預(yù)習(xí)12復(fù)數(shù)的三角表示（五大考點(diǎn)）（原卷版）

預(yù)習(xí)12復(fù)數(shù)的三角表示一、復(fù)數(shù)的三角形式一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中,是復(fù)數(shù)的模;是以軸的非負(fù)半軸為始邊,向量所在射線(射線)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角.規(guī)定,滿足條件的輻角叫做輻角的主值,通常記為,即叫做復(fù)數(shù)的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來,叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.二、復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法運(yùn)算法則及其幾何意義1.運(yùn)算法則.設(shè)的三角形式分別是).復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘方復(fù)數(shù)的除法2.幾何意義.復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為.（1）復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí),如圖,把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果,就要把繞點(diǎn)0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角),再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?得到向量表示的復(fù)數(shù)就是積.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.（2）復(fù)數(shù)除法的幾何意義.兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí),如圖,把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(如果,就要把繞點(diǎn)0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角),再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?得到向量表示的復(fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.考點(diǎn)01復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟：（1）先求復(fù)數(shù)的模；（2）決定輻角所在的象限；（3）根據(jù)象限求出輻角；（4）寫出復(fù)數(shù)的三角形式.【例1】復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【例2】把下列復(fù)數(shù)化為三角形式．(1)5(2)；(3)；(4)．【變式11】復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【變式12】如果，那么復(fù)數(shù)的三角形式是（）A．B．C．D．【變式13】把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)；(2)i．考點(diǎn)02復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式【方法點(diǎn)撥】（1）類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí),注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號連；（2）由三角形式表示成代數(shù)形式,直接求出角的三角函數(shù)值,化簡即可.【例3】將復(fù)數(shù)z＝化為代數(shù)形式為．【例4】設(shè)復(fù)數(shù)，那么的共軛復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是．【變式21】復(fù)數(shù)10表示成代數(shù)形式為．【變式22】將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式為【變式23】把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)；(2)．考點(diǎn)03求輻角主值【方法點(diǎn)撥】注意：輻角主值的范圍：【例5】（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值（

）A． B． C． D．【例6】（1988·全國·高考真題）求復(fù)數(shù)的模和輻角的主值．【答案】2；.【分析】把復(fù)數(shù)化成三角形式，利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的定義直接求解作答.【詳解】依題意，，所以復(fù)數(shù)的模為2，輻角的主值為.【變式31】已知復(fù)數(shù)，則是（

）A． B． C． D．【變式32】求復(fù)數(shù)的輻角的主值為.【變式33】寫出下列復(fù)數(shù)的輻角的主值(1)4(2)(3)(4)考點(diǎn)04復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則：（1）乘法法則:模相乘,輻角相加；（2）除法法則:模相除,輻角相減；（3）復(fù)數(shù)的次冪:模的次冪,輻角的倍.【例7】棣莫弗公式（為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，已知復(fù)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【例8】計(jì)算：(1)；(2).【變式41】任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i【變式42】根據(jù)乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義計(jì)算：(1)；(2)．【變式43】計(jì)算下列各式，并把結(jié)果化成代數(shù)形式：(1)，(2)．考點(diǎn)05復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算的幾何意義【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算的幾何意義:設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為.（1）把向量繞點(diǎn)0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角,得到向量表示的復(fù)數(shù)就是積；（2）把向量繞點(diǎn)0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角,得到向量表示的復(fù)數(shù)就是商.【例9】（多選）把復(fù)數(shù)與對應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知，則復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和它的輻角分別是（

）A． B．C． D．【例10】在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（用代數(shù)形式表示）．【變式51】（多選）已知復(fù)數(shù)，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，下列說法中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的三角形式為B．在復(fù)平面內(nèi)將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)C．在復(fù)平面內(nèi)將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則D．【變式52】將復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.【變式53】把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.一、單選題1．若，則（

）A．1 B． C．i D．2．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，），是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．3．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，則的虛部是（

）A． B． C． D．4．計(jì)算的值是（

）A． B．C． D．5．（

）A． B．C． D．6．已知復(fù)數(shù)，則（

）．A． B． C． D．二、多選題7．已知為虛數(shù)單位，，則下列選項(xiàng)不是的三角形式的有（

）A． B．C． D．8．如果非零復(fù)數(shù)z有一個(gè)輻角為，那么下列對z判斷錯(cuò)誤的是（

）A．輻角唯一 B．輻角主值唯一C．輻角主值為 D．輻角主值為9．下列說法中，正確的有（

）A．復(fù)數(shù)，滿足B．已知復(fù)數(shù)，，“，的虛部相等”是“”的必要條件C．“為鈍角”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”的充要條件D．若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一根，則該方程的另一根是三、填空題10．設(shè)復(fù)數(shù)，則得一個(gè)輻角是.11．若（為虛數(shù)單位），則是的條件．12．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是.(用代數(shù)形式表示).四、解答