二元一次方程組（單元教學設(shè)計）大單元教學人教版七年級數(shù)學下冊

8.1二元一次方程組(單元教學設(shè)計)

一、【單元目標】

通過情景導入，了解二元一次方程與二元一次方程組的概念與區(qū)別，學會根據(jù)題目的條

件列出二元一次方程或二元一次方程組，學會根據(jù)實際情況，找出二元一次方程組的整數(shù)解

情況等；

(1)用生活中常見的事例，讓學生可以根據(jù)題目中所給的條件，列出二元一次方程組，

從中提煉出二元一次方程和二元一次方程組的概念；由之前所學內(nèi)容“一元一次方程”，歸

納總結(jié)出二元一次方程與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，從而加深學生對方程的理解；

(2)通過小組合作探究，讓學生參與教學過程，加深對二元一次方程和二元一次方程

組解的理解，同時會根據(jù)實際情況找出滿足要求的整數(shù)解，提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，進

一步發(fā)展了學生的類比推理素養(yǎng)；

(3)通過典型例題的訓練，加強學生的做題技巧，訓練做題的方法，提升學生的邏輯

推理素養(yǎng)；

(4)在師生共同思考與合作下，學生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學思想，同時提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)；

(5)通過生活中的事例，提高學生對周圍事物的感知能力，同時激發(fā)學生的學習興趣，

提升學生的人文素養(yǎng)；

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

(二元一次方程及其解的定義

二元一次方程組(二元一次方程組及其解的定義

(列二元一次方程組

三、【學情分析】

1.認知基礎(chǔ)

二元一次方程和二元一次方程組及其解的定義,對我們后面學習的消元法解二元一次方

程組和二元一次方程組的應(yīng)用題具有關(guān)鍵作用，本節(jié)內(nèi)容強調(diào)基礎(chǔ)概念，鍛煉學生的思維能

力和判斷能力；

2.認知障礙

學生在理解二元一次方程組的概念時，會和分式方程混淆，導致概念不清晰；在講到二

元一次方程的解時，要理解此時的解具有無數(shù)組，但一旦限定在整數(shù)范圍內(nèi)，那就要根據(jù)題

目實際含義縮小范圍;根據(jù)題意列二元一次方程組時,要讀清題意,加強對邏輯關(guān)系的分辨，

準確列出二元一次方程組；

四、【教學設(shè)計思路/過程】

課時安排：約1課時

教學重點：二元一次方程及其解的定義，二元一次方程組及其解的定義；根據(jù)實際情

況列二元一次方程組；

教學難點：二元一次方程組的認識與識別,根據(jù)二元一次方程組解的情況求參數(shù)的值；

五、【教學問題診斷分析】

情境導入

小紅到郵局寄掛號信，需要郵費3元8角.小紅有票額為6角和8角的郵票若干張，問

各需要多少張這兩種票額的郵票？

這個問題中有幾個未知數(shù)，能列一元一次方程求解嗎？如果設(shè)需要票額為6角的郵票X

張，需要票額為8角的郵票，張，你能列出方程嗎？

8.1.1二元一次方程及其解的定義

問題1（利用二元一次方程的定義求參數(shù)）：已知IR-IlXM+∕ι=3是二元一次方程，

貝!∣m+n—.

【破解方法】二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）

含未知數(shù)的項的最高次數(shù)均為一次；（3）方程是整式方程.

【解析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件，即只含2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)均為1

的整式方程，即可求得加、〃的值.根據(jù)題意得Rl=I且Ir一Il≠0,2/7-1=1,解得勿=一

1,n—l,所以/?+〃=O.故填0.

問題2（二元一次方程的解）：已知I是方程2χ-ay=3的一個解，那么a的值

Iy=-I

是（）

A.1B.3C.一3D.一1

【破解方法】根據(jù)方程的解的定義知，將必y的值代入方程中，方程左右兩邊相等，

即可求解.

[χ-?,

【解析】將代入方程2x—ay=3,得2+a=3,所以a=L故選A.

Iy=-I

8.1.2二元一次方程組及其解的定義

/孫=1，

問題3（識別二元一次方程組）：有下列方程組：②，1,③

-+7=1；

x+∏=3,

⑤其中二元一次方程組有（)

x—y—l,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【破解方法】識別一個方程組是否為二元一次方程組的方法：一看方程組中的方程是否

都是整式方程；二看方程組中是不是只含兩個未知數(shù)；三看含未知數(shù)的項的次數(shù)是不是都為

1.

【解析】①方程組中第一個方程含未知數(shù)的項燈的次數(shù)不是1;②方程組中第二個方

程不是整式方程；③方程組中共有3個未知數(shù).只有④⑤滿足，其中⑤方程組中的貝是常

數(shù).故選B.

問題4（利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值）甲、乙兩人共同解方程組

'ax+5尸15；①CX=-3,

,C…由于甲看錯了方程①中的a,得到方程組的解為乙看錯了方程②

[4x—6尸一2.②g—1;

中的6,得到方程組的解為F=5'試計算產(chǎn)+（一益產(chǎn)的值.

」=4.IU

【破解方法】利用方程組的解確定字母參數(shù)的方法是將方程組的解代入它適合的方程中,

得到關(guān)于字母參數(shù)的新方程，從而求解.

??一3

i一說

x~-39x~^5，

明，是方程②的解；同樣,是方程①的解.

Iy=-IS4

x,-?3，x--5,

解：把代入②，得-12+6=-2,所以方=10.把代入①，得5a+20

Iy=-Ilr=4

=15,所以a=~l,所以a0'i+(-?i)20'5=(-l)z0'4+(WXIO)20'5=1-1=0.

8.1.3列二元一次方程組

問題5：小劉同學用10元錢購買了兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元與2元.設(shè)

他購買了1元的賀卡X張，2元的賀卡y張，那么可列方程組（）

Vy

A-+-=10,2+=8

ZBJTo

/+y=8U+2y=10

x+y=]0,x+y=8,

,%+2y=8%+2y=10

【破解方法】要判斷哪個方程組符合題意，可從題目中找出兩個相等關(guān)系，然后代入未

知數(shù)，即可得到方程組，進而得到正確答案.

【解析】根據(jù)題意可得到兩個相等關(guān)系：（1）1元賀卡張數(shù)+2元賀卡張數(shù)=8（張）；（2）1

元賀卡錢數(shù)+2元賀卡錢數(shù)=10（元）.設(shè)他購買了1元的賀卡X張，2元的賀卡y張，可列

x+y=8,

方程組為故選D.

x+2y=10.

六、【教學成果自我檢測】

1.課前預習

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學內(nèi)容.

1.下列方程組是二元一次方程組的是（）

.∫x+y=5Jχ+y2=4J孫=2?5y=15

[y=7+z[2x+5y=7[x+y=3[3x+2y=8

【答案】D

【分析】運用二元一次方程組的定義逐一判斷即可解題.

【詳解】解：A.方程組含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組，故此選項不符合題意;

B.有一個方程的次數(shù)是2,不是二元一次方程組，故此選項不符合題意：

C.有一個方程的次數(shù)是2,不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；

D.此方程組是二元一次方程組，故此選項符合題意；

故選:D.

【點睛】本題考查二元一次方程組的定義，理解二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵.

（X=2

2.下列方程的解為I的是（）

Iy=-I

A.3x-4y=10B.gx+2y=3C.x+3y=2D.2(x-y)=6y

【答案】A

【分析】把％y的值代入方程計算，即可求解.

【詳解】解：A選項，3x-4y=3×2-4×(-l)=6+4=10,符合題意；

B選項，∣x+2y=∣×2+2×(-l)=1-2=-1≠3,不符合題意；

C選項，x+3y=2+3χ(-l)=2-3=-lx2,不符合題意；

D選項，2(x-y)=2(2+1)=6≠6y=6×(-1)=-6,不符合題意;

故選：A.

【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理數(shù)的運算法則是解題

的關(guān)鍵.

x=-l(3x+2y=tn

3.已知C是二元一次方程組的解，則機+〃的值是()

y=2?nx-y=11

A.2B.—2C.3D.一3

【答案】B

X=-I

【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，將?。代入方程組，進而求得利〃的值，進而

[y=2

即可求解.

[x=-lf3x÷2y=W

【詳解】解：?.?C是二元一次方程組的解，

[y=2[nx-y=l

.?-?÷4=/??

"[-H-2=1

艮IJ/H=1,n=-3,

.*.m+n=l-3=-2,

故選：B.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.二元

一次方程組的兩個二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

4.若方程(m+l)x+3y'"=5是關(guān)于X,N的二元一次方程，則機的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可知：未知數(shù)的系數(shù)不能等于零，未知數(shù)的最高次數(shù)為1,

然后進行求解即司;

【詳解】解：根據(jù)題意得％=1且加+1*0,

解得m=?.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了二元一次方程的定義問題，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

Ix=I

5.已知，是方程%一做=5的一個解，那么a的值是_______.

U=T

【答案】2

Cx=1

【分析】把，代入3x-αy=5,即可求解.

Iy=T

【詳解】解：把=1,代入3x-αy=5得：

Iy=-I

3×l-(-l)×α=5,

解得：a=2.

故答案為：2

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)

的值是方程的解是解題的關(guān)鍵.

6.哪些是二元一次方程？為什么？

(1)/+y=20;(2)2*+5=10;(3)2a+36=l;(4)/+2x+l=0;(5)2x+y+z

=1.

【答案】(3),見解析

【詳解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都

是1的方程叫做二元一次方程.

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式1】在下列方程組中，不是二元一次方程組的是()

x-3y=3x+l=3x+2y=3

A.D.y

y=-ιy÷2=-l3x-2y=-l

X-y=4

【答案】D

【分析】根據(jù)由兩個結(jié)合在一起的共含有兩個未知數(shù)的一次方程叫二元一次方程組進行判斷

即可.

【詳解】解：A.是二元一次方程組；

B.是二元一次方程組；

C.是二元一次方程組；

D.不是二元一次方程組；

故選:D.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組是由兩個共含有兩個

未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且都是整式的方程組成是解題的關(guān)鍵.

(χ=2

【變式2】已知，是二元一次方程y-H=7的解，則A的值是()

Iy=-I

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】將代入二元一次方程y-"=7,得到關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可

求解.

【詳解】解：依題意，—l-2k=7

解得：k=Y

故選:D.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

(χ=2

【變式3】已知，是方程方+處=3的解，則代數(shù)式6α+3bT的值為________.

Iy=I

【答案】8

【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，得出方+6=3,整體代入代數(shù)式求值即可求解.

(x=2

【詳解】解：???，是方程以+力=3的解，

Iy=I

.*.2a+h=3,

?*?64+3b—1

=3(左+3-1

=3x3—1=8,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，代數(shù)式求值，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解.

【變式4]己知X=E是二元一次方程2x+y="的一個解.

y=4

⑴貝IJa=

(2)試直接寫出二元一次方程2x+y=α的所有正整數(shù)解.

【答案】(D5

x=lfx=2

[y=3Iy=I

【分析】(1)將J2代入二元一次方程2戶戶a中，即可求得a的值；

.y=4

(2)將a的值代入方程2戶尸a,再用列舉法求出方程的解即可.

L=11

【詳解】(1)將I2代入二元一次方程2*+尸a中可得：2×→4=a,^5；

y=4

故答案為：5

(2)把45代入方程2戶產(chǎn)a中可得：2戶戶5,所以可列出所有正整數(shù)解為：

JX=I∫x=2

[y=3,[y=ι'

【點睛】考查二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的

關(guān)系.

3.課后作業(yè)

設(shè)計意圖：鞏固提升.

1.下列是二元一次方程3χ+y=5的解為()

[x=lIX=2(x=-lfx=O

Iy=OIy=TIy=-2Iy=-5

【答案】B

【分析】將各選項代入方程的左邊計算，看是否等于5,如果等于5就是方程的解，如果不

等于5,就不是方程的解.

(x=lfx=1

【詳解】解：A.把C代入得：3×l+0=3≠5,即《C不是二元一次方程3x+y=5的

U=O[y=0

解，故本選項不符合題意；

Fx=2/、{x=2

B.把＜,代入得：3×2+(-l)=5,即{,是二元一次方程3x+y=5的解，故本選項

Iy=-I[y=-l

符合題意；

JQ-—?(X=-1

{=_2代入得：3×(-l)+(-2)=-5≠5,即J=_2不是二元一次方程3彳+丫=5的解，

故本選項不符合題意；

fx=O,、fx=O

D.把]=_5代入得：3x0+(—5)=—5*5,即[=_5不是二元一次方程力+丫=5的解，故

本選項不符合題意;

故選：B

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)

的值是方程的解是解題的關(guān)鍵.

2.下列方程組中，表示二元一次方程組的是()

x+y=5X=y+11

fx+y=3∫χ+y=5D?L>,+l

A.B.?1c.2

[z+x=5-=xU+y=122x=-——

y2

【答案】D

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷即可.

【詳解】解：因為A選項中含有三個未知數(shù)，因此不是二元一次方程組，不符合題意；

因為B選項中含有分式，因此不是二元一次方程組，不符合題意；

因為C選項中含有二次項，因此不是二元一次方程組，不符合題意；

因為D選項中是二元一次方程組，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題關(guān)鍵是掌握其中的三個條件：①是整式方

程，②方程組中一共只含有兩個未知數(shù)，③含未知數(shù)的項的次數(shù)是L

3.下列方程中，二元一次方程的個數(shù)是()

①2^=4,②Z+y=5,③x-V=0,④x=y,(g)??+2x=l,@x2-2x+l=0,⑦

2X2

-χ+y=4z,(8)2x-y=0.,⑨孫二1.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義進行判斷即可.

γ一3

【詳解】解：①寧=4只含有一個未知數(shù)，因此不是二元一次方程；

7

②,+>=5不是整式方程，因此不是二元一次方程；

X

③X-V=O中未知數(shù)的最高次數(shù)是2,因此不是二元一次方程；

④X=y是二元一次方程；

⑤晝+2x=l是二元一次方程；

⑥x2-2x+l=0含有一個未知數(shù)，且最高次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；

⑦-x+y=4z含有3個未知數(shù)，因此不是二元一次方程；

⑧2x-y=0是二元一次方程；

⑨移=1中未知數(shù)的次數(shù)是2次，因此不是二元一次方程；

綜上分析可知，二元一次方程的個數(shù)是3個，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的定義,

如果一個方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)項的次數(shù)為1次，那么這個整式方程就叫做

二元一次方程.

4.方程/-2-3y2?τ=6是關(guān)于X,》的二元一次方程，則m+2"的值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得〃L2=1,2W+1=1,進一步即可求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，得利-2=1,2〃+1=1,

解得：m=3,n=0,

所以加+2"=3+2xO=3:

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二元一次方程的概念，含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整

式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

fx=3

5.若＜C是二元一次方程以+加=-2的一個解，則3a-2?+2025的值為_______________

U=-2

【答案】2023

【分析】先將方程的解代入方程，求出,3a-%=-2,再整體代入求值即可.

CX=3

【詳解】解：將‘二代入方程可得，3a-2b=-2,

Iy=-2

原式=-2+2025

=2023；

故答案為：2023.

【點睛】本題考查了二元一次