第18講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

第18講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義【人教A版2019】·模塊一導(dǎo)數(shù)的概念·模塊二導(dǎo)數(shù)的幾何意義·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一導(dǎo)數(shù)的概念1．瞬時(shí)速度(1)平均速度設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為=.(2)瞬時(shí)速度①物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

②一般地，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說當(dāng)t趨近于0時(shí)，的極限是v，這時(shí)v就是物體在t=時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v==.2．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時(shí)，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.【考點(diǎn)1瞬時(shí)速度、平均速度】【例1.1】（2023下·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）在一次高臺跳水運(yùn)動中，某運(yùn)動員在運(yùn)動過程中的重心相對于水面的高度h（單位m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+4.8t+11．該運(yùn)動員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：mA．10.9 B．-0.1 C．6 D．-5【解題思路】對函數(shù)求導(dǎo)，將t=1代入導(dǎo)函數(shù)求瞬時(shí)速度即可.【解答過程】由題設(shè)h'(t)=-9.8t+4.8，則所以運(yùn)動員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：ms）為-5故選：D.【例1.2】（2023下·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）球的體積V（單位：cm3）與半徑R（單位：cm）的關(guān)系為V=43πRA．9π B．18π C．27π【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理定義，對函數(shù)求導(dǎo)代入R＝【解答過程】由V=43π所以R＝3cm故選：D.【變式1.1】（2023下·山東棗莊·高二?？茧A段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s=t2+2t，設(shè)其在t∈2,3內(nèi)的平均速度為v1，在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為vA．76 B．78 C．67【解題思路】根據(jù)平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義，可分別計(jì)算求得v1=7，v【解答過程】根據(jù)平均速度定義可知，在t∈2,3內(nèi)的平均速度為v在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為v2所以v1故選：B.【變式1.2】（2023·高二單元測試）某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時(shí)需在2s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時(shí)間(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－13t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實(shí)際意義為（

A．汽車剎車后1s內(nèi)的位移B．汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度C．汽車剎車后1s時(shí)的瞬時(shí)速度D．汽車剎車后1s時(shí)的位移【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷．【解答過程】解：由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義知，位移關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度．故選：C.【考點(diǎn)2平均變化率】【例2.1】（2023下·北京房山·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)fx=2x+1A．212 B．72 C．76【解題思路】根據(jù)平均變化率概念直接計(jì)算即可.【解答過程】由題意得平均變化率為f2故選：C.【例2.2】（2023下·江西九江·高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖.記該車在時(shí)間段t1,t2，t2,t3，t3,t4，

A．v1 B．v2 C．v3【解題思路】根據(jù)平均速度的定義和兩點(diǎn)求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過兩點(diǎn)所對應(yīng)直線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【解答過程】由題意知，汽車在時(shí)間t1,t2，t2,t3，t3,t設(shè)路程y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為y=f(t)，則v1=f(t2同理v2為經(jīng)過點(diǎn)(t2v3為經(jīng)過點(diǎn)(t3v4為經(jīng)過點(diǎn)(t1由圖可知，k3最小，即v3故選：C.【變式2.1】（2023下·江西新余·高二統(tǒng)考期末）2020年12月1日22時(shí)57分，嫦娥五號探測器從距離月球表面1800m處開始實(shí)施動力下降，7500牛變推力發(fā)動機(jī)開機(jī)，逐步將探測器相對月球縱向速度從約1800m/s降為零.12分鐘后，探測器成功在月球預(yù)選地著陸，記探測器與月球表面距離的平均變化率為v，相對月球縱向速度的平均變化率為a，則（A．v=52m/s，a=52C．v=-52m/s，a=-52【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均變化率的計(jì)算公式，即可求解．【解答過程】探測器與月球表面的距離逐漸減小，則v=0-1800探測器的速度逐漸減小，則a=0-1800故選：C.【變式2.2】（2022下·北京·高二校考期中）為評估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時(shí)間t的關(guān)系為c=f(t)．甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在t1②在t2③在[t④在[t1其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①③【解題思路】理解瞬時(shí)變化率和平均變化率的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，瞬時(shí)變化率是在此點(diǎn)處切線的斜率，平均變化率是f(t+△t)-f(t)△t【解答過程】解：對于①，在t1時(shí)刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即①對于②，在t2時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的f'(對于③，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在[t2，t3]內(nèi)，血管中藥物濃度的平均變化率均為對于④，在[t1，t2]和[t2，t3故正確的只有①③；故選：D．【考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)的定義解題】【例3.1】（2023下·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，若f'2=3，則A．12 B．9 C．6 D．3【解題思路】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】limΔ故選：A.【例3.2】（2022下·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)fx存在導(dǎo)函數(shù)且滿足limΔx→0f1-f1-2A．-1 B．-2 C．1 D．2【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義即可求解.【解答過程】解：因?yàn)閒x存在導(dǎo)函數(shù)且滿足lim所以f'1=-1，即曲線y=fx上的點(diǎn)故選：A.【變式3.1】（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）定義在R上的函數(shù)y=fx在區(qū)間2,2+ΔxΔx>0內(nèi)的平均變化率為ΔyΔx=ΔxA．-1 B．1 C．3 D．9【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得f'2【解答過程】由導(dǎo)數(shù)的定義可得f'故選：B.【變式3.2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）定義1?2?3???n=n!，已知函數(shù)fx=xx-1x-2?x-2020在-1,+∞內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為A．2019! B．-2019! C．2020! D．-2020!【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義公式f'x0【解答過程】因?yàn)閒2019+Δxf2019+Δx所以f'2019故選：B．模塊二模塊二導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)(,f())時(shí)，割線P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線T(T是直線T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為y-f()=f'()(x-).【考點(diǎn)4求曲線切線的斜率（傾斜角）】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx=x3-3x+1A．-1 B．-3 C．1 D．0【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得.【解答過程】由于f'x=3故選：D.【例4.2】（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P1,y0處的切線是l，則

A．1 B．2 C．0 D．-1【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線l的方程，從而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則可得f(1)，求出直線的斜率可得f'(1)【解答過程】由圖象可得切線過點(diǎn)(2,0),(0,2)，所以切線l的方程為x2+y所以切線的斜率為-1，所以f因?yàn)辄c(diǎn)P1,y0在切線上，所以y所以f1故選：C.【變式4.1】（2023下·安徽宿州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx可導(dǎo)，且limΔx→0f1+ΔxA．45° B．60° C．120° D．135°【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義可知曲線y=fx在1,f1【解答過程】由limΔx→0f則曲線y=fx在1,f1處的切線斜率為由tanθ=1（θ為傾斜角），θ∈0°,180°，可得故選：A．【變式4.2】（2023下·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線y=ax-1是曲線fx=x+lnx在某點(diǎn)處的切線，則實(shí)數(shù)A．-1 B．1 C．2 D．3【解題思路】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)利用已知建立方程組解出即可.【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為Am,n由fx得f'則f'm由題意得：n=am-1n=m+聯(lián)立①可得，n=m=1a=2故選：C．【考點(diǎn)5求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的曲線方程】【例5.1】（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=1ex-1，則曲線A．ex+y+1=0 B．C．ex+y-1=0 D．【解題思路】先由導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程寫出即可.【解答過程】由fx=1所以f'-1=-故曲線y=fx在點(diǎn)-1,f-1處的切線的方程為y-e故選：A.【例5.2】（2022·四川廣安·廣安二中校考二模）函數(shù)f(x)=x2ex過點(diǎn)A．y=0 B．ex+y=0 C．y=0或x+ey=0 D．【解題思路】設(shè)切點(diǎn)(m,m2em)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求該切點(diǎn)上的切線方程，再由切線過【解答過程】由題設(shè)f'(x)=(2x+x2)e所以切線方程為y-m2e則m2em=(2+m)當(dāng)m=0時(shí)，切線為y=0；當(dāng)m=-1時(shí)，切線為ey-1=-(x+1)，整理得x+故選：C.【變式5.1】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=-x3+3x，則過點(diǎn)-3,-9A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為a,-a3+3a，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在切點(diǎn)a,-a3+3a【解答過程】解：因?yàn)閒x=-x設(shè)切點(diǎn)為a,-a所以在切點(diǎn)a,-a3+3a又-3,-9在切線上，所以-9=-3a即-9=3a整理得2a3+9a2所以過點(diǎn)-3,-9可作曲線y=fx的切線的條數(shù)為故選：C．【變式5.2】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）設(shè)a∈R，函數(shù)fx=x3-2ax2+A．y=3x B．y=-2x C．y=-3x D．y=2x【解題思路】對函數(shù)求導(dǎo)，利用偶函數(shù)性質(zhì)求得a=0，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【解答過程】由題設(shè)f'∴3(-x)解得a=0，∴k=f∴曲線y=fx在原點(diǎn)處的切線方程為y=3x故選：A.【考點(diǎn)6函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系】【例6.1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為y=f'A．f'1>C．0<f'1【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線斜率的變化可得出結(jié)論.【解答過程】由圖象可知，函數(shù)y=fx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x≥0時(shí)，即f'1>0，f又因?yàn)榍€在點(diǎn)x,fx處切線的斜率隨著x的增大而減小，即y=fx在點(diǎn)x,fx故f'故選：A.【例6.2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足f'x1>0，f'xA． B．C． D．【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義分析求解即可.【解答過程】由f'x1>0，f'x2選項(xiàng)A：fx的圖象在x1和選項(xiàng)B：fx的圖象在x1處切線的斜率為負(fù)，在選項(xiàng)C：fx的圖象在x1處切線的斜率為零，在選項(xiàng)D：fx的圖象在x1處切線的斜率為正，在故選：D.【變式6.1】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是

A．2B．2C．2D．f【解題思路】由函數(shù)圖象及導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到f'2【解答過程】由圖象可知fx在0，+∞

故f'2<故選：B．【變式6.2】（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'xA．fB．fC．fD．f【解題思路】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到答案.【解答過程】f'1a根據(jù)圖象知f'故選：A.模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）已知質(zhì)點(diǎn)M在平面上作變速直線運(yùn)動，且位移S（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系可用函數(shù)：S=lnt+1+2t2+1表示，則該質(zhì)點(diǎn)A．253??m/C．256??m/【解題思路】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把t=2代入即可求解．【解答過程】因?yàn)镾=ln所以S'令t=2，得瞬時(shí)速度為13故選：A.2．（2023上·北京·高二清華附中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=lnx+1，則A．f1<fC．f33<【解題思路】畫出函數(shù)fx=lnx+1的圖象，觀察x,f【解答過程】作出函數(shù)fx=

由圖可知曲線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率隨著x的增大而減小.由1<2<3，得f1-01-0故選：C.3．（2022下·河北承德·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若limΔx→0f(3-ΔA．0 B．-2 C．1 D．-【解題思路】對條件變形，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解出到數(shù)值.【解答過程】因?yàn)閘imΔx→0f(3-=-故f故選：B.4．（2023下·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)fx的圖象如圖所示，f'x為函數(shù)fA．fB．fC．fD．f【解題思路】根據(jù)函數(shù)的變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷.【解答過程】因?yàn)閒'(a)、f'(a+1)分別是函數(shù)f(x)在x=a、x=a+1處的切線斜率，由圖可知f'(a+1)<f'(a)<0，又f(a+1)-f(a)=f(a+1)-f(a)(a+1)-a=f'(所以f'故選：C.5．（2023下·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx為可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)Δx→0時(shí)，f1-f1-Δx2Δx→-1，則曲線A．2 B．-1 C．1 D．-2【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【解答過程】解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)1,f1處的切線斜率為f因?yàn)棣→0時(shí)，f1所以f'所以在點(diǎn)1,f1處的切線斜率為-2故選：D.6．（2023下·福建·高二校聯(lián)考期中）若一射線OP從OA處開始，繞O點(diǎn)勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到OB處為止），所掃過的圖形內(nèi)部的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，St的圖象如圖所示，則下列圖形中，符合要求的是（

A．

B．

C．

D．

【解題思路】逐個(gè)分析掃過部分的面積增速的快慢即得.【解答過程】因?yàn)镺P是勻速旋轉(zhuǎn)，選項(xiàng)A，OP掃過的圓內(nèi)陰影部分面積在開始時(shí)段緩慢增加，中間增速最快，后面時(shí)段相對增速越來越慢，不合題意；選項(xiàng)B，OP掃過的14選項(xiàng)C，OP掃過正方形的陰影部分，是開始時(shí)段緩慢增加，中間增速最快，后面時(shí)段相對增速越來越慢，不合題意；選項(xiàng)D，OP掃過的三角形內(nèi)陰影部分面積在開始時(shí)段的增速和最后時(shí)段的增速比中間時(shí)段快，選項(xiàng)D符合.故選：D.7．（2023上·四川南充·高三校考階段練習(xí)）過函數(shù)fx=1A．0,π2∪C．π4,π【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率的范圍，進(jìn)而求得傾斜角的范圍.【解答過程】依題意，fx=1即切線的斜率的取值范圍是-1,+∞所以傾斜角的取值范圍是0,π故選：B.8．（2023下·山東東營·高二統(tǒng)考期末）已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)fx=3x3+2ax2+2+ax的導(dǎo)函數(shù)為A．11x-y-6=0 B．9x+y-6=0C．5x-11y+2=0 D．6x+5y-11=0【解題思路】由偶函數(shù)的定義確定參數(shù)a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解即可得切線方程.【解答過程】因?yàn)閒'所以f'所以a=0，故f'x=9所以f1=5，故曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即11x-y-6=0.故選：A.9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx與gx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，直線l與gA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據(jù)fx=lnx與gx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，得到gx=ex，設(shè)直線l與函數(shù)gx【解答過程】解：因?yàn)楹瘮?shù)fx=lnx與所以fx=lnx與則g'x=ex設(shè)直線l與函數(shù)gx=e與函數(shù)hx=e則直線l的斜率k=ex1顯然x1≠x所以直線l的傾斜角為π4故選：B．10．（2023·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(-∞,+∞C．(-1,3) D．(-【解題思路】求得f'(x)=-xex，求得切線PQ方程t2【解答過程】設(shè)過點(diǎn)P(m,0)的直線與曲線f(x)=x+1ex由f(x)=x+1ex，可得f'(x)=-整理得t2因?yàn)榍芯€有2條，所以切點(diǎn)有2個(gè)，即方程t2+(1-m)t+1=0有則Δ=(1-m)2-4>0，解得所以m的取值范圍是(-∞故選：D．11．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)y=fx(1)當(dāng)x從1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？(2)當(dāng)x從-1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？(3)該函數(shù)變化的快慢有何特點(diǎn)？求該函數(shù)在x=1，x=3處的瞬時(shí)變化率．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的平均變化率計(jì)算即可解決（1）（2），由瞬時(shí)變化率的定義求（3）.【解答過程】（1）Δy=f(2)-f(1)=-2，Δ故函數(shù)值y改變了-2，此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是-2.（2）Δy=f(1)-f(-1)=-4，Δ函數(shù)值y改變了-4，此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是-2.（3）這個(gè)函數(shù)的變化是均勻，變化率為定值.∵lim∴故函數(shù)的瞬時(shí)變化率為定值-2，該函數(shù)在x=1，x=3處的瞬時(shí)變化率都為-2.12．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G為函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)．在哪些點(diǎn)處，曲線的切線斜率為0？在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為正？在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為負(fù)？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率最大？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率最?。俊窘忸}思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)的圖象判斷即可．【解答過程】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合圖象可知，在E，F(xiàn)處曲線的切線的斜率是0，在A，B，C處曲線的切線的