ch8：矩陣特征值與特征向量計算1

第八章矩陣特征值和特征向量計算

/*CalculationofEigenvalueandEigenvectorofMatrix*/

特征值與特征向量Ax=

x(

C,

x

0)

性質(zhì)(1)tr(A)=

a11+a22++ann=

1+2++n(2)det(A)=

1

2

n(3)假設(shè)B=P-1AP那么A與B具有相同的特征值；x是B的特征向量

Px是A的特征向量.圓盤定理設(shè)可是A的特征值，那么蓋爾(Gerschgorin)圓盤定理(i=1,2,...,n)即

一定包含在復(fù)平面上以

aii

為圓心，為半徑的某個圓中。瑞勒商(RayleighQuotient)定理設(shè)

A是

n

階實(shí)對稱矩陣，其特征值為那么有其中

稱為關(guān)于

x的

Rayleigh商。乘冪法和反冪法

乘冪法：計算實(shí)矩陣按模最大

的特征值假設(shè)：(1)|

1|>|

2|…|

n|0(2)

對應(yīng)的

n個線性無關(guān)特征向量為：x1,x2,...,xn。計算過程：任取一個非零向量v，要求滿足(x1,v)

0計算v1=Av0,v2=Av1,...,vk+1=Avk,...，直到收斂。

收斂分析當(dāng)k

充分大時，有又(j=1,2,...,n)vk為

1

的近似特征向量乘冪法的收斂速度取決于的大小。

算法(乘冪法)任取非零向量v0，計算1.vk+1=Avk2.對vk中所有非零分量(vk)j，判斷是否近似于某個常數(shù)，如果是，則停機(jī)；否則轉(zhuǎn)第1步。求矩陣按模最大的特征值。要求自己編寫Matlab程序,進(jìn)行計算并給出結(jié)果.乘冪法中存在的問題：改進(jìn)：標(biāo)準(zhǔn)化表示絕對值最大的分量練習(xí)題改進(jìn)的乘冪法算法任取非零向量v03.計算Pk+1，假設(shè)|Pk+1-Pk|，那么輸出Pk+1并停機(jī)；否那么令k=k+1，轉(zhuǎn)第2步。改進(jìn)的乘冪法1.求出vk中按模最大的分量，設(shè)為Pk2.計算例：用改進(jìn)的乘冪法求按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。要求自己編寫Matlab程序,進(jìn)行計算并給出結(jié)果.乘冪法的加速乘冪法的收斂速度取決于的大小。

原點(diǎn)平移法當(dāng)r接近于1時，乘冪法收斂可能會很慢！如何加速？設(shè)B=A–pI，那么B的特征值為：i-p選擇適當(dāng)?shù)膒滿足：(1)(j=2,...,n)(2)用乘冪法求出矩陣B的按模最大的特征值：

1

-

pRayleigh商加速設(shè)

A是

n

階實(shí)對稱矩陣，其特征值為對應(yīng)的特征向量

x1,x2,...,xn

滿足：，使用改進(jìn)的乘冪法計算A的按模最大特征值1時，uk的Rayleigh商給出了1的較好的近似，即證：定理反冪法

設(shè)A是n階非奇異矩陣，其特征值為對應(yīng)的特征向量為

x1,x2,...,xn；

反冪法適應(yīng)范圍：計算實(shí)矩陣按模最小

的特征值則

A-1

的特征值為：對應(yīng)的特征向量仍然為

x1,x2,...,xn。計算A的按模最小特征值

計算A-1的按模最大特征值

反冪法：對A-1利用乘冪法，計算

A的按模最小特征值

A可對角化反冪法算法任取非零向量v0，令k=03.計算Qk+1，假設(shè)|Qk+1-Qk|，那么輸出Qk+1并停機(jī)；否那么令k=k+1，轉(zhuǎn)第2步。反冪法1.求出vk中按模最大的分量，設(shè)為Qk

2.計算注：(1)可通過解方程組

Avk+1=

uk來計算

vk+1=

A-1uk

(2)比值越小，反冪法的收斂速度越快。結(jié)合原點(diǎn)平移的反冪法原點(diǎn)平移：設(shè)B=A–pI，那么B的特征值為：i-p設(shè)p是

i

的一個近似(p

i

但

p

i

)，且滿足：(j=1,...,n,j

i)那么可用反冪法求出矩陣A的特征值i及其特征向量。注：對于給定的p，原點(diǎn)平移反冪法得到的是最靠近p的特征值及其特征向量。例：用反冪法計算的最靠近p=-13的特征值和相應(yīng)的特征向量。Jacobi方法

古典Jacobi方法改進(jìn)的Jacobi方法Jacobi方法評述