中考數(shù)學幾何模型專項復習 模型32 平行四邊形-對角互補模型-（原卷版+解析）

平行四邊形模型（三十二）——對角互補模型◎結(jié)論1：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，則①BC+AB=2BD，②S四邊形ABCD=12BD2，【證明】【關(guān)鍵：把互補轉(zhuǎn)化成相等，看到互補的條件，找其中一角的鄰補角，轉(zhuǎn)化成相等】旋轉(zhuǎn)相等邊的夾角⑴AD.CD夾角90°,旋轉(zhuǎn)90°,延長BC至E，使CE＝AB,連接DE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED是等腰直角三角形BE＝2BD,BC＋CE＝2BD，BC＋AB＝2BD⑵S四邊形ABCD=S△ABD＋S△BCD＝S△CED由⑴得，BD=DE，∴S四邊形ABCD＝12BD·DE＝12⑶由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45o，∴BD是角平分線.◎結(jié)論2：如圖，∠ABC=60o，∠ADC=120°，AD=DC，則①BC+AB=3BD，②S四邊形ABCD=34BD2【證明】⑴滿足對角互補，鄰邊相等AD.CD夾角120°，旋轉(zhuǎn)120°延長BC至點E，使CE＝AB，連接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝120°∴∠2＋∠3＝120°過D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME∴sin60°＝BMBD∴BMBD＝∴2BMBD＝3，即BE＝3BD，∴BC＋AB＝⑵由⑴得DM=12BD，BE=3S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝S△CED＋＝12·3BD·12BD＝3⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120o，∴∠B＝∠E＝30o，∴BD是角平分線補充：圖形如果是下圖這樣，結(jié)論會稍有不同【結(jié)論】∠AOB=120o，∠DCE＝60o，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，則，①CD=CE②OD+OE=OC①在OB上取一點F，連結(jié)CF，使△OCF為等邊三角形，∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO∵△OCF為等邊三角形∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，易證△CDO≌△CEF∴CD＝CE②∵△CDO≌△CEF∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF∴OD＋OE＝OC◎結(jié)論3：如圖，∠ABC=α，∠ADC=180o－α，AD=DC，則①BC+AB=2BDcos12α，②S四邊形ABCD=3①【證明】滿足對角互補，鄰邊相等AD,CD夾角180－a,旋轉(zhuǎn)180－a延長BC至點E，使CE＝AB，連接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝180－a∴∠2＋∠3＝180－a（把圖形抽離出來）過D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝90°－12∴∠DBM＝12a，BE＝2BM，cos12a＝∴2cos12a＝2BMBD＝BE＝2BDcos12∴BC＋AB＝2BDCOS12②【證明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB的面積＝△DCE的面積∴S四邊形ABCD＝（把圖形抽離出來）由①過程可知BE＝2BDcos12DM＝BDsin12∴S△BDE＝12BEDM＝2BDcos12aBDsin12∴S四邊形ABCD＝34③∵BD＝ED∴∠E＝∠DBE∵△DAB≌△DCE∴∠ABD＝∠E∴∠ABD＝∠DBE∴BD為角平分線。1．(2023·全國·八年級專題練習）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．2．(2023·重慶·西南大學銀翔實驗中學八年級階段練習）如圖，在四邊形中，于，則的長為__________1．(2023·江蘇南京·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_________．2．(2023·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．3．(2023·陜西·交大附中分校八年級開學考試）問題探究（（1）如圖①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，則∠BCD的大小為___________；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線BD=6．求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計算．延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計算四邊形ABCD的面積．請你將小明的方法完善．并計算四邊形ABCD的面積；問題解決（3）如圖③，四邊形ABCD是正在建設(shè)的城市花園，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．請計算出對角線BD的長度．1．（2012·黑龍江黑河·中考真題）Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個數(shù)是【

】A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．(2023·江蘇常州·一模）我們定義：有一組對角為直角的四邊形叫做“對直角四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如圖②，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求證：四邊形ABCD為對直角四邊形；（3）在（2）的條件下，如圖③，連結(jié)AC，若，求tan∠ACD的值．平行四邊形模型（三十二）——對角互補模型◎結(jié)論1：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，則①BC+AB=2BD，②S四邊形ABCD=12BD2，【證明】【關(guān)鍵：把互補轉(zhuǎn)化成相等，看到互補的條件，找其中一角的鄰補角，轉(zhuǎn)化成相等】旋轉(zhuǎn)相等邊的夾角⑴AD.CD夾角90°,旋轉(zhuǎn)90°,延長BC至E，使CE＝AB,連接DE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED是等腰直角三角形BE＝2BD,BC＋CE＝2BD，BC＋AB＝2BD⑵S四邊形ABCD=S△ABD＋S△BCD＝S△CED由⑴得，BD=DE，∴S四邊形ABCD＝12BD·DE＝12⑶由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45o，∴BD是角平分線◎結(jié)論2：如圖，∠ABC=60o，∠ADC=120°，AD=DC，則①BC+AB=3BD，②S四邊形ABCD=34BD2【證明】⑴滿足對角互補，鄰邊相等AD.CD夾角120°，旋轉(zhuǎn)120°延長BC至點E，使CE＝AB，連接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝120°∴∠2＋∠3＝120°過D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME∴sin60°＝BMBD∴BMBD＝∴2BMBD＝3，即BE＝3BD，∴BC＋AB＝⑵由⑴得DM=12BD，BE=3S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝S△CED＋＝12·3BD·12BD＝3⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120o，∴∠B＝∠E＝30o，∴BD是角平分線補充：圖形如果是下圖這樣，結(jié)論會稍有不同【結(jié)論】∠AOB=120o，∠DCE＝60o，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，則，①CD=CE②OD+OE=OC①在OB上取一點F，連結(jié)CF，使△OCF為等邊三角形，∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO∵△OCF為等邊三角形∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，易證△CDO≌△CEF∴CD＝CE②∵△CDO≌△CEF∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF∴OD＋OE＝OC◎結(jié)論3：如圖，∠ABC=α，∠ADC=180o－α，AD=DC，則①BC+AB=2BDcos12α，②S四邊形ABCD=3①【證明】滿足對角互補，鄰邊相等AD,CD夾角180－a,旋轉(zhuǎn)180－a延長BC至點E，使CE＝AB，連接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝180－a∴∠2＋∠3＝180－a（把圖形抽離出來）過D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝90°－12∴∠DBM＝12a，BE＝2BM，cos12a＝∴2cos12a＝2BMBD＝BE＝2BDcos12∴BC＋AB＝2BDCOS12②【證明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB的面積＝△DCE的面積∴S四邊形ABCD＝（把圖形抽離出來）由①過程可知BE＝2BDcos12DM＝BDsin12∴S△BDE＝12BEDM＝2BDcos12aBDsin12∴S四邊形ABCD＝34③∵BD＝ED∴∠E＝∠DBE∵△DAB≌△DCE∴∠ABD＝∠E∴∠ABD＝∠DBE∴BD為角平分線。1．(2023·全國·八年級專題練習）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:D分析①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來等于180度，即可證明D、A、E三點共線；②根據(jù)△BCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．【詳解】解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點共線；故①正確；②∵△BCD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過程中的不變量．2．(2023·重慶·西南大學銀翔實驗中學八年級階段練習）如圖，在四邊形中，于，則的長為__________答案:分析過點B作交DC的延長線交于點F，證明≌推出，，可得，由此即可解決問題；【詳解】解：過點B作交DC的延長線交于點F，如右圖所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案為．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．1．(2023·江蘇南京·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_________．答案:分析可將△OBC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.【詳解】解：將△OBC繞O點旋轉(zhuǎn)90°，∵OB=OA∴點B落在A處，點C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點在同一條直線上，∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC=.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應邊相等，對應角相等.要求兩條線段的長，可利用作圖的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條線段的長度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時需注意，一定要證明C、A、D三點在同一條直線上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因為答案一定可考慮CB⊥y軸的情況，此時四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可以起到事半功倍的效果.2．(2023·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．答案:4．分析將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE．證明△AEC是等邊三角形，四邊形ABCD面積等于△AEC面積，根據(jù)等邊△AEC面積特征可求解AC長．【詳解】解：將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE．∵四邊形內(nèi)角和360°，∴∠D+∠ABC＝180°．∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴E、B、C三點共線．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠EAC＝60度，AE＝AC，∴△AEC是等邊三角形．四邊形ABCD面積等于△AEC面積，等邊△AEC面積，解得AC＝4．故答案為4．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)AB=AD及∠BAD=60°，對△ACD進行旋轉(zhuǎn)，把四邊形轉(zhuǎn)化為等邊三角形求解．3．(2023·陜西·交大附中分校八年級開學考試）問題探究（（1）如圖①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，則∠BCD的大小為___________；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線BD=6．求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計算．延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計算四邊形ABCD的面積．請你將小明的方法完善．并計算四邊形ABCD的面積；問題解決（3）如圖③，四邊形ABCD是正在建設(shè)的城市花園，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．請計算出對角線BD的長度．答案:（1）115°；（2）S四邊形ABCD=18；（3）對角線BD的長度為米．分析（1）利用外角的性質(zhì)可求解；（2）延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計算四邊形ABCD的面積；（2）將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形內(nèi)角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）如圖1，延長BC交AD于E，∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC，∴∠BCD=∠A+∠ABC+∠D=45°+30°+40°=115°，故答案為：115°；（2）延長DC，使得CE=AD，連接BE，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE，∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°，∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，

∵BD=BE=6，∠DBE=90°，∴S△BDE=×BE×BD=18，∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四邊形ABCD=18；（4）如圖，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，∴△BFD是等邊三角形，∴BF=BD=DF，∵∠ADC=30°，∴∠ADB+∠BDC=30°，∴∠BFA+∠ADB=30°，∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠AFD+∠ADF=90°，∴∠FAD=90°，∴DF=，∴BD=(米)．答：對角線BD的長度為米．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．1．（2012·黑龍江黑河·中考真題）Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個數(shù)是【

】A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:C【詳解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴結(jié)論①正確．設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE=a－b．∴．∴．∴結(jié)論②正確．如圖，過點E作EI⊥AD于點I，過點F作FG⊥AD于點G，過點F作FH⊥BC于點H，ADEF相交于點O．∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD時取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD時取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴結(jié)論④錯誤．∵△EDA≌△FDC，∴．∴結(jié)論③