（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.12 函數(shù)模型及其應(yīng)用（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題2.12函數(shù)模型及其應(yīng)用【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)模型及其應(yīng)用

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對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.【直擊考點】題組一常識題1．[教材改編]函數(shù)模型：①y＝1.002x，②y＝0.25x，③y＝log2x＋1.隨著x的增大，增長速度的大小關(guān)系是____________．【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度關(guān)系可得．①>②>③2．[教材改編]某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量的關(guān)系滿足一次函數(shù)，已知銷售量為1000件時，收入為3000元，銷售量為2000件時，收入為5000元，則營銷人員沒有銷售量時的收入是________元．【解析】設(shè)收入y與銷售量x的關(guān)系為y＝kx＋b，則有3000＝1000k＋b，5000＝2000k＋b，解得k＝2，b＝1000，所以y＝2x＋1000，故沒有銷售量時的收入y＝2×0＋1000＝1000.3．[教材改編]某家具的標(biāo)價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進(jìn)貨價)，則該家具的進(jìn)貨價是________元．【解析】設(shè)進(jìn)貨價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.題組二常錯題4．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元．若普通車存車量為x輛次，存車費總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________．【解析】y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000，x∈N)，這里不能忽略x的取值范圍，否則函數(shù)解析式失去意義．5．等腰三角形的周長為20，腰長為x，則其底邊長y＝f(x)＝________________．題組三?？碱}6．某市職工收入連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為a，第二年的增長率為b，則該市這兩年職工收入的年平均增長率為______________．【解析】設(shè)年平均增長率為x，則有(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(（1＋a）（1＋b）)－1.7．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是240小時，在22℃的保鮮時間是60小時，則該食品在【解析】由題意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(240＝eb，,60＝e22k＋b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(240＝eb，,2－1＝e11k，))于是當(dāng)x＝11時，y＝e11k＋b＝e11k·eb＝2－1×240＝120.8．要制作一個容積為16m3，高為【解析】設(shè)長方體底面邊長分別為x，y，則y＝eq\f(16,x)，所以容器的總造價為z＝2(x＋y)×10＋20xy＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋20×16，由基本不等式得，z＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋20×16≥40eq\r(x·\f(16,x))＋320＝480，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4，即底面是邊長為4的正方形時，總造價最低．【知識清單】1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)2．三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x值增大，圖像與y軸接近平行隨x值增大，圖像與x軸接近平行隨n值變化而不同【考點深度剖析】解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”，即①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；②建模：把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的意義．【重點難點突破】考點1一次函數(shù)與二次函數(shù)模型某電信公司推出兩種手機(jī)收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘)與電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差_________元．【答案】10【解析】依題意可設(shè)sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m即兩種方式電話費相差10元．【1-2】將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元出售時，能賣出400個．若該商品每個漲價1元，其銷售量就減少20個，為了賺取最大的利潤，售價應(yīng)定為每個_________元．【答案】95【思想方法】(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；(2)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題．【溫馨提醒】1．易忽視實際問題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域．2．注意問題反饋．在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性．考點2分段函數(shù)模型【2-1】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式．(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時)．【答案】(1)v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(200－x,3)，20<x≤200.))(2)當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值．【解析】(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60；【2-2】某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完．公司對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系．(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關(guān)系；(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6300萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由．【答案】(1)f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t≤30，,－6t＋240，30<t≤40.))g(t)＝－eq\f(3,20)t2＋6t(0≤t≤40)．(2)上市后的第30天．【思想方法】(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．【溫馨提醒】構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理、不重不漏．考點3指數(shù)函數(shù)模型【3-1】一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？【答案】(1)x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))(2)5．(3)15.【3-2】某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，判定該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用).【答案】略有虧損【解析】設(shè)該股民購這支股票的價格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這支股票略有虧損．【思想方法】(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【溫馨提醒】解指數(shù)不等式時，一定要化為同底，且注意對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性．【易錯試題常警惕】 數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題，一定要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；合理確定實際問題中自變量的取值范圍；必須驗證答案對實際問題的合理性．如