2023-2024學(xué)年安徽省合肥市高一年級(jí)下冊(cè)段一考試數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年安徽省合肥市高一下冊(cè)段一考試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則工=（）

1-1

A.1-/B.1+zC.-1-/D.-1+?

【正確答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)計(jì)算公式直接化簡(jiǎn)得到答案.

【詳解】匚27=島2（1+島/）="'

故選：B

本題考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

2.在/8C中，a,b,c分別是角力，B,C的對(duì)邊，a=Rb=8B=三,那么/=（）

3兀C一兀

A.—*D.-

4BU3

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理可求出sin4,再結(jié)合大邊對(duì)大角即可得解.

【詳解】因?yàn)?/p>

由正弦定理導(dǎo)=3?’可得sin/asinB旦,

b2

7T

又因?yàn)閍<6,所以/<8,故所以力

故選：B.

3.已知向量,，石滿足|￡|=#，\b\=y/2,（a-b）-b=\,則向量加夾角的大小等于（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正確答案】A

【分析】先由（?。┒玫奖橐宦洹俑鶕?jù)數(shù)量積公式得到cos"去進(jìn)而結(jié)合向

量夾角的范圍進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)向量向量入［的夾角為0,

由（〃—b）,b=l,得a?b—b~=1，

即|4|-|ft|cOS0-|ft|2=l,

因?yàn)闅v|=后，

所以2百cos6-2=1,解得cos0=—，

2

又因?yàn)?°464180°，所以6=30°，

即向量￡，加的夾角的大小為30。.

故選：A.

4.函數(shù)/（力=亨］的圖像大致為（）

【正確答案】B

【詳解】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.

詳解：???XH0J（-x）=e'；e'=一八工）；.八*）為奇函數(shù),舍去A,

X

,?"（l）=e-eT>0.,.舍去D;

../⑷=e+e”ee-、）2x=（>2灣+9+2產(chǎn)，2j⑺5G

xx

所以舍去C：因此選B.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右

的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì);

③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

5.如圖，有一古塔，在4點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏東60。方向上的點(diǎn)。處，塔頂C的仰角為30。,

在Z的正東方向且距。點(diǎn)60m的8點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏西45。方向上（4B,。在同一水

平面），則塔的高度。約為（）（參考數(shù)據(jù)：V6?2.4）

C.40mD.48m

【正確答案】D

【分析】轉(zhuǎn)化為解三角形問題，利用正弦定理、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】如圖，根據(jù)題意，。平面ABD,/CAD=30°,/BAD=30°,NABD=45°,BD=60.

4D所以60AD

sinZ.ABD'sin30°sin45°

所以=60五.在RtA^CD中，CD=AD-tan30°=60gx—=2048m.

3

故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

6.NBC所在平面上一點(diǎn)P滿足蘇+無=機(jī)荏（加＞0,加為常數(shù)），若尸的面積為6,則

/8C的面積為（）

A.6B.9C.12D.24

【正確答案】C

【分析1由已知中P是N8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足方+斤=〃?荏，我們根據(jù)向量加法

的三角形法則可得就范=2所，C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的2倍，故

SABC=2SABP，結(jié)合已知中48P的面積為6,即可得到答案.

【詳解】取/C的中點(diǎn)0,則?.?可+定=〃?而(/?>0,機(jī)為常數(shù)),

mAB=2P0>

C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的2倍,

故SABC-2^ABP=12.

7.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意的X都滿足〃x+2)=/(x),當(dāng)-1?X<1時(shí)，

f(x)=x3,若函數(shù)g(x)=/(x)-10g“|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(0,1]u(5,+oo)B.(0,1)u[5,+oo)

C.(1)1)U(5,7)D.(p1)o[5,7)

【正確答案】A

【分析】函數(shù)的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)圖像的焦點(diǎn)問題，再對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的。進(jìn)行分類討論即可.

【詳解】由"X+2)=f(x)知/(x)是周期為2的周期函數(shù)，

函數(shù)g(x)=〃x)-log“卜|至少有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=/(X)與g(x)=log/M的圖象至少

有6個(gè)交點(diǎn)，

①當(dāng)a>l時(shí)，畫出函數(shù)夕=/(x)與g(x)=logjx|的圖象如下圖所示，

根據(jù)圖象可得8(5)=1毀,5<1,即“>5.

產(chǎn)lo&W

-7yiyi-->ciyiyi

②當(dāng)0<a<l時(shí)，畫出函數(shù)V=/(X)與g(x)=logjx|的圖象如下圖所示,

根據(jù)圖象可得g(-5)=log,,52-1,即0＜。＜1.

綜上所述，。的取值范圍是(o]。(5,+8).

故選：A

8.正方形/8C。的邊長(zhǎng)為2,。是正方形力6c。的中心，過中心O的直線/與邊交于

點(diǎn)用，與邊CD交于點(diǎn)N,2為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2。尸=4。8+(1-;I)。。，則兩?㈱的

最小值為()

197

A.—B.—C.-2D.—

444

【正確答案】D

【分析】設(shè)2萬=而，由2麗=2而+(1T)而得到。為直線OP與8c的交點(diǎn)，再由極

化恒等式兩?溫=；[(而+麗)2—(麗—麗y]^PO2-NO2=^QO2-NO2,由

[0。|21,川。區(qū)應(yīng)即可求解.

設(shè)2歷=而，可得宛=4麗+(1-彳)反，故。,仇。三點(diǎn)共線，又0,尸,。三點(diǎn)共線，故。

為直線OP與8c的交點(diǎn).

.L1UU1「■■)■■)-1，…“?■?，…????

PM'PN=-[(PM^-PNy-(PM-PNY^,又PM+PN=2PO,PM-PN=NM=2NG,

可得而.潴=而;而前;而二又|。。|21,|叫40,所以

~PM-'pN=J由1-1而上;x1-(&y=-7~.

故選：D.

二、多選題

9.45c是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，已知向量滿足方=7而=1+2占，則()

A.，卜1B.a-b=—

C.(a+b)lBCD.而在元上的投影向量為不

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)條件可得同=1,歸+24=1,1(￡+25)=；,根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求小6,W，

由此判斷A,B,再結(jié)合向量垂直的表示和投影向量的定義判斷C,D.

【詳解】因?yàn)?8。是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，AB=a,AC=a+2b,

所以忖=1,卜/+2可=1,cos(48,NC)=g,

所以a.(a+2^)=；,

所以2lB=-；，/+415+4片=1，

所以W=g,A,B錯(cuò)誤；

因?yàn)榛襘萬一萬二？]，

^^[a+b]-BC=[a+b]-(2b^=2a-b+2b2=0,

所以卜+不)，團(tuán)，C正確；

因?yàn)?%=-；,忖=；，忖=1,

所以cos,,

在在就上的投影向量為|布。5?，2?1[=1']-；卜(2@=-b,D正確；

故選：CD.

10.Z8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,則下列命題為真命題的是()

A.若力>夕，則sin4>sin8

B.sin2+sin2B<sin2C）則4SC是鈍角三角形

C.若acosZ=6cos8,則Z8C為等腰三角形

D.若。=8,c=10,/=60。，則符合條件的N5C有兩個(gè)

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，通過邊角轉(zhuǎn)化等一一判斷即可.

【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)結(jié)論大角對(duì)大邊，則有。>b,又因?yàn)檎叶ɡ悫D一=一二，所以

sinAsinB

sin4>sin8,故A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，由sirz+si/Bvsin2c可得.'cosCvO,/BC為鈍角三角形,

故B正確：

對(duì)C選項(xiàng)，由4cos/=bcos8可得sin/cos/=sin8cos8,.1sin2/=sin28,

.?.4=8或2工+28=兀，/BC是直角三角形或等腰三角形，故C錯(cuò)誤；

in6

對(duì)D選項(xiàng)，由正弦定理得.0256故不存在滿足條件的ABC,故D錯(cuò)誤.

sinC=-------=------>1

88

故選：AB.

11.直角三角形NBC中，P是斜邊8c上一點(diǎn)，且滿足麗=2定，點(diǎn)M,N在過點(diǎn)P的直線

上，若力l7=w方，病=〃就，（用>0/>0）,則下列結(jié)論正確的是（）

1215

A.乙+士為常數(shù)B.九〃的值可以為：“==

mn22

C.m+2〃的最小值為3D.卷3的最小值為J

3VABC9

【正確答案】ABD

【分析】作出圖形，由而=2正可得出不=；而+：就，根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論得出

12

—+上=3,由此判斷A,B,結(jié)合基本不等式可判斷CD.

mn

【詳解】如下圖所示:

由方A=2斤，可得4P_N8=2（/C_/P）,

:.JP=-AB+-AC,

33

^AM=mAB-AN^nAC>(w>0,?>0),

—1——?—?1—?

貝!jZB=—AM,AC——AN,

mn

：.7P=—AM+—AN,

3m3〃

?；M、P、N三點(diǎn)共線，

1212r

—+—=t1,..—H—=3,

3m3〃mn

故A正確；

當(dāng)加=1,時(shí)，J_+2=￡W3,所以B錯(cuò)誤;

當(dāng)且僅當(dāng)"?=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，C正確；

/8C的面積/MN的面積S,MN=g/〃ZN,

SAM?AN

所以1vA口MN=--------=mn

S、ABCABAC

12n~224

因?yàn)樯?上=3,所以當(dāng)且僅當(dāng)，"=；,〃=；時(shí)等號(hào)成立,

mnn33

即加8當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=*2,〃=?4時(shí)等號(hào)成立，

933

所以當(dāng)掰=2:，〃=：4時(shí)，加〃取最小值，最小值為8

所以沁L的最小值為，，口正確；

玉ABC9

故選：ABD.

12.已知y=/(x)奇函數(shù)，/(x)=/(2-x)恒成立，且當(dāng)O?x?l時(shí)，f(x)=x,設(shè)

g(x)=/(x)+/(x+l),則()

A.g(2022)=l

B.函數(shù)y=g(x)為周期函數(shù)

C.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2021,2022)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=g(x)的圖像既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心

【正確答案】BCD

【分析】由g(x)與/⑴的關(guān)系式及/㈤的周期性、奇偶性，即可求g(2022)和判斷g(x)的周

期，進(jìn)而判斷A和B；利用奇函數(shù)性質(zhì)求/(X)在-24x42上的解析式，結(jié)合g(x)的周期性

及g(x)="X)++1)求(2021,2022)上的解析式判斷C,利用對(duì)稱性判斷g(l-x)=g(x)、

g(x)+g(3-x)=0是否成立判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)=/(2-x),所以，f(-x)=f(2+x),又/(x)為奇函數(shù)，故

f(-x)=-f(x)=-f(2-x)=f(x-2)=f(2+x),利用〃x-2)=/(x+2),可得

f(x)=f(x+4),故〃x)的周期為4；

因?yàn)?(x)周期為4,則g(x)的周期為4,又為x)是奇函數(shù),

所以g(2022)=g(505x4+2)=g(2)=/(2)+/(3)=f(2)+/(-I)=-/(I)=-l,A錯(cuò)誤,B正確;

當(dāng)0?x?l時(shí),f(x)=x,因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，故-必＜0時(shí),f(x)=x,因?yàn)椤▁)=/(2-x)

恒成立，令042-xVl,此時(shí),/(2-x)=2-x，貝!|2NxNl,/(尤)=/(2—x)=2-x,故0W2

令BPl<-x<2,則/(-x)=2+x=-/(x),即f(x)=-x-2；

令-14x<0,即0<-x41,則/(-x)=-x=-/(x),即/(x)=x；

令2<x<3,BP-3<-x<-2,-l<2-x<0,f(2-x)=2-x=/(x)

-x-2,-2<x<-l

所以/(X)=?X,-14x41,

2-x,l<x<3

根據(jù)周期性V=g(x)在XW(2021,2022)上的圖像與在xw(1,2)相同，

所以，當(dāng)14x<2,即24x+l<3時(shí)，g(x)=/(x)+/(x+l)=2-x+2-(x+I)=3-2x，故g(x)

在xe(1,2)上單調(diào)遞減，C正確；

由/(x)是周期為4的奇函數(shù)，則/(x+2)=-f(x)=f(x-2)且f(x-1)=-f(x+1),

所以g(l-x)="1-x)+/(2一x)=-f(x-2)=/(x)+f(x+1)=g(x),故g(x)關(guān)于

X=1對(duì)稱,

2

g(x)+g(3-x)=/(x)+/(x+l)+/(3-x)+/(4-x)=/(x)+/(x+l)-/(l+x)-/(x)=0,所以

g(x)關(guān)于(|,o)對(duì)稱,D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.在平面直角坐標(biāo)系中，角口的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)(-2,力

且tan("一a)=2,則sina=.

【正確答案】亭

【分析】根據(jù)a終邊上一點(diǎn)(-2/),求得tana,再結(jié)合tan(%-a)=2可求得”4,再利用

三角函數(shù)定義可求解.

【詳解】因?yàn)閍終邊上一點(diǎn)(-24),

所以tana=-?,

2

又tan(^-a)=2ntana=-2,

所以可得y=4,

~?42班

所以sma=/=1~,

V(-2)2+425

故*

14.z+2』=9+4i(i為虛數(shù)單位)，則|z[=

【正確答案】5

【分析】設(shè)z=a+加(a"eA)分代入z+2，=9+4i,整理后由復(fù)數(shù)相等的條件列

式求得a,b的值，根據(jù)z=a+4?的模為|z|=^Ja2+b2，即可求得回.

【詳解】設(shè)z=a+6i(&6GA),則

代入z+2』=9+4i代:(。+5)+2("加)=3">=9+4z

/.3a=9,—b=4故：a=3,b=T

z=3-4z

根據(jù)z=a+bi的模為|z|=\Ja2+b2

|Z|=732+(-4)2=5

故答案為:5.

本題主要考查復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)求模，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部是解題關(guān)鍵,考查計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

15.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形

邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設(shè)初始正方形48。)的邊長(zhǎng)為正，則存.旃=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可知，

AE-JF=(AD+DE)(BC+CF)=7DJC+7DCF+DEJC+DECF

=2+ADCF+DEBC

^2-CBCF-DEDA

=2-A/2X1X-lx^-xf-=4,

I2JI2J

故4.

16.在N8C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為是的中點(diǎn)，若8=1,且

(a-gb)siri4=(c+b)(sinC-siiR),則當(dāng)/8C面積取最大值時(shí)，/8C的周長(zhǎng)為

4M+2后

【正確答案】

5

【分析】分別在CD4和△CO8中，由余弦定理以及cos(T-e)=-cos。可得

c2=2(a2+h2)-4,由卜in4=(c+b)(sinC-sin8)及正弦定理得〃？+b2-c2=^-,可

得sinC=巫，消去d可得02+/+孚=4,由基本不等式可得而取最大值即N8C面積

42

取最大值，a=b=巫，從而可得結(jié)果.

5

【詳解】如圖，設(shè)NC￡%=。，則NCO8=%-。.

在CD4和△88中，分別由余弦定理可得

一+l-h2—+1-/

COS^=-------，COS(7U-0]=--------，

CC

又C0S(7T-。)=一COS。

2

所以3+2-(/+〃)=(),

所以C2=2(/+〃[4,①

由("g“sin/l=('+8)卜皿(7-$詢8)及正弦定理得

(a-gb)a=(c+6)(c-/)),

整理得/+/一C2=?,②

由余弦定理的推論可得cosC=1+"2-c2=J.,所以sinc=46.

lab44

所以/8C面積為S48c=1absinC=^5ab,

"c28

所以求N8C面積取最大值即帥的最大值.

把①代入②整理得/+/+號(hào)=4,

又a、b222ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,

by“、c,ab5ab

^\^4>2ab+-=--

22f

所以abvg,即0=6=3叵時(shí)等號(hào)成立.

55

此時(shí)c?=2倍+即‘=嶇,

155)55

所以當(dāng)/取最大值時(shí)Z4C的周長(zhǎng)為生叵立馬叵.

5

故49+2小

四、解答題

17.已知向量方=(1,1),OB=(3,-l),OC=(m,3),OD=(x,y)(m,x,yeR).

(1)若48,C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)”的值；

(2)若四邊形/BCD為矩形，求x+y的值.

【正確答案】(1)-1:(2)10.

【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出在、就，利用A,B,C三點(diǎn)共線列方程求

出〃?的值.

(2)由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和矩形的定義，列方程組求出機(jī)、x、V的值，再求和.

【詳解】解：(1)向量宓=(1,1),方=(3,-1),OC=(m,3),

所以方=礪-方=(2,-2),AC=OC-OA=(m-1,2),

由A,B,C三點(diǎn)共線知，~ABH~AC，

即-2(,”-l)-2x2=0,解得團(tuán)=-1；

(2)由荏=(2,-2),5C=OC-dB=(/n-3,4),

'AD=OD-OA=^-\,y-\),

Cb=OD-OC=(x-niy-3'),

若四邊形N8CZ)為矩形，則在，團(tuán)，

B|JJSSC=2(zn-3)-8=0,解得機(jī)=7;

____.,[x-m=x-7=-2

由“8=-8，得｛.,，

[y-3=2

解得x=5,V=5,

所以x+y=10.

18.在A48c中，內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知玩=(a,c-26),萬=(cosC,cos/)，且

in.Lii.

(1)求角A的大??；

(2)若b+c=5,A/18C的面積為百，求M8C的周長(zhǎng)

【正確答案】(1)9;(2)5+如

(1)由向量垂直關(guān)系得到數(shù)量積為零的等式，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式、

誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)得到cos4,進(jìn)而求得A；

(2)根據(jù)三角形面積公式構(gòu)造方程求得be,利用余弦定理可求得。，進(jìn)而得到所求周長(zhǎng).

【詳解】(1)'：fhLn:.mn=acosC+(c-2fe)cos>4=0

由正弦定理得：sinAcosC+(sinC-2sin5)cosA=0

即：sinAcosC+cos4sinC-2sin8cos4=sin(Z+C)-2sin8cosA=0

?：A+B+C=TVsin(4+C)=sinBsinB-2sinBcosA=0

：.sin5*0

2

ve(O,jT)?

(2)=—6csinA=—ftesin—=—be=\/-3be-4

皿2234

由余弦定理得：/-b2+c2-2bccosA-(^b+c)2-2bc-2bccosy25-12=13

:.a=屈48c的周長(zhǎng)L=a+6+c=5+JJ3

本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、利用兩角和差公式和誘導(dǎo)公

式化簡(jiǎn)、平面向量數(shù)量積、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于常考題型.

19.已知函數(shù)y=/(x)(xeR)是偶函數(shù).當(dāng)x20時(shí)，f(x)=x2-2x.

⑴求函數(shù)〃x)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=-/(司+1,求g(x)在區(qū)間+上的最大值，其中。>7.

【正確答案】⑴函數(shù)/(X)的解析式為/(X)=X：+?

x~-2x,x>0

2,-1<67<1

⑵當(dāng)a>-l時(shí),g(x)在區(qū)間上的最大值為g(a)=

—+2。+1,67>1

【分析】(1)利用偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)/(X)在(0,+8)上的解析式，由此可得結(jié)論;

(2)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求g(x)的最值.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)夕=/(x)(xeR)是偶函數(shù),

所以當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=f(-x),-x>0,

又當(dāng)x20時(shí)，f(x)=x2-2x,

所以當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=(-x)2+2x=x2+2x,

所以函數(shù)/(X)的解析式為/(X)=卜:+<，，

x-2x,x>0

(2)因?yàn)間(x)=-/(x)+l,

所以當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=-x2-2x+l=-(x+1)'+2,

當(dāng)x20時(shí)，g(x)=-x2+2x+l=—(x-1)2+2,

所以當(dāng)1時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)-l<x<0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)0VxVl時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X21時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，則。+2>1,

所以函數(shù)g(x)在［凡。+2］上的最大值為2,

當(dāng)“>1時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間［%。+2］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=a時(shí),g(x)取最大值,最大值為g(a)=-/+2a+l,

所以當(dāng)時(shí)，g(x)在區(qū)間上的最大值為〃>1,

20.N8C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BF=ABC^<2<1\過點(diǎn)尸作。尸1BC交AC邊

于點(diǎn)。，交8/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

B

7

(1)當(dāng)2=3時(shí)，設(shè)忌=/BC=b'用向量〉;表示占：

(2)當(dāng)人為何值時(shí)，成危取得最大值，并求出最大值.

—472T39

【正確答案】(1)EF=--a+—b；(2)/k尸3有最大值記，

【分析】(1)求出5上屆，再利用減法法則得解；

(2)求出4E-FC=-9儲(chǔ)+-再利用二次函數(shù)求解.

22

f2TT2

【詳解】解：(1)由題意可知：BF、b,且5尸=3x?=2,

T->4T4T

BE=4,故=—=，

33

->->->4T2T

EF=BF—BE=——a+-b.

33

(2)由題意，BF=3/1,FC=3-3/1,BE=6ZfAE=6^-3,

ff279

^￡-FC=(6/l-3)(3-3A)cos60°=-9A2+y/l-y,

27

所以當(dāng)2=-3=標(biāo)仕1］時(shí)，弱啟有最大值

-9x24{2}I。

21.已知函數(shù)/(x)=2sin3x+0)(-7t<a(O,<y)O)的圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱，且兩相鄰對(duì)稱

6

中心之間的距離為5.

(1)求/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間：

⑵若函數(shù)g(x)=/(x+")為偶函數(shù)，求同的最小值.

(3)若關(guān)于x的方程/(x)+log2A=0在區(qū)間田上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【正確答案】(1)7=兀，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間1阮+￡,而

63

(2)時(shí)的最小值為壽

,「1

⑶萬，4.

【分析】(1)根據(jù)相鄰對(duì)稱中心的距離求出周期，得。的值，根據(jù)對(duì)稱軸求出夕，得出解析

式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間;

(2)根據(jù)奇偶性的性質(zhì)列方程求同的最小值.

(2)將方程有實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)，求值域的問題，由此可求人的取值范圍.

JT

【詳解】⑴因?yàn)楹瘮?shù)兩相鄰對(duì)稱中心之間的距離為于

所以函數(shù)/(X)的最小正周期7=兀,

2兀

所以同=兀，又口＞0,所以口=2,

函數(shù)圖象關(guān)于直線x=￡對(duì)稱，2x2+9=%兀+5,丘Z,

662

兀

國(guó)畢得：(p=kn+—,keZ,一兀<。<0,

6

所以9=-e，/(x)=2sin,571

2x---

66

由2A兀-—<2x———<2kli+—GZ,

262

得：/at+—<x<kn+—,keZ

63r

■jrOjr

所以函數(shù)y=〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間桁+m，氏+—,AeZ；

o3

(2)由(1)g(x)=2sin|2x+26r-^-|,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為偶函數(shù),

所以2sin(2x+2a一期=2sinf-2x+2a--^-

所以4〃---=24兀+?；?x=2E(舍去)，kEZ,

3

匚匚]kit2兀

所以"二+7-,ZeZ,

23

所以卜I的最小值為:

(3)當(dāng)xw0,弓時(shí)，2x--e,/(x)=2sin(2x—^],

.2」6

因?yàn)殛P(guān)于X的方程/(x)+bg2左=0在區(qū)間"鼻上總有實(shí)數(shù)解，

所以函數(shù)y=-/(x)的圖象與函數(shù)y=bg2我的圖象有交點(diǎn)，

所以bg2左=-/■(#€[-1,2],

所以-14噬2%42,

所以g,4

22.已知N8C為銳角三角形，角45,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且acosC=c(I+cos4).

(1)求￡的取值范圍：

a

(2)若b=2,求/8C面積的取值范圍.

【正確答案】(1)(母,等)

(2也

2

【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得力=2C.根據(jù)三角形ABC是銳角三角形求得

C的取值范圍，利用正弦定理化簡(jiǎn)￡,通過cosC的取值范圍求得￡的取值范圍.

aa

(2)利用正弦定理表示出“，由此求得三角形48c面積的表達(dá)式，結(jié)合C的取值范圍求得

8的取值范圍，對(duì)C分成C=f和兩者情況