2023中考數(shù)學(xué)練習(xí) 06 五大?？枷嗨颇Ｐ停▽W(xué)生版+解析版）

專題06五大?？枷嗨颇Ｐ?/p>

一、【知識(shí)回顧】

模型一：A字模型

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一線三等角模型

4.一線三等角

模型五：手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：A字模型

典例1:（2021秋?安徽安慶?九年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)校考期中）圖，AB"GH〃CD、點(diǎn)、H在BC

AC與BD交于■點(diǎn)G,AB=2,CD=3,求G”的長(zhǎng).

【變式1］（2022?廣東深圳?深圳市華勝實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在回。中，今8=弁C，C7M48于點(diǎn)F,交

團(tuán)。于點(diǎn)。，NO的延長(zhǎng)線交CZ）于點(diǎn)￡

⑴求證：AE^BCi

(2)求證：DF=EF:

-DF3?BF…

⑶右正二‘求正的值?

【變式2］（2023春?安徽六安?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一ABC中，ZC=90%AO平分NcAB交BC

于點(diǎn)￡>,A￡）的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，以長(zhǎng)為半徑作回0,交AB于點(diǎn)E.

（1）求證：BC是回。的切線；

（2）已知8E=2,AC=4.8,求回0的半徑.

【變式3］（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt..A3C中，ZACB=90o,AC=BC=6,。是AB上一點(diǎn),

點(diǎn)、E在BC上,連接8,AE交于點(diǎn)F,若NCFE=45o,BD=2AD,則CE=.

考點(diǎn)2：8字模型

ARCB

典例2：(2021秋?重慶?九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖AO與CE交于8,且器

(1)求證：ABCDBE.

(2)若AC=8,BC=6,CE=9,求OE的長(zhǎng).

【變式1】39.(2021春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))已知：如圖，在AABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC±,

DE0BC,點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA,CF與DE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：DF?AB=BC?DG;

(2)當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG.

【變式2](2023?山西太原?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒?如圖所示，在。中,兩條弦AS、CD相交于點(diǎn)E,連

接A￡＞、BC,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

AEADAEDE

A.ZA=ZCB.ZB=ZDC.~EC~~BED.~EC~BE

考點(diǎn)3：子母模型（射影定理）

典例3：（2022,遼寧營(yíng)口?一模）如圖，AB,CO是。的直徑，CM為。的切線，C為切點(diǎn)，連接8C,

過(guò)點(diǎn)。作。E_LAB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)OE交BC于點(diǎn)F,交；。于點(diǎn)G,交CM于點(diǎn)”，連接CG.

⑴求證：CH=HF；

⑵若。半徑為5,CG=2,求”E的長(zhǎng).

【變式1］（2022?陜西西安?西北大學(xué)附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，ABC是（O的內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn)C作,。的

切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,OELBC于點(diǎn)E,交8于點(diǎn)尸.

⑴求證：ZA+ZOFC=90°；

(2)若OE=2,BC=6,求線段CF的長(zhǎng).

AC

【變式2］（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtEWBC中，EL4C8=90。，點(diǎn)。在/8上,AD_

~AC~~AB

(1)求證^ACDWABC；

(2)若4。=3,BD=2,求CZ)的長(zhǎng).

考點(diǎn)4：一線三等角模型（重點(diǎn)）

典例4：（2020秋?寧夏銀川?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一副三角尺如圖①擺放，在∕?ΔA8C中,

ZΛCB=90,ZB=60；在RfADEF中,NEO尸=90,NE=45,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P,DF

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C?

(1)求NADE的度數(shù)；

(2)如圖②，將ΔDEF繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0o<a<60o).此時(shí)的等腰直角三角尺記為ΔE>EF,

D?交AC于點(diǎn)M,D尸交BC于點(diǎn)N,試判斷UPM的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出P會(huì)M

CNCN

的值；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式1](2023春?廣東佛山?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在等邊I3/8C中，P為BC上一點(diǎn)，。為ZC上一

點(diǎn)，且EWPz)=60°,2BP=3CD,BP=I.

(1)求證EW8R33PC。；

(2)求GWBC的邊長(zhǎng).

BP

【變式2】(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)尸是對(duì)角線ZC上一動(dòng)點(diǎn)(不與/、

C重合)，連接PB,過(guò)點(diǎn)P作PE_LPB,交DC于點(diǎn)、E,已知AD=3,AC=5.設(shè)AP的長(zhǎng)為x.

（I）AB=:當(dāng)x=I時(shí)，求而的值；

PE

（2）試探究：急是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶當(dāng)PCE是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出X的值.

【變式3］（2020春?重慶沙坪壩?九年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)RE是正AABC兩邊上的點(diǎn)，將

ΔβQE沿直線OE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC上，當(dāng)AC=4A尸時(shí)，烏烏的值是（）

考點(diǎn)5：手拉手模型（重點(diǎn)）

典例5：（2023春?湖北襄陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問(wèn)題探究：如圖1,ABC,VADE均為等邊三角形,

連接8。、CE,求證：BD=CE.

（2）類比延伸：如圖2,在Rt?ASC和Rt?ADE中,ZACB=ZAED=90o,ZABC=ZADE=30°,連接BD、

CE,求證：BD=ICE.

（3）拓展遷移：如圖3,在四邊形ABC。中，AClBC,SLAC^BC,8=4,若將線段D4繞點(diǎn)。按逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到DA,連接BA,求線段S4，的長(zhǎng).

【變式1］（2021秋?重慶渝北?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形A5C中，點(diǎn)O,E分別是邊AC,BC

上的點(diǎn).將一ABC沿OE翻折，點(diǎn)C正好落在線段AB上的點(diǎn)尸處，使得AF:8尸=1:2.若BE=2,則CE的

長(zhǎng)度為（）

【變式2］（2020?江蘇常州?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0AOB中,13AoB=90°,E）ABo=30°,頂

點(diǎn)A在反比例函y=3（x>0）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)頂點(diǎn)B也在反比例函數(shù)y=工上運(yùn)動(dòng)，則m的值為（）

A.-9B.-12C.-15D.-18

鞏固訓(xùn)練

一、單選題

1.（2021?山東臨沂?三模）如圖，在EWBC中，DE^BC,若ZE=2,EC=3,則豳。E與EL48C的面積之比為

)

A.4：25B.2：3C.4：9D.2：5

2.（2023,全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,AB∕∕CD,AE∕∕FDfAE9分別交3C于點(diǎn)G,H9則下列結(jié)論

DHCHGECGAFHGFHBF

A.------=-----B.------=-----

FHBHDFCB~CE~~CG~AG~~FA

3.（2013?海南?中考真題）直線/電/姍3,且//與/2的距離為1，/2與〃的距離為3,把一塊含有45。角的直角

三角形如圖放置，頂點(diǎn)/,B,C恰好分別落在三條直線上，ZC與直線〃交于點(diǎn)D,則線段80的長(zhǎng)度為

252025

aλ?TB.—C.—DY

344

4.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重

合），連接AO,作ZAQE=NB=40。，OE交線段AC于點(diǎn)E.

下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論:

甲同學(xué)：∕?ABDADCE;

乙同學(xué)：若AD=DE,則BO=CE;

丙同學(xué)：當(dāng)。E工AC時(shí)，。為BC的中點(diǎn).

則下列說(shuō)法正確的是（）

A

A.只有甲同學(xué)正確B.乙和丙同學(xué)都正確

C.甲和丙同學(xué)正確D.三個(gè)同學(xué)都正確

5.（2023秋?河南平頂山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)4B,C,D,E均在方格紙的格點(diǎn)上，則C

與JIBC的面積比為（）

1?

C.一D.

69

6.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在.ABC中，Zfi4C=60o,NABC=90。，直線4〃4〃4，4與4之

間距離是1,4與4之間距離是2,且4，4，％分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)4B,C,則邊AC的長(zhǎng)為（）

r3√ΣT

4DW

7?（2022?廣東深圳?深圳市大鵬新區(qū)華僑中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知。、E分別是MBC中AB、AC邊上的

AΓ）1

點(diǎn)，小〃”且布=鏟VADE的周長(zhǎng)2,則ABC的周長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.8D.18

8.（2023秋?安徽六安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在YABCo中，E為BC上一點(diǎn)，且BE:EC=I:2,則BF:FZ）=

（）

9.（2023?貴州遵義??？家荒＃┤鐖D，在ΛBC中，。是AB邊上的點(diǎn)，AB=ZACD,AC:AB=I:及，則

?ADC與ΛBC的面積比是（）

A.lι√2B.1：2C.1：3D.1：4

10.（2022秋?四川遂寧?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線乙，,A,A±,若直

線/,〃/,〃/2〃/,且間距相等，AB=4,BC=3,貝IJtane的值為（）

11.（2020秋?廣西桂林?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，回ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到_A'3'C,

AB',AC'分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,F,若AE=4,則E6E￡＞的值為（）

A.8B.12C.16D.20

12.（2022秋?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊4D的中點(diǎn)，連接/C,BE交于點(diǎn)、F.若

EWE尸的面積為2,則0/18C的面積為（）

A.8B.10C.12D.14

13.（2021?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABa）的對(duì)角線AC、BZ）相交于點(diǎn)O,E是BC的中

點(diǎn)，DE交Ae于點(diǎn)尸，若DE=I2,則。尸等于（）

S

A.3B.4C.6D.8

14.（2022?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,扇形/08中，財(cái)08=90。.在扇形內(nèi)放一個(gè)RZSEAR其中。E=

10,DF=9,直角頂點(diǎn)O在半徑08上,OO=208,點(diǎn)E在半徑OI上，點(diǎn)尸在弧AB上.則半徑。!的長(zhǎng)

為（）

_27√85n27√85

A.√85B.2底L.----------U.----------

1417

15.（2020?海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形紙片NBCD沿EF折疊，折痕為EG點(diǎn)/

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)4,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B',點(diǎn)、夕落在邊CD上,若。9:Cz）=I:3,且AF=Io,則EF的長(zhǎng)為（)

A.2√10B.6√5C.6√10D.12√2

二、填空題

16.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ABC中，點(diǎn)。在AB上，NB=2NBCD,若BD=2,

BC=5,則線段Co的長(zhǎng)為.

94

17.（2022春,九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在R/EL48C中，BACB=90°,CDEI48于點(diǎn)。，已知NZ）=M,3。=丁

那么BC=.

18.（2020?海南海口?統(tǒng)考二模）如圖，在OABC中，?B90?,AB=6,BC=4,點(diǎn)。在AC邊上，。與

邊加8C分別切于點(diǎn)0E,則詈的值為----------

19.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊區(qū)4BC中，。是邊BC上一點(diǎn)，將

沿跖折疊使點(diǎn)力與點(diǎn)。重合，若8。：?！?2:3,則CE=.

20.（2020秋?福建泉州?九年級(jí)福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，MQB是直角三角形，AAOB=90，

O8=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=2的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y="的圖象上，則k的值為

21.（2019?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E,且CE=4AE,點(diǎn)F在DC

的延長(zhǎng)線上，連接EF,過(guò)點(diǎn)E作EGEIEF,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接GF并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

若AB=5,CF=2,則線段EP的長(zhǎng)是.

22.（2019秋?浙江杭州?九年級(jí)期末）如圖，已知AABC和ΔDCE是等邊三角形，連接BE,連接D4并延長(zhǎng)

交CE于點(diǎn)尸，交8E于點(diǎn)G,CD=6,EF=2,那么EG的長(zhǎng)為.

23.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形NBC。中，點(diǎn)尸是8C邊上一點(diǎn)，連接/尸，以/F為對(duì)角

線作正方形NEFG,邊FG與NC相交于點(diǎn)4,連接OG.以下四個(gè)結(jié)論:

①M(fèi)∕8=EI8FE=EΣMG;

（2）a4C∕T3EWZ）Gi

③AH-AC=-JlAE1;

（4）DG0JC.

其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

24.（2021春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知正方形OEFG的頂點(diǎn)尸在正方形/88的一邊/D的延長(zhǎng)線上,

連結(jié)∕G,CE交于點(diǎn)“，若AB=3,DE=y∕2,則C4的長(zhǎng)為.

25.（2023秋?湖北襄陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,在,ABC中，AB=AC=8,BC=4,點(diǎn)。在邊AC上，BD=BC,

則4。的長(zhǎng)為.

三、解答題

26.(2023秋?安徽六安?九年級(jí)校考期末)如圖，在ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高.求證:

7ACB爾AED.

27.(2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，直線”8經(jīng)過(guò)回O上的點(diǎn)C,并且0/=08,CA=CB,直線。8交回O

于點(diǎn)E、D,連接EC、CD.

(1)試判斷直線/8與回。的位置關(guān)系，并加以證明;

(2)求證：BC1=BDBE-.

(3)若tanE=g,SIO的半徑為3,求04的長(zhǎng).

28.(2022秋?北京房山?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，/O與5C交于O點(diǎn)，Z4=ZC,BO=4,DO=2,AB=3,

求8的長(zhǎng).

29.（2018?湖北武漢?統(tǒng)考一模）如圖，以/。為直徑的回。交/8于C點(diǎn)，8。的延長(zhǎng)線交回。于E點(diǎn)，連CE

交/O于尸點(diǎn)，若力C=8C.

（1）求證：AC=CE;

DFR

（2）若=丁，求tan團(tuán)CEf）的值.

DF2

30.（2021秋?廣東佛山.九年級(jí)佛山市第十四中學(xué)校考階段練習(xí)）在矩形/88中,E為OC邊上一點(diǎn),把VAz）E

沿AE翻折，使點(diǎn)。恰好落在8C邊上的點(diǎn)尺

(1)求證：MABF~&FCE；

(2)若AB=2后,AD=A,求EC的長(zhǎng).

31.(2020?河南商丘??？寄M預(yù)測(cè))如圖，NBA尸的一邊A3經(jīng)過(guò)。的圓心，另一邊與(O交于點(diǎn)F,作

/84F的平分線與。交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作，。的切線，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：DELAF

(2)若AB=10.

①若AE=8,則OE的長(zhǎng)為_(kāi)_____：

②AF?E尸的最大值為_(kāi)____.

備用圖

32.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,在RJABC中，AB=AC,。為Be邊上一點(diǎn)(不

與點(diǎn)B、C重合)將線段Ao繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至UAE,連接EC,則線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系是.

【探究證明】⑵如圖2,在RtA3C和RtAr)E中，AB=AC,AO=4E將一AZ)E繞點(diǎn)Z旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,

D,E在同一直線時(shí)，3。與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】(3)如圖3,在RjBCD中，ZBCD=90o,BC=2CD=4,將^ACO繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)

點(diǎn)、E,設(shè)旋轉(zhuǎn)角NeAE為α(0o<a<360o),當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一直線時(shí)，畫(huà)出圖形，并求出線段班的

長(zhǎng)度.

33.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問(wèn)題:

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖LABC中，ZBAC=90o,AB=AC.點(diǎn)尸是底邊8C上一點(diǎn)，連接/P,以/P為腰

作等腰RtAAPQ,且NP42=90。，連接C。、則8P和C0的數(shù)量關(guān)系是；

⑵變式探究：如圖2,ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.點(diǎn)尸是腰上一點(diǎn)，連接CP,以CP為底邊

作等腰RtACPQ,連接40,判斷BP和40的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶問(wèn)題解決：如圖3,在正方形Z8C。中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF,點(diǎn)Q是正方

形。PE尸兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形。PE尸的邊長(zhǎng)為Ji6,Cβ=√2,求正方形488的邊長(zhǎng).

34.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、

A,。在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)3E=￡）G且5E2DG.

小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：

（1）將正方形用’G繞點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1）,還能得到BE=。G嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD,將菱形A￡FG繞點(diǎn)/按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2）,

試問(wèn)當(dāng)NEAG與ZBAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，BE=DG;

ApΔΩ2

（3）把背景中的正方形分別改寫(xiě)成矩形AEFG和矩形ABC。，且三=三=：,AE=2a,AB=2b（如圖

AGAD3

3）,連接OE,BG.試求D6+BG2的值（用α,6表示）.

35.（2023春?陜西西安?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，AB是半圓。的直徑，。為半圓。上的點(diǎn)（不與A,B

重合)，連接A。，點(diǎn)。為50的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CZ7LAO,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接瓦7,AC交于點(diǎn)

E.

⑴求證：FC是半圓。的切線；

(2)若AF=3,ΛC=2√3,求半圓。的半徑及AE的長(zhǎng).

專題06五大?？枷嗨颇Ｐ?/p>

一、【知識(shí)回顧】

模型一：A字模型

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一線三等角模型

4.一線三等角

模型五：手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）

5.手拉手相似

旋轉(zhuǎn)相似，成對(duì)出現(xiàn)

△AB—"DEOH=KNBAD=NCAE=乙4BDSAACE

ACAE

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：A字模型

典例1:（2021秋?安徽安慶?九年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谥校﹫D，AB"GH〃CD、點(diǎn)、H在BC

AC與BD交于■點(diǎn)G,AB=2,CD=3,求G”的長(zhǎng).

【答案】I

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由他〃G”,可證用"S女他由性質(zhì)得出翳=黑，由

GH//CD,可證ABG"Sz^βQC,由性質(zhì)得出絆=槳，將兩個(gè)式子相加，即可求出G”的長(zhǎng).

CDBC

【詳解】解：???AB〃。//,

ΛZJ=Z∕∕GC,ZABC=ZGHC1

：.ACGHsRCAB,

.GHCH

??方一記‘

VGH〃CD,

ΛZD=ZHGBfNDCB=NGHB,

ABGHS4BDC,

.GH一BH

'u~CD~~BC

.GHGHCHBH

..+=——+——=11,

ABCDBCBC

?'AB=2fCZ)=3,

.GHGH,

??---1---=1,

23

解得：GH=？.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式1】(2022?廣東深圳?深圳市華勝實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒?如圖，在。。中，/B=NC,COL/8于點(diǎn)F,

交?0于點(diǎn)。，ZO的延長(zhǎng)線交CO于點(diǎn)￡.

⑴求證：AELBC；

(2)求證：DF=EF-,

⑶若k=5,求同的值?

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（I）根據(jù)弦與圓周角的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理和平行線的判定與性質(zhì)證得NAZ）C=NAED,再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可證得

結(jié)論；

ApFFΓ）P3ρρQ

（3）證明一AFES-ABM得到三=F■，再證明,BNM&CNE得到BM=CE,由已知H=I得到蕓=],

ABBMFC8FC8

進(jìn)而求解即可.

【詳解】（1）證明：連接AC,延長(zhǎng)AE交圓。點(diǎn)M,

,/片8=訃C，AE經(jīng)過(guò)圓心。，

BM=CM>AB=AC,

'NBAM=NCAM.

二AELBC-.

M

(2)證明：連接A。、BM,

???黜=M

：.ZADC=ZAMB,

???AM是圓的直徑，

o

???ZABM=90f

VCDlAB,

：.ZAFC=ZABM=90°,

JEF〃BM，

：.ZAMB=ZAED,

???ZADC=ZAED9

，AD=AE,

?：CDlAB9

，DF=EF↑

(3)解：tJEF//BM,

：?_AFES,ABM,AECN=AMBN,

.AFEF

??AB~BM'

YAE-LBC1

ΛBN=CN9ZBNM=ZENC,又/ECN=/MBN

"BNMMCNE(ASA)

：.BM=CE,

??DF3

?FC~8,

,EF_3

"Tc^8,

?CE5

**EF^3,

,BM_5

"~EF~3f

.AF3

??二一?

AB5

.BF_2

^*E4^3-

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，圓周角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，正確作出輔助線是解答的關(guān)鍵.

【變式2】(2023春?安徽六安?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在.43C中，NC=90。，AD平分NCAB交BC

于點(diǎn)。，AQ的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，以。4長(zhǎng)為半徑作。O,交AB于點(diǎn)E?

A

⑴求證：BC是。。的切線；

（2）已知BE=2,AC=4.8,求。O的半徑.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）3

【分析】（1）連接。D,由垂直平分線的性質(zhì)可知，OA=OD,易知0O經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,由AZ）平分/C4B,可

知NCW=NBAD,由OA=Or>,可知NBAo=NOr>A,.?.ΛCAD=∕LODA,進(jìn)而得4C〃0D，可知

NoDB=NC=（XT,易知Or）J.BC,得證BC是（。的切線；

（2）ill（1）易證/C3,,84C,可得絲=要.設(shè)，。的半徑為X,則士=ML，解出方程即可得0O

的半徑.

【詳解】（1）證明：連接?！?gt;，

?.?AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O,

OA-OD，

.??0O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,

,AD平分/C48,

.?.ZCAD=ZBAD,

OA=OD,

.'.ZBAD=ZODAf

.?ZCAD=ZODA,

:.AC//OD

,ZC=90o,

.?.ZODB=ZC=ZODC=90o,

:.ODVBC.

.?.8C是I。的切線；

⑵解：,ZC=90o,NoDC=90。,

.?.NC+NODC=180°,

..OD//AC,

:.ABO*ABAC,

.ODBO

*AC-BA

設(shè)。。的半徑為x,wj?=≡

解得XI=3,x2=-1.6（舍去）,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是原分式方程的解，

故。。的半徑為3.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，通過(guò)作輔助線，與圓心相連是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式3】（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtABC中，N4CB=9（r,AC=3C=6,。是AB上一點(diǎn),

點(diǎn)E在BC上,連接8,AE交于點(diǎn)F,若NC尸￡=45。,3￡>=24）,則CE=.

A

C

【答案】2

【分析】過(guò)。作?！按怪盇C于”點(diǎn)，過(guò)。作。G〃AE交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出CD的長(zhǎng)，

其次利用,CDGsCBD,求出CG的長(zhǎng)，得出BG的氏，最后利用即GsB4￡求出砥的長(zhǎng)，最后得出答

案.

【詳解】解：如圖：過(guò)。作ZW垂直力C于〃點(diǎn)，過(guò)。作少G〃AE交BC于G點(diǎn),

：在RtABC中，AC=BC=6,

?'?AB=yjAC12+3BC2=6√2，

又：BD=2AD,

AD=2?j2，

在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2,

：.CH=6—2=4,

在RtCHD中，CD=y∣CH2+DH2=2√5，

??DG//AE,

，NCFE=ZCDG=45o,ZB=45°,

NCDG=NB,

又，：ΛDCG=ΛBCD,

：.CDGSCBD,

.CDCG

"^CB~^CD,

二CD2=CGCB，

即20=6CG,

.“一生

??CcJ—~~，

3

1∩Q

???BG=BC-CG=6--=-

331

又YDG〃AE,

:、：BDGSBAE,

又「BD=2AD,

.BDBG2

9'~BA~~BE~3t

乂BG=q,

3

/.BE=BG×-=4,

2

ΛCE=6-4=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似二角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案.

考點(diǎn)2：8字模型

典例2：（2021秋?重慶?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖AD與CE交于8,且當(dāng)=g.

BDBE

（1）求證：ABCSQBE.

（2）若AC=8,BC=6,CE=9,求。E的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可;

DFBF

⑵因?yàn)锳MCsmE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知就=正，代入數(shù)據(jù)解答即可.

【詳解】證明：（1）NDBE=ZABC,—,

BDBE

ABCsaDBE:

(2)ASCsDBE,

DEBE

----=-----,

ACBC

AC=8,BC=6,CE=9,

??BE=CE-BC=3,

DE3

.?.——=-,

86

「?DE=4?

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】39.（2021春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC±,

DE〃BC,點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA,CF與DE相交于點(diǎn)G.

（1）求證：DF?AB=BC?DG;

（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由BC2=BF?BA,ZABC=ZCBFIJj^IJ△BAC^ΔBCF,再由DE〃BC可判斷BCFjDGF,所以

DGFSbac,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）作AH〃BC交CF的延長(zhǎng)線于H,如圖，易得AH〃DE,由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得AH=2EG,再利用AH〃DG

可判定AAHFSAzX牙，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得黑=蕓，然后利用等線段代換即可.

DeJDb

【詳解】證明：（1）VBC2=BF?BA,

ΛBC：BF=BA:BC,

而NABC=NCBF,

BACSBCF,

VDE//BC,

：?」BCFs」DGF,

：..?^DGF^^BAC.

ΛDF:BC=DG:BA,

ΛDF?AB=BC?DG;

(2)作AH〃BC交CF的延長(zhǎng)線于H,如圖,

VDE/7BC,

ΛAH/7DE,

Y點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

.?.EG為一?！钡闹形痪€，

ΛAH=2EG,

VAHZ/DG,

：.:4AHFSJDGF,

.AHAF

φβDG^DF,

.2EGAF

DG~~DF'

即2DF?EG=AF?DG.

HA

V?

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中己有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相

似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要通過(guò)相似比得到線段之間的關(guān)系.

【變式2］（2023?山西太原?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖所示，在：O中，兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)E,連

接4λBC,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

AEADAEDE

A.ZA=ZCB.ZB=ZD

ECBE^EC~^E

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角定理可得NA=NC,ZS=ZD,即可得到AAr即可得到答案;

【詳解】解：由題意可得，

：弧Bz）=弧3Z），弧AC=弧AC,

ΛZA=ZC,ZB=ZD,

：..ADESeBE,

.AEDEAD

^,EC-^βF-CB,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及三角形相似的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A中同弧或等弧所對(duì)的

圓周角圓心角相等.

考點(diǎn)3：子母模型（射影定理）

典例3：（2022,遼寧營(yíng)口?一模）如圖，AB,CZ）是。的直徑，CM為。。的切線，C為切點(diǎn)，連接BC,

過(guò)點(diǎn)。作DEJ_AB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE交8C于點(diǎn)尸，交，。于點(diǎn)G,交CM于點(diǎn)H,連接CG.

ΔG

⑴求證：CH=HF；

⑵若O半徑為5,CG=I,求”E的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵飆

6

【分析】（1）CO是：,。的直徑，CM為。的切線，得QCLCM,所以///C戶+NOCB=90。，而ΓCA3,

NCFH=4BFE,4OCB=4OBC,可得NCFH+NOCB=90°,所以NHCF=NHFC,即可得C"=〃尸；

（2）根據(jù)CD是00的直徑,得NCGD=90。，根據(jù)勾股定理得DG=4#,根據(jù)垂徑定理得DE=GE=2瓜.

證明DEMDCH,得絲=絲，即"一=偵，求出所以

HDCDHD106

WE=WD-DE=-√6-2√6=-√6.

66

【詳解】（1）證明：C。是GO的直徑，CM為（。的切線，

??.DClCM,

.?.NHCF+NOCB=90。,

OB=OC,

."OCB=/OBC,

DE±AB^

/.ZBEF=90o,

NEFB+/OBC=90。,

/CFH=NBFE,

:.NCFH+/OCB=時(shí),

；.ZJdCF=/HFC,

CH=HFx

（2）解：?.8是。的直徑，

/.ZCGD=90°,

CD=20C=I0,CG=2t

「DG=y∣CD1-CG2=√102-22=4√6?

DGlAB,

???DE=GE=2瓜,

OC=OD9

.?OE=yCG=L

NOED=/DCH=900,ZD=NO,

DEO^DCH,

.ODDE

liD~a5

即-L=亞，

HDIO

???HD=-yfβ

61

.?.∕7f=∕∕D-DE=-√6-2√6=-√6.

66

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)等，掌握

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2022?陜西西安?西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，/8C是O的內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn)C作。的

切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>,OE工BC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

C

⑴求證：ZA+ZOFC=90°；

（2）若OE=2,BC=6,求線段CF的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）亞

2

【分析】（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOCF=90。，再根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論；

npCF

（2）由勾股定理求出。。的長(zhǎng)，證明eCOEsq/oc,由相似三角形的性質(zhì)得出會(huì)=乒，則可得出答案.

OCCF

【詳解】（1）證明：連接。C,OB

FC是。的切線，

/.OClCFf

/.ZOCF=90°,

o

.?ZOFC+ZCOF=90t

OElBC9

,NCOE=工NCOB=NA,

2

ACOF=ZA,

/.ZA+ZOFC=90o;

(2)解：OEΛ.BC,

??.CE=BE=-BC=-×6=3

22f

OE=2,

OC=yjOE2+CE2=√22+32=√13，

ZCOE=ZCOF,ZOEC=ZOCF.

:.CoESJFoC,

OECE

.?.——=——,

OCCF

.2_3

?√13=CF,

：.CF=里

2

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形.證明/COESA尸OC是

解此題的關(guān)鍵.

ΛΓ）AΓ

【變式2］（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtA48C中，ZJCδ=90o,點(diǎn)。在”上，且：=■一.

ACAB

（1）求證"CDSAABC;

（2）若月。=3,BD=2,求8的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）√6

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出.ACD~ABC

(2)由AeD~.ABC得NAZ)C=NACB=90°,ZACD=ZB,推出一Aa)_CBD,由相似三角形的性質(zhì)得

筆=空，即可求出CZ)的長(zhǎng).

ADCD

AΓ)AC

【詳解】(1)Y嘿=片，Z4=ZA,

ACAB

???_ACQ~_ABC；

(2)VACDABC,

：.ZADC=ZACB=90P,ZACD=NB,

：.ZCDB=180o-90o=90o=ZACD,

/.^ACD-CBD,

.CDBD

??K=~,h即π8??=AT>?8O=3x2=6，

ADCD

：.CD=√6.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（2021?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,8C=4,O為矩形ABCD對(duì)

角線的交點(diǎn)，以。為圓心，1為半徑作D,P為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,OP,則AOP面積的最大

值是（）

7715

A.一B.一cD.—

42?78

【答案】C

【分析】當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)尸的直線平行于OA且與【。相切時(shí)，A4OP面積的最大，由于P為切點(diǎn)，得出Mp

垂直于切線，進(jìn)而得出PMLAC,根據(jù)勾股定理先求得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得OA的長(zhǎng)，根據(jù)Δ4OV∕sMa

求得ZW的長(zhǎng)，從而求得RW的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得.

【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)P的直線平行于04且與。。相切時(shí)，ΔA0P面積的最大，如圖,

「過(guò)P的直線是（。的切線,

.?.OP垂直于切線,

延長(zhǎng)PO交HC于〃，則DM人AC,

.,在矩形ABCD中，A8=3,BC=4,

.?.AC=yjAB2+BC2=√32+42=5，

:.OA=~,

2

o

ZAMD=ZAf)C=90,ZDAM=ZCAD1

.?.ΔADΛ∕c^ΔACD,

DMAD

~CD~~AC

AD=4,CD=3,AC=5?

1217

ΛPM=PD+DM=\+—=—

55

1151717

.?.ΔAOP的最大面積=5O4PM=-×-×-=—

故選：C.

P

R≡-------------------C

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判

定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是判斷出P處于什么位置時(shí)面積最大.

考點(diǎn)4：一線三等角模型(重點(diǎn))

典例4：(2020秋?寧夏銀川?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))將一副三角尺如圖①擺放，在及ΔABC中,

ZACB=90,ZB=60；在RtADEF中,NEO尸=90,NE=45,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)、P,DF

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

(1)求-4)E的度數(shù);

(2)如圖②，將ΔDEF繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0o<α<60o),此時(shí)的等腰直角三角尺記為ΔZ)?F,

DE交AC于點(diǎn)M,OU交BC于點(diǎn)N,試判斷P票M的值是否隨著。的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出PM關(guān)