【數(shù)列12】數(shù)列微專題

第1頁(yè)共103頁(yè)數(shù)列微專題1通項(xiàng) 21.1減項(xiàng)作差求通項(xiàng) 21.2遞推求通項(xiàng) 72性質(zhì) 93構(gòu)造數(shù)列 133.1構(gòu)造等比數(shù)列 133.2構(gòu)造差數(shù)列 193.3取倒類等差 233.4構(gòu)造對(duì)數(shù) 314求和 334.1錯(cuò)位相減 334.2裂項(xiàng)相消 374.3指數(shù)裂項(xiàng) 394.4奇偶并項(xiàng) 405單調(diào)性 486周期性 537不動(dòng)點(diǎn) 578放縮 619公式應(yīng)用 6410與三角結(jié)合 7211與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合 7712綜合題 88第2頁(yè)共103頁(yè)1通項(xiàng)1.1減項(xiàng)作差求通項(xiàng)答案：112.設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn=4an-3n+2，求an及Snnn13nn13②-①得：a+1+2an+1-a-2an=4Sn+1-4Sn=4an+1不a+1-a-2an+1-2an=0第3頁(yè)共103頁(yè)nnn33兩式做差有Sn-Sn-1=an-an-1不an-1=an不n=n-13333an-n-11a123...n-12n21n(1)求S；nn(2)求a.n1解析：an+1=SnSn+1不Sn+1-Sn=SnSn+1不Sn+1-Sn=-1(1)1第4頁(yè)共103頁(yè)1111111111，，(1) (1)證明：數(shù)列〈卜是等差數(shù)列；lSnJ答案：(1)見(jiàn)解析(2)an=1一1nnnnn一1nn一1nnn一1nn一1nnn一1nn一1nnn一1nn一1nnnnn2n一1第5頁(yè)共103頁(yè)nnnn-1n-1,l3nJnn-1解析：22332233(2)由上面可得an=-(4n+2).3n第6頁(yè)共103頁(yè)n2n10.(浙江學(xué)考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S=3a-nn?n2nA.{an+1}B.{an-1}C.{Sn+1}D.{Sn-1}答案：A3333n2nn2nnn2n2n解析：S=a-nTS-1=a-1-n3333n2nn2nnn2n2nan=3an-1+2?an+1=3(an-1+1)所以{an+1}是等比數(shù)列123n123n____________.實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________.解析：第7頁(yè)共103頁(yè)aa1a1aa1a12n2n22416224161.2遞推求通項(xiàng)nn 第8頁(yè)共103頁(yè)3320153320153320153nnnnnnnnnn123...na根a根a根123...n882232015882320152答案：B.解析：第9頁(yè)共103頁(yè)888 a〉3，8答案：C.a2性質(zhì)第10頁(yè)共103頁(yè)()A.-2007B.-2008C.2007D.2008答案：B點(diǎn)評(píng)：本題是經(jīng)典考題，利用的等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，倒推回去的A7n+1解析：本題與上題進(jìn)行區(qū)分，通項(xiàng)的性質(zhì)利用失敗，所以回到形式上，可以把n=n解析：本題與上題進(jìn)行區(qū)分，通項(xiàng)的性質(zhì)利用失敗，所以回到形式上，可以把n=n2\2)2\2)第11頁(yè)共103頁(yè)的值為()A.8B.9C.10D.11答案：D解析：因?yàn)閍10，所以a110,a120，從而S11最大得最大值A(chǔ)B.一1C.2D.0.5答案：ACD答案：B33A.B.C.D.答案：A第12頁(yè)共103頁(yè)S5,S10一S5，S15一S10成等比數(shù)列，令2224A．45B．-35C．55D．-55答案：D8229.等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn9.等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，且S25>0,S26<0，則數(shù)列1,2,3,...,25的最大項(xiàng)是第aaaa1212325A.1項(xiàng)B.25項(xiàng)C.24項(xiàng)D.13項(xiàng)答案：Daa第13頁(yè)共103頁(yè)答案：C.解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的公比為p，則數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，公差為lgq，{lgbn}是等差數(shù)列，公差為lgp．n2n2n2n2故選：C．為Sn，若存在正整數(shù)n0，對(duì)任意正整數(shù)m，有Sn.Sn+m<0恒成立，則下列結(jié)論不一定成立的是()A.a1d<0B.Sn有最小值C.anan+1>0D.an+1an+2>0答案：C.解析：因?yàn)槿我庹麛?shù)m，有Sn.Sn+m<0恒成立，n點(diǎn)評(píng)：此題主要考察等差數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列的前項(xiàng)n和及其最值問(wèn)題.3構(gòu)造數(shù)列3.1構(gòu)造等比數(shù)列中有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________.第14頁(yè)共103頁(yè)lly-x=-1ly=2224162241622xx(222A.15B.17C.29D.31答案：A.第15頁(yè)共103頁(yè)11 x11 x2解析二：設(shè)D為BC邊上的靠近點(diǎn)C三等分點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)評(píng)：此題主要考察向量的加減運(yùn)算、向量基本定理，奔馳定理及運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式.A.46B.30C.242D.161第16頁(yè)共103頁(yè)答案：D．解析：3所以EA=一mEB+mED，所以EA=一mEB+mED，n3n3nCD答案：C.第17頁(yè)共103頁(yè)\x1)\x1)\x1)\x1)\x1)\x1)解析二：(模型法)由已知可構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>1)，點(diǎn)評(píng)：此題主要考察待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列單調(diào)性.AB．C．5D．6答案：C解析：第18頁(yè)共103頁(yè)故xnx1x1()n1，整理得xnx1()n1x1，也即n5x1也即n5x1(3)n15x13n，整理得 故答案選C.xn1()n15nanbnan1anbn，bn1anbn．設(shè)c2n11，則數(shù)列cnnanbn的前n項(xiàng)和為．a(chǎn)nbnanbnab2，所以anbn2n；anbnanbn)2(ab)2anbn，a1b11，所以cn2n2n2n2n1第19頁(yè)共103頁(yè)n4n48.(2019屆浙江名校聯(lián)盟第二次聯(lián)考17)若b1=2,b=tb-1+3(n=N*且n>2,t=n4n4bn共2對(duì)任意n=N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．442424224481648164223.2構(gòu)造差數(shù)列(當(dāng)數(shù)列中an較多，或者出現(xiàn)kan時(shí)，可嘗試構(gòu)造關(guān)于an的差數(shù)列)第20頁(yè)共103頁(yè)lb1lb1ann()an<2bnBan<2bnB.只有有限個(gè)正整數(shù)n使得A.只有有限個(gè)正整數(shù)n使得nn答案：D.n+2n+1nb-2b-n+2n+1n(此種形式多用于出現(xiàn)三項(xiàng)遞推的時(shí)候，斐波那契數(shù)列公式的推導(dǎo)也是這樣)|lb=-2|lb=-2-1 取 b=421+2-42(1-2)，所以所以nnnn第21頁(yè)共103頁(yè)|lbnJ||lbnJ|解析二：(利用選項(xiàng)直接構(gòu)造) a-2a-2bnn a>2b，當(dāng)奇數(shù)時(shí)，a>2b，當(dāng)奇數(shù)時(shí)，nnn-1n-1點(diǎn)評(píng)：此題主要考察數(shù)列求和、待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列單調(diào)性.通項(xiàng)公式為.n3能繼續(xù)求通項(xiàng)，所以采取逐差)anananan)=2(an+1-an)an-an-1=(4n-5)第22頁(yè)共103頁(yè)用累加法求得a=2n2+3n+1.n3Na=na=nn第23頁(yè)共103頁(yè)na=na=nn點(diǎn)評(píng)：也可分奇偶討論A.5.5B.6C.6.3D.6.5答案：B點(diǎn)評(píng)：此題裂項(xiàng)不是很好想，要慢慢積累經(jīng)驗(yàn)，觀察形式3.3取倒類等差pq恒成立，則s的取值范圍是____________.第24頁(yè)共103頁(yè)pq411211112-xb-1b-1b-1x=解得2-xb-1b-1b-1n+1n1點(diǎn)評(píng)：計(jì)算通項(xiàng)的時(shí)候也可用數(shù)學(xué)歸納法 12na-1a-112n3n+13答案：-2n-22解析：ED=EB+EC解析：ED=EB+ECn3n3n第25頁(yè)共103頁(yè)3 n+1nn+1nn 111(11)2111aa(11)(11)(11)111(11)(11)(11)111\a1a2)\a2a3)\anan+1)a1an+1an+1第26頁(yè)共103頁(yè)1答案：1．即=n=一，由即=n=一，由=n，可以求得nn+1nn+1nn+1nn+1nn+1nn+1111aaa1Qn=12n23n+1n+112n1223nn+1n+1n1+a1+12n1223nn+1n+1nnnn+1故答案為：1AA12n12na12n12n2019201920192019BDA201920192019201922答案：Caanan+1一1第27頁(yè)共103頁(yè)12n23n+1n+1n+12020aaaaa12n23n+1n+1n+12020aa一1332aa一133220202020故答案選C.n+1n+1nn+1n+1n\a1\a1a2)\a2a3)\a3a4)\a2018a2019)91點(diǎn)評(píng)：取倒數(shù)合理變形，累加化簡(jiǎn)，將bn的前2019項(xiàng)和表示為a2019的函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求出a2019的取值范圍，可得bn的前2019項(xiàng)和的取值范圍，從而得到k的值.第28頁(yè)共103頁(yè)()答案：Bnnnnn+1nnnnn+1aa2aaa2aaaa aa2aaa2aaaa，2aaaa2aa2aa2aaaa2aa2aa12201720182017201820172018所以1<1<2，所以則1的整數(shù)部分是1．故選B．i=2ai一1ai+1i=2ai一1ai+1122017122017分是____________.nnn+1201712018nnn+1201712018 122017a1220179.已知數(shù)列{an}中a1=2,an+1=(n?N*),則=______.n24第29頁(yè)共103頁(yè)-=2(-) 1-1=2(1-1)212aa21累加得：-=2(-)+(-)+…(-)=2(1-)=2-；;n1naan2n1a2n2a2n2nk=1aka1a2an+(5k=1aka1a2an+(52-2)+…+(5n-2)222222=n2+n4n2+nn2+n412n12n為().CD答案：C.第30頁(yè)共103頁(yè)111111兩邊取倒數(shù)，有-=，累加得：S111111an-1an+1-1anna1-1an+1-1an+1-1.121S1=a1=3，整數(shù)部分為0；S2=3-a3-1，整數(shù)部分為1；S2；而Sn<3，：[Sn]的所有可能取值構(gòu)成的集合為懇0,1,2}．a(chǎn)n()答案：Baaaaaaaan+1nnn-1 1-1=2，所以數(shù)列{1-1}是首相為2，公比為2的等比數(shù)列，即1-1=2n，所21n+1nn+21n+1nn+1nnnn-1n-1n-2nnn-1n-1n-2211a=1．故選B．n2n-111∴-=3n+1nn+1n(1)∴數(shù)列〈卜是等差數(shù)列，公差為3，lanJ第31頁(yè)共103頁(yè)∴∴7a1<08a1>0laJ na na(11)n2n+1-12n-1 -=1n+1nn+1n3.4構(gòu)造對(duì)數(shù)NnN第32頁(yè)共103頁(yè)12na12n答案：Dnn點(diǎn)評(píng)：本題考查如何由數(shù)列得S求數(shù)列通項(xiàng)a即等比數(shù)列前nnn是______.4.n2n256n2n256第33頁(yè)共103頁(yè)aa\a7)\a1)BCD答案：Da=897一2.4求和4.1錯(cuò)位相減和為()1616答案：DlanJn16第34頁(yè)共103頁(yè)S=Sn.答案：S=13+(6n-13).3n.n4解析：由條件：令bn=an+1-3an，則b1=a2-3a1=9，bn+1=3bn.故{bn}為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn=3n+1.即an+1-3an=3n+1，左右同除3n+1得：-=1.故為等差數(shù)列Snaaan①Snaa+3an；②①-②得：-2Sn=-2+(32+33+...+3n)-(n-).3n+1=-2+-?n-÷.3n+1即：Sn=13+(6n-13).3n4點(diǎn)評(píng)：二階線性遞推關(guān)系的分式型結(jié)構(gòu)，根據(jù)條件，可以構(gòu)造出輔助數(shù)列{bn}，進(jìn)而{an}，再利用錯(cuò)位相減即可求得目標(biāo).3.已知數(shù)列an}是各項(xiàng)均為正數(shù)得等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)An，Bn均在函數(shù)f(x)=log2x的圖像上，An的橫坐標(biāo)為an，Bn的橫坐標(biāo)為Sn+1.直線AnBn的斜率為kn，第35頁(yè)共103頁(yè)(log(S+1)loga(log(S+1)loga點(diǎn)評(píng)：一般遇到差比數(shù)列與等差數(shù)列的積時(shí)，用錯(cuò)位相減法。4.已知f(n)為平面區(qū)域In:-00nx+3n(x,yR,nN*)內(nèi)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，記an=2nf(n)，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若"n?N*，￡c恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是___.答案：c3.解析：因?yàn)镮n:-00nx+3n(x,yR,nN*)中，y￡-n(x-3).可行域中有點(diǎn)，則0<x<3.故f(n)=3n，an=3n×2n，利用錯(cuò)位相減解得：Sn=6(n×2n-2n+1)令g(n)=，則g(n+1)-g(n)=-=，考慮到當(dāng)n￡3時(shí)，g(n+1)-g(n)>0當(dāng)n34時(shí)，g(n+1)-g(n)<0第36頁(yè)共103頁(yè)故g(n)max=g(4)=，故c3.點(diǎn)評(píng)：本題以線性規(guī)劃整點(diǎn)為模板，形成數(shù)列，利用錯(cuò)位相減求和后，利用新數(shù)列的單調(diào)性研究最值問(wèn)題，整個(gè)題目流程多，易錯(cuò)，對(duì)學(xué)生要求很高。nnTnnnN恒成立，則實(shí)數(shù)入的取值范圍是.入<2_恒成立n22nS.33+...n2.3n+1n2第37頁(yè)共103頁(yè)4.2裂項(xiàng)相消123201720182019a123201720182019D答案：B第38頁(yè)共103頁(yè)解析：nx11x(1)「11]「11]數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值為()答案：Danananan(15-2n)(13-2n)=213anananan(15-2n)(13-2n)=213-2n-15-2n，所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值為21113911793213132111391179321313第39頁(yè)共103頁(yè)為.為恒成立.6.(2019屆溫州8月模擬10)已知數(shù)列懇an}中各項(xiàng)都小于1，2nnnn2nnnn答案：B.解析：裂項(xiàng)放縮.nanan+1-22-an+12-1nnn2又an+1=an-1=1-an<anan+1-22-an+12-1nnn22anSaaaaaaaa÷+22\24)2\24)4.3指數(shù)裂項(xiàng)第40頁(yè)共103頁(yè)12n.12n.11 14.4奇偶并項(xiàng)值的序號(hào)為()mA．①②③B．②③④C．①②④D．①③④答案：D．解析：bnmmmN,…2m一1依次為該數(shù)中前連續(xù)的m項(xiàng)，所以分?jǐn)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)討論，所以①正確；第41頁(yè)共103頁(yè)2,n為奇數(shù).所以④正確；若數(shù)列含奇數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為009009所以③正確，n2+4n,n為偶數(shù)；n?n2+4nn?n2+4n-1解析：數(shù)列{an}滿足an+1-an=1,所以{an}為公差為1的等差數(shù)列；2n2n令{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第42頁(yè)共103頁(yè)=′3當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=1+′=1+′323n-1=2nS=n(n+1)+3n=n2+4n；n222nSnnn-1=n2+4n-1.n222則S100=________________.解析：答案：105第43頁(yè)共103頁(yè)解析：列舉法解析：即從第一項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于1，從第二項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以為5首項(xiàng)，以8為公差的等差數(shù)列，所以S60的前項(xiàng)和為：2答案：C.第44頁(yè)共103頁(yè)2所以C選項(xiàng)是正確的.答案：8n634123123n634123123第45頁(yè)共103頁(yè)答案：D．nnn=N+，an<an+1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_____________4444第46頁(yè)共103頁(yè)解析：n2k2k-12k2k-1對(duì)任意n=N+，an<an+1恒成立，則a的取值范圍是()第47頁(yè)共103頁(yè)答案：A．，：答案：10解析：方法一：方法二：|=2(|=2484848484848第48頁(yè)共103頁(yè)5單調(diào)性nVnN為得an+2_an=入n+2n,lnJlnJn22n22n2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n22n22n2第49頁(yè)共103頁(yè)________?a1=>0??a1=>0?a1=<0點(diǎn)評(píng)：含參數(shù)列的單調(diào)性，首先根據(jù)前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系，求得首項(xiàng)和遞推關(guān)系.再根據(jù)等比數(shù)列單調(diào)性的推論求解即可.n22n22答案：B第50頁(yè)共103頁(yè)是.是c答案：C第51頁(yè)共103頁(yè)答案：A(1)此時(shí)是不行的，交點(diǎn)為t一1,拋物線中點(diǎn)橫坐標(biāo)為所以應(yīng)該有它的反面，即(2)這時(shí)候也是可以的，所以有>t一1不t三2第52頁(yè)共103頁(yè)A.4B．6C．7D．8答案：B.當(dāng)a1=2時(shí)，aa=a2=3,aa=a3=5,aa=a5=7.因?yàn)閍3<a4<a5，且a4?N+，所以a4=6.故選B.實(shí)數(shù)c的取值范圍是_________．解析： 第53頁(yè)共103頁(yè)AaaB.a1,a44C.a45,a44D.a45,a50.答案：C n6周期性答案：2aAB．5C．7D．8答案：B第54頁(yè)共103頁(yè)答案：27．22a22322a322 2a2…故答案為：27．該數(shù)列的前2019項(xiàng)的和是()A.671B.672C.1342、D.1346答案：D即此時(shí)該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，矛盾，舍去．第55頁(yè)共103頁(yè)時(shí)，該數(shù)列的前2015項(xiàng)的和是()A.671B.672C.1342D.1344答案：D解析：決定。下面對(duì)周期進(jìn)行討論：列的周期為3③當(dāng)數(shù)列的周期為3時(shí)，由每相鄰的三項(xiàng)之間的關(guān)系xn+1=xn-xn-1知，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，D的前n項(xiàng)和為.第56頁(yè)共103頁(yè)解析：nnan 兩式相減可得：第57頁(yè)共103頁(yè)7不動(dòng)點(diǎn)f(x)的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.2nB.2n2C.2(2n-1)D.2n答案：Dxx的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2n個(gè)。數(shù)m的取值范圍是第58頁(yè)共103頁(yè)anananananan和an4同號(hào)，所以a14和an4同號(hào)，所以an40，滿足條件；若m2，則4432m0，得遞推數(shù)列無(wú)不動(dòng)nanm。下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()答案：D解析：令f(x)xsinx，則f(x)1cosx0，所以f(x)在R為增函數(shù)，所以A像(蛛網(wǎng)圖)判斷，如下：nnnn點(diǎn)評(píng)：本題A，B容易判斷，C，D我們還可以這樣推理，若D正確則C一定也正確，故D26不正確.本題為選擇題我們還可以這樣操作，a21sin11.8，所以a25，所以2612a3a2sina2a2sina22，故選D.124.(2019年紹興3月模擬10)已知數(shù)列an滿足a1,an1fan,nN*,S100是數(shù)列an第59頁(yè)共103頁(yè)的前100項(xiàng)和，且S100100，則fx不可能是()A.fxx2B.fxx2C.fxexx1D.fxlnxx1答案：D.解析一：若fxx2，則an1an2an，所以S100100a150，所以排除A；fxx2，則an1an，所以S10050，所以排除B；且fe20，所以an1an，所以S100100a150，所以排除C；22222222eaa1，所以a7a16a2a1，即a72，所以S100S6a7a8…a100S6942100，D解析二：若fxx2，則an1an2an，所以S100100a150，所以排除A；fxx2，則an1an，所以S10050，所以排除B；若fxexx1，f'xex1，當(dāng)x0時(shí)，f'xex10，所以fxexx1在0,上增函數(shù)，又f''xex0，所以fxexx1是下凸函數(shù)，令fxx，設(shè)x0是方程exx1x的根，則x01x1，如圖知：a100a99…a2a1，S10050.D點(diǎn)評(píng)：此題數(shù)列遞推公式、數(shù)列單調(diào)性、不動(dòng)點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合等知識(shí).第60頁(yè)共103頁(yè)5.(2019溫州2月模擬10)設(shè)數(shù)列懇xn}滿足0<x1<x2<"，且答案：A第61頁(yè)共103頁(yè)8放縮所在的區(qū)間為().答案：A. 1(1)21naa 1(1)212.(2019屆衢州二中第二次模擬10)已知f(x)=，點(diǎn)22221+22+…22221+22+…+2n<t-2t-2成立，則正數(shù)t的最小值為()12nBCD答案：A解析：22sin9sinsin9sin9sin91n2n+1n2n+1第62頁(yè)共103頁(yè)A和為Sn，且Sn<m對(duì)任意正整數(shù)n均成立，則正整數(shù)m的最小值為()D答案：A．解析：nN使an>1的正整數(shù)n的最小值是().解析：方法一：采用裂項(xiàng)相消求和12018111111n12n一11aaa+2018a+1n12n一11第63頁(yè)共103頁(yè) =1120201220192019aaa+2018a+2018a+201812020122019201911111111n11111111n1n+11