2023年中考數學考前第3講：規(guī)律探究性問題（附答案解析）

2023年中考數學考前沖刺第3講：規(guī)律探究性問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

1、解數式規(guī)律型問題的一般方法：

（1）當所給的一組數是整數時，先觀察這組數字是自然數列、正

數列、奇數列、偶數列還是正整數列經過平方、平方加1或減1等運

算后的數列，然后再看這組數字的符號，判斷數字符號的正負是交替

出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號，最后把數字規(guī)律和符號規(guī)律結合起來從而

得到結果；（2）當數字是分數和整數結合時，先把這組數據的所有整

數寫成分數，然后分別推斷出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n

項的規(guī)律；（3）當所給的代數式含有系數時，先觀察其每一項的系數

之間是否有自然數列、正整數列、奇數列、偶數列或交替存在一定的

對稱性，然后觀察其指數是否存在相似的規(guī)律，最后將系數和指數的

規(guī)律結合起來求得結果.

數字循環(huán)類規(guī)律題就是幾個數循環(huán)出現(xiàn)，解決此類問題時，一般

是先求出前幾個數，再觀察其中隱含的規(guī)律，若和序號有關，則第n

個數用含n的式子表示，用n除以循環(huán)出現(xiàn)的數的個數，找出余數即

可找到對應的結果.

2、探索等式規(guī)律的一般步驟：

（1）標序數；（2）對比式子與序號，即分別比較等式中各部分與序

數（1,2,3,4,…，n）之間的關系，把其隱含的規(guī)律用含序數的式

子表示出來，通常方法是將式子進行拆分，觀察式子中數字與序號是

否存在倍數或者次方的關系；（3）根據找出的規(guī)律得出第n個等式，

并進行檢驗.

3、根據圖形尋找點的坐標的變換特點，這類題目一般有兩種考

查形式：一類是點的坐標變換在直角坐標系中遞推變化；另一類是點

第1頁共10頁

的坐標變換在坐標軸上或象限內循環(huán)遞推變化.解決這類問題可按如

下步驟進行：（1）根據圖形點坐標的變換特點確定屬于哪一類；（2）

根據圖形的變換規(guī)律分別求出第1個點，第2個點，第3個點的坐標,

找出點的坐標與序號之間的關系，歸納得出第M個點的坐標與變換次

數之間的關系；（3）確定第一類點的坐標的方法：根據⑵中得到的倍

分關系，得到第M個點的坐標；確定第二類點坐標的方法：先找出循

環(huán)一周的變換次數，記為n,用M÷n=3……q（O≤q<n）,則第M次

變換與每個循環(huán)中第q次變換相同，再根據⑵中得到的第M個點的

坐標與變換次數的關系，得到第M個點的坐標.

4、對于求面積規(guī)律探索問題的一般步驟：（1）根據題意可得出第

一次變換前圖形的面積S；（2）通過計算得到第一次變換后圖形的面

積，第二次變換后圖形的面積，第三次變換后圖形的面積，歸納出后

一個圖形的面積與前一個圖形的面積之間存在的倍分關系；（3）根據

找出的規(guī)律，即可求出第M次變換后圖形的面積.

5、找圖形累加型變化規(guī)律的一般步驟：

（1）寫序號，記每組圖形的序數為“1,2,3,…n”；（2）數圖形

個數，在圖形數量變化時，要數出每組圖形表示的個數；（3）尋找圖

形數量與序數n的關系，若當圖形變化規(guī)律不明顯時，可利用圖示法,

即針對尋找第n個圖形表示的數量時，先將后一個圖形的個數與前一

個圖形的個數進行比對，通常作差（商）來觀察是否有恒等量的變化，

然后按照定量變化推導出第n個圖形的個數.

一、選擇題：

1.如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為

第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三

角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形

第2頁共10頁

按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三

次操作；…根據以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的

次數是（）

A.25B.33C.34D.50

2.在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令，從原點0

出發(fā)，按向右，向上，向右，向下的方向依次不斷移動，每次移動

1m,其行走路線如圖所示，第1次移動到斗，第2次移動到必……,

第n次移動到-.lr,則4出餐視工坐的面積是（）

二、填空題：

3.如圖，自左至右，第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等

邊三角形組成；第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊

三角形組成；第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三

角形組成；…按照此規(guī)律，第〃個圖中正方形和等邊三角形的個數之

和為______

??>x5

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4.已知a>0,Si=—,S2=—S1—1,S3=-,S4=—S3—1,S5=—,（即

aS2S4

當n為大于1的奇數時，村=」—；當n為大于1的偶數時，S=-Sn

Sn-I

-=

-ID＞按此規(guī)律，S2018-

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2023年中考數學考前沖刺第3講：規(guī)律探究性問題答案解析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

1、解數式規(guī)律型問題的一般方法：

（1）當所給的一組數是整數時，先觀察這組數字是自然數列、正

數列、奇數列、偶數列還是正整數列經過平方、平方加1或減1等運

算后的數列，然后再看這組數字的符號，判斷數字符號的正負是交替

出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號，最后把數字規(guī)律和符號規(guī)律結合起來從而

得到結果；（2）當數字是分數和整數結合時，先把這組數據的所有整

數寫成分數，然后分別推斷出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n

項的規(guī)律；（3）當所給的代數式含有系數時，先觀察其每一項的系數

之間是否有自然數列、正整數列、奇數列、偶數列或交替存在一定的

對稱性，然后觀察其指數是否存在相似的規(guī)律，最后將系數和指數的

規(guī)律結合起來求得結果.

數字循環(huán)類規(guī)律題就是幾個數循環(huán)出現(xiàn)，解決此類問題時，一般

是先求出前幾個數，再觀察其中隱含的規(guī)律，若和序號有關，則第n

個數用含n的式子表示，用n除以循環(huán)出現(xiàn)的數的個數，找出余數即

可找到對應的結果.

2、探索等式規(guī)律的一般步驟：

（1）標序數；（2）對比式子與序號，即分別比較等式中各部分與序

數（1,2,3,4,…，n）之間的關系，把其隱含的規(guī)律用含序數的式

子表示出來，通常方法是將式子進行拆分，觀察式子中數字與序號是

否存在倍數或者次方的關系；（3）根據找出的規(guī)律得出第n個等式，

并進行檢驗.

3、根據圖形尋找點的坐標的變換特點，這類題目一般有兩種考

查形式：一類是點的坐標變換在直角坐標系中遞推變化；另一類是點

第5頁共10頁

的坐標變換在坐標軸上或象限內循環(huán)遞推變化.解決這類問題可按如

下步驟進行：（1）根據圖形點坐標的變換特點確定屬于哪一類；（2）

根據圖形的變換規(guī)律分別求出第1個點，第2個點，第3個點的坐標,

找出點的坐標與序號之間的關系，歸納得出第M個點的坐標與變換次

數之間的關系；（3）確定第一類點的坐標的方法：根據⑵中得到的倍

分關系，得到第M個點的坐標；確定第二類點坐標的方法：先找出循

環(huán)一周的變換次數，記為n,用M÷n=3……q（O≤q<n）,則第M次

變換與每個循環(huán)中第q次變換相同，再根據⑵中得到的第M個點的

坐標與變換次數的關系，得到第M個點的坐標.

4、對于求面積規(guī)律探索問題的一般步驟：（1）根據題意可得出第

一次變換前圖形的面積S；（2）通過計算得到第一次變換后圖形的面

積，第二次變換后圖形的面積，第三次變換后圖形的面積，歸納出后

一個圖形的面積與前一個圖形的面積之間存在的倍分關系；（3）根據

找出的規(guī)律，即可求出第M次變換后圖形的面積.

5、找圖形累加型變化規(guī)律的一般步驟：

（1）寫序號，記每組圖形的序數為“1,2,3,…n”；（2）數圖形

個數，在圖形數量變化時，要數出每組圖形表示的個數；（3）尋找圖

形數量與序數n的關系，若當圖形變化規(guī)律不明顯時，可利用圖示法,

即針對尋找第n個圖形表示的數量時，先將后一個圖形的個數與前一

個圖形的個數進行比對，通常作差（商）來觀察是否有恒等量的變化，

然后按照定量變化推導出第n個圖形的個數.

一、選擇題：

1.如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為

第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三

角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形

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按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三

次操作；…根據以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的

A.25B.33C.34D.50

【分析】由第一次操作后三角形共有4個、第二次操作后三角形共有

(4+3)個、第三次操作后三角形共有(4+3+3)個，可得第n次操作

后三角形共有4+3(n-1)=3n+l個，根據題意得3n+l=100,求得n

的值即可.

【解答】解：???第一次操作后，三角形共有4個；

第二次操作后，三角形共有4+3=7個；

第三次操作后，三角形共有4+3+3=10個；

，第n次操作后，三角形共有4+3(n-1)=3n+l個；

當3n+l=100時,解得:n=33,

故選：B.

2.在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令，從原點。

出發(fā)，按向右，向上，向右，向下的方向依次不斷移動，每次移動

1m,其行走路線如圖所示，第1次移動到4,第2次移動到J2……，

第n次移動到-4,則^山與也?5的面積是()

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【分析】根據圖中規(guī)律可得Ah1(2n,O),SPA2016=A4x504(1008,0),從

而得A*(1009,1),再根據坐標性質可得A2A2oi8=lOO8,由三角形面積

公式即可得出答案.

【解答】依題可得：

A2(1,1),A,1(2,O),A8(4,0),A12(6,0)……

,

..A.ln(2n,0),

AA2016=A4x504(1008,0),

ΛA2018(1009,1),

ΛA2A2O18=1OO9-1=1OO8,

l

ΛSΔ??!S=iX1X1008=504(標).

故答案為:A.

二、填空題：

3.如圖，自左至右，第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等

邊三角形組成；第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊

三角形組成；第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三

角形組成；…按照此規(guī)律，第〃個圖中正方形和等邊三角形的個數之

和為.

U煙CW

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【解析】???第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角

形組成，.?.正方形和等邊三角形的和=6+6=12=9+3；?.?第2個圖

由11個正方形和10個等邊三角形組成，.??正方形和等邊三角形的和

=11+10=21=9X2+3；；第3個圖由16個正方形和14個等邊三

角形組成，.?.正方形和等邊三角形的和=16+14=30=9X3+3,…

.?.第A個圖中正方形和等邊三角形的個數之和=9A+3.

4.已知a>0,S1=-,S2=—S,-1,S3=-,S1=—S3—1,S5=~>…(即

aS2S4

當n為大于1的奇數時，s??;當n為大于1的偶數時，S