2023-2024學年山東省青島高二年級上冊期末考試數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年山東省青島高二上冊期末考試數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知｛%｝為等差數(shù)列，4+%+%=105,a2+a4+a6=<)9,則數(shù)列｛a,,｝的公差d=()

A.-2B.-1C.2D.1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)和通項公式直接求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：4+%+6=3%=1。5,α2+α4+α6=3α4=99,

,

..03=35,%=33,d=a4-a3=-2,

故選：A.

2.雙曲線犬-片=1的焦點坐標是()

3

A.(0,±2)B.(±2,0)C.(+√2,θ)D.(θ,±√2)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得“力，然后根據(jù)/="+〃可得c,最后得出結(jié)果.

【詳解】由題可知：雙曲線的焦點在X軸上，S.a=｝,b=y∕3,.?.c2=a2+b2^>c=2

所以雙曲線的焦點坐標為(±2,0)

故選：B

(\\

3.已知拋物線C：∕=2px(p>0),焦點為F,點A-,1到在拋物線上，則IAFl=()

14√

95

A.3B.2C.-D.一

44

【正確答案】D

【分析】利用拋物線的定義求解.

(\\

【詳解】因為點A-,1在拋物線上，???i=g,解得p=2,

[4)2

利用拋物線的定義知∣AF∣=4+?^=t

故選：D

4.直線4“-2），+機=0與直線/2：,心+6），-1=0平行，則兩直線間的距離為（）

A.延B.mC.延D.√5

5315

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)直線平行求得“，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.

【詳解】由兩直線平行，得一2Xfn=IX6,故〃?=—3,

當，〃=一3口寸，I1:3x-6y-9=0,∕2:3x-6y+l=0,j?r?∕∣∕∕Z2,

故兩直線平行時〃?=-3.

又44之間的距離為d=單』=）=冬6,

√9+363√53

故選：B.

5.圓心在X軸上且過點（1,6）的圓與），軸相切，則該圓的方程是（）

A.X2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=O

C.X2+y2-4y=OD.x2+γ2÷4v=O

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出.

【詳解】依題可設(shè)圓的方程為（x-α）2+y2=∕">o）,所以+3=廠，解得

a=2,r=2,

即圓的方程是f+J—?=。.

故選：A.

6.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=OBB、,ZABC=UOo.M為AG的中

點，則直線8M與平面ABAA所成的角為（）

A.150B.30oC.450D.60o

【正確答案】B

（分析】設(shè)點M到平面AB1B的距離為h,通過等體積法匕MqM=VM-ΛAB求得h,再求線面

角的正弦即可得解.

如圖所示：不妨設(shè)AB=BC=6BB?=2,NABC=I20。，由余弦定理可得

AC=AG=2技耳M=JABj="Ξ^=ι,

所以BM=JBB7+B∣M2=√ΣTT=6.

SMetM=；SAAIBIG=gxgx26Xl=烏,S/B.=5*2*&=3，

Z.2.乙乙乙

設(shè)點M到平面A4B的距離為

則/-A5M==?,BBI=-用B*="?X=應人9

解得力=且，

2

h\

所以直線BM與平面ABB1A所成角的正弦值為￡=：，

BM2

所以直線BM與平面ΛBBtAt所成角為30°.

故選：B.

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是通過等體積法求得點M到平面AB出的距離，再由高比斜線

段可得線面角的正弦.

7.已知等差數(shù)列的前〃項和為S“，公差4=—2,若5“=52。22一，"€ζ，區(qū)2021,則4=

()

A.2023B.2022C.2021D.2020

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意令〃=1可得Sl=邑⑼，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式寫出$2以，進而得到關(guān)

于《的方程，解方程即可.

【詳解】因為S,=S2022r,,令〃=1，f?5l=S2021,

又S202∣=2021q+2021*1010d,d=-2,4=E

所以S2θ2∣=2021(OI-2020),有4=202l(a,-2020),

解得q=2021.

故選：C

2-5

8.已知斜率為1的直線與橢圓U*→g=l(a>6>0)相交于4、B兩點，O為坐標原點，

AB的中點為P,若直線。尸的斜率為則橢圓C的離心率為().

A.?B.正C.&D.?

7232

【正確答案】B

【分析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓。力之間的關(guān)系.

【詳解】如圖：

聯(lián)立方程:

y=x+m2號2：p-

,解得：χ↑+χ2="［匕］，彳弋入y=χ+'"得y=^j

√v^11

7+FP^

mm

"/

故P點坐標為,由題意，OP的斜率為

11,11

7+FΣr+Fj

tn

不

1

-2^+^

即，__;也L=-；,化簡得:S=P/=?=3C?=心#,e=冬

in

?

11

7+fe7

故選：B.

二、多選題

9.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且q=-13,S3=-33,則下列結(jié)論正確的是（）

A.α,,=2n-15B.也｝是先遞減后遞增的數(shù)列

C.牝是4和/的等比中項D.S,,的最小值為-49

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題干條件得到d=2,從而求出通項公式，判斷出是遞增數(shù)列；求出α=∣,〃=9,

Λ48=81,從而判斷C選項，根據(jù)%=T<0,%=1>。可知S"在”=7時取得最小值，求出

最小值，從而判斷D選項.

【詳解】由題意得：S3=3?,÷3J=-33,因為％=—13,所以d=2?所以｛%｝通項公式為：

0,,=-13+2(n-l)=2π-15,A選項正確；由于d=2>0,所以｛4｝為遞增數(shù)列，B選項錯

誤；通過計算可得：4?%=9,%=81,其中C正確；因為｛4｝為遞增數(shù)

列，且生=τ<θ,?=?>0,故S"在"=7時取得最小值，S7=7α4=-49,D選項正確.

故選：ACD

10.已知兩點A(-2,0),3(2,0),若直線上存在點P,使得IPAITP用=2,則稱該直線為“點

定差直線”，下列直線中，是“點定差直線”的有()

A.y=x+?B.y=3x+1

C.y=2x÷4D.y=y∕2x+3

【正確答案】AD

【分析】先求出P點的軌跡方程為Y-X=I的右支，結(jié)合雙曲線的漸近線斜率與選項中直

3

線斜率進行比較，得到有無交點，進而求出答案.

【詳解】因為|朋-|「四=2<|"|,故尸點的軌跡方程為雙曲線的右支，其中α=l,c=2,

則必“2"2=47=3,所以雙曲線為/一(=1(x>0),漸近線方程為y=±√Jχ,y=x+l的

斜率為1<√L故與F-片=I(X>0)有交點，A正確；

3

y=3x+l的斜率3>百，且與y軸交點為(O/)，故與f—?=1(x>0)無交點，B錯誤;

y=2x+4的斜率2>石，且與y軸交點為(0,4),故與/一］=ι(χ>。)無交點，C錯誤;

y=√Σx+3的斜率血<6，故與爐-￠=1(x>0)有交點，D正確.

故選：AD

H.己知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，｛a｝為等比數(shù)列，｛%｝的前〃項和為S,,,若4+4+%=3T,

blb5b9=8,則()

A.S11=1?π

B.

她2

C.%+%+4=3萬

D.?3+?7≥4

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意得4="，么=2,再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)依次求解即可得答

案.

【詳解】解：因為數(shù)列n｝為等差數(shù)列，低｝為等比數(shù)列，q+%+4=3萬，納A=8,

所以q+6+%=3%=3亓，即a=%,t>lh5hg=?j=8,即仇=2,

對于A選項，SU=HJ=Uq=I反，故正確；

對于B選項，見+4。=24=2肛她i=K=4,所以Sin等含=Sinm=1,故錯誤；對于C

選項，設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,則4+/+&=%-3d+4+"+4+2〃=34=3ι,故

正確；

對于D選項，由4=2得4">0,故K+'≥2阿=2展=4,當且僅當么=H=2時等

號成立，故正確；

故選：ACD

12.棱長為2的正方體ABCo-ABGR的側(cè)面ABBM（含邊界）內(nèi)有一動點尸，則（）

A.BtP-mBlB+nBtAx,m+n=\,貝IJS1P-B1D1-0

B.^AlP=ΛAlβ(0<Λ<l),M∣JC1P-B1D=O

C.若用尸=；PAAE=g(AC+AA),則BtPAtE=~

D.若AE=;(AG+AR)，則存在非零向量與產(chǎn)使4P?AE=-1

【正確答案】BCD

【分析】對于每一個選項中所出現(xiàn)的向量用基底表示，然后通過分析或計算數(shù)量積就可以對

每一個選項進行判斷.

【詳解】對于A,B?P=mB?B+nB∣At,m+n=l,

則4P=(1-〃)48+〃4A=B?B+n(B?A-B?B)

=>B7_B?B=H(BA—B∣B)=BP=nB∕?，

從而可知點尸在線段BA上，由于Ba不垂直側(cè)面ABBa,故4P?BQ=0不成立，所以A

錯誤；

對于B,易證AG?LBQ，BQIB1D,從而可知BQ?L平面A8C∣,

由AP=XAIB(O<∕l<l),可知點P在線段BA上，因此用OLCf,所以GPBQ=O,B正

確；

對于c,耳2AE=+AR)=:PA?(A6+AA)

=；XggA(AG+AR)=?(B歸+AA)?(AG+AR)

=?(48+BA)?(A耳+2AA)

———(BIB?A∣B1+2B?B?A∣D∣+8IA?4耳+28∣4?ADJ

61

12

=-(0+0-4+0)=——,故C正確；

63

對于D,設(shè)BF=2BιB+4B∣Al,

所以B[P?A?E=(入BTB+Aj?](AG+4∣Z)J=Q(AB田+∕JB1A1)A1B1+2A1D1j

=^(ΛBlB+pBlAt)^AlBl+2AR)

=3(入B∣B,AB∣+2入B?B?AR+〃BlA,√4∣+2〃qA∣?AZ)I)

11

=-(0+0-4//+0)=-2//=-1,得〃=5,從而可知4尸不會是零向量，故D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓柱的表面積為.

【正確答案】6萬

【詳解】試題分析：由題意得2r=2,∕τ=2,所以圓柱的表面積為2++2R∕I=6%

圓柱的表面積

14.已知等比數(shù)列｛%｝滿足：q=27,%=圭，W3<0,則公比4=.

【正確答案】-g

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得的=。4，結(jié)合44=4,3<（）即可求出公比.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式為q,

則的="〃，即15=27"'，

解得q=士；,

又見。3=42/<0,所以q<0,

所以

故答案為§

22

15.已知O為坐標原點，等軸雙曲線。:￡-￡=1（4〉0力>0）的右焦點為F（五,0）,點P

在雙曲線C上，由尸向雙曲線C的漸近線作垂線，垂足分別為A、B,則四邊形。4P8的

面積為.

【正確答案】T##0.5

【分析】求出雙曲線C的方程，可求得雙曲線C的兩條漸近線方程，分析可知四邊形。4P3

為矩形，然后利用點到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為雙曲線C為等軸雙曲線，則α=6,c=√7諼=缶=血，可得α=b=l,

所以，雙曲線C的方程為V-V=I,雙曲線C的漸近線方程為χ±y=0,

則雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則C4_LP4,OBLPB,OAA.OB,

所以，四邊形。4P8為矩形，

設(shè)點P(XO,為)，則片-y：=l,不妨設(shè)點A為直線χ-y=0上的點，

則解=*，網(wǎng)=空，所以，S矩形…I/陷=嗎亞g?

故答案為.去

16.數(shù)列｛《,｝滿足。“+2+(-1)"%=4"-1,前12項的和為298,則4=.

【正確答案】4

【分析】當〃為偶數(shù)時，可求出前12項中偶數(shù)項的和；當”為奇數(shù)時，可用為表示出前12項

中奇數(shù)項的和，從而可求出％的值.

【詳解】當"為偶數(shù)時，an+2+?=4n-l,

所以4+∕=7,?+ab=23,0l2+0l0=39,

所以tz2+ɑ4+α6+o8+a10+α12=69；

當"為奇數(shù)時，all+2-all=4n-?,HP?t2=a,,+4w-l

所以%=4+3,?5=4+11=41+14,07=05+19=01+33,%=%+27=4+60,

a”=ch+35=4+95,

所以兒=(?+?+?+?+α∣0+α∣2)+(ai+4+G+%+%+%)

=69+6q+205=298,所以q=4.

故答案為?4

四、解答題

17.已知直線/：6x-y-12=0,以點(0,-2)為圓心的圓C與直線/相切.

(1)求圓C的標準方程；

⑵過點(3,—1)的直線/'交圓C于A,B兩點，月」AB卜8,求/'的方程.

【正確答案】⑴爐+("2)2=25

⑵x=3或4x+3y-9=0

【分析】(I)根據(jù)點到直線的距離公式求出半徑r,即可得到圓C的標方程；

(2)根據(jù)弦長公式可求出圓心C到直線/'的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式結(jié)合分類討

論思想即可求出.

I-WiV

【詳解】(1)設(shè)圓C的半徑為r,YC與/相切，???J(W)2+(f2=5,

圓C的標準方程為V+(y+2)2=25.

(2)由IABl=8可得圓心C到直線1'的距離d=乒不=3.

二當/'的斜率不存在時，其方程為χ=3,此時圓心C(O,-2)到χ=3的距離為3,符合條件；

__I-3?+11C

當/'的斜率存在時，設(shè)Ly+l=%(x-3),圓心C到直線廠的距離dj=j".=3,解得

44

k=q此時r的方程為y+l=-](x-3),即4x+3y-9=0.

綜上，/'的方程為x=3或4x+3y-9=0.

18.已知｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3-al=60,a2=16,neΛT*.

(I)求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

ft+9

(II)若數(shù)列｛b〃｝的通項bn滿足2?=all,求｛加｝的前n項和Sn的最小值及取得最小值時

n的值.

【正確答案】(I)a,,=4π;(II)當〃=4時，S,,取得最小值為-16

【分析】(I)設(shè)出公比，由已知列出方程求出首項和公比即可；

(II)求得紇=2〃-9,得出S,,,利用二次函數(shù)性質(zhì)可求.

【詳解】⑴設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為4,且4>0,

Oi=叱一4=60,解得q=4

則

a2=q9=16q=4

d+9n

(II)2'=a?,:.b,,=Iog2a,,-9=Iog2(4)-9?2?-9,

S,“7-9)=〃2_8〃=(〃-4)2一16,

則當〃=4時，S,,取得最小值為T6.

19.已知拋物線Uy=2px(p>0),拋物線C上橫坐標為1的點到焦點尸的距離為3.

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)過(-1,0)的直線/交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線X=Y于點E,直線8F交

直線X=T于點。，是否存在這樣的直線/,使得DE//AF?若不存在，請說明理由；若存在,

求出直線/的方程.

【正確答案】(1)拋物線C的方程為V=8X,準線方程為X=-2；(2)存在直線y=半(χ+l)

或y=-?^^?(x+l).

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義即可求得拋物線的標準方程以及準線飛航程.

(2)設(shè)出直線/的方程y=k(χ+l)(%Nθ),聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去y后根據(jù)

判別式大于零求得&的取值范圍，寫出韋達定理.結(jié)合OE〃A尸得到直線￡>E與直線"的斜

率相等，由此列方程，解方程求得％的值，也即求得直線/的方程.

【詳解】(1)因為橫坐標為1的點到焦點的距離為3,所以1+勺3,解得。=4,所以V=8χ,

即準線方程為x=-2.

(2)顯然直線/的斜率存在,設(shè)直線/的方程為J=*(x+l)(?≠0),A(xl,yl),β(x2,y2).

聯(lián)立得P二"，消去V得心2+(2"2-8)x+公=0.

y=k(x+l)

由4=(2&2-8)2-4爐＞0,解得-正＜左＜0.所以-夜＜々＜亞且女HO.

由韋達定理得X+X=8》,XIX2=??

12

直線B尸的方程為y=3(χ-2),

又租=-1,所以%=言,所以"T,R?),

巧-zx?~~乙

因為。E〃4F,所以直線Z)E與直線AF的斜率相等

~-3k+3-^—

又E(T-3%),所以"2=A.

一3玉一2

整理得上=居+居，即人等9+竺芳，

X∣-Z4-LXj-ZX2-N

-f.??+1x＞+l2x.x,-(x+x,)-4

化簡得l=r+4,1l=rf21，即rιr為l+%=7?

A[1-ZX】一乙Xl??-々)+4

所以f=7,整理得公臉

解得左=±逑.經(jīng)檢驗,k=±逑符合題意.

33

所以存在這樣的直線/,直線/的方程為y=^(χ+l)或y=-半(χ+l)?

20.已知數(shù)列｛4,｝滿足?1=1.an-an+l=%%(〃《N*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵記d=[-lg%],其中國表示不超過X的最大整數(shù)，如[0.6]=0,[Ig66]=l.

(i)求4、瓦3、bl23；

(ii)求數(shù)列｛2｝的前IOOO項的和.

【正確答案】(1)4,='；

n

⑵(i)a=0,%=1,3=2；(ii)1893.

【分析】(1)推導出數(shù)列F為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列｛4｝的

.11J

通項公式：

(2)(i)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題中定義可求得4、瓦3、九3的值；

(ii)分別解不等式0≤lg”<l?l≤lg”<2?2≤lg"<3,結(jié)合題中定義可求得數(shù)列也｝的

前IooO項的和.

【詳解】(1)解：因為4=1,an-an+l=?an+l(rt∈N'),則1-出=4，可得4=g,

∣-α3=∣α3,可得q=g,以此類推可知，對任意的〃eN*,?≠0.

aa

由n-n+i=α,4,+∣(〃eN*),變形為“，膽=-------=1,

''alt%an+la?

??.[,]是一個以1為公差的等差數(shù)列，且首項為’=1,

ι?J%

所以，,=1+("T)?1=",因此，an=-.

ann

⑵解:(i)?=[-lg0rt]=[lgn],則a=[lgl]=[θ]=θ,

1O<23<IOO,貝IJI=IglO<lg23<lgl00=2,??23=[lg23]=l,

100<123<1000,則2=lglOO<lgl23<lglOOO=3,??l2,=[lgl23]-2；

(ii)IglOOO=3,當O≤lg”<l時，即當l≤"<10時，?=[lg∕j]=O,

當l≤lg”2時，即當10≤"<100時,?=[lgn]=l,

當2≤lg”<3時，即當IOo≤'<1000時,?=[lgn]=2,

因此，數(shù)歹∣J{"}的前IOoo項的和為0x9+1x90+2*900+3=1893.

21.如圖，在四棱錐P-ABCO中，R4，面438.PA=^AB^AD=2,四邊形ABCD滿足

AB±AD,BCHAD,8C=4,點M為PC中點，點E為BC邊上的動點

(H)是否存在點E,使得二面角的余弦值為:？若存在，求出線段跖的長度;

若不存在，說明理由.

【正確答案】(I)證明見解析；(H)存在，I.

(I)由題意有B4J?AT>,PAA.AB,又以以A為空間坐標原點建立如圖所示空

間直角坐標系.證明DW,AP>AB為共面向量即得.

(11)設(shè)￡(240),0<α<4,求出平面PDE的一個法向量，平面瓦組的一個法向量為AP,

利用法向量夾角的余弦的絕對值等于;求得。即可.

【詳解】(I)因為PAj_平面ABe所以a_LA￡>,PAYAB,XABlAD,所以∕?,AB,

A。兩兩垂直.以A為空間坐標原點建立空間直角坐標系，如下圖所示.

則P(0,0,2),B(2,0,0),O(0,2,0),C(2,4,0)

點用為PC中點，故M(l,2,l)

故。M=(1,0,1),

UlIlLILll

又AP=(0,0,2)，AB=(2,0,0)

UUlU1UUD1LllU

所以O(shè)M=-AP+-AB

22

所以。M，AP-AB為共面向量，DM(Z平面∕?β,

所以DW〃平面∕?β.

(II)設(shè)E(2,α,0),0<?<4

UlllUUU

依題意可知平面8。E的法向量為AP=(0,0,2)，DP=(0,-2,2),DE=(2,a—2,0)

n?DP=-2y+2z=0

設(shè)平面正￡花的法向量為〃=(X,y,z)

n`DE=2x+(a-2)y=O

?Elr(2-〃1八

令z=1,則〃=(―^—,L1J.

因為二面角P—OE-3的余弦值為：,

Ui?r

I/uunr)APH2

所以CoS(A尸,〃

Rfl3,

22

------.=—

即\(2-a^?^3,解得〃=1或α=3.

2×√m+1+'

所以存在點E符合題意，

當BE=I或BE=3時，二面角P-DE-8的余弦值為§.

方法點睛：本題考查證明線面平行，考查二面角問題，解題方法是空間向量法，建立空間直

角坐標系后，證明線面平行，只要證明直線的方向向量可用平面的一個基底表示即可，而二

面角則是利用二面角的余弦值與二面角的兩個面的法向量夾角的余弦值相等或相反求解.

22.已知橢圓Cw+J=l(a>6>0)經(jīng)過點半,2,且離心率為羋.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知點A,8是橢圓C的上，下頂點，點尸是直線y=6上的動點，直線∕?與橢圓C的另

一交點為E,直線PB與橢圓C的另一交點為F.證明：直線EF過定點.

【正確答案】(1)卷+/=1；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，列出〃力的方程組，通過解方程組，即可求出答案.

(2)法一：設(shè)尸(f,6),E(xpy1),F(x2,y2);當，≠0時，根據(jù)點A尸的坐標寫出直線B4

的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點E的坐標；同理可求出點F的坐標，然后即可求出直

線E尸的方程，從而證明直線E尸過定點.

法二：首先根據(jù)Z=O時直線EF的方程為X=0,可判斷出直線EF過的定點M必在)，軸上,

設(shè)為M(O,加)；然后同方法一，求出點E,F的坐標，根據(jù)ME〃M/，即可求出〃，的值.

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【詳解】(1)由題意，知?∕=∕+c2,解得“=3,b=l.

c_2√2

所以橢圓C