材料力學(xué)梁的強度-1

第四章作業(yè)4-1、4-2、4-3、4-44-8、4-9(4-7、4-8)4-11、4-13（4-10、4-12）4-16、4-19、4-21

（4-15、4-18、4-20）第四章彎曲強度4.1平面彎曲梁的內(nèi)力附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)4.2彎曲正應(yīng)力4.3彎曲切應(yīng)力4.4梁的強度條件和強度設(shè)計平面彎曲的概念梁的載荷及計算簡圖剪力與彎矩剪力圖與彎矩圖剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系4.1平面彎曲梁的內(nèi)力剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖一、平面彎曲的概念1．定義

外力垂直于桿的軸線，使得桿的軸線由直線變成曲線的變形，稱為彎曲變形，簡稱彎曲。梁——以彎曲為主要變形的桿件2．平面彎曲的概念

外力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線彎曲后仍在此對稱平面內(nèi)----平面彎曲或?qū)ΨQ彎曲特點:軸線的彎曲平面與外力的作用平面重合二、工程實例固定端滑動鉸支座固定鉸支座阻止

任何方向移動阻止

豎向移動阻止

任何移動和轉(zhuǎn)動1、梁的簡化（2）載荷：分為集中力、分布力，集中力偶、分布力偶（1）梁

：用軸線表示（3）支座：三、梁的載荷及計算簡圖2、梁的分類(1)按支座情況分為：(2)按支座數(shù)目分為：簡支梁靜定梁外伸梁懸臂梁超靜定梁跨

——梁在兩支座間的部分跨長——梁在兩支座間的長度

（3）按跨數(shù)分為：單跨梁多跨梁四、剪力與彎矩1、內(nèi)力（剪力和彎矩）的求法2、符號規(guī)定3、實用法則剪力(FS

)——與橫截面的法向垂直的內(nèi)力1、求法—截面法任一橫截面上的剪力

等于該橫截面任一側(cè)所有外力的代數(shù)和彎矩(M

)——橫截面上的內(nèi)力偶矩

任一橫截面上的彎矩等于該橫截面任一側(cè)所有外力對橫截面形心力矩的代數(shù)和2、內(nèi)力符號約定剪力：繞“研究體(隔離體)”順時針轉(zhuǎn)為正彎矩：端面由下轉(zhuǎn)向上為正（使梁向呈“上凹”形）3、實用法則剪力：考慮橫截面左側(cè)梁段時，向上（下）的外力產(chǎn)生

+（-）剪力，（右側(cè)相反），代數(shù)和結(jié)果為+

(-)時，剪力為+

(-)彎矩：考慮橫截面左側(cè)梁段時，順（逆）針旋轉(zhuǎn)的外力矩產(chǎn)生+（-）彎矩，（右側(cè)相反），代數(shù)和結(jié)果為+

(-)時，彎矩為+

(-)注：對任一側(cè)梁段，向上（下）的外力產(chǎn)生+（-）彎矩使梁向呈上凹例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FS和M。解：1.由梁的整體平衡方程求支反力注意：求支座反力不是求內(nèi)力?。。?.求內(nèi)力A左鄰截面：剪力：考慮橫截面左側(cè)梁段時，向下的外力產(chǎn)生（—）剪力彎矩：考慮橫截面左側(cè)梁段時，逆針旋轉(zhuǎn)的外力矩產(chǎn)生（—）彎矩A右鄰截面：注意：D左鄰截面：D右鄰截面：注意：注意：五、剪力圖和彎矩圖1、剪力方程和彎矩方程2、剪力圖和彎矩圖

列方程法作剪力圖和彎矩圖

疊加法作彎矩圖剪力方程1、剪力方程和彎矩方程彎矩方程——剪力隨橫截面變化的函數(shù)表達式——彎矩隨橫截面變化的函數(shù)表達式剪力圖2、剪力圖和彎矩圖彎矩圖2.剪力正值畫在橫軸的上方，負(fù)值畫在橫軸的下方。做法：1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示剪力或彎矩；；——剪力隨橫截面的變化曲線——彎矩隨橫截面的變化曲線3.彎矩正值畫在橫軸的下方，負(fù)值畫在橫軸的上方。彎矩畫在受拉的一側(cè)!!!作剪力圖和彎矩圖的方法：

（1）列方程法

（2）疊加法

（3）控制點法

列內(nèi)力方程例

2

作圖示梁的內(nèi)力圖。

作內(nèi)力圖解：

求支反力（1）列方程法例3

作圖示梁的內(nèi)力圖。內(nèi)力圖特點：2.列內(nèi)力方程3.作內(nèi)力圖解：

求支反力FS圖突變，突變值等于集中力大小，

M圖轉(zhuǎn)折。集中力作用截面，例4

作圖示梁的內(nèi)力圖。集中力偶作用截面，M圖突變，突變值等內(nèi)力圖特點：2.列內(nèi)力方程3.作內(nèi)力圖解：1.

求支反力于集中力偶大小，F(xiàn)s圖不變。（2）疊加法作彎矩圖可見：

剪力方程和彎矩方程都是載荷F、q和Me的線性函數(shù)疊加原理：

由幾個外力同時作用時所引起的構(gòu)件內(nèi)的某一參數(shù)

（內(nèi)力、應(yīng)力或位移等）

由各個外力單獨作用時所引起的構(gòu)件內(nèi)的該一參數(shù)

的矢量和或代數(shù)和適用條件：小變形情況例5

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出F單獨作用時的彎矩圖

2.作出Me單獨作用時的彎矩圖

3.疊加上述兩圖，得到F和Me同時作用時的彎矩圖例6

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出q單獨作用時的彎矩圖

2.作出Me單獨作用時的彎矩圖

3.疊加上述兩圖六、剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系1、FS、M和q之間的微分關(guān)系2、突變條件3、控制點法作剪力圖和彎矩圖1、FS、M和q之間的微分關(guān)系規(guī)定：q↑為

+取微段

dx

為研究對象由

Fy

=0：得到)M(x)F(xSM(x)+dM(x)F(x)+dF(x)SS剪力與分布載荷的關(guān)系由

MC=0：忽略二階微量，得到)M(x)F(xSM(x)+dM(x)F(x)+dF(x)SS彎矩與剪力的關(guān)系即：彎矩二分布載荷集度彎矩一力剪

由此得到

x截面上的剪力對x的一階導(dǎo)數(shù)

x截面上的分布載荷集度梁的平衡微分方程彎矩圖凹凸性取決于該截面處的分布載荷集度剪力圖上x截面處的切線斜率

該截面處的分布載荷集度彎矩圖切線斜率力剪微分關(guān)系的增量形式積分項的物理含義：

相應(yīng)的圖形（分布集度、剪力）的面積微分關(guān)系對應(yīng)表q(x)=0q(x)=q

=qx

=0dF(x)

dx=

qq

>0q

<0斜直線斜直線水平線Fx常量=F

=dM(x)

dx=qd

M(x)

dx22q

>0q<0F>0F

=0F

<0水平線斜直線斜直線拋物線極大值拋物線極小值MxM圖q圖F

圖常量

SSdF

(x)dxSSSSSS2、突變條件qxFxMxM圖q圖F

圖FFFFSSMeMeMeMe突變條件對應(yīng)表控制點法畫剪力圖與彎矩圖主要步驟：

根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制點(面)。

應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數(shù)值

(假定剪力和彎矩都為正方向)。

建立FS一x和M一x坐標(biāo)系，并將控制點(面)上的剪力和彎矩值標(biāo)在相應(yīng)的坐標(biāo)系中。

應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。

例qBADa4aqaFAyFBy

梁由一個固定鉸支座和一個可動鉸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱為外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。

解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、F

二處的約束力qBADa4aqaFAyFByCOxFSOxM2．確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及集中力qa左側(cè)的D截面，也都是控制面。

3．建立坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系

qaqBADa4aFAyFByOxFSOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa24．確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FS－x和M－x坐標(biāo)系中。CqaqBADa4aFAyFByOxFSOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa25．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對于剪力圖：在AB段，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線，由連接c、d二點而得，或者由其中任一點作平行于x軸的直線而得。qBADa4aqaFAyFByOxFSOxM5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線對于彎矩圖：在AB段，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因為q向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線的位置，除AB段上兩個控制面上彎矩數(shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒有極值點，以及極值點的位置和極值點的彎矩數(shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點剪力為零。9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEqAExE6．確定彎矩圖極值點的位置。qBADa4aqaFAyFByOxFSOxM9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEe81qa2/32eEOxFSOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

7．確定剪力與彎矩的最大絕對值

從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對值的最大值分別為OxFSOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadqa2cqae81qa2/32eE

注意到在B支座處，由于約束力的作用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪力不等）彎矩圖在該處出現(xiàn)折點（彎矩圖的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線cd的斜率）。

剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

1.剛架概念剛架剛架桁架剛架——其組成各桿采用剛性固定聯(lián)結(jié)，確保各桿接頭處受力后無相對角度改變。桁架——若干桿件有鉸接聯(lián)結(jié)。受力后節(jié)點可以角度改變。當(dāng)外力作用在節(jié)點時，桁架僅僅產(chǎn)生軸向力N。剛架無論受何種外力，其桿件橫截面上將有產(chǎn)生的可能，且為主要內(nèi)力。

簡單剛架內(nèi)力圖的畫法(1)無需建立坐標(biāo)系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)彎矩的數(shù)值標(biāo)在受拉邊;(4)軸力、剪力畫在里側(cè)和外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號；(5)注意節(jié)點處的平衡關(guān)系。節(jié)點處的平衡關(guān)系FNFSFNFSMMFNFSFNFSBMM例

已知平面剛架上的均布載荷集度q,長度l。B試：畫出剛架的內(nèi)力圖。B

解：1、確定約束力qlBql解：2、確定控制面。B'B"ACB'ABA

解：3、確定控制面上的內(nèi)力。FS(B')FN(B')M(B')考察立柱AB的平衡B"BC解：3、確定控制面上的內(nèi)力。FN(B")FS(