2023年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案第8章8-6幾何法求空間角

8.6幾何法求空間角

【考試要求】以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.理解異面直線所成角、直

線和平面所成角和二面角的定義，并會求值.

【知識梳理】

1.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線”,h,經(jīng)過空間任一點。分別作直線“'//a,h'//b,把直線

a'與Z√所成的銀魚(或直角)叫做異面直線。與〃所成的角(或夾角).

(2)范圍：(0,2.

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的

角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是卻2；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它

們所成的角是0。.

(2)范圍：［θ,5.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①。日；三

(2)0ACct,OBU仇

(3)OA1∕,OBLl,則二面角a-1-B的平面角是NAo8.

(3)二面角的平面角α的范圍：［0,π］.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若直線/1,/2與同一個平面所成的角相等，則∕∣"∕2.(X)

TT

(2)異面直線所成角的范圍為［θ,2j?(×)

(3)如果平面α〃平面ɑ∣,平面夕〃平面夕1,那么平面α與平面夕所成的二面角和平面α∣與平

面加所成的二面角相等或互補(bǔ).(√)

π

(4)線面角的范圍為0,2?二面角的范圍為［0,π］.(√)

【教材改編題】

1.如圖所示，在正方體A8CD—AIBICQI中，E,F分別是43,A。的中點，則異面直線BlC

與E尸所成角的大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析連接8∣Oι,OIC（圖略），則BIoI〃EF,故/。6IC即為所求的角或其補(bǔ)角.又BlDl

o

=BlC=DtC,.?.4BQιC為等邊三角形，ΛZDιB∣C=60.

2.如圖所示，AB是。。的直徑，所在的平面，C是圓上一點，且乙48C=30。，PA

=AB,則直線PC和平面ABC所成角的正切值為.

答案2

解析因為用，平面ABC,所以AC為斜線PC在平面48C上的射影，所以NPCA即為尸C

IIDA

和平面ABC所成的角.在Rt△/?C中，因為AC=5AB=5∕?,所以tanN尸CA=彳=2.

3.如圖，在正方體4BCZ）-A'B'C'D'中:

①二面角力—AB-。的大小為

②二面角4'-AB—。的大小為.

答案①45。②90。

解析①在正方體ABCD-A1B'C'D'中，ABJ_平面ADD'A',所以ABlAD',

AB±AD,因此/O'AD為二面角O'—的平面角.在Rt△￡>'DA中，ND'AD=

45°,所以二面角￡>'-AB-O的大小為45。.

②因為ABj_平面AD。A',所以4B_LAO,ABLAA',因此N4'AO為二面角4'一48一。的平

面角，又NA'AC=90。，所以二面角A'—AB—D的大小為90。.

題型一異面直線所成的角

例1⑴在長方體ABCD-AlBCOI中，AB=BC=I,ΛΛ∣=√3,則異面直線AO∣與。Bl所成

角的余弦值為（）

答案C

解析如圖，連接8。|,交OBl于0,取AB的中點M,連接。M,OM.易知。為BDl的中

點，所以AD?H0M,則NM。。為異面直線ADi與DBl所成角或其補(bǔ)角.因為在長方體

ABCD-AlBlCIZ)I中，A8=2C=1,AAι=√3,

AD↑=yjAD2+DD^=2,

DM=yjAD2+(^ABj2=卓

DB?=√ΛB2+AZ)2+BBT=√5.

所以O(shè)M=TA。=1,OD=，Bi=坐,

于是在AOMO中，由余弦定理,

I2

√5

得cosZMOD=TT

2X1X當(dāng)5，

即異面直線AA與。S所成角的余弦值為小.

延伸探究若將本例（1）中題干條件''AΛ=√5”變?yōu)?異面直線AlB與A。所成角的余弦值

9

為15”.試求AAl的值.

Λ

解設(shè)AAI=f,?AB=BC=↑9

ΛAιCι-√2,4A=8Cι=正+1.

AlB2+8Cfle

，cosNAiBG=

2XA∣5X8C]

∕2+1+∕2+1-29

-2×√∕2+l×√r2+l-?°,

解得/=3,貝∣JAA=3.

（2）（2022?衡水檢測）如圖，在圓錐SO中，AB,CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD=O,且

ABLCD,S0=0B=3,SE=^SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為（）

S

A率B坐C.∣∣D粵

答案D

解析如圖，過點S作SF//OE,交AB于點R連接CR則∕CSF（或其補(bǔ)角）為異面直線SC

與OE所成的角.

；SE=；SB,.?.SE=3BE.

又OB=3,ΛOF-?θB=?.

'JS0L0C,So=OC=3,

.?.SC=3√i

'：S0L0F,：.SF=√502+OF2=√TO.

,JOCLOF,：.CF=√ib.

在等腰ascF中，

【備選】

（2022?鄭州模擬）如圖，在直三棱柱ABC-AlBlCl中,AC=BC=4,AC-LBC,CCl=5,D,E

分別是A8,SG的中點，則異面直線BE與CD所成的角的余弦值為（）

A坐BW

r√58D噂

J29

答案C

解析如圖，取AIG的中點F,

易知EF是AAIiG的中位線,

所以EF∕∕A?B?且EF=∣A∣B∣.

^AB∕∕AiB↑S-AB=AιB↑,。為A8的中點,

所以BD∕∕A↑B↑且BD=^A↑Bι,

所以EF//BD且EF=BD.

所以四邊形BZ)FE是平行四邊形，

所以DF//BE,

所以NsF就是異面直線8E與CD所成的角或其補(bǔ)角.

因為AC=BC=4,AClBC,CC∣=5,D,E,尸分別是AB,BlCi,AIcl的中點,

所以C?F=^A?C?-2,

BIE=T8∣G=2且CD±AB.

由勾股定理得AB=√42+42=4√2,

6κr,mACBC4X4r-

所以Cf)一ab-4^-2y∣2.

由勾股定理得CP=√為，DF=BE=叵

在ACDF中,由余弦定理得

（南2+（2的2―（啊2—我

COSZCDF=2×√29×2√2—29-

思維升華求異面直線所成的角的三個步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021?全國乙卷)在正方體ABC。一AJBIGDl中，尸為Blf)I的中點，則直線PB

與AOl所成的角為()

ππ兀?兀

A.yBqCaD6

答案D

解析方法一如圖，連接C∣P,因為ABCo-A/IGn是正方體，且尸為BiA的中點，所

以C∣P±B∣D∣,又CIP_LB8i,所以C山_1_平面8方尸.又BPU平面SBP,所以CIPJ_BP.連接

BCi,則AD?∕∕BC?,所以/PBG為直線PB與ADi所成的角.設(shè)正方體ABCD-A↑B↑C↑D↑

的棱長為2,則在RtZSCiPB中，CIP=；BQI=啦，BCι=2√2,sin∕P8C∣=得=；,

TT

所以NPBG=不.

D15

方法二

如圖所示，連接BC∣,AiB,AtP,PG,則易知AD|〃BG,所以直線尸B與Ad所成的角等

于直線PB與BG所成的角.根據(jù)尸為正方形4BGQ∣的對角線S出的中點，易知4,P,

Cl三點共線，且P為AIel的中點.易知AB=BG=AG,所以a4∣BG為等邊三角形，所

Tr1Tt

以NAlBG=又尸為AlG的中點，所以可得NPBG=ENA∣8C∣=『

(2)如圖，已知圓柱的軸截面A88∣A∣是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，G是圓柱上底

面弧4所的中點，那么異面直線AG與8C所成角的正切值為.

答案√2

解析如圖，取圓柱下底面弧AB的另一中點。，連接Ci。，AD,

G

4B,

I，

I/

C

因為C是圓柱下底面弧AB的中點，

所以AZ)〃BC,

所以直線4G與AD所成的角等于異面直線AC與BC所成的角.

因為Cl是圓柱上底面弧4B∣的中點，

所以CQL圓柱下底面，所以CQLAD

因為圓柱的軸截面ABBιA∣是正方形，

所以ClD=巾AD,

所以直線AG與AD所成角的正切值為也，

所以異面直線AG與BC所成角的正切值為鏡.

題型二直線與平面所成的角

例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，%_L平面ABCD,AB//CD,CD=4,PA=AB=BC=

AD=2,Q為棱PC上的一點，且PQ=<PC.

(1)證明：平面QB￡>_L平面A8CZ)；

(2)求直線QD與平面PBC所成角的正弦值.

⑴證明連接AC,交BD于點、0,因為A8〃CQ,

所以AABOsacr>o,

又AB—^CD,

所以AO—^AC.

連接Q。，由PQ=\PC,

得QOHPK

由∕?"L平面ABCQ,

得QO_L平面ABC。，

又QOU平面QBD,所以平面QBf)，平面ABCD.

(2)解過。作平面尸BC的垂線，垂足為H,連接HQ,

設(shè)。。與平面PBC所成的角為仇則NoQ”=。.

設(shè)DH=h,

VfteQ-BCD-VW*O-βCe>

δPβS?BCD?QO-βS?Bcρ???

在四邊形ABC。中，AB=BC=AD=I,CD=4,可得BD=2小,ZCBD=全

所以SΔBCD=∣×2×2√3=2√3.

24

由(1)得。。=可以=號則

在APBC中，PB=2y∣2,PC=4,由余弦定理得CoSNPCB=永貝IJSinNPCB=平，所以S.

=；X2X4X乎=巾，所以5?βcρ=z3??^r^∣×2√3×∣=∣×∣√7×Λ,

解得/2=零.

DH3√21

所以sinθ=

QD-14?

即直線QO與平面PBC所成角的正弦值為唔1

【備選】

如圖，在四棱錐尸一ABCz)中，底面ABCf)為正方形，PD=BC=I,二面角P-CO-A為直

二面角.

(1)若E為線段PC的中點，求證：DELPB-.

(2)若PC=小,求Pe與平面附8所成角的正弦值.

⑴證明?.?PO=DC=1,且E為Pe的中點，

：.DEA.PC,

又；二面角P-CD-A為直二面角，

平面PC￡>_L平面ABCD,

BCl.CD,平面PCDn平面ABCD=CD,

.?.BC1,平面PCD,

ΛBClDE.

VBCc5FffiPBC,PCU平面P3C,BC∩PC=C,

，力E_L平面PBC,

又?.∕Bu平面PBC,

：.DELPB.

⑵解若PC=事,

由余弦定理可求得NPQC=I20。，

過點尸作尸”，C。的延長線于H,如圖，

可得PH_L平面ABCD,

在RtAPHD中，

PW=PDsin60°=半，

過〃點作〃G〃D4,且“G與BA的延長線交于G點.

可得HGYAB,從而PGYAB.

在RtAPHG中，PG='PH?+HG2=看,

?vJPH=IYlX亞=亞

??VP-ABC-^3、AABcrH^~??2^2—?2,

設(shè)點C到平面Λ4B的距離為兒

則三棱錐C一的體積

率=*，

V=∣SΔABP?Λ-∣×2X

解得〃=案，設(shè)PC與平面B48所成的角為

互=亞

sinθ=^PC~7

即PC與平面PAB所成角的正弦值為半.

思維升華求線面角的三個步驟

一作（找）角，二證明，三計算，其中作（找）角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作

垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.

跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖,在直三棱柱ABC-AiBlCi中,。為AC的中點.若AB=BC=BBl,ZABC

=；,則CC1與平面BGD所成角的正弦值為

答案乎

解析過點C作CHI.GQ于點H,如圖

；三棱柱48C-ABiG為直三棱柱，

."CU平面ABC.

?.?8OU平面ABC,

ΛCCι±BD.

?CAB=BC,。為AC的中點，

：.BDLAC,

又CCmAC=C,CC∣,ACU平面ACC1,

平面ACG,

ICHU平面ACG,

J.BDVCH.

又CHLCID,CiDΠBD=D,C↑D,BOU平面BC。,

；.C”_L平面BC1D,

：.NCC?D為CCi與平面BCl。所成的角，

設(shè)AB=Ia,

則CD=g,ClD=啊,

(2)(2022?貴溪市實驗中學(xué)模擬)如圖，在長方體A8CO-AιBGOι中，AB=AO=I,AAl=2,

點P為。Q的中點.

①求證：直線BA〃平面B4C；

②求直線Br)I與平面ABC力所成角的正切值.

①證明如圖，設(shè)AC和8。交于點。，則。為8。的中點,

P1C1

連接PO,又是力。I的中點，故P0∕∕BD?,

又YPOu平面Λ4C,BON平面7?C,

直線BDl〃平面PAC.

②解在長方體ABCD-AlBIC中，

平面ABCD,

：.NDlBD是直線BA與平面ABCD所成的角，

?.?OD∣=2,BD^AB2+AD2=√2,

?,?tan∕DιBD=1^=^?f^,

直線BDi與平面ABCD所成角的正切值為由.

題型三二面角

例3(2022.鄭州模擬)如圖，已知矩形ABCD所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面,

且EP=√5,BP=2,AD=AE=?,AEVEP,AE//BP,F,G分別是BC,BP的中點.

⑴求證：平面AFG〃平面PEC；

(2)求二面角D-BE-A的余弦值.

⑴證明；尸，G分別是BC,BP的中點，

：.FG//CP,且FGa平面PEC,CPU平面PEC,

則尸G〃平面PEC,

BG=PG=AE=I,且AE〃BP,AElEP,

四邊形AEPG是矩形，則EP//AG,且AGQ平面PEC,EPU平面PEC,

則AG〃平面PEC,

又G4CGf=G,GA,GFU平面AF'G,

故平面AFG〃平面PEC.

(2)解：平面ABC￡)_L平面ABPE,

.?.AD，平面ABPE,則過A作AMJ_BE于M,連接。M,如圖.

又AM∩AD=A,AM,AD?5FSAMD,

則BE_L平面AMD,

又QMU平面AMQ,

貝IJBELDM,

則NAΛ7。即為二面角D-BE-A的平面角，

由(1)知AG=EP=S,

則Aβ=√(√3)2+l2-2,

NABP=60°,NBAE=I20°,

BE=??∣EP2+BP2-√(√3)2+22≈√7,

在AABE中，由面積公式知

,XoX亞

AEABsmZBAE1z2√21

AM=BE=~√7~=7'

在Rt?ΛMD中，

AD=I,DM=N產(chǎn)+(率)=卑

啦I

AM_7_而

因此COSZAMD=麗=畫=10'

7

即二面角D-BE-A的余弦值為騫.

【備選】

如圖，在正方體ABCZ)ClCl中，點E在線段CDl上，CE=2EQ∣,點F為線段A8上的

動點，AF^λFB,且E尸〃平面AOZ)∣Aι.

(1)求義的值:

⑵求二面角E-OF-C的余弦值.

解⑴過E作EGLAO于G,連接GA,如圖.

則EG〃CQ,而C?！ū?，所以EG〃辦.

因為EF〃平面ADDtAi,EFU平面EFAG,

平面EGAFn平面A。。IAl=G4,所以EF〃GA,

所以四邊形EGAF是平行四邊形，所以GE=AE

因為CE=2ED↑,

GE_D\E_\

所以~DC~~D^C=y

所以器當(dāng)即輕斗所以入毛

(2)過E作EHVCD于“，過“作HMLDF于M,連接￡M,如圖.

因為平面CDDIeIj_平面ABCD,EHl.CD,

所以E〃_L平面ABCD.

因為DFU平面ABCD,所以EHlDF.

又HMl.DF,HMCEH=H,

HM,E”U平面EMH,

所以O(shè)F_L平面EMH.

因為EMU平面EMH,所以DFLEM.

所以/EMH是二面角E-O尸一C的平面角.

設(shè)正方體的棱長為3a,則EH=2a.

在RtaO“尸中，DH=a,HF=3a,DF=√Tθα,

DHHFa×3a3

所以=*=常.

_________7

在RlAEHM中，求得EM=yJEH2+HM2

所以COSNEMH=喝=

所以二面角E-O尸一C的余弦值為方

思維升華作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平

面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐P-ABCr)中，四邊形ABCZ)是邊長為2的正方形，APBC為

正三角形，M,N分別為P。，BC的中點，PN1.AB.

(1)求三棱錐P-AMN的體積；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(I)VPB=PC,

IPNLBC,

又；PALLAB,ABHBC=B,

AB,BC?ΞF≡ABCD,

，PALL平面ABCD,

'JAB=BC=PB=PC=I,

；.PN=小,

M為PD的中點，VP-AMN=VD-ΛMN~VM-ADNJ

.?.Up-AMN=;VP-ADN=弘-ABeD=}xgx4X√5=坐

(2)如圖，取ON的中點E,連接ME,

VM,E分別為尸。，ON的中點，

J.ME//PN,

：PN_L平面ABCQ,

平面ABCD,

過E作EQL4M連接M。，

又ME_LAN,EQCME=E,EQ,MEU平面MEQ,

.?.AN1,平面MEQ,

.?AN±MQ,

NMQE即為二面角M-AN-O的平面角,

ΛtanZΛ∕βE=

VP∕V=√3,

:AN=DN=6AD=2,

tanZ

即該二面角的正切值為手.

課時精練

1.（2020?新高考全國I）日辱是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到

辱面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯度是指OA與

地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置

一個日唇，若唇面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，則唇針與點A處的水平

面所成角為（

A.20oB.40oC.50oD.90o

答案B/

解析如圖所示，O。為赤道平面，。0|為A點處的日署面所在的平面，

由點4處的緯度為北緯40。可知∕OAO∣=40。，

又點4處的水平面與OA垂直，唇針AC與。Oi所在的面垂直，

則唇針AC與水平面所成角為40。.

2.如圖，出_1_圓。所在平面，AB是圓。的直徑，C是圓周上一點，其中AC=3,以=4,BC

=5,則PB與平面BlC所成角的正弦值為（）n

解析根據(jù)題意，4B是圓。的直徑，C是圓周上一點，則BCJ_AC,

又由∕?，圓。所在平面，則必，BC,

因為∕?ΠAC=4,PA,4CU平面∕?C,

則BC，平面∕?C,故NBPC是PB與平面∕?C所成的角，在aACB中，AC=3,BC=5,4C_LBC,

則AB^γ∣AC2+BC2=√34,

在△物8中，Aβ=√34,PA=4,PAlAB,

則PB=y∣PA2+AB2=5√2,

在RtZ?PCB中，BC=5,PB=5√2,

則sin/BPC=

器ΓD=坐Z.

3.（2022?哈爾濱模擬）已知在直三棱柱ABC-A向G中,NABC=I20。，3B=2,BC=CCl=

1,則異面直線ABl與BCl所成角的余弦值為（）

A雪B.f

√jθ√3

Jr5un-3

答案C

解析如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱A8C￡>—48G。，

P1C.

AB

則所求角為NBGO,

VBCι=√2,BD=√22+1-2×2×1×cos60o=√3,ClO=AB1=?√5,易得CQ2=BD2+BC,

即BCJBD,

因此CoSNBGC=券=率=半.

ClDy∣5J

4.在正四面體P-ABC中，點M是棱BC上的動點(包含端點)，記異面直線PM與AB所成

的角為α,直線PM與平面ABC所成的角為￡,貝∣J()

A.a>βB.a<β

C.a^βD.αW夕

答案C

解析根據(jù)題意，如圖，作Po_L底面A8C,連接OM,

則NPMO是直線PM與平面ABC所成的角，

即/PMO=夕，

過點何作/平行于AB,過點P作PNJJ,與/交于點N,/“直C

B

線PM與AB所成的角，即ZPMN=a,在Rt?POM和RtAPMN中，有PN力PO,則Sinct≥sin

β,則a邛.

5.在正方體ABC。-4B∣GQ∣中，下列說法不正確的是（）

D,

D

A.A↑C↑±BD

B.AiClBD

C.BC與8。所成的角為60。

D.Acl與平面ABCD所成的角為45°

答案D

解析對于A,如圖，

由正方體性質(zhì)可知

fiιD,±AlCι,

又因為

BBi∕/DDi,

且BBl=DDI,

所以四邊形BBIDID為平行四邊形,

所以BlDI〃BD,

所以A∣C∣LBD,故選項A正確；

對于B,如圖，

由正方體ABCBIeIA可得CGJ-平面ABCD,

BDU平面ABCD,

所以

CCiA.BD,

由選項A可知4G又AlCmCCl=C

AlCi,CelU平面AlelC,

所以8。JL平面AIGC,因為AICU平面4C∣C,

所以8。，AIC,故選項B正確;

對于C,如圖，

由選項A可知BD∕∕B?D?,

所以/CBQi為直線BlC與直線30所成的角,

由正方體性質(zhì)可知aBCA為正三角形,

所以NCsa=60。，故選項C正確；

對于D,如圖，

由CGl.平面ABCD,

所以NGAC為直線AG與平面ABC。所成的角,

在正方體ABCQ—A∣8∣C∣Q∣中，AC=√2CC∣,

.CC∣√2

tanz_CA.C↑AC2，

所以NcAejr45。,

故選項D錯誤.

6.如圖，已知圓錐的頂點為S,底面圓。的兩條直徑分別為AB和Cn且AB"LCD,若平面

SAQ∩平面SBC=/,以下四個結(jié)論中正確的是（）

①AD〃平面SBC；

②/〃A。；

③若E是底面圓周上的動點，則ASAE的最大面積等于ASAB的面積；

@l與平面SCD所成的角為45°.

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

答案B

解析已知圓錐的頂點為S,底面圓。的兩條直徑分別為AB和CC,且

所以四邊形ACB。是正方形.

所以A￡>〃BC,

又BCU平面SBC,AW平面SBC,

所以AO〃平面SBC,①正確；

因為AO〃平面SBC,平面SAo∩平面S8C=/,ADU平面SA。，

所以/〃A。，②正確；

若E是底面圓周上的動點，當(dāng)/AS8W90。時，

△SAE的最大面積等于ASAB的面積，

當(dāng)NASB>90°時，

△SAE的最大面積等于兩條母線的夾角為90。的截面三角形的面積，③不正確；

因為l//AD,/與平面SCQ所成的角就是AO與平面SCO所成的角，

即/AOO=45。，④正確.

7.在正四棱錐P-ABCO中，底面邊長為2,四棱錐的體積為本則二面角P—AB—C的大小

為.

答案45°

解析如圖，連接AC,BD交于點E,

依題意，PE_L平面ABCr>,

取AB的中點尸，連接FE,FP,易知ABVEF,ABLPF,

則/PFE為二面角P-AB-C的平面角，

14

又VP-ABCD=馬X2X2XPE=馬,

故PE=1,PE=EF=I,

...△PEF為等腰直角三角形，

/PFE=45。.

8.在三棱錐S-ABC中，Z?ABC是邊長為2的正三角形，SA，平面ABC,且SA=2,則AB

與平面SBC所成角的正弦值為.

套案近?

口>κ7

解析如圖，取BC的中點。，連接AO,SD,過A作40LSE),交SD于點0,連接08,

S

：在三棱錐S-ABC中，4ABC是邊長為2的正三角形,

SAJ_平面A8C,且SA=2,

：.ADLBC,SD1.BC,5A±AD,

?'AD∏SD=D,AD,SnU平面&4。，

.?.BCJ.平面SAD,

：.BClAO,

AD=y∣4-1=Λ∕3,SD=y/4+4—]=幣,

?,^×SA×AD=^×SD×AO,

"：AOLSD,SDQBC=D,SD,BCc5FWSBC,

...4。_1_平面SBC,

：./ABO是AB與平面SBC所成的角，

：.AB與平面SBC所成角的正弦值為

20_

.“CAO7y∕2l

s?nAABO=~^=~^?-=γ-.

9.如圖，已知在三棱錐A-BcD中，平面ABZ)_L平面ABC,ABLAD,BC±AC,BD=3,AD

=1,AC=BC,M為線段AB的中點.

(1)求證：BCl.平面ACC；

(2)求異面直線MD與BC所成角的余弦值；

(3)求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.

(1)證明?.?平面AB￡>_L平面ABC,平面ABQC平面ABC=A8,ADLAB,A。U平面ABQ,

.?洛。_1平面ABC,：.ADLBC,

)LAC.LBC,ADΠAC=A,AD,ACu平面Ae。，

BC，平面ACD

⑵解如圖，取AC的中點N,連接MMDN,

是AB的中點，

.?MN∕∕BC,

.?.∕NMD(或其補(bǔ)角)為異面直線Mz)與BC所成的角,

由(1)知BCi.平面ACD,

MALL平面AC。，MNLND,

VBD=3,AD=I,ABYAD,

ΛΛB=2√2,

XVΛC=BC,ACVBC,：.AC=BC=2,

在Rt∕?MND中，MN=；BC=1,

MD=γ∣AD1+AM2=√3,

MNN

ACOSZWD=^MD~3

即異面直線M。與BC所成角的余弦值為坐.

(3)解由(2)知NMfw為直線Mf)與平面AC。所成的角,

在RtZXMVQ中，ND=、MD?—MN?=巾,

./…一坐一也一邁

..cosZMDN-md-^-3,

即直線MQ與平面ACC所成角的余弦值為孝.

10.如圖，在三棱錐A-BeD中，ZXABO為等邊三角形，BC=BD,平面ABQ_L平面8C。且

BAA.BC.

A

BD

C

⑴求證：BCLAD-,

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴證明如圖，取BO的中點E,連接AE,

則AE因為平面ABDJ"平面BCr>,平面ABon平面BCD=8。，4EU平面ABD,

則AE_L平面BCD,

所以4E1.8C,

又因為AB_L8C,AB∏AE=A,

AB,AEC5F≡ABD,

則BCV平面ABD,因為ADU平面ABD,

貝UBCLAD.

⑵解如圖，過點E作EFLCQ交Co于點F,連接AF,

由(1)知AE_LCZ),AECEF=E,AE,EF?5FSAEF,

所以CDJ_平面AEF,

因為AFU平面AER

貝UCDlAF,

所以NAFE為二面角A-Cz)-8的平面角.

因為AABO為等邊三角形，設(shè)BO=2,

則AE=√5,M=坐，

則tanNAFE=普=￡=黃.

2

所以二面角A-CD-B的正切值為優(yōu).

11.在長方體ABCZ)-ABlGA中，底面ABCO是正方形，異面直線AB與AlC所成角的大

小為全則該長方體的側(cè)面積與表面積的比值是()

.4-2√2

A.----b-4

c8-2√24-√2

d-8^

答案C

解析如圖，連接BC,

ΛB

因為AB"A∣3,

所以N8ι4C是異面直線AB與4C所成的角,

IITt

即ZB↑A?C=y

設(shè)A8=x,AA∣=j,

21222

在AAiBiC中，B↑C=x+y,AiC=2x+ff

22222

Λ---+---2--x---+--y-----(--x---+--γ---)...—1

則cosZB∣A∣C=,

2X?√2Λ2+/^2

整理得y=√∑r,

從而該長方體的側(cè)面積S?=4xy=4y∣2x2,

該長方體的表面積

S2=4盯+2Λ2=(4√2+2)Λ2,

S4√2X28~2√2

故:1

52^(4√2+2)X2^7

12.已知正四面體A-BCZ）的棱長為2,點E是AO的中點,點F在線段BC上，則下面四

個命題中:

Φ3F∈BC,EF//AC-,

(2)?F∈BC,EF≤√3;

③mF∈BC,E尸與AC不垂直;

直線EF與平面BCD夾角正弦的最大值為乎.

Θ?F∈BC,

所有不正確的命題序號為

答案①③

解析如圖,

對?∕F∈BC,EF與AC異面或相交，故①錯誤;

當(dāng)點F為8C的中點時，EF為異面直線A。和BC的公垂線段，此時EF取得最小值，當(dāng)尸

與B,C重合時，E尸取得最大值小，故②正確；

因為ADLBE,ADlCE,BECCE=E,所以AZ）J_平面BEC,故4DJ_EF,故③錯誤;

d

因為E到平面BS的距離為定值d,設(shè)直線E尸與平面BCO的夾角為仇則sinO=當(dāng)

EF'F

為BC的中點時，易知EF為異面直線AD和BC的公垂線段，此時EF取得最小值，sin，=g

LLr

有最大值，此時QF=√5,DE=I,故EF=￠-1=小,在Rt△￡："）中，EFDE=DFd,解

得d=坐，所以sinθ=??=坐，故④正確.

J匕FJ

13.在三棱錐S-ABC中，底面4ABC是邊長為3的等邊三角形，SA=√3,5B=2√3,二面

角S-AB-C的大小為60°,則此三棱錐的外接球的表面積為.

答案13兀

解析根據(jù)題意，SA2+AB2=SB2,

所以&4_LA8,取AB的中點為。，SB的中點為M,連接M。，則M?！?4,

ΛZO=gsA=坐,MDLAB,

△ABC是正三角形，CDLAB,

NMDC是二面角S-AB-C的平面角，

ZMDC=GOo,

NSAB=90。，M是ASAB的外心,

設(shè)N在C。上，CN=2ND,N是AABC的外心,

設(shè)過M與平面SAB垂直的直線與過N垂直于平面ABC的直線交于點0,

則。是三棱錐S—ABC外接球的球心.

連接。8,BN,

CN=BN=乎X3=√5,Z)N=坐，

又Z)M=坐，

在四邊形MfW。中，ON=3,外接球半徑為

14.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=I,E是CO的中點，將aAOE沿4E折起，使折

起后平面AQEj_平面ABCE,則異面直線AE和CD所成角的余弦值為

答案坐

解析由題意，取AB的中點F,連接CF,DF,

則CF"AE、可得直線AE和CD所成的角為CF(或其補(bǔ)角),

如圖，

取AE的中點M,

連接。M,MF,MC,

λ:AD=DE,

：.DMLAE,

又平面AQEJ_平面ABc