2022-2023學年高二數(shù)學學科素養(yǎng)能力培優(yōu)競賽試題練習 等比數(shù)列綜合測試 含解析

高二等比數(shù)列素質(zhì)能力提高競賽綜合測試

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

,、Illl

1.已知等比數(shù)列｛%｝滿足：a,+a4+aft+αs=20,α,?α8=8,則一+—+—+—的值為（）

aιa44G

5

A.20B.10C.5D.-

2

【答案】D

Illl

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a4-a6=a2-as=S,對一+—+—+—進行化簡后求值即可.

。2。6。8

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：α4?a6=α2?α8=8,

所以IJJJ=出+%產(chǎn)+4=%+%+&+%=20=5

。24a6aSβ2β844a2as82'

故選：D

2.已知等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，前”項和為s“，S3=56,S6=63,則使得?q<1成立的

最小正整數(shù)”的值為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

'?

【分析】題意可知比數(shù)列｛α,｝的公比g>0且g≠i,由S3=56,S6=63,可得"=萬，即有。"從

%=32

1π^-l1?1π^-lIn

而得qqq?Lq=（^?k,令g）F~<1求解即可得答案.

【詳解】解：由題意可知比數(shù)列｛《,｝的公比9>0且4K1,

又因為￡=56,E=63,

Q.=56

I-q

所以

,(l-?6)α,(l-?3)

fl.(1+/)=63

?-q?-q

1

q=-

解得2,

?1=32

Ii111(—5+n—6)ΛIn-IIn

所以y=q尸?(-ΓL?(-y-6=q產(chǎn)E-)=弓尸一二0尸

1w~~IIn2Ii

令(5)2<1<≠>-~^>O<=>∏2-ll∏>O<≠>π(n-ll)>O?

解得”>11或“<0,

又因為〃∈N*,

所以〃≥12,

所以〃的最小值為12.

故選：C.

3.已知數(shù)列｛凡｝滿足q=1,?,=?,1+(-I)",a2,,+1=?,+3"(n∈N*),則數(shù)列｛q“｝的前2017項的和為

()

A.3'oω-2005B.32016-2017

C.3IO08-2O17D.3IOO9-2O18

【答案】D

［分析］根據(jù)給定條件求出｛a2n.t｝與｛a2n｝的通項，進而求得的的+%“，即可求出數(shù)列｛凡｝的前2017項的和.

【詳解】在數(shù)列｛α,,｝中，4=1,a2n=4∕2Π.1+(-1)",a2n+t=a2n+3",MeN",

,,+,,+B+

則有出用=出向+(-D'=%+3"+(-l)'，即a2n+2-a2n=3"+(-1)',而生=0，

于是得=，+(%-。2)+(4-4)+…+(a2n-2-aIn-A)+(的“一"2“-2)

=[3+(-l)2]+[32+(-l)3]+???+[3"^2+(-l),,^l]+[3n^l+(-1)"]

=[3+32+???+3Π^2+3,,-']+[(-l)2+(-l)3+---+(-I)"-1+(-1)Π]

1

?Q+'-Hr=L3?Leir-I

1-31-(-1)222

πππ

因此，?,,÷1+?2,.=?2?+3"+?2,.=2a2π+3=2[∣.3÷?■(-1)--1]+3=2.3"+(-1)--2,

則?∣7=4+(。2+%)+(%+%)+(%+%)+…+(生016+?2017)

=1+[2?3+(-1)-2]+[2?32+(-1)2-2]+[2?33+(-1)3-2]+???+[2?31008+(-1)I008-2]

?1+2(3+32+33+???+31008)+[(-1)+(-1)2+(-1)3+???+(-1)1008]-2X100：

3(1-3頡)

=1+2.+0-2016=3IOO9-2O18,

1-3

數(shù)列｛。“｝的前2017項的和為3∣°°9-2018.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由《“=4田+(-1)"，。2向=々"+3"("∈N*)

相結(jié)合求出｛%,ι｝與｛%1｝的通項，從而可求出生向+。2“，考查計算能力，屬于較難題

2

4.十七世紀法國數(shù)學家費馬猜想形如=2"+KneN)”是素數(shù),我們稱乙為“費馬數(shù)”.設(shè)為=log2(ξ,-l),

?=21og2απ,πeN?,數(shù)列｛%｝與也｝的前〃項和分別為5“與刀,，則下列不等關(guān)系一定成立的是()

A.an<bnB.an>bn

C.SlljD.5?≥Tn

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意求出a,,,bl,,從而可求出S“與7；,再分析判斷即可

【詳解】因為工=2'+l(〃eN),

所以*=log?(E-I)=IOg2⑵+l-l)=2n,n∈N*

所以6“=21og2α.=21ogz2"=2〃，w∈N'.

2

當"=2H寸，a2=2=4,?2=2×2=4,

所以AB錯誤,

因為"=^_=2,々+|_2=2(〃+1)-2〃=2,

an2

所以數(shù)列｛%｝是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，｛“｝是以2為公差，2為首項的等差數(shù)列,

所以，2(2,=/+

,11-22

當〃=1時，E=(=2,當〃=2時，S2=T2=6,

當〃=3時，S3=15,η=I2,由此可得當"W3時，卻下面用數(shù)學歸納法證明

當〃=3時,,顯然成立，

假設(shè)當"=%(后≥3,%eN*)時,成立,即2"∣-2>公+女,則

當〃=%+1時,Skz=2*+2-2=2(2t+l-2)+2

>2(?2+?)+2

=(?+l)2+?2+l

2

>(?+l)+(?+l),BpSk+l>TM,

綜上，當"≥3時，S,,>Tn,所以S,,≥r,

所以C錯誤，D正確，

故選：D

n

5.已知數(shù)列｛叫，也｝的通項分別為?！?2〃,bn=2+l,現(xiàn)將｛《,｝和也｝中所有的項，按從小到大的順序

排成數(shù)列也｝,則滿足c∣+C2+C3+…+q>2。曝的〃的最小值為()

A.21B.38C.43D.44

【答案】C

【分析】由數(shù)列的通項公式列出數(shù)列，同時得出前〃項和公式，將選項由小至大代入不等關(guān)系中，選出符合

條件的最小值即可.

【詳解】由題，4=2〃，則數(shù)列｛g｝為2,4,6,8,……

bπ=2"+l,則數(shù)列出｝為3,5,9,17,……

設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為1,數(shù)列出｝的前〃項和為Tn,

當九=1時,C]=%=2,。2=4=3,則2<20χ3,不符合條件;

當〃=2時，c3=4,則2+3<20χ4,不符合條件；

以此類推，因為2'+l=33,則前21項中，有｛%｝的前16項，｛，｝的前5項，且￠22=34,

26

當〃=21時，c1+c2+???+c21=(16+16)+(2+3)=339<20c22=680,不符合條件，故排除A；

因為26+1=65,則前38項中，有｛見｝的前32項，也｝的前6項，且C39=66.

27

當"=38時，C,+C2+-+?=(32+32)÷(2+4)=1188<20c39=132C,不符合條件，故排除B；

因為2'+l=129,則前43項中，有｛%｝的前37項，｛“,｝的前6項，且c44=76,

27

當〃=43時，c1+c2+???+c43=(37+37)+(2+4)=1538>2Cb44?1520,符合條件，

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：將兩個數(shù)列合并排序時，不妨考慮直接列舉觀察規(guī)律，結(jié)合選項，得到結(jié)果.

6.已知數(shù)列｛凡｝中各項都小于1,%=；,展+「2%”=端-%，即數(shù)列｛凡｝前〃項和為S,,則()

A.5<S[00<3B.3<So。<4

99

C?4<S[oo<]D?5<Boo<5

【答案】A

2

【分析】根據(jù)(/M-1)2>(?-l)可得0<a,1+,</即數(shù)列{%}單調(diào)遞減.構(gòu)造函數(shù)/(x)=，r證明2?+1<%,

即根據(jù)等比數(shù)列求和即可求解.

【詳解】解析：由*]-2%=Q；-Q〃=>J(Q/∣-2)=4ZI(Q“-1),因為數(shù)列{%}中各項都小于1,故4+∣與

〃〃同號，又q=；>0,所以0<%<l,故(白用一1)2=〃：_〃“+]>片一2%+1=(4〃一1『,Bpi-a,,+1>l-?,

所以又〃-C1所以〃時，

0<4"+]<4“≤',—22—Λ=——=>0<tz2<—,≥20<4zl<],

?-2^+l>?+1-2a,,+1=?-α,,,而函數(shù)/(x)=χ2-x在(。,；[二單調(diào)遞減，所以由∕?(20,,+J>∕(%)得

?f?-n

2。”+|<。"，RP?+∣<-^n'所以S“<；+J+…=—=1-^—<1.

2

故選:A.

7.記U={1,2,…,100}.對數(shù)列{A,J("GN?)和U的子集T,若T=0,定義$=0；若7=%出,…冉},定

義Sr=他+%+…+%.則以下結(jié)論正確的是()

A.若{4}GeN)滿足%=2〃-LT={1,2,4,8},則S7?=I5

B.若㈤}(〃€N")滿足0=2〃-1,則對任意正整數(shù)?1≤左≤100),T^?l,2,-,k},Sτ<ak

C.若{%}(〃€N°)滿足％=3"一，則對任意正整數(shù)％(14%≤100),TQ{?,2,-,k},Sτ≥ak+i

D.若{。,}(〃?^)滿足為=31,且CαU,OqU,Sc≥S°,則Sc+Sm.Z2Sz,

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義直接計算斗，即可判斷A,舉反例判斷B錯，利用等比數(shù)列的通項公式和前"項和公

式以及放縮法判斷C,D.

【詳解】因為α,,=2N-LT=H,2,4,8},

所以Sr=Q]+&+%+〃8=1+3+7+15=26,A錯，

取k=3,7={1,2,3},

則S/=α∣+&+%=∣+3+5=9,α3=5,所以6>4，B錯,

因為TU{1,2,…,％},an=3"T>0,〃eN*,

所以》≤q+的+…+外=1+3+…+3"∣=1（3--1）<3*.

因此，Sτ<a∣l+i,C錯，

若。是C的子集，則Sc+SC^D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

若C是。的子集，貝IJSC+SSD=SjSc=2Sc>ISD.

若。不是C的子集，且C不是。的子集.

令E=CCδtzO,F=DcdfzC則Ew0,F≠0,EnF=0.

十足SC=SE+SCeb，Sr）=SF+See`進而由SCzS￡），得≥S/.

設(shè)無是E中的最大數(shù)，/為尸中的最大數(shù),則左≥1,∕≥1M".

由（2）知，SECa*+∣,于是3小=α∕≤SF≤Sg<α*+∣=3*,所以/一1<%,即Yh

^5Lk≠l,故∕≤"1,

,

從而SF≤αl+02+???+Λ/=l+3÷???+3^'=≤~^~≤?,

故“≥2S-+1,所以SC-SeTW22（SLScm））+l,

即SC+SCCD-2Sz,+1.

所以D對，

故選：D.

【點睛】對于數(shù)列新定義問題解決的關(guān)鍵在于準確理解新定義，再根據(jù)定義進行計算；本題的難點是利用

放縮法證明不等式，放縮的目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列的性質(zhì).

8.已知數(shù)列應(yīng)}滿足電,,-%,1=3"-1,%向+。2“=3"+5（〃€^）,則數(shù)列{叫的前40項和S40=（）

4l4

a3"+397o3+397C3'+197C3?'+197

A?-----------D?-----------------C?-----------U------------

2222

【答案】D

【分析】由已知，根據(jù)題意由，”-。2,1=3"-19,川+%,=3"+5（〃€^）可得：?2?+,+a2?_,=6（neN*）,從

而計算(Al+α3)+(a5+α7)+(α9+αll)π-----π(α37+a39)=10×6=60,由a2ll-a2n-?=3"-1(〃∈N)遞推可得：

，“+2-02.M=3"「l(〃eN*),結(jié)合。2向+%“=3"+5(〃￡^)可得：/2+?,=4?(3"+l)("∈N*),從而計算

(47,+α4)+(α6+?)+(αl0+αl2)+???+(?+α40),將兩組和合并即可完成求解.

【詳解】由已知，數(shù)列｛勺｝滿足?,-%τ=3"-lGeN?)①，％向+%”=3"+5(〃eN)②，

α'

②-①得；β2n+ι+2,,-∣=6(rt∈N),

所以(α∣+α3)+(a5+α7)+(α9+αll)+???+(α37+α39)=10×6=60,

n+'

由的“-%1=3"-1(〃€“)遞推可得：?n+2-a2n+1=3'-l(n∈N)(3),

③+②得；%,+2+%=4?(3"+1)(〃eN),

3+4)+(4+4)+(4。+%)+3+(%8+4。)

=4?(3I+1)+4?(33+1)+4?4+I卜??+4?。"+1)

=4(3'+33+35+???+3l9)+4×10

3(l-9l°)

=4×-^-----<+40

1-9

321-3

--------+40,

2

所以$40=(4+α,)+(α5+α7)+(α9+α∣l)+??'+(σ37+039)+(02+α4)+(α6+βs)+(α∣O+ai2)+"-+(a38+α4θ)

321-3

?---+100

2

32∣+197

一_~

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部

選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.已知數(shù)列｛““｝是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若公比為夕，則凡.=。+力SM

B.若%=2,%=32,則%=±8

C.若數(shù)列｛““｝的前〃項和S,=3"T+r,則r=l

D.iim+n=p+/加,〃,PM∈N*"是"5=%q”的充分而不必要條件

【答案】AD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式計算A后可判斷其正誤，利用基本量法計算BD后可判斷其正誤,

利用前"項和和通項的關(guān)系nJ判斷C的正誤.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為g.

對于A,s2n=at+a2+a}+---+an+anA+---+a2

而4,+∣=?！?，%+2=%/，…，。2"=%/'，故S2“=S,,+S,0'=(l+g")s,,,

故A正確.

2

對于B,因為a5=ajq,而外＞。，故%＞。，故B錯誤.

l+r,w=1

對于C,因為S,,=3"T+r,故為=

2×3'"2,n≥2,

因為｛4｝是等比數(shù)列，故?=￡=3即1=3,故廠=-；，故C錯誤.

對于D,因為勺",“""『a,q=aW+2

若m+n=p+q,則%,q=%%

取?！?1,則qq=%迫4=1，但"+“Wp+q,

故“/?+〃=。+%凡名0國^^是”丁里L與七廠的充分而不必要條件，故D正確.

故選：AD

10.如圖，6是一塊半徑為1的圓形紙板，在6的左下端前去一個半徑為3的半圓后得到圖形然后依

次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個前掉半圓的半徑）得圖形名,…,勺,…，記紙板￡的周長為4，

C.Lιι=π+1D?Sn+l—Sft-22π+1

【答案】ABD

【分析】觀察圖形，分析剪掉的半圓的變化，紙板E,相較于紙板EI(〃22)剪掉了半徑為白的半圓，再分

別寫出4和S,,的遞推公式，從而累加得到通項公式再逐個判斷即可

【詳解】根據(jù)題意可得紙板與相較于紙板Ez(〃N2)剪掉了半徑為白的半圓，故

]I2Tt1Tt1Tt1

4,=4T-NX2+1乃X正，即Z■“-L11T=產(chǎn)-產(chǎn)，故Zl=1+2,L1-Lx乙一七二尹一3，

『4=今一最…Lrl-LiIT=聲-3,累加可得

（reππΛ（｝1

=7r+2?+2r+-+FτJ?+2i

4=萬(2—/)+/=(%+3,故A正確，C錯誤;

又S.=S,ι-gJ.j，故S「Si=一號，即S，M=S“一品

故D正確;

TTTTTΓTT

又SI=5,S2~s?=_^T,S3?~S2=-?…S〃-S〃T=一聲「累加可得

，故邑=三乃正確，故B正確;

32

4

故選：ABD

11.設(shè)等比數(shù)列｛/｝的公比為g,其前〃項和為E,,前〃項積為看，且滿足條件4>1,a2u22a2023>1,

（。2必-1）（。2。23-1）<0,則下列選項正確的是（）

A.O<夕<1B.S?022+1>S2023

C.G3是數(shù)列｛北｝中的最大項D?T4043>↑

【答案】ABD

-

[u-,m-,-1>0[a,?！?<0

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，貝!|2g或2必β,>l,Ω2022??>l,所

[?2023-1?°M23T>O

以出022>1，々023<1，推得公比0<夕<1，即可依次求解.

【詳解】（α2o22T）?（?>23-D<0，

[6Z->—1>0fCIJMJ-1<0

則29儂n9ng2022

[“2023—1<。[〃2023一1>°

Qq>1，“2022?。2023>?，

。2022和a2023同號，且同為正，

且一個大于1，一個小于1,

Q4>1,

二??2022>1，〃2023<1，即數(shù)列的前2022項大于1,

而從第2023項開始都小于1,

對于A,公比0<q=.<l,故A正確，

^2022

對于B?,*1^2023<1，

?ea2O23=$2023-$2022<1，即$2022+〔>$2023，故B正確，

對于C,等比數(shù)列｛”“｝的前〃項積為北，

且數(shù)列SJ的前2022項大于1,而從第2023項開始都小于1,

故a122是數(shù)列區(qū)｝中的最大項,故C錯誤，

對于D>AO43=a?a2a3a4043=a2022,

。2022>1>

.???24O43>1.即&43>1，故D正確.

故選：ABD

12.已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足q=2,4=1,2a,,+1=5αn-?+l,24*∣=54-α,,+1.則下列結(jié)論不正確的

是()

A.數(shù)列｛%-〃｝為等比數(shù)列

B.數(shù)列｛/+，｝為等差數(shù)列

C.aft+bft=95

D.α,,=；(3X2"T+3"T_|)

【答案】BCD

【分析】對A,條件兩等式相減，根據(jù)定義判斷等比數(shù)列；

對B,條件兩等式相加，根據(jù)定義判斷等差數(shù)列；

對C,由B的結(jié)論求出通項，再求第6項：

對D,由AB的結(jié)論求出通項公式，再兩式相加.

【詳解】對A,2(an+1-?+l)=5an-bn+1-(5bn-aπ+^=^an-b),

即?+∣-be=3(a,,-b"),al-hi=]≠O,

故數(shù)列｛。"-"｝為首項為1,公比為3的等比數(shù)列，A對；

對BC,2(a,,+1+?ntl)=5a,,-bn+i+5bn-a,,+?=4(α,,+>)+2,

即?+∣+%=2(%+4)+1,即an+l+%+1=2(an+或+1),

故數(shù)列｛”,,+b,,+1｝為首項為q+%+1=4,公比為2的等比數(shù)列，

故。l,+a+l=4x2"T=2"U,故α,,+"=2向一1,

7

故數(shù)列｛q+4｝不為等差數(shù)列，α6+?6=2-1=127,BC錯；

+1n+l

對D,由A得=3"τ,×aπ+bπ=2"-l,兩式相加得2an=2+3"-'-l,

即4=；(4X2"T+3"T_1),D錯.

故選：BCD

第∏卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，滿足S,=hα),-3(左是常數(shù)，無>1),即m=4,且

a.III?

々2+%++…+2022=2048,貝I]-------1---------1---------1■…+=________________.

a

。203A”2022

【答案】128

【分析】先由S“與%的關(guān)系式得到數(shù)列｛”“｝為等比數(shù)列，并設(shè)數(shù)列｛6｝的公比為q，同時可證數(shù)列F也

是等比數(shù)列，并且公比為5,然后根據(jù)題干條件得到用數(shù)列｛4｝的公比g的關(guān)系式，再將

,+,+▲+…+」一也用含有g(shù)的式子表示，即可得到答案.

a

2。304”2022

【詳解】因為SLha「3(%是常數(shù)，%>1),所以當〃≥2時有SZ=

ak

兩式相減得4,=%q-h%(“≥2),即工=1：>1(〃22),

a,,-ι-I

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為g(qrl),an=ax-<f-'

根據(jù)題意可得少(IW)=k-at-q"-'-3,即q=3(q-1),

"q

又因為/2=4,可得力-嚴|=4=3卜-1“°”,即(g-l)∕°"=g,

/2022\

a=

因為O,+。3+。4+???+202->~~"?22q=—?------------=2048，

]一1q-?

又因為％=3(q-l),所以q2022-g=平，

1

因為α,,=q?∕τ,所以-L=J_.(口，可知牛=?L,

a?々⑺-Lq

?-l

即數(shù)列也是等比數(shù)列，并且公比為L,所以

ι?Jq

Z?2022

j___]_j1

a

1111的出。22q'

—I------1--------1-…H--------=,

l-?

■2022ι--

qq

「2022C

q-qq2022-q

產(chǎn)(gT)?q產(chǎn)2(BI)?3("1)

2048

產(chǎn)-

4—3—=128.

3[√0"(?-l);3×βJ

故答案為：128.

14.已知集合4=｛x∣x=2"-l,"eN*｝,8=卜卜=2"eN*｝,將ZuB中的所有元素按從小到大的順序排

列構(gòu)成一個數(shù)列｛4｝,設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,，則使得S”>100。成立的最小的〃的值為.

【答案】36

【分析】由題可得2"為數(shù)列｛%｝的2"一+〃項，且利用分組求和可得**,=4"T+2"T-2,通過計算即得.

【詳解】由題意，對于數(shù)列｛對｝的項2"，其前面的項1，3,5,2"-le4,共有2”T項，2,22,23,???,Z∈β,

共有〃項，所以2"為數(shù)列｛。"｝的2"T+〃項,

且=[(2×1-1)+(2×2-l)+???+(2×2,,^'-lj]÷^+22+?-+2")=4π^'+2"+'-2

可算得2"∣+6=38(項)，＜?=64,S38=1150,

因為陽=63,α36=61,心=59,所以%=1086,536=1023,S35=962,

因此所求〃的最小值為36.

故答案為：36.

15.某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dmχl2dm

的長方形紙，對折1次共可以得到IodmXl2dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S∣=240dn√,

對折2次共可以得到5dmxl2dm,1Odm×6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和邑=180dm,,

以此類推，對折〃次，那么E+邑+…+S,,=dm2.

【答案】720-?z^

【分析】通過分析得對折〃次則有"+1種規(guī)格，而每個規(guī)格的面積均為l20x(3J從而得到面積

=120(〃+1),再利用乘公比錯位相減法求和即可

"2/1—1

【詳解】由對折2次共可以得到5dmχl2dm,IOdmX6dm,20dm×3dm種規(guī)格的圖形，

53

所以對著二次的結(jié)果有：一X12,5x6,10x3；20×-,

22

共4種不同規(guī)格(單位dn?)：故對折4次可得到如下規(guī)格：∣5×12,j5×6,5×3,10×3p20x3(,共5種

不同規(guī)格；

由于每次對折后的圖形的面積都減小為原來的一半，

故各次對折后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積成公比為g的等比數(shù)列，首項為120(dn?),第〃次對折共有〃+1

種規(guī)格，其面積均為120X

則對于第〃次對折后的圖形的面積之和S?JO"1),

設(shè)S=XSL竽+等+等+

,?120×2120×3120?12θ(w+l)

則πιl_Sn=——：—+——；—+???+----H------------，

22'222^lR1

兩式作差得:

120(/1+1)

ls=24O÷12θ[l+±÷...÷Jzr]-

=240÷??-≡→=360-??'-?±l)=360--+3)

nπ,π

1122^22〃

2

H山C”八240(W+3)”八15(w+3)

因此，s=720--L=720--^μ.

依“，,15("+3)

故答案為5：720--J1.

2n^4

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是能夠通過分析得到規(guī)格數(shù)與〃的關(guān)系，即第"次對折共有〃+1種規(guī)格，以

及面積與〃的關(guān)系，即每種規(guī)格的面積均為120x最后得到總面積的通項公式，當然亦可通過寫出

工,S2,S3,凡進行歸納猜想，最后得到S,,J2?二+）從而利用錯位相減法求和即可.

16.已知等比數(shù)列｛?！ǎ黜椌鶠檎龜?shù)，且滿足：>1,2<%0￡（）2+1<%01+%02，記7L=αW2L%,則使得

T11>1的最大正整數(shù)〃為.

【答案】202

【分析】根據(jù)"10l"l02+1<〃[0]+〃102可得(。101—1)(“∣O2-)<°，結(jié)合。|>1，。□J得。⑼>1,。<。屹<1.根

據(jù)2<4]0臼02+1口?得《01。]02=。1。202>1,根撲;Z=QIa2，，4=（"1"〃戶可判斷、石03<1,從而求得答案.

aa

【詳)W】?Q??02÷1<^101+"102="10l"l02一"101一(4102-1)<。

="101(卬02一1A(“102一1)<。=(〃101一D(4102-1)<°，

二代>1或仆<：,

[^102<1Iqo2>?

Qa1>1,%>0,

?*?〃ioi>1，0<"102<1，

又2<^101^102+?=βf10Iβ102>1，401“102=。1。202>??

202

ra,

202=(Λθ2)?>1

T103=(axaιm)?=(α102)-=(a,02)^<1'

,使Tn>1的最大整數(shù)n為202.

故答案為:202.

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且￡=452，a2n=2an+l

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列也｝的前〃項和為。，且=27；+2,求數(shù)列｛α,,+4｝的前”項和

【答案】(IM=2〃-1

⑵∕=3"+∕-l

【分析】(1)先求得等差數(shù)列｛““｝的首項與公差的值，進而求得數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)先求得等比數(shù)列出｝的首項與公比的值，再利用分組求和法即可求得數(shù)歹∣j｛%+b,,｝的前〃項和乩.

【詳解】⑴設(shè)等差數(shù)列應(yīng)｝公差為/則1+伽一ι)d=2%+2("l)d+l'

解得匕'[所以=21

[a=2

(2)設(shè)等比數(shù)列他,｝公比為g,

由%=2北+2可得，"=2J+2(“≥2)

兩式相減可得：a,∣=3",則q=3.

乂瓦=2b∣+2,且也｝是等比數(shù)列，所以A=2,故6,,=2?3"τ

則乩=(%+A)+(%+a)+L+m+a)

=(α,+α,+???+dn)+(6,+ft,+???+?)

=〃("2〃T)+止步=3"+〃1

21-3

18.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64.數(shù)列｛"｝是公比大于O的等比數(shù)列，4=3,

by-b2=18.

⑴求數(shù)列｛”“｝和也｝的通項公式；

,,

(2)記c“=(-l)α^,n∈N*,求數(shù)列｛%｝的前In項和S2n；

⑶記4,，〃eN*,求數(shù)列｛"”｝的前〃項和7,.

aa

nn+Al

【答案】⑴0,=2"-l,4=3"

⑵邑“=8/

(3)7=~-------?-----

v7"22(2"+l)?3"

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項為例,利用等差數(shù)列的前〃項和公式求出外,進而求出等差數(shù)列的通項公式;

設(shè)等比數(shù)列的公比為4,利用通項公式和已知條件求出4,進而求出等比數(shù)列的通項公式；

(2)先求出。2“一1+。2"=lM-8,再利用分組求和法和等差數(shù)列的求和公式進行求解；

(3)先得到dn=?[-~r-?],再利用裂項抵消法進行求和.

【詳解】(1)因為｛凡｝是公差為2的等差數(shù)列，旦&=64,

8x7

所以8α∣^ι---×2=64,解得q=l,

所以%=1+2(N-1)=2〃-1；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為q(q>0),

因為a=3,bi-b2-18,

所以3∕-3q=18,即/-q-6=0,

解得q=-2(舍去)或g=3,

所以b,,=3χ3"τ=3".

(2)由(1)得%=(-l)%;=(-1)"?(2"-1)2,

則C21+C2”=(T)2"T12(2"-1)-1]2+(-1)2^?(4Λ-4)2

=-(-l)2π?(4n-3)2+(-I))"?(4π-l)2

=(4n-l)2-(4n-3)2=16π-8,

貝US2,,=(Cl+C2)+(c3+C4)+???+(C2“4+C2J

=8[l+3+5+???+(2n-l)]

=8χ*S∕

2n+2L]___________?

(2∕7-1)(2Z7+1)?3,,"2(2-l)3i(〃+l)3"

7

則L=4+d2+d3+---+dn

=2[(bGy-3^3r)+(W-5X32)+(5X327X33)÷*，，+((2AΠ1)?3(2勝1)?3"=2(1^3?-(2/?+l)-37,)

I1

~2^2(2∕7+l)?3,1,

【點睛】方法點睛：本題中考察了數(shù)列求和的兩種采用方法，第二問考察了并項求和法，第三問考察了裂

項抵消法，技巧性較強.

1

,,,?-att+n9n=zk+↑

19.已知數(shù)列｛%｝>兩足：Ql=Lan+]=<2,%∈N,

aιl—2/7,n=2k

⑴求。2，。3；

(2)設(shè)4=出〃-2,n∈N?求證：數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列，并求其通項公式;

⑶求數(shù)列｛%｝前20項中所有奇數(shù)項的和.

35

【答案】(l)5,--

(2)證明見解析,bn

(3)((f-162?

【分析】(I)根據(jù)題中遞推關(guān)系式，依次代入即可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，先求出出,+2=：。2.+1，再計算得臥=；,即可證明｛4｝是等比數(shù)列，進而求得a：

(3)將｛%｝前20項奇數(shù)項的和利用遞推式轉(zhuǎn)化為關(guān)于偶數(shù)項的和，再利用=2+"將關(guān)于%的計算轉(zhuǎn)化

為關(guān)于￡的計算，進而求得結(jié)果.

135

【詳解】(1)令〃=1,得%=5α1+l=5,令〃=2,1?α3=a2-2×2=--;

(2)根據(jù)題意,得々=α2-2=-g,α,,,+2??α2u+1+(2∕?+1)??(α2,,-2×2?)+2H+1??α2π+1,

所以鼠=%+2-25%"+>2=∕%-2)J

bn%〃一2%“一2七〃一22

故"TH)

所以數(shù)列也｝是a=-；,<7=∣的等比數(shù)列,

(3)由(2)可得牝“=2+〃，

所以數(shù)列｛?！埃?0項中所有奇數(shù)項的和S=q+%+牝+…+?>

=q+(ɑ,-2χ2)+(4-2x4)+…+(。建-2x18)=1+(凡÷tz4+???÷tz∣8)-2(2÷4?—1-18)

=l+(2+?,+2+?,+???+2+?J-9×(2+18)=l+18+β,+?,+???+?J-1802

z-161=162?

14

20.已知項數(shù)為左依∈N*,k≥3)的有窮數(shù)列｛an｝滿足如下兩個性質(zhì),則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P；

φl≤al<a2<a3<-?<ak；

②對任意的i、j(?≤i≤j≤k),支與。產(chǎn),至少有一個是數(shù)列｛%｝中的項.

ai

(1)分別判斷數(shù)列1、2、4、16和2、4、8、16是否具有性質(zhì)P,并說明理由;

2

(2)若數(shù)列｛叫具有性質(zhì)尸，求證：α*=(α1α2???αλ.);

(3)若數(shù)列｛q,｝具有性質(zhì)P,且不是等比數(shù)列，求〃的值.

【答案】(1)數(shù)列1、2、4、16不具有性質(zhì)P,數(shù)列2、4、8、16不具有性質(zhì)P,理由見解析

(2)證明見解析

⑶X=4

【分析】(I)根據(jù)題中定義判斷即可得出結(jié)論；

(2)推導(dǎo)出q=l,設(shè)2≤i≤%且ieN,分析可知，為數(shù)列｛4｝中的項，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得出

=1=—<——<—=,可得出"=q,-=?2.l,"=4,利用累乘法可證得結(jié)論成立;

4?-ι?24%?)

(3)分析可知當上=3時，％、。2、4成等比數(shù)列；根據(jù)(1)可知左=4滿足題意；討論當無≥5時，由(2)

可知，耳=4M(O≤i≤后-1),當3≤i≤"l時，根據(jù)題中定義以及不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出

ak-i

芻-=%√1≤∕?≤A-1),結(jié)合等比數(shù)列的定義可知不成立，從而可得出化的值.

【詳解】⑴解：對于數(shù)列1、2、4、16,因為?^=8m1,2,4,16｝,2x16=32e｛1,2,4,16｝,

所以，數(shù)列1、2、4、16不具有性質(zhì)P：

===

對于數(shù)列2、4、8、16,當9時,————=1￠｛2,4,6,8｝,a4a4￠｛2,4,6,8｝,

a?aι%4

所以，數(shù)列2、4、8、16不具有性質(zhì)P.

(2)證明：因為1≤Q]<42<O3<…<〃氏，

因為壯≥%,則I=幺為數(shù)列｛〃〃｝中的項，所以，q=1,

ak

設(shè)2≤i≤無且ieN,因為akai>ak,則α*α,?不是數(shù)列｛4｝中的項，

所以，幺為數(shù)列｛《J中的項，

ai

因為4=1="<2<…

46T/a?

所以，—=?,,-=a2,L,"=怎,

akak-?a?

k

上述等式全部相乘可得一4-=ala2--ak,因此，ak=(axa2-ak^.

a?a2'"ak

(3)解：當々=3時，由(2)可知“∣=l,

由題意可得：=%=詈，這與數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列矛盾；

當％=4時，由(I)可知，數(shù)列1、2、4、8具有性質(zhì)P；

當人25時，由(2)可知，—≈α,tl(0≤z≤?-