2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)一：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

專題一：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、單項選擇題

1.（2022?哈爾濱檢測）下列既是奇函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=siαrB.y=zInx

C.y=tanxD.y=~~

12*+1-1XV3

2（2。22?西安模擬）設(shè)外）=k（∕?）二%若加）=3,則X的值為（）

A.3B.1

C.-3D.1或3

3.（2022.常德模擬涵數(shù)段）=舞黑的圖象大致是（）

4.（2022?張家口檢測）已知函數(shù)式X）=M■,則（）

A.函數(shù)式x）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)Ar）是奇函數(shù)，在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)加C）是偶函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)式X）非奇非偶，在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增

1—Y

5.（2021?全國乙卷）設(shè)函數(shù)於）=不，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A..Ax-D-I

B.ΛΛ-1)+1

C.Λχ+1)-1

D.Λx+1)+1

6.設(shè)定義在R上的函數(shù)4x)滿足負x)√(x+2)=13,若＞U)=2,則＜99)等于()

A.1B.2

13

C.OD.y

'α—2)2,(XXW4,

7.已知函數(shù)/(x)是定義在(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，且當(dāng)QO時，/(χ)=J1則方

手L4),X＞4,

程40=1的解的個數(shù)為()

A.4B.6

C.8D.10

8.(2022?河北聯(lián)考)若函數(shù)H2x+D(x∈R)是周期為2的奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是()

A.函數(shù)兀0的周期為4

B.函數(shù)人])的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C./2021)=0

D./2022)=0

二、多項選擇題

9.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是()

A.y=^B.y=lrLV

+1

==

C.y"^xi-D.y~二T

[1,xeQ,

10.(2022?淄博檢測)函數(shù)Da)=1依Q被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()

A.函數(shù)D(X)的值域為[0,1]

B.若O(w)=l,則O(xo+l)=l

C.若f)(x∣)-O(X2)=0,則為-X2CQ

D.3x∈R,D(x+√2)=1

11.下列可能是函數(shù),")=程高(其中α,b,

C?∈{—1,0,1})的圖象的是()

??

-2-10\^^Γ~2^x

AB

12.已知函數(shù)產(chǎn)危一1）的圖象關(guān)于直線X=-1對稱，且對VXeR,有段）+五一x）=4.當(dāng)x∈（0,2］時，危）

=x+2,則下列說法正確的是（）

A.8是,/（X）的周期

B.KX）的最大值為5

C.<2023）=1

D.犬x+2）為偶函數(shù)

三、填空題

13.（2022?瀘州模擬）寫出一個具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)於）=.①定義域為R:②函數(shù),/W是

奇函數(shù)；③/（x+π）=XX）.

14.已知函數(shù)/）=ln（√x2+l—X）+1,則./（In5）+y（ln∣）=.

2

（x~a）9x≤0,

15.已知函數(shù)段）={ι1ι若式0）是7U）的最小值，則■的取值范圍為________.

x+一+〃，x>0,

X

16.（2022?濟寧模擬）已知函數(shù)兀0=鏟u—sin&）,則使得於）42%）成立的X的取值范圍是.

二、基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

一、單項選擇題

￡)等于()

1.幕函數(shù)段)滿足14)=歡2),則/

?-?B.3

c._gD.-3

2.(2022?瀘州模擬)若logαb>l,其中α>0且α≠l,b>l,則()

A.O<a<?<hB.?<a<b

C.?<b<aD.1<b<a1

3.函數(shù)yu)=-亞T的零點有(

7)

γ∣25-χz

A.2個B.3個

C5個D.無數(shù)個

4.朗伯比爾定律(Lan±ert-Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物質(zhì)對某一波長光吸收的強弱與吸光

物質(zhì)的濃度及其液層厚度間的關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達式為A=Ig4=KAc,其中A為吸光度，T為透光度，K為摩

爾吸光系數(shù)，c為吸光物質(zhì)的濃度，單位為mol∕L,人為吸收層厚度，單位為cm.保持K,人不變，當(dāng)吸光物

質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時，透光度由原來的T變?yōu)?)

A.2TB.尸

e?rD.IOT

5.(2022?十堰統(tǒng)考)己知a=ln3,?=30?5,c=lg9,則()

A.a>h>cB.c>a>b

C.b>d>cD.b>c>a

6.(2022?聊城模擬)”環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人

們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg∕cm3,排放前每過濾一次，該污染物

的含量都會減少20%,當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg∕cm3,若要使該工廠的廢氣

達標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：愴2比0.30,lg3g048)()

A.6B.7C.8D.9

1x~?~3

7.(2022?湖南聯(lián)考?)已如函數(shù)yU)=2'一丞+Ig匚，貝∣J()

A.XD+Λ-1)<O

B.χ-2)+∕2)>0

c.χi)-Λ-2)<o

D.Λ-l)+∕2)>0

8.設(shè)x”X2分別是函數(shù)y(x)=x—和g(x)=xlog?x—1的零點(其中4>1),則X1+4X2的取值范圍為()

A.(4,+∞)B.[4,+∞)

C.(5,+∞)D.15,+∞)

二、多項選擇題

9.記函數(shù)/(x)=x+lnx的零點為松，則關(guān)于刈的結(jié)論正確的為()

B.^<Λ0<1

C.e』-Xo=O

-x

D.e°+χo=O

10.已知實數(shù)α,〃滿足等式2022"=2023ij,下列式子可以成立的是()

A.a=b=OB.a<b<0

C.Q<a<bD.0<b<a

II.(2022.濟寧模擬)已知函數(shù)Kr)是定義在R上的偶函數(shù)，且周期為2,且當(dāng)χC[0,l]時,式》)=/.若函數(shù)g(x)

=/(x)—X—α恰有3個不同的零點，則實數(shù)。的取值范圍可以是()

A?(V-1)B(T,0)

Ce,DDG2)

12.(2022?長沙模擬)已知正數(shù)X,y,z滿足3*=4v=12z,則()

AA÷^=-B.6z<3x<4y

xyzj

C.xy<4z2D.x+y>4z

三、填空題

13.(2022?成都模擬)已知兩個條件：①α,?∈R,fia+b)=βa)-f(b);②/&)在(0,+8)上單調(diào)遞減.請寫出

一個同時滿足以上兩個條件的函數(shù).

14.(2022.廣州模擬)據(jù)報道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗蟲災(zāi)害.在所有的農(nóng)業(yè)害蟲中，沙漠蝗蟲對人

類糧食作物危害最大.沙漠蝗蟲繁殖速度很快，遷徙能力很強，給農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和糧食安全構(gòu)成重大威脅.已

知某蝗蟲群在適宜的環(huán)境條件下，每經(jīng)過15天，數(shù)量就會增長為原來的10倍.該蝗蟲群當(dāng)前有1億只蝗

蟲，則經(jīng)過天，蝗蟲數(shù)量會達到4000億只.(參考數(shù)據(jù)：lg2以0.30)

15.已知函數(shù)/)=|InXI,實數(shù)如〃滿足且加)=_/(〃)，若危)在區(qū)間[小，網(wǎng)上的最大值是2,則、

的值為.

In（—x）,x<0,

16.函數(shù)y（x）=JC、、八若關(guān)于X的方程R2（X）一如X）+1=0有6個不相等的實數(shù)根，則”的取值

X?2,X）,X^?Jj

范圍是.

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性

一、單項選擇題

1.（2022?張家口模擬）已知函數(shù)y（x）=（-2x+lIW,則函數(shù)人》）在點（1,火1））處的切線方程為（）

A.2x+y-2=0

B.2χ-y-i=0

C.2x+y-l=0

D.2χ-y+l=0

2.已知函數(shù)yU）=x2+y（O）?χ-/（0）?cosx+2,其導(dǎo)函數(shù)為/（幻，則/（0）等于（）

A.一1B.0

C.1D.2

3.（2022?重慶檢測）函數(shù)yU）=ercosx（x∈（0,兀））的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

AG,§B（Q）

C（O,引D借π）

4.（2022?廈門模擬）已知函數(shù)人X）=（X—l）e`rHX在區(qū)間χG[l,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則m的取值范圍為

()

A.(0,e)B.(—8,e)

C.(0,2e2)D.(一8,2e2)

5.（2021.新高考全國I）若過點（4,份可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.eι<b

C.0<a<et,D.0<?<e0

Z口in..一?o3u—In

o?i1?矢口cie,b2-'-1,c—yi.5,則匕IlJ日`j大小天樂止確日`jze（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

二、多項選擇題

7.若曲線“V）="2-χ+lar存在垂直于y軸的切線，則a的取值可以是（）

1

-

A.2B.0

1

C--*

8D.4

8.已知函數(shù)/(X)=Inx,κι>X2>e,貝IJ下列結(jié)論正確的是()

A.(X1—X2)[AX∣)~ΛX2)]<O

B.g[∕(Xl)+fix2)]<f^

C.X(/(X2)—x√(xι)>0

D.e[∕(x∣)-X%2)]<xι—xi

三、填空題

2

9.(2022?保定模擬)若函數(shù)7U)=lnx—本+“在(1,11))處的切線過點(0,2),則實數(shù)〃7=.

10.已知函數(shù)/(x)=χ2-cosx,則不等式/(2x—1)勺(x+1)的解集為.

11.(2022.伊春模擬)過點P(l,2)作曲線C：y=，的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為.

2

12.已知函數(shù)y(x)=%-αr+lnx,對于任意不同的x∣,x2∈(0,+∞),有蚓二&式>3,則實數(shù)4的取值范

ZX?-X2

圍是.

四、解答題

13.(2022.滁州模擬)已知函數(shù)?r)=∕-2x+αIIU&∈R).

(1)若函數(shù)在x=l處的切線與直線χ-4y—2=0垂直，求實數(shù)”的值；

⑵當(dāng)a>0時，討論函數(shù)的單調(diào)性.

14.(2022?湖北八市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y(x)=e*一("一l)ln(分-l)+(α+l)x.(e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)當(dāng)α=l時，求尸(X)=e'—7(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若y(x)在區(qū)間(，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

四、函數(shù)的極值、最值

一、單項選擇題

1.下列函數(shù)中，不存在極值的是（）

A.y=x+;B.y=xejc

C.y=xlnxD.y--2x3~x

2.下列關(guān)于函數(shù)y（x）=（3—∕）e，的結(jié)論，正確的是（）

A.人-3）是極大值，41）是極小值

B.yu）沒有最大值，也沒有最小值

C./U）有最大值，沒有最小值

D.加0有最小值，沒有最大值

3.已知函數(shù)T（X）=X3—3犬-1,若對于區(qū)間[-3,2]上的任意XI，X2,都有股rD-y（x2）∣Wf,則實數(shù)，的最小值

是（）

A.20B.18C.3D.O

3

4.（2022?南充檢測）已知函數(shù)/（無）=Λ-3∕πχ2+"χ+πt2在χ=-ι處取得極值0,則機+〃等于（）

A.2B.7C.2或7D.3或9

5.（2022?晉中模擬）已知函數(shù)y（x）=2%lnx+χ2-θr+3（α＞0）,若√（x）20恒成立，則”的取值范圍為（）

A.[4,+∞）B.（4,+∞）

C.（0,4）D.（0,4]

6.（2022?昆明模擬）若函數(shù)√（X）=Λ2-4x+Hnx有兩個極值點，設(shè)這兩個極值點為x∣,%2＞且沏＜%2，則（）

A.AjG（1,2）B.a＞2

C.Λx,）＜-3D.∕xl）＞-3

二、多項選擇題

7.（2022?新高考全國I）已知函數(shù)yU）=Jt3-x+l,則（）

A.有兩個極值點

B.y（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=Λx）的對稱中心

D.直線y=2r是曲線y=∕（Λ?）的切線

8.（2022?河北名校聯(lián)盟調(diào)研）若存在正實數(shù)，徵，“，使得等式4〃?+a（〃-3e2?7＞（ln"—lnm）=0成立，其中e為

自然對數(shù)的底數(shù)，則”的取值可能是（）

A.4B-?C?D?2

三、填空題

9.函數(shù)式X)=X—InR的極值點為.

10.己知函數(shù)yU)=xl0r-x+2α+2,若函數(shù)y=?x)與y=∕(∕(x))有相同的值域,則實數(shù)α的取值范圍是

11.(2021新高考全國I)函數(shù)於)=|2x—1|一2底的最小值為.

12.(2022?全國乙卷)已知X=Xl和X=X2分別是函數(shù)危)=2"—e∕(α>0且α≠1)的極小值點和極大值點.若

xt<X2>則a的取值范圍是.

四、解答題

13.(2022?西安交大附中模擬)已知函數(shù)y(x)=χ3—3ɑr+ɑ(ɑCR).

(l)討論函數(shù)火x)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)T(X)在區(qū)間［0,3］上的最大值與最小值之差g(a).

14.(2022-許昌模擬)已知函數(shù)Ttr)=COsx一看.

(1)求函數(shù)<x)的圖象在X=O處的切線方程;

(2)證明：函數(shù)?在區(qū)間管，§上存在唯一的極大值點xo.(參考數(shù)據(jù)：73<8,e3>16,

五、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

L導(dǎo)數(shù)與不等式的證明

1.(2022.呂梁模擬)已知函數(shù)KX)=e'-χ-l.

⑴求函數(shù)./U)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當(dāng)時，求證："r)+x+12齊+cosx.

2.(2022-鶴壁模擬)設(shè)函數(shù)HX)=ln(a-χ)-χ+e.

⑴求函數(shù)火X)的單調(diào)區(qū)間；

Y

(2)當(dāng)α=e時，證明：y(e—x)<ex÷2^.

2.恒成立問題與有解問題

1.(2022?河北聯(lián)考)已知函數(shù)人￥)=加限1與g(x)=x2-hx.

(1)若危)與g(x)在J=I處有相同的切線,求mb的值.

(2)若對X∕x∈[l,e],都mZ>∈1,2使火x)2g(x)恒成立，求”的取值范圍.

2.(2022-呂梁模擬)已知函數(shù),危0=In(X+1)—OX

⑴討論函數(shù)Kr)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時，不等式/(X)WeX-I恒成立，求實數(shù)"的取值范圍.

3.零點問題

(—])欠?.(γ—1V

1.(2022?成都模擬)已知函數(shù)4X)=InX--~T~-

?=ιK

(1)分別求n=?和〃=2的函數(shù)y(x)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)KX)的零點個數(shù).

2.(2022?廣州模擬)已知函數(shù)於)=厘+$加一cosx,f(X)為兀r)的導(dǎo)數(shù).

(D證明：當(dāng)XnO時,f'(X)》2；

(2)設(shè)g(x)=∕(x)一級-1,證明：g(x)有且僅有2個零點.

參考答案

一、函數(shù)的圖象與性質(zhì)

I.D2,B3.C4.A5.B6.D

7.D［由題意知，當(dāng)QO時，

(x—2)2,0<x≤4,

函數(shù)兀v)=h"八.

MX—4),x>4,

作出函數(shù)式X)的圖象，如圖所示，

又由方程HX)=I的解的個數(shù)，即為函數(shù)y=∕(x)與y=l的圖象交點的個數(shù)可知，

當(dāng)x>0時，結(jié)合圖象，函數(shù)y=7(x)與y=l的圖象有5個交點，

又因為函數(shù)y=>(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以當(dāng)x<O時，函數(shù)y=∕(x)與y=l的圖象也有5個交點，

綜上可得，函數(shù)y=∕(x)與y=l的圖象有IO個交點，即方程段)=1的解的個數(shù)為IOJ

8.D函數(shù)y(2x+D(XdR)是奇函數(shù)，

.,.χ2x+D=-χ-2x+1)=>

Λ2x+l)+∕-2x+l)=0,

.?.函數(shù)火X)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，故B正確；

；函數(shù)12x+l)(XeR)的周期為2,

.?.y(2(x+2)+1)=fl2x+1),

即42x+5)=A2x+l),

.?√(x)的周期為4,故A正確；

Λ2021)=Λ4×505+l)=y(l)=0,故C正確;

X2022)=Λ4×505+2)=/2),無法判斷12)的值，故D錯誤.］

9.AD10.BD11.ABC

12.ACD［因為函數(shù)y=∕(x—1)的圖象關(guān)于直線X=-I對稱，故式x)的圖象關(guān)于直線*=-2對稱，因為對

VXeR有人的+式一為=4,

所以函數(shù)y=Λx)的圖象關(guān)于點(0,2)成中心對稱，所以χ-2+x+2)=∕(-2-(x+2)),

即Xx)=Λ-4-x)≈4-χ-X),

又犬一4-χ)+Kx+4)=4,

即迷一4—x)=4-∕(x+4),

所以兀v+4)=A-χ),

所以+4)+4)=八一(x+4))=AX),

所以4x+8)=Ax),

所以8是T(X)的周期，故A正確；

又4x+2)=Λ-x+2),故函數(shù)

負x+2)為偶函數(shù)，故D正確；

因為當(dāng)Xe(0,2]時，y(x)=x+2,

且KX)+<-χ)=4,

則當(dāng)x∈[—2,0)時，一χG(0,2],

所以4-x)=-x+2=4-/U),

所以√(x)=x+2,

故當(dāng)χC[-2,2]時，KX)=X+2,

又函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于直線》=-2對稱，

所以在同一個周期[-6,2]上，

./U)的最大值為五2)=4,故40在R上的最大值為4,故B錯誤；

因為#2023)=/(253X8—1)=4-7(1)=1,

所以C正確.]

13.sin2%(答案不唯一)

14.215.[0,2]

16.(θ,|)

解析令g(x)=eR-cos&)，將其向右平移1個單位長度，

得y=e-11―cos(會一/)=eμ-11—Sin(Ej,

所以y(x)=eXF—sin(^τ)是函數(shù)g(x)向右平移1個單位長度得到的.而易知g(x)是偶函數(shù),

當(dāng)x>0時，g(x)=e*-cos&:),

gα)=e'+]sm(刃，

當(dāng)0<r≤2時，顯然g'(戲>0,

當(dāng)x>2時，ev>e2,

兀？兀.(π兀

-2≤2sm^≤2'

所以g'(x)>0,

所以g(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減.

從而可知;U)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1)上單調(diào)遞減.

2

所以當(dāng)凡X>∕(2Λ)時，有k-l∣>∣2χ-l∣,解得(Kr勺.

二、基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

1.A2,B3.B4.B5.C6.C

,.1—x+3(1.x+3、

7-D[因1為y(-χ)=2λ--+Ig3+T^=^V^2τ+?8)?,

所以y(x)是奇函數(shù)，所以yu)+y(—χ)=o,故A,B錯誤；

又因為Λ%)=2x-^+lg??∣=2x-^+lg(-1-?)>且害>°，

即(x+3)(3—JC)>O,

解得一34<3,

根據(jù)單調(diào)性的結(jié)論可知段:)在(一3,3)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,3)時，∕jt)>O,當(dāng)x∈(-3,0)時，∕x)<0,

所以7U)-Λ—2)=八1)+負2)>0,C錯誤；

Λ-1)+Λ2)=Λ2)-∕∣)>O,

D正確.]

8.C[令fix)=0,得Xl=α",即ζτ=.*>

?I

所以Xi是y=(與y=αv(α>l)圖象的交點的橫坐標(biāo)，

且顯然Oal<1.

令g(x)=0,得X21θgaX2-1=0,

即IogaX2=9,

所以X2是y=:與y=k>gd(α>l)圖象的交點的橫坐標(biāo)，因為y=a'與>?=log(Λ關(guān)于y=x對稱，

所以交點也關(guān)于y=x對稱，

所以有Xl

Xl

4444

所以即+4x2=xι+需，令y=x+j易知y=x+嚏在。1)上單調(diào)遞減，所以XI+4M>1+I=5.]

9.BC10.ABD11.BD

12.ABD[設(shè)3]=4>'=12z=f,z>l,

貝IJX=Iog37,j=log√,Z=Iog3,

所以++.表+表=1°&3+唾4=10端2=：，A正確;

≡,?3χ-log√-log,12-lo≡'29<1'

則6Z<3X9

“3x_3103_31ogy4_log/64

因z74γ-41og√-41og,3-logz81

=log8i64<l,

則3x<4y,

所以6z<3x<4j,B正確；

因為J+/=*

所以x+y=(x+y)g+,?z=g+j+2)z,4z,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立，

又Xwy,故x+y>4z,D正確;

因為(=；+"=

孫

則，=X+y>4z,

所以孫>4z2,C錯誤.]

13.左)=0>(答案不唯一)

14.5415.e2

16.(2√2,3)

解析函數(shù)40的圖象如圖所示,

令r=∕(x),則關(guān)于X的方程"⑴一，亦v)+l=0有6個不相等的實數(shù)根，等價于關(guān)于f的方程2產(chǎn)一4f+l=O

z1=6z2-8>0,

0<f<∣,解得2√2<a<3.

{3-a>0,

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性

1.C2.C3.D4.D5.D6.B

7.ABC[依題意，7U)存在垂直于y軸的切線，即存在切線斜率k=0的切線,

又k=f1(x)=20x+~-1,x>0,

.?.2αx+}-l=0有正根，

即_2.=92_：有正根，

即函數(shù)y=-2o與函數(shù)y=G)2__4QO的圖象有交點，

令[=f>0,

則g(r)=I=G-O2一；,

“⑺為⑤=-；，

Λ—20≥一不即α≤g?]

8.BCD「;段)=InX是增函數(shù)，

Λ(Xi-X2)[f(X?)-fiX2)]>09A錯誤；

；孫1)+於2)]

=^(lnΛι+l∏Λ2)

=TIn(X的)=ImjXIX2,

(X\+X2>?X]+X2

??產(chǎn)1-，

由X]>X2>e,得.*'2>√X1X2,

又/2=IrLr單調(diào)遞增，

???；欣汨)十/(12)]</("B正確；

令h(x)^^?,

則/⑴=上普，

當(dāng)x>e時,h,(x)<0,∕z(x)單調(diào)遞減，Λh(x↑)<h(x2)9

—x√Uι)>0,C正確;

令g(?r)=MX)—乂

則g'a)=2—1,

當(dāng)x>e時,g,(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

.?.g(Xl)<g(X2),即班即)一X∣<?∕(X2)-X2=>e[∕Ul)-/(X2)]。|一必D正確.]

9.610.(0,2)

11.2x+yS=0

解析設(shè)Aa1,y?)9B(X2,竺),

,4

y=丁

所以曲線。在A點處的切線方程為

4、

'->1=_示(工一為)，

將P(l,2)代入得

2-yι=-^(l~xι)f

4

因為y=1,化簡得2x∣+v-8=0,同理可得2必+丫2—8=0,所以直線A3的方程為2x+y-8=0.

?i

12.a≤-l

解析對于任意不同的XI,Λ2∈(0,+∞),有空火&n>3.

Xl—X2

不妨設(shè)X↑<X29

則7(尤[)—/(X2)<3(X∣—X2),

即TUl)—3X1<∕(X2)-3X2，

設(shè)Fa)=/U)-3x,

則EaI)<RX2),又H<X2,所以產(chǎn)(%)單調(diào)遞增，9(x)20恒成立.

F(x)=∕x)—3x=^x2—(α+3)x÷lnx.

—,II1爐一(3+α)x+l

所以F(x)=χ-(3+a)+^=--------------------

X

令gα)=∕-(3+α)亢+1,

要使尸(x)20在(0,+8)上恒成立，只需g(χ)=χ2—(3+α)x+120恒成立，即3+αWx+:恒成立,

X÷^^≥2Λ∕x?-=2,

X?JX

當(dāng)且僅當(dāng)x=g即x=l時等號成立，所以3+αW2,即αW-l.

13.解函數(shù)定義域為(O,+∞),

求導(dǎo)得/(x)-2χ-2+^.

(1)由已知得/'(1)=2X1—2+a=-4,得α=-4.

.,a2x2-2κ+α

(2V(x)=2χ-2+最=~(x>O),

對于方程2x2-2x÷α=0,

記/=4—8〃.

①當(dāng)∕wo,即W時，/(x)》o,函數(shù)y(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)/>0,即(Xaq時，

令/(X)=O,

Az]—：L241+7—2a

解2何θ尤1------2--------，X2=------2---------

又4>0,故Λ?>xι>0.

當(dāng)x∈(o,Xl)U(X2,+8)時，/(χ)>o,函數(shù)yu)單調(diào)遞增，

當(dāng)X∈(X1,X2)時，f(X)<0,

函數(shù)./(X)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)?！稵時，函數(shù)T(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

?O<fl<∣?,函數(shù)段)在(0,-2)g±年逅，+8)上單調(diào)遞增,

在(口岸，W三可上單調(diào)遞減.

14.解(1)當(dāng)a=?時，

F(X)—ex-j(x)—(X-I)In(X-1)—2Λ,

定義域為(1,+∞),

F'(X)=In(X-I)-I,

令F'(x)>0,解得x>e+l,

令尸'(x)<0,解得l<r<e+l,

故F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e+l,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,e+l).

^1'

QV(X)在區(qū)間《，1」上有意義，

故OV-I>0在己，1上恒成立，可得a>e,

依題意可得/'(x)=e'—aln(or-l)+l>O在仔，1上恒成立，

設(shè)g(x)=/(x)=ex-a?n(aχ-1)+1,g,(x)=ex-?,

Γl1

易知g'(X)在“上單調(diào)遞增，

2

故g'(x)Wg'(l)=e—^<0,

故g(x)=f'(x)=e,-Hn(Or-1)+1在已，1]上單調(diào)遞減，最小值為g(l),

故只需g(l)=e-αln(4-1)+120,

設(shè)Λ(α)=e-aln(α-1)+1,

其中a>e,由∕√(a)=-ln(α-l)—-^^γ<0可得，

a—1

Λ(a)=e-aln(a-1)+1在(e,+8)上單調(diào)遞減，

XΛ(e+l)=O,故a≤e+l.

綜上所述，Q的取值范圍為(e,e+l].

四、函數(shù)的極值、最值

1.D2,C3.A4.B5.D6.D

7.AC［因為/(x)=x3-x+l,所以/(x)=3χ2-1.令(x)=3x2-1=0,得x=±^.

由/(x)=3x2-1>0,得工>坐或工<一坐;由/(力=3/―IvO,得一坐<x<^?

所以A%)=R-χ+ι在(乎，+8),(—8,一興j上單調(diào)遞增，在(一坐，坐^上單調(diào)遞減，

所以兀￥)有兩個極值點，故A正確；

因為7U)的極小值/停1=(羋)—坐+1=1—￥>0,五-2)=(—2)3—(―2)+1=—5<0,所以函數(shù)7U)在R

上有且只有一個零點，故B錯誤；

因為函數(shù)g(x)=x3-x的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)yU)=Λ3-χ+l的圖象，函數(shù)g(χ)=χ3-χ的圖象

關(guān)于原點(0,0)中心對稱且g(0)=0,所以點((M)是曲線yu)=v—x+l的對稱中心，故C正確；

假設(shè)直線y=2x是曲線y=7(x)的切線，切點為(Xo,?o),則/(Λ?)=3Λ8—1=2,解得M)=±1；若Xo=1,則

切點坐標(biāo)為(1,1),但點(1,1)不在直線y=2x上；若XO=-1,則切點坐標(biāo)為(一1』)，但點(一1,1)不在直線y

=2x±,所以假設(shè)不成立，故D錯誤.故選AC.］

8.ACD［由題意知，a≠0,

由47n÷a(n—3e?)(ln^—?nm)=O,

得4+者一3?吟=。,

fl

令∕=-(∕>0),

4

則一々『Inf—3e21m,

設(shè)g(∕)=dnr-3e2ln∕,

則g'?)=1+InL手，

因為函數(shù)g'⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，且屋(e2)=o,

所以當(dāng)0<f<e2時,g'(r)<0,

當(dāng)De?時，g'(0>0,

則g⑺在(O,e2)上單調(diào)遞減，

在(e2,+8)上單調(diào)遞增，

從而g(0min=g(e2)=—4e2,

4

即—M2—4e2,

a

解得或0<0?

故α∈(-8,O)U[占+8).]

9.110.(—8,OJ11.1

12Gl)

解析方法一由fix)=2αv-ex2,

得/(?)=2ax?na—2ex.

令/(x)=0,得OXlna=ex.

因為a>0且a≠1,

所以顯然XW0,所以e=一~一.

人/、ax?na

令g(x)=-γ-,

?ax(?nd?2χ-axlna

則g'f(X)='<2-----------

"InQ(Wna-I)

=.

令g'(x)=0,得X=看?

故當(dāng)x>之時，g'(Λ)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)*<i?時，g'(χ)<0,g(χ)單調(diào)遞減.

所以g(x)極小值=g(jaJ=-j—

Ina

1

=6flnfl(Ina)2,也是最小值.

因為於)有極小值點X=X↑和極大值點X=Xl9

故/(X)=O有兩個不同的根％=X1,X=X2,

故g。)的圖象與直線y=e有兩個交點，

所以W3<e,

11?ne

即QEa(indr)2<e,又alna=Qma=

所以(IM2<L

由題意易知當(dāng)X￡(—8,X1),(X2,+8)時，

f,ω<o;

當(dāng)XW(X1,X2)時，/(x)>0.

若a>l,則當(dāng)χf+8時，/(χ)f+8,不符合題意，所以0<4<l,則一l<lno<0,

所以。￡弓，1).

方法二由題意，，(x)=2ax?na-2ex,

根據(jù)?x)有極小值點X=Aj和極大值點X=X2可知，X=Xl,X=X2為/(X)=O的兩個不同的根，

,

又X1<X2,所以易知當(dāng)X￡(—8,χ∣),(χ2,+8)時，f(x)<0;

當(dāng)X∈(尤1,X2)時，f(x)>0.

由f,(x)=0,可得α*lnα=ex.

①若α>l,則當(dāng)X-+8時，,尸(χ)一+8,不符合題意，舍去.

②若0<Q<1,令gCr)=”!!。，A(x)=ex,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)和〃(x)的大致圖象，如圖所

示.

因為/(X)=O有兩個不同的根，

所以g(x)與人(幻的圖象有兩個交點，

則過原點且與g(x)的圖象相切的直線/的斜率Ke.不妨設(shè)直線I與g(x)的圖象的切點坐標(biāo)為(X0,α"lnα),

因為g'(x)=α"(In〃)2,

所以k=QAb(InQy=ɑ,

?

1—

可得出=嬴’從而k=alna(IM2<e,

1Ine

又ahω="hω=αk‰e=e,

所以e?(ln4)2<e,則(Ina)2<1,

又0<α<l,所以一1VInaV0,

所以αcg,1)

13.解(1)因為4x)=χ3-30r+α(αeR),

所以，(X)=3Λ2—3α=3(x2—a).

①當(dāng)“WO時，f(x)20恒成立，

Ar)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)4>0時，x∈(-∞,-√α)U(√^,+8)時，，(χ)>0;

x∈(-?/ɑ,W)時，f(X)<0;

故?r)在(一?8,一4%)和(、「，+8)上單調(diào)遞增，

在(一出，/)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知：

①當(dāng)“W0時，兀V)在［0,3］上單調(diào)遞增，g(α)=A3)-∕(0)=27-94;

②當(dāng)犯》3,即a29時，

府)在［0,3］上單調(diào)遞減，

g(α)=/(O)-/(3)=9。-27；

③當(dāng)0<W<3,即OCa<9時，

Kr)在［O,W)上單調(diào)遞減，

在(加，3］上單調(diào)遞增，

于是/?)min=fiy［a)=-1ay［a+a,

又fiβ)=a,<3)=27-8α.

故當(dāng)0<〃<3時，

g(α)=27-9tz÷2er?∣a；

當(dāng)3≤α<9時，g(a)=2<r?[cι,

綜上可得，

"27-9α,α≤0,

27~9a+2a^a,O<a<3,

g(α)=4

2er?∣a,3≤α<9,

.9?-27,心9.

14.⑴解因為y(x)=cosχ-上，

在X=O處的切點為(0,0),

求導(dǎo)得/(X)=-sinx+卜，

所以切線斜率為/'(0)=1,

所以函數(shù)/U)的圖象在X=O處的切線方程為y=x.

(2)證明因為段)=CoSx-p,

所以f'(x)=—sinx+看，

因為當(dāng)Xe噲,時，

函數(shù)9=—SinX,刃=2均單調(diào)遞減，

所以∕'(x)=-sinx+已在區(qū)間《，彳)上單調(diào)遞減，

因為e2<8,

J<eLi

22

__1__

y[?

--1

因為e4<一,

2

所以rS=e=_盅

22_2&0

根據(jù)零點存在定理可得,

(X)存在唯一零點xo∈

使得，(Xo)=e-x°-Sinxo=O,

又y=/⑴在區(qū)間值號上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x∈值XO)時，f(x)>0,

當(dāng)XGG0,￡)時，/(x)<0,

所以XO是函數(shù)火X)在區(qū)間停，上唯一的極大值點.

五、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)與不等式的證明

1.⑴解易知函數(shù)y(x)的定義域為R,

uβx

?∕(x)=e-χ-lf

V(?)?e?-l,

令/α)=e"-ι>o,解得QO,

???危)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

令/(x)=er-l<0,解得XV0,

???於)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

即7U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),

，函數(shù)7U)的極小值為大O)=0,無極大值.

(2)證明要證"r)+x+15r^x2+cos%,

即證e，一CoSX20,

設(shè)g(x)=ex-$2—?cosx,要證原不等式成立，即證g(x)20成立,

?：g'(x)=ex-x+sinx,

又sinx≥—1,

A

.?.g'(X)=e*—x+sinx2e-A—1(當(dāng)且僅當(dāng)X=-5+2?π,Z∈Z時，等號成立),

由(1)知&'一尤一120(當(dāng)X=O時等號成立)，.?g,(Λ)>0,

.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

???gα)>g(θ)=o.

.?.當(dāng)/20時，fl,x)+x+1≥^v2÷cosX.

2.(1)解函數(shù)./U)=ln(〃一x)—x+e的定義域為(一8,。),

?-χ+a

所以/。)=

χ-aχ-a

因為當(dāng)x<a時，f(x)<0,

即危)在(—8,α)上單調(diào)遞減,

故函數(shù)HX)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,。)，無單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)證明當(dāng)α=e時，

fix)—ln(e—x)~x+e,

X

要證y(e—x)<ev+五，

即證Inx+%<e^v+^,

A

sπχτlnxIlelI

即證—+i<一+丁.

XX2e

InY

設(shè)g(x)=牛+l(x>O),

,1—InX

則S(X)=-->

所以當(dāng)Oa<e時，g'(x)>0,

當(dāng)x>e時，g'(x)<0,

所以g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)Wg(e)=5+l.

設(shè)/!(彳)=￡+表，h'(X)=",

則當(dāng)(XXVl時，h'(x)<0,

當(dāng)x>?時，h'(x)>0,

所以〃(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以Λ(x)S=∕z(l)=e+^,

又H<e+=

Y

所以當(dāng)α=e時，/e-x)<ev+^.

2.恒成立問題與有解問題

1.解(iy,(X)=20rlnx+αx,g'(x)-2x~b,

；函數(shù)/外與g(x)在X=I處有相同的切線，

.W)=g⑴，

,,lr⑴=g'⑴，

o=ι-?,Q=1,

即，

.a=2-by6=1.

(2)欲使fix)2g(x)恒成立,

即ar2lnx^x2-bx成立，

即ax?nχ-χ^-b成立，

V3?∈1,使y(x)2gCr)恒成立，,ɑrln?-?∣恒成立,

當(dāng)X=I時，有一12一，成立，

??α∈R,

e

x-2

當(dāng)∕∈(1,e］時,.?

e

,x~2

令Ga)F，

∣lnχ-χ+^

則G'(X)=(XInX)2'

ec

令MX)=］lnχ-χ+y

則m'(x)=*T,且M(I)=°，

當(dāng)l<x<5時，m,(x)>0,

當(dāng)，VX<e時，m,(X)<0,

.?."2(x)在(1,§上單調(diào)遞增，g,e)上單調(diào)遞減，

∕n(l)=-1+∣>0,

加⑤=Iln∣>0,w(e)=0,

，當(dāng)X￡(1,e］時，/n(x)≥0,

即G'(x)20,G(X)在(Le］上單調(diào)遞增，當(dāng)x=e時，Ga)有最大值,

且G(C)=2>?*?Λ^2,

綜上所述，α的取值范圍是+∞).

2.解(1)由題意得x>—1,/'(X)=Wi4當(dāng)&W0時，/(x)>0,

故函數(shù)KX)在區(qū)間(-1,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)”>0時，

在區(qū)間(-1,—1+5)上，f(X)>0，

在區(qū)間(一1+5，+8)上，f(x)<O,

所以函數(shù)加C)在區(qū)間(-1,-I+?上單調(diào)遞增，在區(qū)間+8)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)“WO時，函數(shù)在區(qū)間(一I,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)”>o時，函數(shù)y(x)在區(qū)間(一I,-i+