿足q=l,a,^=a+2",數(shù)列■X+1，的前〃項(xiàng)和為工，若對(duì)任意的正整數(shù)〃

n%+1.(%+IT)

都有2>5,，則上的最小值為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意累加法求得4=2"-1,再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和解決即可.

n

【解析】當(dāng)n≥2,an-a?_,=2',,a2-al=2,

21

所以q,-a∣=2+22+.?+2,'^l=(~ξ^^=2,l-2,

解得：a,,=T-?,當(dāng)n=l適合

因?yàn)閝+1.2"τJ]______J

n+l+,

?÷.?(?+.-l)(2"-l)(2-l)2"2"-12^'-Γ

所以

clΓz?IxzI1、z11Jlz,1、

-2L2l-1-22-l+22-l-23-l+…,…+2π-1^2,'*1-1J2^2"-μl-l

又因?yàn)镾)I是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以有5.eSq[='g),對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有QS,,,

所以“≥g,

故選：C

二、多選題

15.已知數(shù)列1,0,1,0,1,0,,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是()

A.%=1+(7)"B..,"+(TLC.?=∣sin(∕j?90°)∣D.4=cos^^

222

【答案】BC

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的通項(xiàng)公式寫出前幾項(xiàng)，判斷是否與已知數(shù)列前幾項(xiàng)相同，即可確定正確選項(xiàng).

【解析】A,α=1+(7)”,取前六項(xiàng)得0,1,0,1,0,1,不滿足條件；

"2

B,a=111∑U-,取前六項(xiàng)得1,0,1,0,1,滿足條件；

"2

o

C,an=∣sin(n?90)∣,取前六項(xiàng)得1,0,1,0,1,滿足條件；

D,4=COS"業(yè)，取前三項(xiàng)得1,0,-1,不滿足條件；

2

故選：BC.

16.數(shù)列｛m｝的前"項(xiàng)和為S〃，?,=l,?+,=2S,,(n∈N'),則有()

A.S"=3"7B.｛S")為等比數(shù)列

【答案】ABD

f5∣,/2=1r、

【分析】根據(jù)q="≥2求得進(jìn)而求得S,以及判斷出｛S,,｝是等比數(shù)列?

[解析】依題意4=L%=2S“(〃∈N*),

當(dāng)”=1時(shí)，a2=2al=2,

當(dāng)“≥2時(shí)，”,,=2Szιτ,

an+,-an=25?-2Sπ,1=2an,所以%=3an,

所以4=%?3〃-2=2?3"2(zl≥2),

所以""=[f2l,?/3?=?1≥2?

當(dāng)〃22時(shí)，S,,=^-=3"-'i當(dāng)〃=1時(shí)，$=4=I符合上式，所以S“=3"，

S

年=3,所以數(shù)列｛S,,｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.

所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD

17.正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知S3=∕+lOq,4=3.下列說法正確的是()

A.q=9B.｛4｝是遞增數(shù)列

C.”“+七｝為等比數(shù)列D.｛log?是等比數(shù)列

【答案】BC

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為4,則4>0,根據(jù)題意求出4、4的值，可判斷A選項(xiàng)；利用數(shù)列的單

調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；求出S,1的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義可判斷C選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的定義可判斷D

選項(xiàng).

2

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4,則夕>0,Sy=al+a,q+alq=atcj+Wal,即/=9,則4=3.

對(duì)于A選項(xiàng)，α∣=??=",A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的〃6N*,?>0,?+l=3?>?,故數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列，B對(duì)；

,,

對(duì)于C選項(xiàng)，?4(1一力3-l,則s+?L=H?,

S"=下1=F-=Tr1818

,+I

所以，-°-"-τ-+-R普=.3'?918=3,故數(shù)列CS,+壽11為等比數(shù)列，C對(duì)；

C?o3I?ɑj

"18

對(duì)于D選項(xiàng)，10g3。用Tog3""=log3芳=10gj3=l,故數(shù)列｛bg34｝是等差數(shù)列，D錯(cuò).

故選：BC.

18.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S,,,α∣>O,公差為d,a8+?9>O,w9<0,則()

A.J<0

B.當(dāng)〃=8時(shí)，S,取得最大值

a

C.?4+5+a∣8<0

D.使得S”>。成立的最大自然數(shù)”是15

【答案】ABC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.

【解析】因?yàn)椤發(fā)t+α>>O,<0,

所以%>0,貝∣Jd<O,

當(dāng)”=8時(shí),S,,取得最大值，

%+%+=34∣+24d=3%<0,

因?yàn)閹?15/>0,S16=8(?+?)>0,517=17Λ9<0,

所以使得5“?0成立的最大自然數(shù)〃是16,

故選：ABC.

19.已知等差數(shù)列｛4｝滿足%=2,前3項(xiàng)和S3=?∣,則()

A.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2〃-4

B.數(shù)列｛qj的公差為:

C.數(shù)列｛a,J的前”項(xiàng)和為5"=日答

D.數(shù)歹"二一I的前22項(xiàng)和為?

IAa“+J6

【答案】BCD

【分析】通過基本量計(jì)算得6和%可判斷ABC；用裂項(xiàng)相消法求和可判斷D.

a｛+2d=2、

【解析】由題知，b,+?/=?'解得4=ι∕=g,貝∣Jα,,=ι+g"T)=g("+i),s“=〃+迎二DxI=Ci即

.a,+=2224

故A錯(cuò)，BC正確；

11444

記——的前”項(xiàng)和為1,因?yàn)椤　?二m?，

απα,,+lJallan+i(∕ι+l)(n+2)n+1n+2

b,,.,44、，44、，44、44、C42n

所以7L=(3-1)+5-/+(7-?+…+(z-77T?)=2--—=-r

23344?M+1n+2n+2n+2

4411

所以7?=葭=丁，故D正確?

故選：BCD

20.設(shè)〃≥2,"∈N.若qW0,l｝(i=l,2,,“)，則稱序列(q,c?,,q,)是長(zhǎng)度為〃的0—1序列.若

a

,.=C1+C2++q,,b?=alci+a2c2++al,cn,IjIlJ()

A.長(zhǎng)度為"的0—1序列共有2"個(gè)B.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則2=〃2

C.若數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，則=OD.數(shù)列｛4｝可能是等比數(shù)列

【答案】AC

【分析】A選項(xiàng)，可根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出；B選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列定義得到τ=C”為定值，分

CJt=O與CL1兩種情況討論求出答案；

C選項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列出,J是等差數(shù)列，推導(dǎo)出%=0；

D選項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，推出矛盾.

【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：Q0=1,2,,〃)選0或1,均有2種選擇，故(c“G，,q)共有2"個(gè)，A

正確；

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，所以4-4ι=%為定值，

+ac

當(dāng)I=。，貝IICi=O(i=l,2,,〃)，則a="∣c∣+,,n=θ，

當(dāng)c,,=1,貝IJa=I(i=l,2,,〃)，則"=4+α2++4=1+2+3++n=^^l,

B錯(cuò)誤：

若數(shù)列也」是等差數(shù)列，則d-%=4,c,,=(ci+G++q)q,為定值，

只有q=0(i=l,2,,琦能滿足要求,故4=0,C正確；

若數(shù)列也,｝是等比數(shù)列，則工=篝詈?T=4為定值，且q≠o,

υn-?a?c?~ta2c2^i^^i~an-?c∣t-?

因?yàn)閐≠0,所以％≠0,

OlG+a1ci++ancn=q｛aic,+aic2++,

所以=(g-1)(“￡+/q++απ-,cn.l),

若q=l,貝!]4cr,=(c∣+q++c,,)cn=0,所以g=。，舍去；

2

若g≠l,a2c2=(<7-l)alη,(q+c2)c2=(9-l)cl,其中Cl=C?=1,解得:0=3,

%。3=(4-1)(4。+生。2),其中Cl=C2=。3=1，解得：4=2,

故4不是定值，數(shù)列｛或｝不可能是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.

故選：AC

三、填空題

21.設(shè)｛q｝是等比數(shù)列，且4+∕+α3=l,a2+ai+a4=2,則4+%+4的值是__________.

【答案】32

【分析】根據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比＜7=2,再根據(jù)心+/+4=*/?+4+/)，即可求得答案.

【解析】由&｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且4+∕+4=1,a2+a3+a4=2,

則可得出+%+為=g("ι+%+%)=2,故q=2,

所以%+%+?=∕(α∣+a2+a3)=32,

故答案為：32.

22.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公比為q,前〃項(xiàng)和為S“.令H=S“+2,若也｝也是等比數(shù)列，則4=一

3

【答案】I

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，由與L=C即可求得4.

Urt

【解析】當(dāng)月=1時(shí),Sn=nal=n9

則勿二〃+2,d+[=〃+1+2=〃+3,

+L=*≠C（C是常數(shù)）,

即｛bn｝不是等比數(shù)列,所以4X1.所以S“=M

3+2,

"=S.+2=*+2,bn+t

ι-q

工2?+1

則有如=上^——=3-q一μ=c,

bl,∣-√||23-q"-2q

i-q

即3-q"+'-2q=3C-Cq"-ICq,

即（Jq）q”=3C-3+2q-2C?,

C=q7

所以解得g=;或q=l（舍）.

3C—3+2夕一2C?=0

3

故答案為：?.

23.已知｛叫是等比數(shù)列，公比大于1,且42+q=20,4=8?記3為｛？｝在區(qū)間(0,向(meN,)中的項(xiàng)

的個(gè)數(shù)，則數(shù)列｛?｝的前30項(xiàng)的和S30的值為______

【答案】94

【分析】由題知q=2”,q=2,a2=4,%=8,4=16,%=32,?=64,再根據(jù)題意求解也,｝的前

30項(xiàng),并求和即可.

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，/+4=20,?=8,

所以，卜闖2°,解得4=2,?=2或《=32,q=g(舍去)，

[alq"=82

所以，an=T,%=2,∏2=4,tz3=8,?=16,6=32,?=64,

所以々對(duì)應(yīng)區(qū)間為(0』，貝帥=0;

b2,4對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,2],(0,3],都只有4一項(xiàng)，則2=仇=1；

2，bs,b?,%對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],都只有α∣,生兩項(xiàng)，則打=么=仇=2；

%,?9,bw,btl,bi2,3,bl4,九對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,8],(0,9],(0,10],(0,11],(0,12],(0,13],

(0,14],(0,15],

都只有4,%，的三項(xiàng)，即々=")=%>=伉I=仇2=仇3=%=仿5=3；

練，如，…“對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為(0,16],(0,17],…，(0,31],都只有4,如，4,4四項(xiàng)，九=a7=…=%=4；

所以S30=0x1+1x2+2x4+3x8+4x15=94.

故答案為：94

24.在數(shù)列｛叫中，al=1,%=2,數(shù)列出｝滿足a=%+(—I)%,〃eN*.若%,-%=。，%+%,=/，

〃∈N*,則數(shù)列｛%｝的前2022項(xiàng)和為_________.

009

【答案】5-∩?V

【分析】將數(shù)列｛an｝的前2022項(xiàng)和分解為奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和進(jìn)行求解.

【解析】由已知得%=%"+∣+%,，%=。2“+2-%出，所以%“+%=%"+2+，“=,，即數(shù)列｛4｝前2022

666

項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為：4+(。4+4)+(必+即)),+(〃2020+。2022)=2+^+m+-+亍而

?4?-Uf?Jri(1Y009

=2+6χ-——1.1-~~=L=4-U-J?

4

aa

又由已知得&=/“+|+外“，?n-l=2,,~2n-?>所以4"=%Tna2"+I=F2”T，即奇數(shù)項(xiàng)為公比為一1的等

比數(shù)列，即々“T=(T)"T，即前2022項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為1；

<1V009

綜上所述，前2022項(xiàng)和為5-仁

(?Y009

故答案為：5-?

四、解答題

25.記S“為數(shù)列｛q｝的前八項(xiàng)和，已知q=；,是公差為g的等差數(shù)列.

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)bn=(-l)an,求也｝的前2〃項(xiàng)和&.

【答案】⑴4=；〃

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，整理可得數(shù)列｛%｝的遞推公式，利用累

乘法，可得答案；

(2)利用分組求和法以及等差數(shù)列求和公式，可得答案.

jq]ss?1?

【解析】(1)由'是公差為1的等差數(shù)列，且」=1,則」L=I+(〃-1)，5=3〃+3，

222

2αlan

cin

ii

即2S,,=(α+I)α,,,當(dāng)"≥2時(shí),2S,ι="α,τ,兩式相減可得：2an=(n+↑)an-nan,l,整理可得一~=~?,

an-?n~?

aa-%-?211,.?.1

故見=--n----n--x-?-≈?α∣=——-Xn——n-X×-×-=-^,將〃=1代入上式r，a=-,

"”一24??—1〃—2122ll2

故｛%｝的通項(xiàng)公式為4,=；〃.

(2)由2=(T)Z,貝IJ

τ

2n=4+4++=-ai+a2-a3+a4--aln_x+a2n=(?÷?+÷?)-(^1+?÷?+%ι)

="3+%,),(4+*)=4七2+、2」><1」><(2〃-1)］，

222L2222'，」2

26.已知數(shù)列｛q,｝的通項(xiàng)公式為q=合等2.

QQ

(1)判斷湍■是不是數(shù)列｛見｝中的項(xiàng)；

(2)判斷數(shù)列｛4,,｝中的項(xiàng)是否都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；

(3)判斷在區(qū)間(g,∣)內(nèi)有沒有數(shù)列｛4｝中的項(xiàng).

【答案】(1)不是

(2)數(shù)列｛““｝中的項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)

(3)有

【分析】(1)先化簡(jiǎn)為=J1,再令fY=?？汕蠼鈫栴};

3M+13n+l101

(2)通過求為==的范圍可判斷；

3π+l

(3)通過解不等式乎二I可求解.

33"+13

(1)

_9〃2_9〃+2_(3〃-1)(3〃-2)_3〃-2

因?yàn)?"=9n2-l=(3w-l)(3n+l)=3^71'

所以由為=等I=M，解得〃=”.因?yàn)槠r不是正整數(shù)，所以法■不是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng).

3n+l10133101

(2)

E?i37?—23n÷1—333

因?yàn)榉?-----=--------=1l----------=1l----------,

"3n+l3n+?3〃+13n+l

"∈z,0<-^-<l,所以O(shè)<q,<l,所以數(shù)列｛4,J中的項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi).

3/1+1

⑶

令La.一，即<2,

3"333n+l3

3n+l<9H-6,7Q

則解得，〃<§.又"N’所以"=2?

9〃一6<6〃+2,

4

故在區(qū)間且只有一項(xiàng)，是第二項(xiàng)，即

27.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,,已知4=1,__________.

⑴求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式;

f3,?3

(2)設(shè)。=。一7，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為小證明：

I//14

從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，補(bǔ)充在上面問題的橫線中進(jìn)行求解(若兩個(gè)都選，則按所寫的第1

個(gè)評(píng)分)：

①數(shù)列是以I為公差的等差數(shù)列；②2㈣IT=2S,,+3"("+l).

【答案】⑴選擇①②，都有4=3”-2；

(2)證明見解析.

【分析】(1)選擇①，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得S“；再根據(jù)S“與?！敝g的關(guān)系即可求得結(jié)果；

選擇②，利用4,S,,的關(guān)系消去∕M,構(gòu)造等差數(shù)列與①同理，即可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)中所求S“求得6“，再利用裂項(xiàng)求和法求得(，即可證明.

【解析】(1)若選擇①數(shù)列是以!■為公差的等差數(shù)列，顯然其首項(xiàng)為1

故盤=?∣?,L"??=~R,2~?N`

n2222

22

當(dāng)"≥2時(shí)，all=Sll-Sn^=∣π-^n-∣(n-l)+^(n-l)=3H-2,

當(dāng)W=I時(shí)，q=S∣=l,滿足“),=3"-2.

故｛4｝的通項(xiàng)公式為q=3〃-2；

若選擇②2M,“∣=2S,,+3"("+1)

即2N(S,向一S")=2S“+3”5+l),整理得：nSn+l-(n+l)Sπ=-n(M+l)

故辿-&=：,即數(shù)列1號(hào)4是首項(xiàng)為1,公差為W的等差數(shù)列，

∕z+ln2InJ2

與選擇①相同，故｛4｝的通項(xiàng)公式為%=3"-2.

(2)根據(jù)(1)中所求可得：S),=：/-4〃，則2=03..=7L^=II_義]

222Sll+∕nn[n+2)2?nn+2J

故Tn=bl+b2+b3++?π.∣+bn

2V2n+1H+2

32n÷3

42(〃+1)(〃+2)

2"+3?3

又2（"+1）（〃+2）＞°，故可得

?3^z

28.已知數(shù)列｛?！埃氖醉?xiàng)4=丁=五Un^（"e^r）?

（1）求證：一定存在實(shí)數(shù)彳，使得數(shù)列P~+×4是等比數(shù)列.

IAJ

（2）是否存在互不相等的正整數(shù)小s,〃使ms,“成等差數(shù)列，且使%-1,&-1,%-1成等比數(shù)列？如果存在,

請(qǐng)給以證明：如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用等比數(shù)列定義即可證明;

（2）首先假設(shè)成立，并結(jié)合（1）中結(jié)論求出｛0,,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得到2s=機(jī)+鹿和2χ3'=3w?+3",

最后利用基本不等式即可判斷.

1Ia+121

【解析】（1）因?yàn)?+1,所以---=-Z-----=τ+--，

2?+l?+ι3a“33a,,

-+λ-+λ+-i-J(L2+34)

由&i1—=2____?=1Λ____

111

+2÷Λ÷Λ

ananan

欲使數(shù)列工+2|是等比數(shù)歹U,則只需2+32=2,即∕l=τ.

l?

12

此時(shí)一—l=τ,

013

故存在/L=-I,使得數(shù)列一1+九是首項(xiàng)為2公比為:的1等比數(shù)列.

UJ33

121_2a”

（2）由（1）中可知，--ι=-×（-r=-,即對(duì)=Q，

3“JJJ?+Z

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m,s,“使機(jī)S，〃成等差數(shù)列，且使勺-1，里-Iq-I成等比數(shù)列,

故2s=，〃+n,

(4-1)2=(?,-l)(?-l),BP32Λ+4×3'=3"""+2χ(3小+3”),

從而2X3,=3，"+3",

OTH7Ξ7

由基本不等式可知,3+3>2?∣T"=2√3=2X3'>這與2x3'=3"+3"矛盾,

故不存在互不相等的正整數(shù)機(jī)s，〃使〃2，“成等差數(shù)列，且使品TaTq-I成等比數(shù)列.

,、1λa

29.已知數(shù)列｛叫滿足4+∣=77n*'nwN*?

(1)若λ?=?,

①求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

②若々=(?-?nfLi],求也｝的前"項(xiàng)和卻

M)an?an)

(2)若;1=2,且對(duì)V〃eN*,有O<α,,<l,證明：a,,^-a,,.

8

..-尸1尸∕ι(∕ι+1)(?+2)(/2+3)

【r答a案】⑴①X為=--；②Xz,=」一△一心——L

n+?4

(2)證明見解析

【分析】(1)①將X=I代入α,N=J?,利用“取倒數(shù)''構(gòu)造等差數(shù)列，即可求解.

②先將數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式寫出并展開，再利用分組求和即可得到答案.

(2)將2=1代入4+∣=τ^?,先求出α,,M-%的通項(xiàng)公式，再利用基本不等式即可證明結(jié)論.

1+4,

(1)

①當(dāng)4=1時(shí)，?÷∣=-rn-,

l+?n

因?yàn)椋?1>0,所以的=丁%一，可知%>0，

21+4

1ɑ+1I,11,

所以一=q-=—+1,即-------=1,

a>>+ι/a”an+lan

所以數(shù)列,,是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

所以'="+l,即

ann+?

②由①得%=-■-，所以或=---1(■1)="(w+1)(〃+2)=/+3〃2+2〃，

n+1??an｛anJ

所以

Tn=bi+b2+b3++?

=l3+3×l2+2×l+23+3×22÷2×2÷33+3×32+2×3+÷√+3Π2+2AT

=(l3+23+33++√)+3(12+22+32++/)+2(1+2+3+.+〃)

rn(∕7+OY∣3χ"("+l)(2"+l)I2M"5+D

I-2~62

n(n+l)(??+2)(H+3)

4

所以7；=-?——八二八——L.

(2)

2a

證明：