高中數(shù)學(xué)講義微專題03 利用數(shù)軸解決集合運算問題

PAGE1-微專題03利用數(shù)軸解決集合運算問題數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問題的常用手段，其優(yōu)點在于通過圖形能夠直觀的觀察到某些結(jié)果，與代數(shù)的精確性結(jié)合，能夠快速解決一些較麻煩的問題。在集合的運算中，涉及到單變量的取值范圍，數(shù)軸就是一個非常好用的工具，本文將以一些題目為例，來介紹如何使用數(shù)軸快速的進行集合的交并運算。一、基礎(chǔ)知識：1、集合運算在數(shù)軸中的體現(xiàn)：在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的公共部分在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的總和在數(shù)軸上表示為中除去剩下的部分（要注意邊界值能否取到）2、問題處理時的方法與技巧：（1）涉及到單變量的范圍問題，均可考慮利用數(shù)軸來進行數(shù)形結(jié)合，尤其是對于含有參數(shù)的問題時，由于數(shù)軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數(shù)的不等關(guān)系（2）在同一數(shù)軸上作多個集合表示的區(qū)間時，可用不同顏色或不同高度來區(qū)分各個集合的區(qū)域。（3）涉及到多個集合交并運算時，數(shù)軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含區(qū)域。交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區(qū)域（4）在解決含參數(shù)問題時，作圖可先從常系數(shù)的集合（或表達式）入手，然后根據(jù)條件放置參數(shù)即可3、作圖時要注意的問題：（1）在數(shù)軸上作圖時，若邊界點不能取到，則用空心點表示；若邊界點能夠取到，則用實心點進行表示，這些細節(jié)要在數(shù)軸上體現(xiàn)出來以便于觀察（2）處理含參數(shù)的問題時，要檢驗參數(shù)與邊界點重合時是否符合題意。二、例題精析：例1：（2009安徽）集合，則=_______思路：先解出的解集，，作出數(shù)軸，則即為它們的公共部分。答案：例2：設(shè)集合，則的取值范圍是____思路：可解出，而集合含有參數(shù)，作出數(shù)軸，先從容易作圖的集合做起，即畫出的范圍，由于，而數(shù)軸上有一部分區(qū)域沒有被包含，那說明集合負(fù)責(zé)補空缺的部分，由于參數(shù)決定其端點位置，所以畫出圖像，有圖像觀察可得只需要：即可，解得：答案：小煉有話說：（1）含有參數(shù)的問題時，可考慮參數(shù)所起到的作用，在本題中參數(shù)決定區(qū)間的端點（2）含有參數(shù)的問題作圖時可先考慮做出常系數(shù)集合的圖像，再按要求放置含參的集合（3）注意考慮端點處是否可以重合，通常采取驗證的方法，本題若或，則端點處既不在里，也不在里，不符題意。例3：對于任意的，滿足恒成立的所有實數(shù)構(gòu)成集合，使不等式的解集是空集的所有實數(shù)構(gòu)成集合，則______思路：先利用已知條件求出，再利用數(shù)軸畫出的范圍即可解：由①恒成立，可得：當(dāng)即時，①變?yōu)椋汉愠闪?dāng)時，若要①恒成立，則解集為空等價于：設(shè)即小煉有話說：本題更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情況，而不能默認(rèn)為二次不等式，集合涉及解集與不等式恒成立問題之間的轉(zhuǎn)化。在集合進行交并運算時，數(shù)軸將成為一個非常直觀的工具，作圖時要注意端點值的開閉。例4：已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為思路：先解出的解集，意味著有公共部分，利用數(shù)軸可標(biāo)注集合兩端點的位置，進而求出的范圍解：當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，且例5：已知，當(dāng)“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是__________思路：為兩個不等式的解集，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集。考慮解出兩個不等式的解集，然后利用數(shù)軸求出的范圍即可解：由是的真子集可得：答案：小煉有話說：1、熟悉充分必要條件與集合的聯(lián)系：是的充分不必要條件對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集2、處理含參問題時，秉承“先常數(shù)再參數(shù)”的順序分析，往往可利用所得條件對參數(shù)范圍加以限制，減少分類討論的情況。例如在本題中，若先處理，則解不等式面臨著分類討論的問題。但先處理之后，結(jié)合數(shù)軸會發(fā)現(xiàn)只有圖中一種情況符合，減掉了無謂的討論。例6：已知函數(shù)，對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________思路：任取，則取到值域中的每一個元素，依題意，存在使得，意味著值域中的每一個元素都在的值域中，即的值域為的值域的子集，分別求出兩個函數(shù)值域，再利用子集關(guān)系求出的范圍解：時，時，對于，分三種情況討論當(dāng)時，當(dāng)時，，符合題意當(dāng)時，綜上所述：答案：例7：已知集合，若，則________思路：本題主要考察如何根據(jù)所給條件，在數(shù)軸上標(biāo)好集合的范圍。從而確定出的值，如圖所示：可得，所以答案：例8：設(shè)，，求思路：集合的不等式解集為，集合為一元二次不等式的解集，由題意可知，設(shè)的兩根為，則，在數(shù)軸上作圖并分析后兩個條件：說明將集合覆蓋數(shù)軸的漏洞堵上了，說明與的公共部分僅有，左側(cè)沒有公共部分，從而的位置只能如此（如圖），可得：，由韋達定理可得：例9：在上定義運算，若關(guān)于的不等式的解集是的子集，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．或D．思路：首先將變?yōu)閭鹘y(tǒng)不等式：，不等式含有參數(shù)，考慮根據(jù)條件對進行分類討論。設(shè)解集為，因為，所以首先解集要分空集與非空兩種情況：當(dāng)時，則；當(dāng)時，根據(jù)的取值分類討論計算出解集后再根據(jù)數(shù)軸求出的范圍即可解：設(shè)解集為當(dāng)時，則當(dāng)時：若時，若時，綜上所述：答案：D例10：已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.解：所解不等式為，可以考慮兩邊平方后去掉絕對值，因式分解可得：，由題意中含3個整數(shù)解可得：解集應(yīng)該為封閉區(qū)間，所以的系數(shù)均大于零，即，另一方面，解集區(qū)間內(nèi)有3個整數(shù)，從端點作為突破口分析，兩個端點為，因為，所以，進而結(jié)合數(shù)軸分析可得三個整數(shù)解為，所以另一個端點的取值范圍為①，而②，所以只要①②有交集，則可找到符合條件的，結(jié)合數(shù)軸可得：，求出答案：三、近年模擬題題目精選：1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知集合，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.2、（2014吉林九校二模，1）已知，則（）A.B.C.D.3、（重慶八中半月考，1）設(shè)全集為，集合，則（）A.B.C.D.4、已知函數(shù)的定義域為，的定義域為，則（）A.B.C.D.5、（2014，浙江）已知集合，則（）A.B.C.D.6、（2014，山東）設(shè)集合，則（）A.B.C.D.7、設(shè)集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_________8、已知全集，集合，那么集合（）A.B.C.D.9、若關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)的取值范圍是_______.習(xí)題答案：1、答案：B解析：若，則符合題意，若，則符合題意，當(dāng)時，解得：，由可知：，綜上可得：2、答案：D解析：，在數(shù)軸上標(biāo)出的區(qū)域即可得出3、答案：C解析：分別解出中的不等式，，所以4、答案：A解析：的定義域：，的定義域：，所以，5、答案：C解析：解出中不等式：或，所以，則6、答案：D解析：集合為解不等式：，集合為函數(shù)的值域，由可知，所以7、答案：解析：集合為，由可知；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，結(jié)合數(shù)軸可得：即，綜上可得：的取值范圍是8、答案：C解析：或9、答案：解析：因為不等式等價于，其中中的，且有，故，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數(shù)解集。所以，解得的范圍為☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆………………………《初中及高中數(shù)學(xué)系列群》簡介目前有11個群（9個高中群，2個初中群），將近3000多優(yōu)秀、特、高級教師，省、市、區(qū)縣教研員，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家等匯聚而成的微信群。特別說明：群內(nèi)不定期分享數(shù)學(xué)資