2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第二冊試題4-3-2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第2課時(shí)）

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第2課時(shí))(分層作業(yè))

(夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升)

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自

倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問

第二天織布的尺數(shù)是(????)

40n2010C5

A.—B.—C.—D.—

31313131

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項(xiàng)即可得解.

【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為4,公比為q=2,

則《(匕2')=5,解得q=∣;

1-2?l

所以第二天織布的尺數(shù)為/=弄2=4.

故選：C

2.(2022?廣東?佛山市第四中學(xué)高二期末)某企業(yè)在今年年初貸款。萬元，年利率為y,從今年年末開始

每年償還一定金額，預(yù)計(jì)五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還(????)

a1+5

(∕)F一n?/(1+7)

A.-----7萬兀B.------—萬兀

(1+7)-1(1+/)--1

ɑ/(?+/)5aγ

C.-?ZJTCD./力力兀

(I+/)-1(1+力

【答案】B

【分析】由題意設(shè)每年償還X萬元，根據(jù)題意列出方程求解即可.

【詳解】設(shè)每年償還X萬元，

則x+x(l+y)+x(l+/)2+x(l+/)3+Λ(1+/)4=α(l+y)',

1-(1+4

所以X=α(ι+y)'

?-(?+/)

αy(+y)5

解得X=

(1+/)?-?

故選：B

3.（2022?河南平頂山?高二期末（理））己知等差數(shù)列｛q｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為s“，等比數(shù)列｛〃｝的

公比為9,前〃項(xiàng)和為若比毒=/32"—2w?32"-3"+2〃,則（????）

A.al=-1B.d=-6C.bl=-8D.q=9

【答案】D

【分析】用基本量表示ET可得基本量的關(guān)系式，從而可得q=9,故可得正確的選項(xiàng).

【詳解】若4=1,則9=叫，而5“=〃,+""：1)"=\〃2+(q_,)〃，

而SnT,,=3/9”-2〃?9"-31+2n

故曲=48,她=8,此時(shí)〃,白,q不確定,

故選：D.

4.（2022?吉林?東北師大附中高二階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十

八里關(guān)，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還意

思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6

天剛好走完.則此人第一天走的路程是（????）

A.86里B.172里C.96里D.192里

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，此人每天走的路程形成等比數(shù)列｛%｝,公比為再根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公

02/17

式即可解出q.

【詳解】設(shè)此人第〃天走的路程為對，we｛l,2,3,4,5,6｝,所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列｛q｝,依

J1√1Γ

題可知，公比為所以378—L121」，解得，?,=192.

l-?

2

故選：D.

5.(2022.陜西?長安一中高二期中(理))在數(shù)列｛4｝中，al=?,?(n+l)(??+l-??)=1(?∈N*),則%儂=

(????)

4041C2020C4043C2019

A.------B.------C.------D.------

2021202120222020

【答案】C

【分析】由累加法與裂項(xiàng)相消法求解，

111

【詳解】由題意得~―一而而=7ZT，

,,,111I1

則rl,022-4=/-4+/-4++a2022~a202ι=-2+2^3++202?-2022,

K.g4043

而4=1,得“2022=^，

故選：C

二、多選題

6.(2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高二階段練習(xí))分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何

學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個(gè)不

斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)?下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1,在長度為

1的線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C、D,使得AC=OB=LAB,以8為邊在線段AB的上方做一個(gè)正方形，然后

擦掉8,就得到圖形2：對圖形2中的最上方的線段E尸作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就

得到以下的一系列圖形設(shè)圖1,圖2,圖3,…，圖〃，各圖中的線段長度和為%,數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,

則(????)

EF

4——B

圖1圖2

A.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列

C.存在正數(shù)機(jī)，使得S“<〃?恒成立D.?！?lt;3恒成立

【答案】BD

7

【分析】根據(jù)題意得到遞推公式％利用累加法求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，可判斷AD選項(xiàng)正

誤；利用分組求和法可判斷B選項(xiàng)的正誤，利用數(shù)列｛S,,｝的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題意知，q=1,%=q+2x；,%=∕+2x4^，

2

以此類推可得4陽-4

^2"

故α,,=q+(%-%)+(/-，)+...+(α,,-α,,-∣)

n-2

222?

=1+—+—+——=l+2×T4

2l222rt^1rι42

故數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列，故A錯誤;

2(1-J)189

S5=3x5--------2_=H+^-=y,故B正確;

1——

2

因?yàn)?=3-/?>0恒成立,且｛q｝單調(diào)遞增,

則數(shù)列｛S,,｝單調(diào)遞增，所以，數(shù)列｛S,,｝無最大值,

因此，不存在正數(shù)加，使得S,,<m,故C錯誤;

%=3-白<3恒成立，故D正確.

故選:BD.

三、填空題

7.（2022.全國?高二課時(shí)練習(xí)）鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外

出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為鼓勵外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”，幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.五年內(nèi)，預(yù)

計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成數(shù)列｛%｝（單位：萬元），且第一年投入“創(chuàng)業(yè)資金”3（萬元），以

后每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金''為上一年的2倍，則該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入的“創(chuàng)業(yè)資金”為.

萬元.

【答案】93

【分析】利用等比數(shù)列求和公式即得.

04/17

【詳解】由已知，可知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)歹U,

所以Ss=咚4=93.

故答案為：93.

19

8.（2022?陜西咸陽?高二期中（文））若數(shù)列一E的前〃項(xiàng)和為$,，若S,,?S,m=微，則正整數(shù)〃的

+J?

值為.

【答案】4

【分析】利用裂項(xiàng)相消法求出S,,,根據(jù)SJ5“M=W即可求出〃的值.

223nn+?〃+1n+l

??L=S=j

n+↑〃+2n+2

n2.

/.---=—=>?=4.

〃+23

故答案為：4.

9.（2022?上海南匯中學(xué)高二期末）已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=2"-l,數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式為

"=2"T"為正整數(shù)，若數(shù)列他｝中去掉｛%｝的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)組成數(shù)列｛g｝,則q+Q++?<x>=.

【答案】11202

【分析】根據(jù)等差等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】因?yàn)?=1也=34=5,,?100=199,

ciχ=1,a>—3,%=7,￠/4=?5,。5=31,a?~63,（弓—127,cι^—255,

所以數(shù)列｛2｝中前107項(xiàng)去掉｛αz,｝的前7項(xiàng)后為數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)，

設(shè)數(shù)列色“｝的前”項(xiàng)和為5"，數(shù)列｛〃｝的前"項(xiàng)和為I，

10106212

所以c[+q++cl00=7j07-57=107+?×2-^^^）+7=11202-

ZI-Z

故答案為：11202.

10.（2022?上海師大附中高二期中）《九章算術(shù)》敘述了一個(gè)老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，兩鼠對穿,

大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問：何日相逢？各穿幾何？意思就是說，有一堵十尺

厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞進(jìn)度是前

一天的2倍，小老鼠每天的進(jìn)度是前一天的一半.第3天結(jié)束后，兩只老鼠相距尺.

【答案】I

4

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)大老鼠第〃天打洞的距離為%,則數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為s,,；

小老鼠第"天打洞的距離為2，則數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為1,公比為T的等比數(shù)列，其前"項(xiàng)和為7”.則

.1

1-21?,,1335

Sf^Tll=--+-^-=T--+?f則S?3+4=8+7,從而相距10—8—尺.

I-Z1l一I一Z444

2

故答案為：—

4

四、解答題

11.（2022.河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，也｝的

前〃項(xiàng)和5〃=3?2"-3,4=仿，a1+πl(wèi)6=b5.

⑴求數(shù)列｛q｝,但｝的通項(xiàng)公式；

⑵記c*=9∕,求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和刀一

n

【答案】（IM=2〃+1,bπ=3?2-'

4〃+2

(2)T=-2--------

fl2"

【分析】（1）由｛2｝的前〃項(xiàng)和S,,=3?2"-3即可求出等比數(shù)歹lj｛b,,｝的通項(xiàng)公式，由q=々和％+須=用即

可求出等差數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式.

（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和人

【詳解】（1）設(shè)｛4｝的公差為d，也｝的公比為夕，

由已知可得4=3,?2=S2-S1=9-3=6,則q=%=2,

即2=姐〃T=3χ2"T=3?2"T.

*?*%=b`,α∣=3,

06/17

又<%+αl6=?5=48,

，%+"∣6=2q+21d=6+21d=48,解得Q=2,即att=3+2(〃-1)=2〃+1.

a-i2n

(2)由⑴知G=-ll^-=會啟，

令＜=g("l+白…+吳+舟①，

①式兩邊同乘T得：=:1;+,+最+…②，

T1_mn1

錯位相減得/=|(1+；+?+｝…+*_U—?-?

Ll2JJ

貝1t=g(2一等).

12.(2022.江蘇.高二課時(shí)練習(xí))一個(gè)球從32m的高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半.

當(dāng)它第5次著地時(shí)，共經(jīng)過的路程是多少？

【答案】92m.

【分析】依題意，寫出每次落地的路程即可.

【詳解】依題意，5次落地的路程分別為：32,2×16=32,2×8=I6,2×4=8,2x2=4;

第2項(xiàng)至第5項(xiàng)是首項(xiàng)為32,公比為T的等比數(shù)列，

?-(??

總路程=32+32X=92(∕M).

1-

2

故答案為：92∕n.

13.(2022.江蘇揚(yáng)州.高二期中)在數(shù)列｛%｝中，4=2,qlM=4q,-3"+l(〃wN*),bn=an-n.

⑴求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

、)]∕p∣4

I"；”；方熱，求數(shù)列｛%｝的前2”項(xiàng)和先.

log?%,〃為奇數(shù)

【答案】(1)證明見解析；

(2)S,,=?l-X24^+2+2n2-2n--.

,1515

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列前”項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和即可.

【詳解】(1)由已知得4+∣-("+I)=4(%-"),bll=an-n,

即%=4bll,

又.4-1=1H0,數(shù)列也,｝是公比為4的等比數(shù)列；

n

(2)由(1)知，?n=4-'

.c=J4"T,〃為偶數(shù)

-J-1〃-2,“為奇數(shù)

352,,I

.?.S2,,=[θ+4+8++(4M-4)]+(4'+4+4+4^)

??????=〃(0+4〃-4)4(1-16”)

..............21-16

9999=-l×24B+2+2n2-2n~^.

【能力提升】

一、單選題

1.(2022.吉林?遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí))中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三

百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還

其大意為：”有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走

了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為(????)

A.63里B.126里C.192里D.228里

【答案】C

【分析】由題意知，每天走的路程構(gòu)成一個(gè)公比為T等比數(shù)列，己知和求首項(xiàng)，代入公式即可得到.

【詳解】由已知，設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為卬，前〃項(xiàng)和為5,,,????公比為4=表品=378,

,ɑ1

al(l-√)∣(^?)63〃

則56=f-N[=幽=378,等比數(shù)列首項(xiàng)4=192.

"q1.132

2

故選：C.

二、多選題

2.(2022?吉林?遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí))對于數(shù)列｛%｝,設(shè)其前〃項(xiàng)和5“，則下列命題正確的是

(????)

A.若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且S4B?,Sii成等差數(shù)列，則%也成等差數(shù)列

08/17

B.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，則Si=SJS3“

C.若數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，則數(shù)列成等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，且髭=SgM<0,則使得5“>。的最小的及值為15

【答案】AC

【分析】利用等差等比數(shù)列的定義及等差數(shù)列的中項(xiàng)公式，結(jié)合等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前”項(xiàng)和公式

即可求解.

【詳解】對于A,因?yàn)閿?shù)列｛q｝為等比，且色百258成等差數(shù)列，所以2幾=S*+Sli,所以4工1,

2??^^打「'匕〉)+'0_4),即240?="∣q4+qg8,于是有24∣q"="∣q3+《/,所以Zq?=%+%，

?-q?-q?-q

所以也成等差數(shù)列，故A正確；

2222

對于B,因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，當(dāng)4=1時(shí)，Si,=(2,ιɑl)=4∕rαl,Sn-S3n=nal-3na,=3nal,所以S；“≠S“?Ss,,，

故B錯誤；

nyn-?)dq

對于C,因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以S"="4+2/…d,所以？是關(guān)于"的一次函數(shù),

nn212〃

所以數(shù)列，成等差數(shù)列，故C正確；

對于D,因?yàn)閿?shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，且$6=Sg,所以6q+迎產(chǎn)=9q+若史，即q=-74,又q<0,

所以d>0,所以S“=nα∣H—---------=-ldn+-dn2—■Ldn-~dn2—■?Jn>0,即〃2—15〃>0,解得n>15,

22222

所以使得S,,>0的最小的〃值為16,故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

3.(2022?江蘇連云港?高二期末)我國古代用詩歌形式提出的一個(gè)數(shù)列問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下

成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？通過計(jì)算可知，塔頂?shù)臒魯?shù)為.

【答案】3

【分析】設(shè)第"層塔的紅燈盞數(shù)為。“，由題意知｛為｝為公比為T的等比數(shù)列，根據(jù)邑=381求出首項(xiàng)得通

項(xiàng)公式，再計(jì)算的可得答案.

【詳解】設(shè)第"層塔的紅燈盞數(shù)為?！埃深}意知，｛4｝為公比為g的等比數(shù)列,

且其=381,則s,j(j)),即3§1一”[⑴上解得4=192,

ι-q[?

2

則％=αq6=I92χ(g)=3,

從而可知塔頂有3盞燈.

故答案為：3.

4.(2022?江蘇連云港?高二期末)某廠去年的產(chǎn)值記為1,計(jì)劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長10%,

則從今年起到第五年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為.

【答案】Hx(I.I5-I)

【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】依題意可得，從今年起到第五年這個(gè)廠的總產(chǎn)值為；

l?(l+10%)+l?(l+10%)2++1.(1+10%)5J(1+1署：；黑0%力=IlX(LF_1)

故答案為：Ilx(IT-I)

四、解答題

5.(2022.山東.臨沂第四中學(xué)高二階段練習(xí))某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場勤工儉學(xué).該商場向他提供

了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第1天付4元，從第2天起，每一天比前一天都多

付4元；第三種，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番(即增加1倍)

(1)分別表示三種方案領(lǐng)取的報(bào)酬

(2)他選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬更劃算？

【答案】(1)第一種方案領(lǐng)取的報(bào)酬為4=38〃，第二種方案領(lǐng)取的報(bào)酬為8“=2/+2〃，第三種方案領(lǐng)取

的報(bào)酬為GIq(2"T

(2)當(dāng)工作時(shí)間小于10天時(shí)，選用第一種付費(fèi)方案；當(dāng)工作時(shí)間大于或等于10天時(shí)，選用第三種付費(fèi)方案.

【分析】(1)利用題干條件，第一種寫出4=38〃，第二種用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解，第三種用等比

數(shù)列求和公式進(jìn)行求解；

(2)對"的取值進(jìn)行分類討論，比較4、B,l,C,,的大小，即可得出結(jié)論

【詳解】(1)設(shè)該同學(xué)到商場勤工儉學(xué)的天數(shù)為〃(〃eN”)，

10/17

則第一種方案領(lǐng)取的報(bào)酬為A,=38〃；

第二種方案每天報(bào)酬與天數(shù)成首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得：領(lǐng)取

的報(bào)酬為B=4”+~—×4=Irrr+2n；

2

第三種方案每天報(bào)酬與天數(shù)成首項(xiàng)為0.4,公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式可得：領(lǐng)取

的報(bào)酬為C=。40-2")二

n1-25v'

(2)B?-?=2n2-36?=2n(n-18),

當(dāng)n>18時(shí)，Bn>?;當(dāng)〃=18時(shí)，B11=An.當(dāng)〃<18時(shí)，B,,<A,.

9

令%=C"一4=夕2"-1)—38〃，

n+1

^91"I19?

則加F=±(2"÷-l)-38(n+l)--(2--1)-38?=^--38=1(2"-95),

當(dāng)"≤6時(shí)，x,,+∣<x,,,此時(shí)數(shù)列｛七｝單調(diào)遞減，則》>>xn

當(dāng)n≥7時(shí)，xn+l>x?,此時(shí)數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，即毛?工8<.

?,<0,則X7</<<?i<θ.

又因?yàn)閄9<0,XIO>°，故當(dāng)〃210時(shí)，x,,>0,即C,,>A,

當(dāng)"≤9時(shí)，?<0,即C,,<A,.

2

=Cn-Bn=∣(2"-1)-2M(Λ+1),其中心10，

則%+1-"=∣(2,,"-l)-2(∕z+l)(n+2)-∣?(2f,-l)-2∕z(n+l)--4(n+l),

?rt+!2"+2

令O=r^-4("+l),則乙+1-“=—"--4(n+2)

?J

當(dāng)“210時(shí)，tn+i>tl,,此時(shí)數(shù)列乩｝單調(diào)遞增，則ζ,≥G°>O,則y,,+∣>y,,,

所以，當(dāng)〃210時(shí)，數(shù)列｛”｝單調(diào)遞增，則%≥y°>0,即G>B「

綜上所述，當(dāng)"≤9時(shí)，max｛4,β,,,Cn｝=4,應(yīng)選第一種方案：

當(dāng)〃210時(shí)，max｛A,,8,,,C,,｝=Q,應(yīng)選第三種方案.

6.(2022?上海市吳淞中學(xué)高二期末)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S1,,且3Sz,=44,-2.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列bn=log,an,對任意∕M∈N,W≥1,將數(shù)列他｝中落入?yún)^(qū)間(a,l,+l-l,am+2+1］內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為｛cra｝,

記數(shù)列｛c,,｝的前m項(xiàng)和為Sm,求使得鼠>2022的最小整數(shù)，”.

【答案】⑴4=221；

(2)5

fSt,71—1_,、

【分析】(1)利用；C、?？汕蟪鰯?shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)由⑴得勿=2〃-1,然后由""T<d≤*+2+l,?22M<H≤22M+2+1,則O=??"+?-2?"'+1,從

而可求出S,”，進(jìn)而可求出使得黑>2022的最小整數(shù)機(jī)的值.

【詳解】(1)當(dāng)”=1時(shí)，3S∣=4α∣-2,得4=2,

當(dāng)“≥2時(shí),?3Sπ=4an-2,得35“_產(chǎn)4--2,

所以3S“-3EI=44-2-(44,ι-2),

3。產(chǎn)4%-4%,

所以4z,=4%τ,

所以數(shù)列｛為｝是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以α,,=2x4"τ=22"τ

(2)由(1)得4=log2%=log222"T=2"-l,

因?yàn)閿?shù)列｛〃｝中落入?yún)^(qū)間㈤M-IM皿+U內(nèi)，

所以4卅-1<々≤*2+l,

所以22,,"+n^l-l<2n-l≤22(m+2)-'+1,

22",+'<2n<22m+3+2,

所以22小<"≤2""+2+I,

所以數(shù)列他｝中落入?yún)^(qū)間(明”一L"m+2+1］內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)

=22W+2-22W÷1=3×4W÷1,

12/17

所以S=.⑶-4二1+m=4"川+機(jī)-4,

m1-4

由s,n>2022,得4m+l+機(jī)一4>2022,

即4""∣+m>2026,

當(dāng)m=4時(shí)，44+'+4?1024+4=1028<2026.

當(dāng)機(jī)=5時(shí)，4s+l+5=4096+5=4101>2026，

因?yàn)?"向+機(jī)隨附的增大而增大，

所以Sfn>2022的最小整數(shù)為5.

7.（2022?江蘇?南京市金陵中學(xué)河西分校高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝滿足%=7,%+%=26.

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式；

,

（2）若根=會，數(shù)歹U也｝滿足關(guān)系式a+mn>2'求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

⑶設(shè)（2）中的數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為s“，對任意的正整數(shù)〃，（1一〃卜（，,+〃+2）+（〃+0-2"”<2恒成立,

求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

【答案】⑴4,=2"+l,"∈N*

⑵―

（3）（-∞,-l]

【分析】（1）由已知條件列方程組求解基本量并代入即可：

（2）先代入?！扒蟮脭?shù)列色｝的遞推公式，再用累加法計(jì)算出他｝的通項(xiàng)，并代入首項(xiàng)檢驗(yàn)即可；

（3）先求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S”，代入原不等式后將P分離，再求不含P的式子的最值即可.

【詳解】ɑ）設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為"，

[a,+2d=1

由己知，有<,

[2al+IOd=26

解得｛露

所以4=3+2（〃-1）=2〃+1,

即等差數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為4=2〃+1,〃eN*.

n

當(dāng)“≥2時(shí),bn-bn,l=2-',

bι~b?=2

2

所以b',-b2=2

—"T

累力口得么W=2+2?+2：++2"T,

1_

即d=1+2+2?++2n^'=------=2"-l.

“1-2

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1也滿足上式.

所以數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式為％=2M-1.

nn+,

(3)由(2)bll=2-l,所以S,=(2+22+23++2")-n=2-(w+2),

；?原不等式變?yōu)?1—")2向+("+P)?2"M<2,即p?2"+∣<2-2"∣,

。<彳；-1對任意”￡川恒成立，

Q”為任意的正整數(shù)，

.?.--一ι>-ι

2"

.*?p≤—1.

?：P的取值范圍是(-8,τ].

222

8.(2022?福建?高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛叫滿足：al+2a2++na,l=n.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令a=Q,3+])”，數(shù)列出｝的前,項(xiàng)和為Sl,?對V〃wN*恒有好,,-4〃+〃2>°成立，求實(shí)數(shù)'的取值

范圍.

2幾—1

【答案】⑴%=W2

n

(2)Λ>10

【分析】ɑ)用n-1替換已知式中的〃得另一式，兩式相減可得通項(xiàng)公式句,注意《是否適合；

(2)由裂項(xiàng)相消法求得和S“后，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新數(shù)列的最大值，從而是參數(shù)范圍.

14/17

222

【詳解】(1)當(dāng)〃≥2時(shí)，a]+2?++(π-l)atl_}=(H-1),

22/1?2?12n-l

:.nan=n-(〃-1)=2n-},.?an=———,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=l滿足上式.

2n-l

]]=_____1

(2)由(1)可得”=一萬〃〃

(2√+n2)α,,(2n-l)(2∕7+l)12-1-2+1

It

>0,

2?+1

4〃一72“

對?n∈N"恒有彳S“一4〃+〃2>0成立，.?.Λ>—--=(4--)(2〃+1),

令〃=(4-n)(2n÷l),則％=(3-n)(2n+3)-(4-n)(2n+l)=5-4n,

令5-4〃>0得〃<*

4

：.bx<b2>b3>b4>,即數(shù)列｛〃｝的最大項(xiàng)是仇=10,

ΛΛ>10.

9.(2022?吉林?遼源市第五中學(xué)校高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對任意的〃∈N'都有

---1——+H-----n.

222T

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=(“+])；g1("GN*),且數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為7；,問是否存在正整數(shù)加，對任意正整數(shù)〃有

1>去恒成立？若存在，求出機(jī)的最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)4=2",rt∈N"

(2)存在,1010

【分析】⑴由等墨++*=〃得到：彳+墨++?-=∏-l(n≥2),兩式相減得即可求解；

(2)由(1)得到2=：-三,利用裂項(xiàng)相消求和得到7；=I-W，由數(shù)列的單調(diào)性定義可得數(shù)列｛(｝

mI

為遞增數(shù)列，結(jié)合條件得到蠹<5,即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)閊■+與?++祟=〃，"∈N",

當(dāng)〃≥2時(shí)，A號++猾=〃7，

兩式相減得崇=1(“≥2),即。"=2”(∕l≥2).

又當(dāng)〃=1時(shí)，?=1,得4=2,滿足上式.

故q=2",n∈N*?

所以數(shù)列億｝為遞增數(shù)列，所以7L≥Z=4=g?

因?yàn)閷θ我庹麛?shù)"有7；＞金恒成立，

所以羲＜3,解得機(jī)＜等=101L又加eN",所以叫MX=IOI0.

所以存在正整數(shù)〃，，使得對任意正整數(shù)〃有(