平行垂直與動點（練習(xí)）（含解析）2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點7-1平行垂直與動點

卜維練基礎(chǔ)物

I.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知A、B、C、。、E、F分別是正方體所在棱的中點,

則下列直線中與直線"相交的是（）.

B.直線BC

C.直線CoD,直線D4.

【答案】A

【分析】

通過空間想象直接可得.

【詳解】

如圖，易知A尸HG,HGBE,所以AF〃8￡,且AF=LBE,

2

所以AB所為梯形，故AB與EF相交，A正確；

因為BCMH,MHNLNLEF,所以BC〃EF,故B錯誤；

因為平面CDH平面EFNL,CZJu平面CDH,EFU平面EFNL,

所以直線CD與直線EF無公共點，故C錯誤；

因為ADU平面AOF,EFl平面4）尸=尸，故Ao與EF異面，D錯誤.

故選：A

2.（2020?山東?高考真題）已知正方體ABCO-ABGA（如圖所示），則下列結(jié)論正確的

A.BDt//AtAB.BDJIAxDC.BDt1AtCD.BDt1Λ1Cl

【答案】D

【分析】

根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項.

【詳解】

A.AAJ∕BB?,B與與BOI相交，所以與AAl異面，故A錯誤；

B.3%與平面AopA相交，且所以BR與Ao異面，故B錯誤；

C.四邊形ABCp是矩形，不是菱形，所以對角線BR與AC不垂直，故C錯誤；

D.連結(jié)BQ,B1D11A1C1,BBi1A1C1,B1D1nBB1=B1,所以AlG，平面BBQ,所以

AG_LB。，故D正確.

故選：D

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點,

M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線4B不平行于平面MNQ的是（）

【答案】D

【分析】

利用線面平行的判定定理逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】

對于A選項，連接CO,如下圖所示：

因為AC//8Z)且4C=8f>,所以，四邊形ABr)C為平行四邊形，所以,CDHAB,

QN、。分別為CE、OE的中點，則NQ〃C。，所以，NQHAB,

因為A8<Z平面MM2，NQU平面MNQ,所以，AB//平面MNQ；

因為AC//BQ目.4C=5D,所以，四邊形ABDC為平行四邊形，所以,ABHCD,

。分別為CE、￡>￡的中點，所以，MQ//CD,.-.MQHAB.

因為A3Z平面MNQ,MQl平面MNQ,所以，AB〃平面MNQ：

對于C選項，連接CO,如下圖所示：

因為且AC=3。，所以，四邊形ABOC為平行四邊形，所以,ABHCD,

Q分別為CE、DE的中點，所以，MQHCD,.-.MQHAB,

因為A8<Z平面MNQ,MQl平面"NQ,所以，AB〃平面MNQ；

對于D選項，連接CD、8E交于點。，則。為BE的中點，設(shè)BEMN=F,連接FQ,

因為Q、。分別為AE、砥的中點，則OQ〃A8,

若AB〃平面MNQ,ABI平面ABE,平面ABEI平面MNQ=尸。，則32〃AB.

在平面ASE內(nèi)，過該平面內(nèi)的點Q作直線45的平行線，有且只有一條，與題設(shè)矛盾.

假設(shè)不成立，故D選項中的直線AB與平面"NQ不平行.

故選：D.

4?（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCO-ABCa中，M,N分別是棱CQcC

的中點.給出以下四個結(jié)論：

①直線AM與直線GC相交；②直線AM與直線BN平行；③直線4W與直線。。異面；④

直線BN與直線M耳異面.其中正確結(jié)論的序號為一（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上）.

【答案】③④

【分析】

利用異面直線的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】

AMn平面CDRG=M,CClU平面CDD￡,且MeCc-根據(jù)異面直線的定義可得，直

線AM與百線CC異面，故①錯；類似的根據(jù)定義可說明直線AM與直線BN異面，直線40

與直線Dq異面，直線BN與直線MBl異面，故②錯，③，④正確.

故答案為：③④

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知平面a、夕和直線機(jī)、/,則下列說法：

①若aVβ,aβ=m,ILm,則/J_〃；

②若aβ=m,IUa,ILm,則/_L尸；

③若a，/?,∕?a,!）∣∣J∕±/?;

④若ccLβ,aβ=m,IUa,ILtn,則/J?P.

其中正確的說法序號為.

【答案】④

【分析】

利用面面垂直的性質(zhì)定理逐項判斷可得出結(jié)論.

【詳解】

對于①，若a，#,aβ=m,IVm,貝∣J/與"的位置關(guān)系不確定，①錯：

對于②，若a、〃不垂直，則/與尸不垂直，②錯；

對于③，若口■!"尸，∕ua,貝!]/與/不一定垂直，③錯；

對于④，由面面垂直的性質(zhì)定理可知④對.

故答案為：④.

2堆練能力f//

6.（2021.北京.高三開學(xué)考試）在正方體ABC。-ABcA中，點尸在正方形AoRA內(nèi)，且

A.在正方形。CCQl內(nèi)一定存在一點。，使得產(chǎn)。〃4C

B.在正方形。CGQ內(nèi)一定存在一點。，使得PQJLAC

C.在正方形。CGR內(nèi)一定存在一點。，使得平面「。G//平面A8C

D.在正方形。CGA內(nèi)一定存在一點。，使得ACL平面PQC

【答案】A

【分析】

對于選項A,當(dāng)尸。是《RAC的中位線時，可判斷A選項；對于選項B,假設(shè)存在，則PQU

平面DBBR,或者PQ〃平面。B瓦。，進(jìn)而與已知矛盾判斷B選項；對于選項C,假設(shè)存

在，則可得到平面PQG//平面AMG,進(jìn)而由矛盾判斷C選項；對于選項D,假設(shè)存在,

則可得到平面DBBQJ/平面PQC1,進(jìn)而已知矛盾判斷D選項.

【詳解】

對于選項A,連接4。、交于點P,連接DG、AC交于點Q連接PQ、AC,

因為PQ是.RAC的中位線，所以PQ〃AC,故A項正確；

對于選項B,在正方形DCGA內(nèi)如果存在一點。，使得PQJLAC,由于AC_L平面。BBQi,

所以PQU平面DBBQ,或者PQ//平面O8B∣R,而R。在平面DB4R的兩側(cè)，P。與

平面。8隹。相交，故B項錯誤；

Ci

對于選項C,在正方形。CGP內(nèi)如果存在一點0，使得平面尸QCJ/平面ABC,由于平面

ABGll平面ABC,所以平面尸。C"/平面A耳G,而平面PQ6與平面A旦G相交于點G，

故C項錯誤；

對于選項D,在正方形OCGA內(nèi)如果存在一點Q，使得ACj_平面PQG,由于ACl平面

DBB1D1,所以平面DBBQ//平面PQC-而R。在平面DBBIA的兩側(cè)，所以平面。臺鳥〃

與平面PQc,相交，故D項錯誤.

故選：A

7.（2011?浙江?高考真題（理））下列命題中錯誤的是（）

A.如果平面aJ_平面人那么平面ɑ內(nèi)一定存在直線平行于平面￡

B.如果平面α不垂直于平面夕，那么平面ɑ內(nèi)一定不存在直線垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面y,平面4_1_平面y,α∏夕=/,那么/J_平面y

D.如果平面aJ_平面夕，那么平面ɑ內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

【答案】D

【分析】

利用面面垂宜的性質(zhì)定理和線面平行的判定定理證明A正確；利用面面垂直的判定定理證

明B正確：利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明C正確：舉反例可得D錯

誤.

【詳解】

對于A,設(shè)平面an平面￡=直線”,設(shè)直線6uα,且/"/a,則顯然直線ba平面月，

根據(jù)線面平行的判定定理可得直線bHβ,故A正確；

對于B,如果a內(nèi)存在直線與月平行，則由面面垂直的判定定理可知平面a1■平面夕，

與己知矛盾，故B正確；

對于C,設(shè)平面a1平面=",平面Srl平面尸"在7內(nèi)作直線徵，“,”，。，

IlirHIlHI垂直■的性質(zhì)定理可得m?La,“?L夕,乂；門：線/ua./u〃.m±∕,n1∕,

又?."a∩∕=/,.'."I"為相交直線，又?.?m>nu平面".?.L平面y,故C正確；

平面“」一平面夕，設(shè)平面aCl平面￡=a,在平面a內(nèi)與a平行的直線都不與平面夕垂直，

故D項錯誤.故選:D.

8.(2022?全國?高考真題(文))在正方體ABC。-ASGA中，E,尸分別為AB,BC的中

點，貝IJ()

A.平面BgF，平面8。RB.平面4EF，平面ABr)

C.平面AEF//平面AACD.平面4所//平面ACQ

【答案】A

【分析】

證明EF_L平面BDR,即可判斷A；如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，

分別求出平面MM,A1BD,AGo的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】

解：在正方體ABCO-ABC。中，AC,B。且DR，平面ABCO,又EFU平面ABC。，所

以E尸，DDt,

因為E,F分別為AB,BC的中點，所以EFAC,所以EFLBD,又BDDD、=D,

所以￡F，平面8。。，又EFU平面4EF,所以平面片EFJ.平面BDR,故A正確；

選項BCD解法一：

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Aβ=2,

則場

(2J2,2),E(2,1,0),F(,2,0),B(22,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),

則￡F=(-I,I,O),Eβl=(0,1,2),DB=(2,2,0),圖=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AG=(-2,2,0),

設(shè)平面旦EF的法向量為加=(ΛP%ZJ,則有Fff=F1"=?，可取〃2=(2,2,-1),

?nt?EBl=%+2Z]=O

同理可得平面力田。的法向量為4=(1,τ,τ),平面AAC的法向量為丐=(1,1,0),

平面AG。的法向量為%=(1,1,-1)>則m?"∣=2-2+1=1*0,

所以平面B1EF與平面AtBD不垂直，故B錯誤；

IIU

因為m與〃2不平行，所以平面BEF與平面AAC不平行，故C錯誤；

因為WI與%不平行，所以平面與E尸與平面AGO不平行，故D錯誤，

故選：A.

捻項BCD解法二：

解：對于選項B,如圖所不，設(shè)AB∣B,E=M,EFBD=N,則MN為平面B∣E尸與平面

AB。的交線，

在內(nèi)，作BP工MNT點P,在&EMN內(nèi),作GPLMN,交ENT點、G,連結(jié)BG,

則ZBPG或其補(bǔ)角為平面BIEF與平面A1BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+P∕V2=BN2,PG2+PN2=GN2,底面正方形ABCO中，2尸為中

點，則EF_L8D,

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,從而有：NB2+NG1=(PB-+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

據(jù)此可得尸+wBG"即NBPGH90，據(jù)此可得平面BIEFl,平面Λl3O不成立，選項

B錯誤；

對于選項C,取AA的中點H,則AHB1E,

由于AH與平面AAC相交，故平面BEF〃平面AAC不成立，選項C錯誤；

對于選項D,取AD的中點M,很明顯四邊形44月0為平行四邊形，則AMl4F,

由于AM與平面AG。相交，故平面四所〃平面AGO不成立，選項D錯誤；

i>l

故選：A.

9.（2022?廣東惠州?高三階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，南_1_底面ABC。，且

底面各邊都相等，ACBD=O,M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足時，平面

MBZ），平面PCD（只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可）

【答案】DMlPC（或&WJ_PC,OMLPC等都可）

【分析】

先確定所填答案，如OWLPC,再證明平面例8。，平面PCD即可，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)

可得R4LSD,從而可得8。L平面PAC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得即_LPC,從而可

得PC1平面MBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證.

【詳解】

解：可填ZwJ_PC,

由ABC。為菱形，則ACBO,

*/∕?_L平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以P4_L3D,

又PAAC=A,

BO_L平面PAC,

又PCU平面PAC,

：.BDLPC,

又DM工PC,BDCDM=D,

所以PCjL平面M8。，

又因PCU平面PCD,

所以平面MBDL平面PCD.

故答案為：DMVPC.（?cBM±PC,OMlPC等都可）

10.（2022?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（理））如圖，在邊長為4的正三角形月BC,E為

邊AB的中點，過E作EOLAC于ZX把“ADE沿DE翻折至的位置，連接AC.翻

(T)DEA.AiC.

②存在某個位置，使AE_L8E；

③若CF=2R,則8尸的長是定值；

④若CF=2馬，則四面體C-EEB的體積最大值為竽

【答案】①③④

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷①，②；取AC中點M,可證明JRWLBM,從而可計算出8戶，

判斷③；折疊過程中，s5CE不動，當(dāng)F到平面ABC的距離最大時，四面體C-EFβ的體

積最大，從而計算出最大體積后判斷④.

【詳解】

因為。E_LOCoE_LADoCAiD=D,QC,ΛtOu平面Λ1DC,

所以O(shè)E_L平面AOC,

乂ACU平面AOC,所以。E_LAC,①正確；

若存在某個位置，使AEd.2E,如圖，連接AA,AB,因為8E=AE,

所以AELAB,

連接CE,_MC中，CElAB,CE?E=E,CE,Λ1Eu平面A°E,

所以AB_L平面ACE,

而ACU平面A1CE,所以ABlAC,

由選項①的判斷有。E^AC,且OEAB=E,OEU平面ABC,ABi平面43C,

所以ACj?平面A6C,又DCU平面A6C,所以A1CLOC,則AO>CO,這是不可能的,

事實上AD=Ao=AEeOS6(r=gAE=(A8=；AC=gcZ),②錯；

設(shè)M是AC中點，連接尸M,8W,則&UJ.AC,所以BM〃DE，

從而BMj.A。，。是AM中點，所以CM=AM=2MO,若CF=2『，即CF=2E4∣,

所以所以_RW，且由尸“〃A。得CFMSCAD,

FMCM222r

所以===-ABC邊長為則4,則AO=I,FM=；xl=；,BM=2G

BF=BM-+FM1=J(2>∕3)2+f=平為定值，③正確;

折疊過程中，4。不變，BeE不動,當(dāng)尸到平面ABC的距離最大時，

四面體C-EFB的體積最大，由選項C的判斷知當(dāng)，平面ABC時，

F到平面A8C的距離最大且為I=I,又SMCE=LW又42=26，

所以此最大值為匕?"B=KFBCE=Lx2Gχ2=生叵，④正確，

C-cror—DCC3"39

故答案為：①③④.

3維練素養(yǎng)JH

11.（2022?浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在單位正方體ABCo-ABCA中，點P是線段

AR上的動點，給出以下四個命題：

①異面直線Pcl與直線BlC所成角的大小為定值；

②二面角P-BG-。的大小為定值；

③若。是對角線Aa上一點，則PQ+QC長度的最小值為g；

④若R是線段BD上一動點，則直線PR與直線AC不可能平行.

其中真命題有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，逐項判斷

正誤.

【詳解】

解：對于①，由正方體的性質(zhì)可知，BC，平面ABG。，又PGU平面ABGR,

故B∣CLPG,異面直線PG與直線BG的所成的角為定值，①正確；

對于②，平面尸Bc即為平面ABGR,平面ABCQl與平面BG。所成的二面角為定值，故二

面角P-BG-O為定值，②正確；

對于③，將平面ACG沿直線AG翻折到平面ABGA內(nèi)，平面圖如下，過C點做CPLAR,

CPAG=Q,CPfIBG=E.此時，PQ+QC的值最小.

由題可知，CC1=1,C4=√2,ΛCl=√3,ZDlΛC1=ZC1AC=ZΛClB,

SinNGAC=卓COSNeIAC=半，

2

則NCGE=I-2ZClAC,sinZCC1E=cos2ZClAC=2cosNGAC-I=g,

故EC=CClXSinNCCIE=；,又PE=AB=I，

4

故PQ+QC的最小值為：，故③正確.

對于④，在正方體ABCD-AtBlQDt中易證AC，平面8OC∣,設(shè)ACBD=O,則ZA1OC1即

為二面角A-BD-G的平面角，又正方體邊長為1,故AG=√i,AO=OC=#,則

Ao=Go=逅,由余弦定理得c。SNAoG="蘭魚=],故NAoG<9,同理

22'AyO'ClO92

TT

-<ZΛOCl<πy

故在44匕必然存在一點E,使得二面角E-BD-G為事TT,即平面EBDL平面BQG,平面

EBD與平面ADD1A1的交線為ED,

則Ef>∏4R=P,過P點作出）的垂線尸R.此時依，平面BoG,又AC_L平面8OG，故

PR/M1C.故④錯誤.

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）正方體A8CZ）-AK/Q中，E是棱Qn的中點，尸在側(cè)

面CDAG上運(yùn)動，且滿足BF平面A8E.以下命題中，正確的個數(shù)為（）

①側(cè)面CDAG上存在點F,使得B1FlCD1；

②直線BF與直線BC所成角可能為30。；

③設(shè)正方體棱長為1,則過點E,F,A的平面截正方體所得的截面面積最大為好.

2

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

先依據(jù)題給條件求得點F在側(cè)面CDD1C1匕的軌跡為線段KH,當(dāng)點F為K"中點時，

BtFrCDl,則①判斷正確；求得直線男尸與直線BC所成角最大值否定②；舉特例否定③.

【詳解】

分別取C百、GP的中點K、H`連接用K、BtH,HK、EK

4A

由ABlEK,AiBl=EK,可得四邊形4B∣KE為平行四邊形,

則與KAiE,又ABHK,BlKCHK=K、AiBAE=A

則平面4K”）平面A∣BE,

則當(dāng)點尸落在線段KH上時，片尸匚平面用陽，則用尸，平面A1BE

即滿足題意的點尸住側(cè)面CWIG上的軌跡為線段KW

①取K”中點P,連接Bf,

△用KH中，B、H=B、K.PH=PK,則gP?L∕∕K

又CD、HK,則8∣PJ.C",即當(dāng)F為Ka中點時，有B/_LCZY判斷正確;

B-----------f

②當(dāng)點F在線段KH上運(yùn)動變化到端點K或H時?，

直線BF與直線BC所成角取得最大值，

此時直線8/與直線BC所成角為NKBe（或NHBC）

又tanZHB1C1=tanZ∕Cfi1C,=?<y,NHBG=NKBC≡（0，］）

則NHBC=NKBC<g則宜線B1F與直線BC所成角不可能為30。.判斷錯誤;

③設(shè)正方體棱長為1,當(dāng)F為ClEmHK交點時，

過點E,F,A的平面交B用于BBl的中點M,連接“G、AM、AE.C1E

Bt-------------------------r

過點E,F,A的平面截正方體所得截面為菱形AMGE

又菱形AMC1E對角線AG=√5,ME=丘

則截面4MC,E的面積為;AG?ME=gX島0=曰>4.判斷錯誤.

故選：B

13.（2022,遼寧大連?二模）如圖所示，在正方體4BC。-AqGR中，點尸是棱Aa上的一

個動點（不包括頂點），平面BFR交棱CC,于點E,則下列命題中正確的是（）

D,C1

A.存在點F,使得NREB為直角

B.對于任意點?都有直線AG〃平面BERF

C.對于任意點R都有平面AGD，平面BEAF

D.當(dāng)點尸由A向A移動過程中，三棱錐尸-BBlR的體積逐漸變大

【答案】C

【分析】

A：驗證AF?EB是否為零即可；B：根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷；C：證明平面AG。

即可；D：證明441〃平面BBQ即可.

【詳解】

對于A,易知AF?Eβ=(0A+A尸)?(E4+A8)=AF?E4=TAH?∣E4∣≠0,故。尸與FB不

垂直，故A錯誤；

對于B,連接A￡、AC,EF,則平面ACGA∩平面BER尸=E凡

Dil____________C1

若AG〃平面BEAF,則AG〃"凡顯然僅當(dāng)F和E為所在棱中點時AG與E廠才平行,

故B錯誤：

對于C,連接A。、AC、CQ、BR、AD^BCt,

由48,平面AOAA得ABJ.AQ,易知ADJAQ,

VAB∩ADi=A,AB,4。U平面ABCQ,.?.AQ平面ABCQ∣,

.?.A1D1BDl,同理可證ΛlC,±BD1,

VA,D∏AtCl=At,A。、AlGU平面AGD,六BRJ_平面A1CQ,

?.?BRu平面BERF,.?.平面AGn_L平面BERF,故C正確;

對于D,連接8"、Ffi1,B1D1,

'.'AA1//,AA∣<Z平面BBQ,88∣u平面8BQ,

.?.AA//平面BBQ,則F到平面BBa的距離為定值，

乂△B8Q,面積為定值，故三棱錐68BQ,體積為定值，故D錯誤.

故選：C.

14.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模（理））如圖，在正方形ABS中，點M是邊CD的中點，將AWM

沿翻折到△/?”,連接PB,PC,在ZWW翻折到Z?Λ4"的過程中，下列說法正確的

是.（將正確說法的序號都寫上）

②存在某一翻折位置，使得AMYPB；

③棱P8的中點為E,則CE的長為定值；

【答案】①③

【分析】

依據(jù)翻折過程中的_LAM,PH=苴■AD均不變,判定點P的軌跡為圓弧，從而判斷①正

5

確；利用反證法否定②；求得翻折過程中CE的長恒為立AO,從而判斷③正確.

2

【詳解】

設(shè)正方形ABCD邊長為“，

①在正方形ABCD中，過點。作￡歸_LAM于H,則。叵"

5

在ZMDW翻折到A√?Λ∕的過程中，PHA.AM,均不變,

5

則點尸的軌跡為以”為圓心，以且α為半徑