數(shù)值分析實驗五-非線性方程的求根1

數(shù)值分析實驗五非線性方程的求根組號班級學(xué)號姓名分?jǐn)?shù)一：實驗?zāi)康恼莆沼枚址ń夥蔷€性方程的方法。掌握用迭代法解非線性方程的方法。掌握用牛頓法解非線性方程的方法。學(xué)會運用Matlab語言解決提供的函數(shù)求解實際問題。二：實驗內(nèi)容所需的根本知識二分法的原理：設(shè)在上連續(xù)，且。那么為方程區(qū)間〔設(shè)只有唯一根〕。取中點，檢查與是否同號，假設(shè)同號，說明根與之間，此時；假設(shè)異號，說明根在與之間，此時，得新區(qū)間為原區(qū)間的一半。對進行上述過程，取中點，檢查與是否同號，如此反復(fù)二分下去，即可得出一系列有根區(qū)間……，其中每個區(qū)間都是前一個區(qū)間的一半，因此的長度，當(dāng)時趨于零，就是說，如果二分過程無限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收縮于一點，該點顯然就是所求的根。迭代法原理：首先給定一個粗糙的初始值，然而用一個迭代公式反復(fù)校正這個初值，將已有近似根逐步精確化，一直到滿足精度要求為止。具體地，把方程改寫成的等價表達(dá)式，假設(shè)，稱為的一個不動點，求的零點就等價于求的不動點。任取一點代入求得又將代入求得如此反復(fù)迭代下去一般地k=0,1,2,………稱為迭代函數(shù)，稱為迭代公式。假設(shè)迭代序列有極限，即，那么稱迭代方程，k=0,1,2，…收斂，這時顯然是的不動點。牛頓(Newton)法：將非線性方程逐步轉(zhuǎn)化為某種線性方程求解。的一個近似根，那么函數(shù)在點附近可以用一階泰勒公式來近似，，假設(shè)，解得，將此根記為原方程的近似根，然后按上式迭代計算，使形成一種新的迭代公式：三：實驗問題、方法及步驟1、用二分法解方程在區(qū)間[1.0,1.5]上的一個根。解先按照二分法的根本原理編寫二分發(fā)的MATLAB程序〔程序命名為：HalfInterval.m〕，編程如下：functionroot=HalfInterval(f,a,b,eps)if(nargin==3)endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('兩端點函數(shù)值乘積大于0！');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps);endfunctionr=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2);if(f_1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps);elseif(f_1*mf==0)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a<=eps))r=(b-3*a)/4;elses=(a+b)/2;r=FindRoots(f,a,s,eps);endendend首先在MATLAB命令窗口中輸入fplot('x^3-3*x+1',[0,1]),grid回車，可得圖形由圖形可以看到，曲線與x軸有交點，也就是說有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。在MATLAB命令窗口中輸入root=HalfInterval('x^3-x-1',1.0,1.5)輸出結(jié)果為root=根據(jù)輸出結(jié)果可得：方程在區(qū)間[0,1]上的一個根為。2、用迭代法求方程的一個近似值，給定初始值，誤差界為。解按照迭代法的根本原理編寫迭代法的MALAB程序〔函數(shù)名為：fixpt.m〕編程如下：function[p0,k,err,p]=fixpt(g,p0,to1,max1)%g是給定的迭代函數(shù)%p0是給定的初始值%max1是所允許的最大迭代次數(shù)%k是所進行的迭代次數(shù)加1%p是不動點的近似值%err是誤差%p(p1,p2,…,pn)P(1)=p0;fork=2:max1P(k)=feval('g',P(k-1));k,err=abs(P(k)-P(k-1))p=P(k);if(err<tol),break;endifk==max1disp('maximumnumberofiterationexceeded');end首先在MATLAB命令窗口輸入fplot('[sin(x)-x^2,0]',[-5,5]);grid回車，可得圖形有圖形可知函數(shù)與軸有交點，也就是說有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。函數(shù)。functiony=g(x);y=sin(x)/x;然后再MATLAB的命令窗口輸入：fixpt('g',0.5,10^(-5),20)結(jié)果為：k=2err=k=3err=k=4err=k=5err=k=6err=k=7err=k=8err=k=9err=k=10err=k=11err=P=ans=結(jié)果中列出了最后兩次迭代產(chǎn)生的和。因為。所以。3、用牛頓法求方程的近似值，給定一個初始值，誤差界為。解按照Newton法的根本原理編寫Newton法德MATLAB程序〔函數(shù)名為Newton.m〕編程如下：function[p1,err,k,y,]=newton(f,df,p0,delta,max1)%f是非線性函數(shù)%df是f的微商%p0是初始值%delta是給定允許誤差%max1是迭代的最大次數(shù)%p1是牛頓法求得的方程的近似值%err是p0的誤差估計%k是迭代的次數(shù)%y=f(p1)p0,feval('f',p0)fork=1:max1p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0);err=abs(p1-p0);p0=p1;p1,err,k,y=feval('f',p1)if(err<delta)|(y==0),break,endend首先在MATLAB命令窗口輸入fplot('[x^3-3*x+2,0]',[-2.5,2.5]);grid;回車，得到圖形有圖形可知函數(shù)與軸有交點，也就是說有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。文件定義函數(shù)。functiony=f(x);y=x^3-3*x+2;。functiony=df(x)y=3*x^2-3;然后再MATLAB的命令窗口輸入：newton('f','df',1.2,10^(-6),10)結(jié)果為：p0=ans=p1=err=k=1y=p1=err=k=2y=p1=err=k=3y=p1=err=k=4y=p1=err=k=5y=p1=err=k=6y=p1=err=k=7y=p1=err=k=8y=p1=err=k=9y=p1=err=k=10y=ans=四：計算結(jié)果的分析通過以上三種方法計算結(jié)果，我們可以看出二分法的計算精度較差，因為它只能求得一個較好的近似值；迭代法的計算精度相對很高，它是一種逐次逼近的方法，要想求得很精確的解，只要迭代足夠?qū)掖尉涂傻玫剑慌ｎD法的計算精度也是很高的，但是它必須能夠選一個很好的初值，因為牛頓法的收斂性依賴于初值的選取，假設(shè)偏離較遠(yuǎn)，那么牛頓法可能發(fā)散。五：思考與提高二分法是求解線性方程根最簡單的算法，它的優(yōu)點是算法簡單，且總是收斂的，缺點是收斂太慢，故一般不單獨將其用于求根，只用其為根求得一個較好的近似值。迭代法是一種逐次逼近法，迭代過程是個極限過程，在用迭代法進行實際計算是，必須按