九年級上學(xué)期期末【?？?0題練習(xí)】九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末知識點(diǎn)串講（人教版）（解析版）

九年級上學(xué)期期末【常考60題考點(diǎn)專練】

一.選擇題（共17小題）

1.（2021秋?三河市期末）下面用數(shù)學(xué)家名字命名的圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對

稱圖形的是（）

笛卡爾心形線

斐波那契螺旋線

【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A,是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對

稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自

身重合.

2.（2021秋?邯山區(qū)期末）已知一元二次方程X2+日+3=0有一個根為3,則Z的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】把x=3代入方程計算即可求出k的值.

【解答】解：把x=3代入方程得：9+3A+3=0,

移項合并得：3k=-12,

解得：k=-4.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)

的值.

3.（2021秋?信豐縣期末）如圖，面積為50#的矩形試驗田一面靠墻（墻的長度不限），另

外三面用20加長的籬笆圍成，平行于墻的一邊開有一扇寬的門（門的材料另計）.設(shè)

試驗田垂直于墻的一邊AB的長為《則所列方程正確的是（）

~AD~

B'----------門」C

A.（20+1-χ）x=50B.（20-l-χ）x=50

C.（20+1-2x）x=50D.（20-1-2x）X=50

【分析】根據(jù)籬笆的總長及AB的長度，可得出BC=（20+1-2x）m,利用矩形的面積

計算公式，結(jié)合矩形試驗田的面積為50∕7Z2,即可得出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：?；籬笆的總長為20m，且AB=XM平行于墻的一邊開有一扇1根寬的門，

；.BC=（20+1-2x）m.

依題意得：（20+1-2x）JC=50.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?鐵西區(qū)期末）如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小立方體搭成，它的主視

圖是（）

A.B.

【分析】根據(jù)主視圖是從正面看到的圖象判定則可.

【解答】】解：從正面看，共有四列，從左到右每列的正方形的個數(shù)分別為：1、2、1、1,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

5.(2021秋?岳陽樓區(qū)期末)用配方法解方程/-Zr-5=0時，原方程應(yīng)變形為()

A.(x+l)2=6B.(x+2)2=9C.(χ-1)2=6D.(X-2)2=9

【分析】利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：X2-2X-5=0,

X2-2x=5,

X2-2r+l=5+l,

(X-I)2=6,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握解一元二次方程-配方法是解

題的關(guān)鍵.

6.(2021秋?舞陽縣期末)下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是()

A.y=x-2B.y=WC.y=x2+2x-1D.y=-^—

XX2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：ny=ax1+hx+c(a,h,C為常數(shù)且4W0),即可解答.

【解答】解：A、y=χ-2是一次函數(shù)，故A不符合題意;

B、y=旦是反比例函數(shù)，故B不符合題意；

X

C、y=x2+2x-1是二次函數(shù)，故C符合題意；

D、），=2不是二次函數(shù)，故。不符合題意；

2

X

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?豐寧縣期末）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量X與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值:

X…-2013

y???6-4-6-4

下列各選項中，正確的是（）

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與X軸無交點(diǎn)

C.當(dāng)x>l時，y的值隨X值的增大而增大

D.這個函數(shù)的最小值小于-6

【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0,-4）,（3,-4）可得拋物線對稱軸為直線x=3,由拋

2

物線經(jīng)過點(diǎn)（-2,6）可得拋物線開口向上，進(jìn)而求解.

【解答】解：：拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，-4）,（3,-4）,

拋物線對稱軸為直線x=g,

2

：拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-2,6）,

.?.當(dāng)時，y隨X增大而減小，

2'

.?.拋物線開口向上，且跟X軸有交點(diǎn)，故A,8錯誤，不符合題意;

.?.χ>3時，y隨X增大而增大，故C錯誤，不符合題意；

2

由對稱性可知，在x=3處取得最小值，且最小值小于-6.故。正確，符合題意.

2

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系.

8.（2021秋?攸縣期末）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)P是G）O外一點(diǎn)，Po交G）。于點(diǎn)C,

連接8C,PA.若/P=36°,且必與OO相切，則此時/8等于（）

A.27oB.32°C.36oD.54°

【分析】先利用切線的性質(zhì)求出∕AOP=54°,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：???以是。。的切線，

ΛZPAO=90°,

NAoP=90°-NP=54°,

?：OB=OC,

：.AAOP=IAB,

,NB=工N4OP=27°，

2

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的

外角的性質(zhì)，求出N40P是解本題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?岱岳區(qū)期末）反比例函數(shù)y=辿與一次函數(shù)y=0r+〃在同一坐標(biāo)系中的大致圖

X

象可能是（)

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象判定。、人的符號，根據(jù)漏的符號判定反比例函數(shù)圖象所在

的象限.

【解答】解：A、一次函數(shù)y=ax+〃的圖象經(jīng)過第一、三象限，則〃>0,與y軸交于負(fù)半

軸，則人<0,所以而<0,則反比例y=也經(jīng)過第二、四象限，不符合題意；

X

B、一次函數(shù)y=ax+〃的圖象經(jīng)過第二、四象限，則aV0,與y軸交于負(fù)半軸，則bVO,

所以必>0,則反比例y=處經(jīng)過第一、三象限，不符合題意；

X

C、一次函數(shù)y=ax+。的圖象經(jīng)過第二、四象限，則。V0,與y軸交于正半軸，則/?>0,

所以浦V0,則反比例y=生■經(jīng)過第二、四象限，不符合題意；

X

D、一次函數(shù)y=ax+。的圖象經(jīng)過第一、三象限，則a>0,與y軸交于負(fù)半軸，則8<0,

所以岫V0,則反比例y=生?經(jīng)過第二、四象限，符合題意；

X

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的

性質(zhì)才能靈活解題.

29

10.（2021秋?睢縣期末）己知反比例函數(shù)），=二（“為常數(shù)）圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)分

X

別是A（xι,yι）,B（X2,”），C（X3,”），其中XIVO<x2<x3,則yι,”，中的大小關(guān)

系的是（）

A.y?<y2<y3B.y?<y3<y2C.y2<y3<yiD.y3<y2<y?

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)用VOVx2VX3

即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?反比例函數(shù)），=二4叁"為常數(shù)）中，

X

???函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而增大.

Vχi<0<X2<X3>

：.B、C兩點(diǎn)在第四象限，A點(diǎn)在第二象限，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的

坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?巨野縣期末）把拋物線>=-37的圖象向左平移1個單位，再向上平移6個

單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=-3（x-1）2+6B.y=-3（x-1）2-6

C.y=-3（x+l）2+6D.y=-3（x+l）2-6

【分析】求出頂點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)，即可根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式得到答案.

【解答】解：：拋物線y=-37的頂點(diǎn)為：（0,0）,

將拋物線y=-3/的圖象向左平移1個單位，再向上平移6個單位，所得的拋物線頂

點(diǎn)為（-1,6）,

，平移后的拋物線是y=-3（X+1）2+6,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線的平移，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，本題也可根據(jù)

平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”解答.

12.（2021秋?信都區(qū)期末）已知。。的半徑為3,平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心。的距離為5,則此

點(diǎn)可能是（）

A.P點(diǎn)B.Q點(diǎn)C.M點(diǎn)、D.N點(diǎn)

【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心。的距離大于半徑，可判定出點(diǎn)在圓外，即可得到答案.

【解答】解：：平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心。的距離為5,5>3.

該點(diǎn)在圓外，

點(diǎn)N符合要求.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心距離與半徑的大小關(guān)系可作出判

斷.

13.（2021秋?諸暨市期末）如圖，AABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，貝IJSin/ABC的

值為（）

A.—B.2C.遮D..?Z∑

255

【分析】連接小正方形的對角線，證明ABS是直角三角形，再利用SinNABC與它的余

角的正弦值相等解答即可.

【解答】解：如圖所示，連接小正方形的對角線CD,

一.DZ_-

設(shè)每個小正方形的邊長為則22BD=

1,CQ=√],BC=√3+1=√IO.2√2.

V(√2)2+(2√2)2=(√IO)2)

即C￡>2+B￡>2=BC2,

.?.△8C。是直角三角形，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就

是解直角三角形.靈活運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，過圓心且互相垂直的兩條直線將兩個同心圓分成

了若干部分，在該圖形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）

A.?B.?C.?D.?

8432

【分析】根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：觀察圖形可知，陰影部分是大圓面積的一半，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是

-1-.

2

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查概率公式，求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計

算方法是長度比，面積比，體積比等.

15.（2021秋?萊州市期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,。都在格點(diǎn)上.下列

說法正確的是（）

A.點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心B.點(diǎn)。是AABC的外心

C.點(diǎn)。是44BD的內(nèi)心D.點(diǎn)。是AABO的外心

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心即可解決問題.

【解答】解：根據(jù)點(diǎn)A,B,C,D,。都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

可知：點(diǎn)。到點(diǎn)A,B,。三點(diǎn)的距離相等，

所以點(diǎn)。是AABO的外心，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵

是掌握內(nèi)心與外心的定義.

16.（2021秋?7錄口區(qū)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如

圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB,從木桿的頂端8觀察井水水岸￡>,視

線Bo與井口的直徑AC交于點(diǎn)E,如果測得AB=I米，AC=I.6米，AE=O.4米，那么

CD為（）

米米

A.2米B.3米C.1D.1

23

【分析】由題意知：IXABEsMCDE,得出對應(yīng)邊成比例即可得出C/).

【解答】解：由題意知：AB//CD,

則NBAE=NC,NB=NCDE,

：.XABESXCDE,

.AB=AE

*"CDCE*

，?-Q-4

^,CD1.6-0.4'

.?.Cf>=3米，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出AABESACDE是解決問

題的關(guān)鍵.

17.(2021秋?自貢期末)如圖，二次函數(shù)y=a/+〃x+c(α>0)的圖象與X軸交于4,B兩

點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,它的對稱軸為直線X=-1,有下列結(jié)論：

@abc<0；@4ac-?2<0;(3)c-a>0;④當(dāng)X=-,尸-2時，_y》c；⑤若xι,X2(xι<x2)

是方程“χ2+?r+c=o的兩根，則方程“(X-XI)(X-JQ)-I=O的兩根”?，nCm<n')滿

足∕w<xι且">X2；其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】①由開口向上得到”>0,由對稱軸在y軸左側(cè)得到8>0,由函數(shù)圖象與y軸的

交點(diǎn)在)，軸的正半軸上得到c>0,進(jìn)而得到cibc的正負(fù)情況；

②由函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)個數(shù)得到b1-Aac的正負(fù)；

③由對稱軸為X=-I得至U8=2α,然后由當(dāng)X=-I時，y<0得到c-a的正負(fù)；

④由對稱軸為X=-1和X=O時，y-c>得到X=-2時，y-c)再由^n~~2W-2,得

到當(dāng)X=--2時，y》c；

⑤由方程的根得到函數(shù)與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為XI,X2(XI<X2),進(jìn)而由方程4(X-

Xl)(X-X2)-I=O的兩根為〃?，〃即為函數(shù)y=0v2+bx+c與直線y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，得

到Xl與與〃之間的關(guān)系.

【解答】解：①；開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸

上，

：.a>0,b>0,c>0,

：.abc>0,故①錯誤，不符合題意；

②；函數(shù)圖象與X軸有2個交點(diǎn)，

：.b2-4ac>Q,

：Aac-b2<0,故②正確，符合題意;

③：對稱軸為X=-1,

上=-1,

2a

??b=2a,

,."當(dāng)X=-1時，y=a-h+c<O,

.,.a-b+c=a-2a+c=c-a<0,

：.c<a,故③錯誤，不符合題意：

④；對稱軸為X=-1,且當(dāng)X=O時，y=c,

.?.χ=-2時，y=c,當(dāng)XV-I時，y隨X的增大為減小，

V-H2-2≤-2,得到當(dāng)尤=-M-2時?，y≥c,故④正確，符合題意；

⑤?.?χi,X2(XlVx2)是方程4∕+bx+C=0的兩根，

.?.y=0r2+bx+c(?>0)與X軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xι,x2(XIVX2),

方程α(X-Xl)(X-x2)-I=O的兩根為m,n,

二函數(shù)y=ατ2+?r+c與直線y=1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)位m,n,

函數(shù)圖象開口向上，

.'.xι>m,X2<n,故⑤正確，符合題意，

.?.正確的個數(shù)有3個，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與X軸

的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的解之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系.

二.填空題(共23小題)

18.(2021秋?阿城區(qū)期末)在半徑為15的圓中，120°的圓心角所對的弧長是10π.

【分析】根據(jù)弧長計算公式進(jìn)行求解即可得出答案.

【解答】解：∕=J12?=120∣n×15=]0n.

ISO180

故答案為：IOn.

【點(diǎn)評】本題主要考查了弧長的計算，熟練掌握弧長的計算公式進(jìn)行求解是解決本題的

關(guān)鍵.

19.（2021秋?河北區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,1）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,-1）.

【分析】關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成原來相反數(shù)，據(jù)此求出點(diǎn)B的坐標(biāo).

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,1）與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)B的坐

標(biāo)為（2,^1）.

故答案為：（2,-1）.

【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐

標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是P1（-X,-y）.

20.（2021秋?仙居縣期末）如圖，在一塊長22機(jī)，寬為的矩形空地內(nèi)修建三條寬度相

等的小路，其余部分種植花草.若花草的種植面積為240川，則小路寬為2%

【分析】設(shè)小路寬為笛小則種植花草部分的面積等同于長（22-χ）m,寬（14-χ）〃i的

矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為240機(jī)2,即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之取其

符合題意的值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)小路寬為則種植花草部分的面積等同于長（22-χ）m,寬（14-χ）

m的矩形的面積，

依題意得：（22-x）（14-%）=240,

整理得：X2-36Λ-+68=0,

解得：xi—2,X2=34（不符合題意，舍去）.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

21.（2021秋?順平縣期末）二次函數(shù)y=-/+/Zr+3的圖象如圖，對稱軸為直線X=-L

(1)h=-2；

(2)若直線y=f與拋物線y=-/+板+3在-3WxWl的范圍內(nèi)有兩個交點(diǎn)，則f的取值

范圍是0≤rV4,

【分析】(1)通過拋物線對稱軸為直線X=一應(yīng)求解；

2a

(2)將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，通過-3WxWl時y的取值范圍求解.

【解答】解：(I)?.?拋物線對稱軸為直線X=-且=-1,

-2

：.b=-2.

故答案為：-2.

(2)-X2-2Λ+3=-(X+1)2+4,

二函數(shù)最大值為y=4,

?.φ(-1)-(-3)>1-(-1),

.?.x=l時，>■=-1-2+3=0為-3WXWl的函數(shù)最小值，

.?.0Wf<4時，直線y=f與拋物線y=-7+&+3在-3WXWI的范圍內(nèi)有兩個交點(diǎn)，

故答案為：0WfV4.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，掌握二次函

數(shù)與方程的關(guān)系.

22.(2021秋?臨湘市期末)計算：2cos60o-sin30o+tan245o

【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：原式=2χL-1+12=1-1+1=旦，

2222

故答案為：

2

【點(diǎn)評】本題考查特殊銳角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確計算的前

提.

23.（2022春?興寧區(qū)校級期末）已知關(guān)于X的方程/-3x+m=0的一個根是1,則另一個根

是2.

【分析】由已知方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根即可.

【解答】解：設(shè)另一個根為”,

???關(guān)于X的方程X2-3x+∕n=0的一個根是1,

.?.4+l=3,

解得：a=2,

則另一個根為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)

系是解本題的關(guān)鍵.

24.（2021秋?陜州區(qū)期末）己知拋物線y=∕-χ-1與X軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m,0）,

則代數(shù)式m2-∕n+2021的值為2022.

【分析】由題意求出m2-m的值，代入代數(shù)式m2-/?+2021進(jìn)行計算即可得出答案.

【解答】解：；拋物線y=/-X-1與X軸的一個交點(diǎn)為（"?，0）,

>?m-tn-1=0,

??m-m—1,

.?m2-ιn+2Q21=1+2021=2022.

故答案為:2022.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與X軸的交點(diǎn)，熟知X軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)

鍵.

25.（2021秋?江油市期末）〃個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進(jìn)行一場比賽，比賽的場次

數(shù)機(jī)與球隊數(shù)”（∕z≥2）之間的函數(shù)關(guān)系是m--n2-—n.

2—2―

【分析】n個球隊都要與除自己之外的（n-1）球隊個打一場，因此要打”（〃-1）場,

然而有重復(fù)一半的場次，故比賽場次為工"1）,得出關(guān)系式.

2

【解答］解：加=』"（n-1）=-ιτ1-—n,

222

故答案為：m=-n1-工?.

22

【點(diǎn)評】考查函數(shù)關(guān)系式的求法，在具體的情景中，蘊(yùn)含數(shù)量之間的關(guān)系，理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)

量之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

26.（2021秋?東港區(qū)校級期末）如圖，在aABC中，ZB=90o,AB=↑2mm,BC=24mm,

動點(diǎn)P以2w≡∕s的速度從A向B移動，（不與B重合），動點(diǎn)Q以4mm∕s的速度從B向

C移動，（不與C重合），若P、。同時出發(fā)，經(jīng)過3或2秒后,2λP8Q與448C相

5

似.

BfQC

【分析】設(shè)X秒后APBQ與原三角形相似，則可用X表示出AP=2x,PB=12-2x,BQ

=4x,由于APBQ和AABC有公共角NB,則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等

的兩個三角形相似，分兩種情況.

【解答】解：設(shè)X秒后aPBQ與aABC相似，則AP=Xeff1,PB=(12-2x)(cm),BQ

=4xcm,

?；NPBQ=NABC,

...當(dāng)里圖時，^BPQsMAC,

ABBC

即甯?x

24

解得x=3；

當(dāng)空圖時，APBQSACBA,

CBAB

解得χ=?l

5

即經(jīng)過3秒或?∣秒后，APBQ與aABC相似.

故答案為：3或旦.

5

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

27.（2021秋?興化市期末）如圖，平行四邊形ABC。的對角線4C,8。相交于點(diǎn)O,E是

CO的中點(diǎn).則AQEO與aBCO的面積的比等于1：4.

【分析】由平行四邊形ABC。的對角線AC,BQ相交于點(diǎn)。，可得。是BQ中點(diǎn)，已知

條件中有E是CQ的中點(diǎn)，則。E是ABCQ的中位線，所以。E〃BC,0E=」BC,則4

2

DEOSABCD,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出aOEO與LBCD的

面積的比.

【解答】解：；四邊形ABC。是平行四邊形，且對角線AC、BD交于點(diǎn)、0,

二。是的中點(diǎn),

是C。的中點(diǎn),

ΛOE//BC,OE=-BC,

2

.OE-I

BC2

V?DEO∞?BCD,

.^ADE0_zQE..2-=JL

"WΓ^BC^2^^4,

.?.△OEO與4BCZ）的面積的比等于1：4,

故答案為：1：4.

【點(diǎn)評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等

知識，根據(jù)三角形中位線定理證明OE〃8C是解題的關(guān)鍵.

28.（2021秋?高陽縣期末）常態(tài)化防疫形勢下，某學(xué)生寫了一份預(yù)防新型冠狀病毒倡議書

在微信朋友圈傳播，規(guī)則為：將倡議書發(fā)表在自己的朋友圈，再邀請”個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議

書，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，又邀請n個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，以此類推，已知經(jīng)

過兩輪傳播后，共有931人參與了傳播活動，則方程列為M+〃共=93i.

【分析】設(shè)邀請了〃個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，第一輪轉(zhuǎn)發(fā)了〃個人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)了/個人，

根據(jù)兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有931人參與列出方程即可.

【解答】解：由題意，得

n2+n+?=931,

故答案為：M+頤+1=931.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答時先由條件表示出第一輪增加的人數(shù)和

第二輪增加的人數(shù)，根據(jù)兩輪總?cè)藬?shù)為931人建立方程是關(guān)犍.

29.（2021秋?宣化區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=2上，點(diǎn)B在雙曲線y=K上，AB∕∕x

XX

軸，過點(diǎn)A作A。，X軸于￡>,連接03,與AO相交于點(diǎn)C若AB=20D,則氏的值為

18.

【分析】過點(diǎn)B作BE，X軸于￡延長線段BA,交y軸于R得出四邊形AF。。是矩

形，四邊形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD=6,S矩形OEBF=k,由AB=2。。，得到OE=

30D,即可求得矩形OEBF的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值.

【解答】解：過點(diǎn)B作BELx軸于E,延長線段BA,交y軸于F,

X軸，

ΛAF±y?,

四邊形AFO。是矩形，四邊形OEBF是矩形，

：.AF=OD,BF=OE,

.,.AB=DE,

：點(diǎn)4在雙曲線y=旦上，

X

??S矩形AFOD=6，

同理S矩形OEBF=k,

λ:AB=20D,

：.DE=IOD.

：,S矩形OEBF=3S矩形ArOO=18,

?*?k=18,

故答案是：18.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，

矩形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，作出輔助線，構(gòu)建矩形是解題的關(guān)鍵.

30.(2022春?長沙期末)已知二次函數(shù)y=2(X-I)2-〃?的圖象上有三點(diǎn)A(A,??),B

2

(2,”)，C(-2,”)，則yι,”，*的大小關(guān)系為V3>V2>yι.

【分析】二次函數(shù)y=2(x-l)2-機(jī)開口向上，對稱軸是直線X=1,在對稱軸兩側(cè)時，

則A、B、C的橫坐標(biāo)離對稱軸越近，則縱坐標(biāo)越小，由此判斷yi、”、”的大小.

【解答】解：：二次函數(shù)y=2(χ-l)2-〃?，

拋物線開口向上，對稱軸是直線x=l,

；點(diǎn)人(Xγι),B(2,”)，C(-2,y3)在二次函數(shù)y=2(X-I)2-巾的圖象上，且

∣-2-1∣>∣2-ι∣>∣A-1|,

2

二)口、”、>3的大小關(guān)系為：y3>y2>y∣.

故答案為：*>y2>yι.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)到對稱軸的距離判斷

點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小.

31.(2021秋?渝中區(qū)期末)如圖，在RtZviBC中，ZC=90o,分別以A8、BC、AC邊為

直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙當(dāng)AB=8,8C=4時，

則陰影部分的面積為-8√3-?

【分析】根據(jù)勾股定理得到A82=4C2+BC2,根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

ΛΛC=√82-42=4Vs-

則陰影部分的面積=2XACXBC+2xπX（空?）2+A×π×（屁）2-A×π×（地）

2222222

2

=A×4√3×4+A×π×A×（ΛC2+BC2-AB2）

224

=8^3,

故答案為：8√3?

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、扇形面積計算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題

的關(guān)鍵.

32.（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。是正方形ABCO的對稱中心，射線0M,ON分別交

正方形的邊4￡>,CZ）于E,F兩點(diǎn)，連接EF,已知AO=2,ZEOF=90°.

（1）以點(diǎn)E,0,F,。為頂點(diǎn)的圖形的面積為1；

（2）線段E尸的最小值是

【分析】（1）連接40，DO,證明AAEO絲△。尸0（ASA）,可得SBal形EoFD=SzvW0,求

出SΛADO=-×^=?即可求解；

4

(2)設(shè)AE=X,則Eo=2-X,由勾股定理可得EF2=2(χ-1)2+2,即可求E尸的最小

值.

【解答】解：(1)連接AO,DO,

?：NEOF=90°,

.?ZEOD+ZFOD=9O0,

???四邊形A5C。是正方形，。是中心，

ΛZAOD=90o,

.?ZEOD+ZAOE=90o,

JZFOD=ZAOEf

*：AO=DO,ND40=NAoo=45°,

Λ?AE0^?DF0(ASA),

:?S四邊形EOFD=SDO,

VAD=2,

Λ5ΔADO=^×4=1,

4

?*?S四邊形EOFD=1,

故答案為：1；

(2)設(shè)AE=X,則ED=2-χ,

在Rt△￡?F中，EF2=?+(2-Λ)2=2∕-4X+4=2(X-I)2+2,

:,當(dāng)x=l時,EF有最小值√5,

故答案為：√2?

ED

【點(diǎn)評】本題考查中心對稱，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最

值的方法是解題的關(guān)鍵.

33.（2022春?港南區(qū)期末）如圖，OM的半徑為4,圓心"的坐標(biāo)為（5,12）,點(diǎn)P是G）M

上的任意一點(diǎn)，PAVPB,且用、PB與X軸分別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)

O對稱，則AB的最小值為18.

【分析】由Rt?APβ中AB=2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接

OM,交OM于點(diǎn)尸,，當(dāng)點(diǎn)尸位于尸'位置時，OP'取得最小值，據(jù)此求解可得.

【解答】解：連接0P,

'：PALPB,

：.ZAPB=W0,

?"A0=B0,

.?AB=2PO,

若要使AB取得最小值，則Po需取得最小值，

連接0M,交。M于點(diǎn)P',當(dāng)點(diǎn)尸位于P'位置時，OP'取得最小值，過點(diǎn)M作MQ

軸于點(diǎn)Q,

則。。=5,MQ=I2,

：.OM=13,

又<MP'=4,

ΛOP'=9,

.?AB=20P'=18,

故答案是：18.

【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半得出AB取得最小值時點(diǎn)P的位置.

34.（2021秋?岳陽期末）若包工屋=3,則a^^2c+3e=_旦_.

bdf4b-2d+3f4

【分析】根據(jù)已知條件得出〃=旦兒c=2d,e=3f,再代入要求的式子進(jìn)行計算，即可

444

得出答案.

【解答】解：：且=￡=旦=旦，

bdf4

.?.α=3%,c=3d,e=3f,

444

.n~Γb-2×^Γd+3×^Γfn,,,n?Q

.a^^02c+3e_444=3Xb-20d+3f_3

"b-2d+3fb-2d+3f7b-2d+3f1'

故答案為：

4

【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得出α=邑，c=1d,e=

44

35.（2021秋?汝州市期末）如圖，甲樓AB高16米，乙樓CO坐落在甲樓的正北面，已知

當(dāng)?shù)囟林形?2時，物高與影長的比是1：√5,已知兩樓相距8。為12米，那么甲樓

的影子落在乙樓上的高OE=（16-6料）_米.（結(jié)果保留根號）

BD

【分析】設(shè)FE,AB于點(diǎn)F,那么在RtZ?AEF中，NAFE=90°,解直角三角形AEC可

以求得A尸的長，進(jìn)而求得。E=AB-AF即可解題.

【解答】解：如圖，

C

、、A

、、

、、

、

、、

F................—?E

BD

設(shè)FE_LAB于點(diǎn)F,那么在RtZ?AEF中，ZAFE=90o,EF=BQ=12米.

：物高與影長的比是1：√2.

?.?AF=~~-1=-y

EF√2

則AF=亞EF=6&米，

2

故。E=FB=（16-6√2）米.

故答案為（16-6√5）.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角似三角形的應(yīng)用和平行投影，根據(jù)物高與影長的比是1：

√2.得出A/的值是解題的關(guān)鍵.

36.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）在一個不透明的袋子里，裝有6枚白色球和若干枚黑色球,

這些球除顏色外都相同.將袋子里的球搖勻，隨機(jī)摸出一枚球，記下它的顏色后再放回

袋子里.不斷重復(fù)這一過程，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.2,由此估計袋子里

黑色球的個數(shù)為24.

【分析】設(shè)袋子里黑色棋子的個數(shù)為X個，根據(jù)概率公式列出算式，再進(jìn)行計算即可得

出答案.

【解答】解：設(shè)袋子里黑色棋子的個數(shù)為X個，根據(jù)題意得:

解得：X=24,

經(jīng)檢驗：x=24是分式方程的解,

估計袋子里黑色棋子的個數(shù)為24個.

故答案為：24.

【點(diǎn)評】此題考查了利用概率的求法估計總體個數(shù)，利用如果一個事件有"種可能，而

且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn),"種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=R

n

是解題關(guān)鍵.

37.(2021秋?高新區(qū)校級期末)如圖，正六邊形ABCQEF的邊長為2,以A為圓心，AC的

長為半徑畫弧，得應(yīng)，連接AC,AE,則圖中陰影部分的面積為2π.

【分析】由正六邊形A8CDE尸的邊長為2,可得AB=BC=2,NABC=NBA尸=120°,

進(jìn)而求出N8AC=30°,NeAE=60°,過B作BHLAC于“，由等腰三角形的性質(zhì)和

含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH=CH,BH=I,在RtAABH中，由勾股定理求得4”

=依，得到AC=2√ξ,根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積.

【解答】解：???正六邊形ABCeEF的邊長為2,

.,.AB=BC=2,ZABC=ZBAF=×180—=120°，

6

,.?ZABC+ZBAC+ZBCA=?S0a,

：.ZBAC=-(180o-ZABO=-l×(180o-120o)=30o,

22

過8作BHJ_AC于"，

：.AH=CH,BH=Λ48=1X2=1,

22

在Rt∕?ABH中，AH—JAB2-BH2=√22-I2=F，

ΛAC=2√3>

同理可證，NEAF=30°,

.?ZCAE=ZBAF-ZBAC-ZEAF=UOQ-300-30°=60°,

??.S.形OE=60FX(3)2=2n,

360

圖中陰影部分的面積為2π,

故答案為：2π.

【點(diǎn)評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定

理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

38.(2021秋?海淀區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,

1).將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).

【分析】設(shè)C(m,〃).利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)建方程組求解即可.

【解答】解：設(shè)C(小，〃).

'??線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,

：.AB=BC,

：點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)、B(0,1),

.?.-2?ι=o,0+n=1,

22

?二/%=2,相=2,

：.C(2,2).

【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用參數(shù)解決問題即可.

39.(2021秋?花都區(qū)期末)如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把AAOB縮小后得到ACOD,使4

CODSXAOB,且相似比為工，已知點(diǎn)A(3,6),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)或(-

3

1,-2).

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：由題意得，點(diǎn)A與點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn),

/XAOB與ACOD的相似比是3,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3×X6×A)I即(1,2),

33

當(dāng)點(diǎn)C值第三象限時，C(-1,-2)

故答案為：(1,2)或(-1,-2).

【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以

原點(diǎn)為位似中心，相似比為鼠那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于％或-A是解題的關(guān)

鍵.

40.(2021秋?浦東新區(qū)期末)如圖，a〃6〃c,直線α與直線之間的距離為遙，直線C與

直線b之間的距離為2√E,等邊aABC的三個頂點(diǎn)分別在直線直線6、直線C上，

則等邊三角形的邊長是-2√7-.

【分析】過點(diǎn)A作AOL直線〃于O,將AABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AACE,作

EGL直線C于G交直線。于F.想辦法求出EC即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作A￡?J_直線人于O,將aABO繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到

?ACE,作EG_L直線C于G交直線4于F.

a

CG

則有NAEC=NAOB=/AFE=NEGC=90°,AE=AD=如,NEAF=NCEG=30°,

.".EF=-AE=^i-,

22

；.EG=^I^-,CG=?EG=2CE=2CG=5,

232

?'?^C=√AE24CE2=V（√3