2024屆新高三開學(xué)摸底2024屆高二年級下冊 數(shù)學(xué)考試及答案解析

2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷(九省新高考專用)01

數(shù)學(xué)

本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第I【卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合A={X*-3X>4},B=W2'>2},則(QA)IB=()

A.[-1,2)B.(4,4W)C.(1,4)D.(1,4]

【答案】D

【分析】根據(jù)題意求集合aA8,再結(jié)合交集運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：eRA={x∣χ2-3χ≤4}=[-l,4],B={x∣2'>2}=(l,+8)

所以(δkA)c8=(l,4].

故選：D.

2.己知復(fù)數(shù)Z滿足二—z=l,則|2+同=()

1+111

A.2B.√2C.√5D.√10

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得Z=-I-i,結(jié)合共軌復(fù)數(shù)可得2+泛=1-i,進(jìn)而可求模長.

【詳解】由題意可得：Z=工―1=、—l=T-i,

l+i(01+1)(1—1)

則2+泛=2+i(-l+i)=l-i,

22

所以∣2+i司=∣l-i∣=y∕l+(-l)=√2.

故選：B.

3.“。=3”是“函數(shù)〃力=-卜-4在區(qū)間[3,內(nèi))上為減函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求出函數(shù)/(力=-k-4在區(qū)間［3,E)上為減函數(shù)的α的取值范圍，結(jié)合與α=3的關(guān)系求出答案

【詳解】“力=一上一。|的圖象如圖所示，

要想函數(shù)f("=k-4在區(qū)間［3,+∞)上為減函數(shù)，必須滿足α≤3,

因?yàn)椋?｝是?≤3｝的子集，

所以“。=3”是“函數(shù)〃力=-卜-4在區(qū)間［3,楨)上為減函數(shù)”的充分不必要條件

4.將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)O不相鄰的概率為()

A.-B.-C.ID.-

3535

【答案】C

【分析】解法1：把位置依次標(biāo)為1,2,3,4,5,6.總的排法是先排2個(gè)0,再排4個(gè)1,有1種排法，

2個(gè)0不相鄰排法是先排4個(gè)1,再從5個(gè)空中選2個(gè)空插入2個(gè)0,然后利用古典概型的概率求解；解法

2：先排4個(gè)I,再從5個(gè)空中選2個(gè)空插入2個(gè)0,總排法為2個(gè)0相鄰和不相鄰，然后利用古典概型的

概率求解.

【詳解】解法1：把位置依次標(biāo)為1,2,3,4,5,6.

總的排法：先排2個(gè)0,有=15種排法，再排4個(gè)1,有1種排法，故共有15種排法.

滿足題意的排法:先排4個(gè)1,有1種排法,其間有5個(gè)空,選2個(gè)空插入2個(gè)0,2個(gè)0不相鄰的排法有C；=1()

種，.?.2個(gè)0不相鄰的概率為310=：2,

故選：C.

解法2：先排4個(gè)1,有1種排法，其間有5個(gè)空，選2個(gè)空插入2個(gè)0.

若2個(gè)0相鄰，則將其視為“一個(gè)元素”，有C；=5種排法；若2個(gè)0不相鄰，則有C；=10種排法，

102

???2個(gè)0不相鄰的概率為^=

故選：C.

5.己知平面向量α=(2,0),〃=(1,6)，向量“_/,與4-她的夾角為小貝心=()

A.2或3B.3或gC.2或0D.3或！

【答案】A

【分析】利用向量的模的坐標(biāo)公式求卜z-b∣,卜-筋I(lǐng)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式求(α-∕>)?(α-M),結(jié)合夾角

公式列方程求％

【詳解】因?yàn)棣?(2,0),b=(?,y∣3),

所以α-0=(l,-W),a-kb=[2-k,->∕3k),

所以卜-0=2,

(a-b^-(a—kb^=2—k+?>k=2+2k,

又向量α-Z,與α-幼的夾角為2，

O

所以網(wǎng)—?(:一μ一;)=產(chǎn)季

\/卜-6H“-砌2×2y∣?-k+k22

所以2^-5k+2=0,

所以左=2或"=?,

故選：A.

2)

6.己知雙曲線營-a=1(。>0,匕>0)的上、下焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,過K的直線與雙曲線的上支交于M,N

兩點(diǎn)，若∣M∕^∣,IMM，INKl成等差數(shù)列，且MK_LM^,則該雙曲線的離心率為()

?√ior√10r√5n√6

3222

【答案】B

【分析】先根據(jù)|咋|，∣MN∣,I叫I成等差數(shù)列，并結(jié)合雙曲線的定義得到IMN卜4α,再設(shè)IM用=x,在

RtMNK中利用勾股定理得到X=",進(jìn)而在Rt中利用勾股定理得到2c?=56,從而得到雙曲線的

離心率.

【詳解】由雙曲線的定義知IM閭=2α+∣M制，∣N閭=2α+∣N∕φ

Λ?MF2?+?NF2?=4a+?MFl?+?NFl?=4a+?MN?,

V?MF2?+?NF2?=2?MN?,.'.?MN?=4a,

令I(lǐng)M制=x,貝MN團(tuán)=4a-x,

在RtMNF2中,?MF2f+?MNf=?NF2f,(24+4+(44=(6”-xf,

解得x=",.??MFl?=a,?MF2?=3a,

所以在RtM居中，/+0α)2=(2c)2,

7.在棱長為1的正方體ABC。-AACQ∣中，M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面AB耳A內(nèi)，若RPLCM,

則.PBC的面積的最小值是()

A。管b-fc?TDY

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得切i=(0,yT,2y-l),進(jìn)而結(jié)

合二次函數(shù)性質(zhì)求得出尸|.=@,利用三角形面積公式，即可求得答案.

1Imln$

【詳解】以點(diǎn)。為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以加，DC,所在直線為冗，y,Z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

B

X

則點(diǎn)P(l,y,z),O≤y,z≤l,D,(O,O,1),所以AP=(I,y,z-l).

因?yàn)镃((U,o),Mh,o,∣?所以CM=I,-1,3),

因?yàn)镈Pj_CW,所以l-y+g(z-l)=O,所以z=2y-l.

因?yàn)锽(l,l,0),所以8P=(0,y-l,2y-l),

22

所以忸PI=λ∕(y-l)+(2y-l)=√5∕-6y+2,因?yàn)?≤y≤1,

所以當(dāng)y=:時(shí)，忸兒“,=好.

?5

因?yàn)檎襟w中，BC人平面43旦4，BPU平面ABqA1,故,

所以(SAPBCLXIX與=殺'

故選：B.

8.若函數(shù)/(χ)=J+eq+mcosx在［°，+00)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為()

A.(-∞,0］B.^-∞,-∣C.(-∞,1］D.卜8,g

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得/'(x)≥0在［0,+8)上恒成立，構(gòu)建g(x)=∕'(x),結(jié)合定點(diǎn)g(0)=0分析運(yùn)算.

【詳解】因?yàn)?(χ)=e2+e-Z+加COSX,則/(6=5-2-e之J一ZMSinx,

I/XX、

由題意可得/'(x)=5—機(jī)SinX≥0在［0,+8)上恒成立，

構(gòu)建g(x)=r(x),則g'(x)=je2+e2-mcosx,

注意到g(0)=0,則g'⑼=；-機(jī)20,解得/M≤g,

H1則g<x)=；e2+e1

右m≤5,2-mcosx≥-×-722COSX=——tnCOSX,

742

當(dāng)且僅c-當(dāng)V即x=0時(shí)，等號成立,

若0≤mWg,因?yàn)镃oSX≤1,y∣∣j-∕77cosx≥-m,

可得,一∏7≥0：

((x)≥g-mcosx≥

2

若〃2<0,因?yàn)镃OSX≥-l,則一wCOSX≥m,

可得g'(χ)≥TL一機(jī)>0：

-mcosx≥

2

綜上所述：當(dāng)M≤g時(shí)，g'(x)≥0在［。,+8)上恒成立，

則g(χ)在［0,+∞)上單調(diào)遞增，可得g(χ)≥g(o)=o,符合題意;

故實(shí)數(shù)，"的取值范圍為,8,；.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問題

(1)分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

(2)函數(shù)思想法

第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步：構(gòu)建不等式求解.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.若函數(shù)y=∕(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線的斜率之和等于常數(shù)r,

則稱函數(shù)y=∕(x)為“f型函數(shù)”，下列函數(shù)中為“2型函數(shù)”的有()

A.y=x-X3B.y=x+exC.y=sinxD.>,=X+COSΛ

【答案】CD

【分析】苜先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合'"型函數(shù)''的定義，判斷是否得到相應(yīng)的點(diǎn)，即得答案.

【詳解】對于A,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=∣-3/,由1-3婕+1-3d=2,

得3X∣2+3X22=0,得x∣=X2=0,故A不是“2型函數(shù)”；

對于8,y=χ+ex的導(dǎo)數(shù)為y=l+ex,可得函數(shù)圖象上在這兩點(diǎn)處的切線的斜率之和大于2,故8不是“2型

函數(shù)”；

對于C,∕=cosx,由CosX/+COSΛ2=2,得CoSX∕=COSΛ2=1,可取X∕=0,X2=2π,故C是“2型函數(shù)”；

對于D,y=x+cosx的導(dǎo)數(shù)為y'-1-Sinx,若1-SirU:/+1-SinjC2=2,即SinX/=-SinX2,

此時(shí)有無數(shù)多個(gè)解，故。是“2型函數(shù)”.

故C。是“2函數(shù)”.

故選：Cn

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本小題主要考查對于新定義的概念的理解,考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解公式,?對于新定義題目

的求解,上要通過理解新定義中蘊(yùn)含的新的數(shù)學(xué)知識(shí),本題中需耍切線的斜率之和等于2,故將題目所給函數(shù)

求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)和的大小來確定選項(xiàng).

10.下列在(0,2萬)上的區(qū)間能使COSQSiΠΛ成立的是()

πB.(??)

A.(0,-)

444

C.(—―■92兀)D.(9，f)U(π?,?)

4424

【答案】AC

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出正、余弦函數(shù)的圖象，用圖像法解.

【詳解】

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出),=si∏Λ和)，=COSX的圖象，在(0,2不)上，當(dāng)COSX=SinΛ時(shí)，X=X或X=手，

44

結(jié)合圖象可知滿足COSX>siαr的是(0,J)和(孚，2π).

44

故選：AC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解不等式的常見類型：

(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；

(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；

(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性；

(4)三角函數(shù)型不等式用圖像法.

11.已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,若/1+2為奇函數(shù)，/(2X-的圖象關(guān)于),軸對

稱，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(I)=OB./(θ)=∕[-∣]c?:⑼=《高D-0)=0

【答案】ABD

【分析】根據(jù)f。+令2為奇函數(shù)可得/(r)=-f(x+g4),根據(jù)/(2xJ1)的圖象關(guān)于)，軸對稱可得

242

/(x)=∕(-x--),兩個(gè)等式兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，可得r(T)=r。+])、rω=-Λ-χ--),對X賦值，結(jié)

合選項(xiàng)即可求解.

222

【詳解】因?yàn)閒(x+§)為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以f(-x+§)=—/(*+§),

4

故f(-χ)=-∕(χ+]),

44

等式兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，得-八-幻=—/'(x+a，即r(T)=r(x+§)①，

因?yàn)閒(2x-；)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(2x-g)=∕(-2x-g),故

fM=f(-χ-)>

等式兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，得r(x)=-r(—%一：2)②.

42222

dj∕(-χ)=-∕(χ+-),令工=一§，得"§)=—/(§)，解得/(§)=0，

22

由/(x)=/(—x-§),令X=0,得/(O)="-?,

2

由②，令X=0,得1(。)二一((一§),

令x=-；,w∕,(-∣)=-r(-∣).解得/'(一；)=0,

故選：ABD.

12.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且〃S,,=(〃+l)S,T+(〃-l)”("+l)(〃22,〃eN*),若S∣=-50,則下列結(jié)論

正確的有()

A.4>0

B.當(dāng)”=4時(shí)，S.取得最小值

C.當(dāng)S“>0時(shí)，〃的最小值為7

S

D.當(dāng)〃=5時(shí)，上n取得最小值

a,,

【答案】ABD

【分析】對于A,由電,=(〃+1)5,,-1+(”—1)”.(〃+D(〃≥2,〃eN)變形求得去一斗=〃—1,利用累加法求

得S,,=八51-50,進(jìn)而求得見,=.3?1二:，匚50,求出生，即可判斷；對于以判斷｛αj的單調(diào)性，即可

判斷；對于C,判斷｛SJ單調(diào)遞增，并計(jì)算$8的值，即可判斷；對于D,根據(jù)4,S“的值的正負(fù)以及單

S

調(diào)性，判斷」L的值正負(fù)以及單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】由"S,,=5+l)S,ι+("-l)"?5+D("≥2,"eN*M∣J^-以="-l("N2,"eN*

Λ?-?-=l?-^-=2,???,A-?=L=∕t-l,

3243n+?n

累力口得，%一言=l+2+???+(〃-1)=坐衛(wèi)，

72+122

故2S,,=∕-51"-50("N2,"wN?),當(dāng)〃=1時(shí)?，S∣=-50滿足上式，

,51〃—50

???-

n2

3√-3n-50

當(dāng)〃22時(shí)，a,=S-S.1.*.?=5>0,故選項(xiàng)A正確;

l11112

由于函數(shù)y=3χ2-2x-50,其圖象對稱軸為X=；,當(dāng)xzg時(shí)函數(shù)遞增，

故當(dāng)〃≥2時(shí)，α獷-3"-50單調(diào)遞增,又4=E=_50M2=S,-，=-22,

2

｛q,｝單調(diào)遞增，且q<見</<%<0<%<4<.......，

.?.當(dāng)"≤4時(shí)?，｛S,J單調(diào)遞減，當(dāng)〃25時(shí)，⑸｝單調(diào)遞增，且S4<S5,

當(dāng)〃=4時(shí)?，S“取得最小值，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)“≥5時(shí)，｛S,,｝單調(diào)遞增，又57=7351；750=_32<0,&=8351；850=27>0,

.?.當(dāng)S,,>0時(shí)，〃的最小值為8,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)"=1,2,3,4時(shí)，—>0；當(dāng)"=5,6,7時(shí)，—<0.當(dāng)〃≥8時(shí)，~>θ,

a〃anq

??.當(dāng)〃=5,6,7時(shí)，考慮鼠的最小值，

又當(dāng)"=5,6,7時(shí)，,恒為正且單調(diào)遞減，5“恒為負(fù)且單調(diào)遞增，

SS

二」L單調(diào)遞增，???當(dāng)〃=5時(shí)，」L取得最小值，故選項(xiàng)D正確，

anan

故選：ABD.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某省2021年美術(shù)聯(lián)考約有5000名學(xué)生參加，現(xiàn)從考試的科目素描（滿分100分）中隨機(jī)抽取了500名考生

的考試成績，記錄他們的分?jǐn)?shù)后，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30）,[30,40）,…，[80,90],并整理得到如圖所示的

頻率分布直方圖.則下列說法不正確的是（）

八頻率/組距

0.04--------------------------p-∣

0.02----------------------------------

0.01--------------~~ι—

1I~~I~IIlll上

O2030405060708090分?jǐn)?shù)

A.由頻率分布直方圖可知，全省考生的該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)均不高于90分

B.用樣本估計(jì)總體，全省該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)小于70分的考生約為2000人

C.若樣本中分?jǐn)?shù)小于40的考生有30人，則可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)約200人

D.用樣本估計(jì)總體，全省考生該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為75分

【答案】AD

【分析】由樣本和總體的關(guān)系判斷選項(xiàng)A；利用樣本頻率計(jì)算總體中的頻數(shù)判斷選項(xiàng)BC；利用頻率分布直

方圖中位數(shù)的算法計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由題意可知，在500個(gè)樣本中，該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)是均不高于90分，樣本可以用來估計(jì)總體，但不能

代替總體，在其余4500名考生中，該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)中可能有高于90分的，故選項(xiàng)A不正確；

在樣本中，分?jǐn)?shù)不低于70分的頻率為(0?04+0.02)xl0=0.6,

則樣本中分?jǐn)?shù)小于70分的頻率為1-0.6=0.4,

若用樣本估計(jì)總體，則全省該項(xiàng)科目分?jǐn)?shù)小于70分的考生約為5000x0.4=2000人，故選項(xiàng)B正確:

在樣本中，成績低于50分的頻率為l-(0.04+2x().02+0.01)xl0=(M,

當(dāng)分?jǐn)?shù)小于40的考生有30人時(shí)，其頻率為券=0.06,則分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的頻率為0.04,

Jvv

用樣本估計(jì)總體，則全省考生中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)約5000x0.04=200人，故選項(xiàng)C正確；

用樣本估計(jì)總體，通過頻率分布直方圖可知中位數(shù)即為將左右兩邊矩形面積等分所在位置，則該位置在區(qū)

間［70,80)內(nèi)，口等于70+10x；=72.5分，故選項(xiàng)D不正確.

故選：AD.

10.已知函數(shù)/(x)=ASin(S+9)［A>O,0>O,O<0<"的圖象過點(diǎn)M(0,￡|和N(兀,0),/(x)的最小正

周期為T,則()

A.T可能取1亨2Ti

B."x)在(0,4π)上至少有3個(gè)零點(diǎn)

C.直線X=1可能是曲線y=∕(χ)的一個(gè)對稱軸

D.若函數(shù)/(x)的圖象在［0,2π］上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有4個(gè)，則。=?

O

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意可知，/(0)=Asin^=∣,f(π)=Asin(tυπ+9)=0,即可求出。初，從而根據(jù)函數(shù)的性

質(zhì)即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】由圖可知I,/(0)=4Sine=金，即sin。=!，而OCe<弓，所以

2226

又/(π)=Asin(Gπ+0)=0,所以物+4=阮，即G=&-'>0,keZ,

所以F(X)=ASinωx+τ?

對A,若T=學(xué)="，則，ω=?,顯然無整數(shù)解，錯(cuò)誤；

7ω666

對B,由Xe(0.4兀)可得，ωx+-∈［—,4πft>+-I,因?yàn)?=%-'≥2,所以4兀0+224花*2+工=］兀，

6166J666662

故0X+C=n,2π,3兀有解，即/(x)在(0,4兀)上至少有3個(gè)零點(diǎn)，正確；

對C,若直線X=M可能是曲線y=∕(χ)的一個(gè)對稱軸，則籌力+已=加+］，

即0∕∈Z,又ω=kj,IceZf所以，f=l,k=2,0=?符合，正確；

對D,因?yàn)閤∈[0,2τr],所以ox+3l`2πω+l，若函數(shù)/（x）的圖象在[0,2司上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有

4個(gè)，則，—≤1π（i>A—<—,解得：一≤<w<—>而0=上—>0,keZ,所以，當(dāng)Z=2時(shí)，<v=7~符合,

2623666

正確.

故選：BCD.

11.如圖所示，有一個(gè)棱長為4的正四面體P-ABC容器，。是PB的中點(diǎn)，E是C。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說

A.若E是CZ）的中點(diǎn)，則直線AE與PB所成角為

B.一ΛBE的周長最小值為4+取

C.如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為逅

3

D.如果在這個(gè)容器中放入10個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為"-2

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)：連接AD證明出即可求出直線AE與PB所成角為叁；B選項(xiàng)，把a(bǔ)ACΣ>沿著

CO展開與面8。C同一個(gè)平面內(nèi)，利用余弦定理求出A8HA,即可判斷；C選項(xiàng)，判斷出小球是正四面

體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r?利用等體積法求解；D選項(xiàng)，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相

切，設(shè)小球半徑為r,利用幾何關(guān)系求出r=#-2.

【詳解】A選項(xiàng)：連接AD

C

在正四面體P-ABC中，。是尸8的中點(diǎn)，所以PB_LA。,PB,CD

因?yàn)锳Du平面ACO,CDU平面AC。，ADCD=D,

所以直線PB，平面AC?

因?yàn)锳EU平面ACO.

所以P3,AE，所以直線AE?PB所成角為5.故A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)，把Aeo沿著C。展開與面BDC同一個(gè)平面內(nèi),

由Ai)=CO=2√LAC=4,cosZADC=?

2√2

cosZADB=cos→ZADC=SinZADC=--—

3

=16+=—x34,所以AB≠取，所以,.ABE的周長最小值為

4+后不正確.故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為，?.由等體積法可得：

匕fsc=.C/=衣"，所以半徑Jh=近x4=旦.故C選項(xiàng)正確；

334123

D選項(xiàng)，10個(gè)小球分三層（1個(gè)，3個(gè)，6個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相切，

設(shè)小球半徑為r,四個(gè)角小球球心連線M-NGF是棱長為4r的正四面體，其高為生區(qū)r,由正四面體內(nèi)切

3

球的半徑是高的!得，

4

如圖正四面體尸-”〃，

------------------FC

P

貝IJMP=3r,正四面體P-AfiC高為勿+警r+r=當(dāng)x4，褥r=布-2.故D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

12.下列命題中正確的是（）

ΛΛ

3x∈(0,+∞),2'>33x∈(0,l),Iog2X<Iog3X

【答案】BD

【解析】本題可通過當(dāng)XW(O,內(nèi))時(shí)(WJ

<1判斷出A錯(cuò)誤，然后通過當(dāng)xe(O,l)時(shí)log)*：。、l0g3X<。以

及圖=晦3>1判斷出B正確,再然后可通過取戶；判斷出C錯(cuò)誤,最后可通過當(dāng)Xe(O,[時(shí)

<1<log1X判斷出D正確.

3

【詳解】A項(xiàng)：當(dāng)Xe(O,+8)時(shí)，<1>即2*<3*恒成立，A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，log2X<O且bg3X<O,

囑X

因?yàn)閘0g2Xlog,21a、一所以bg2X<log3X恒成立，B正確；

-------=-------=--------=Iog2?>1

Iog3XIog3XIog32

C項(xiàng)：當(dāng)X=J時(shí)，(gj=￥，∣°ggx=l,此時(shí)IOglX>(gj,C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)：由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，

當(dāng)Xe(Oq)時(shí)，C<l<log∣x恒成立，D正確，

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查全稱命題和特稱命題的真假判斷，主要考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)的理解，解題時(shí)全稱命題為真與存在命題為假需要證明，而全稱命題為假和存在命題為真只要舉一例

即可，考查推理能力，是中檔題.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在(3f+i)(χ-的展開式中X的系數(shù)為.

【答案】-200

【分析】先利用多項(xiàng)式乘法變形為(3/+1)(X-Ij=],再利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式寫出展

開式中X的項(xiàng)，即可得解.

【詳解】(3/+1)卜=3/(X-斗f5的展開式中X的項(xiàng)為

所以展開式中X的系數(shù)為-200.

故答案為：-200.

14.現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1,2,3,4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)

課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有一種.(用數(shù)字作答)

【答案】8

【分析】先安排甲，有C：種方法；再安排乙，只能在甲的對面；最后安排丙、丁，有8種方法，最后根據(jù)

分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所求結(jié)果.

【詳解】先按排甲，其選座方法有C：種，由于甲、乙不能相鄰，

.?.乙只能坐甲對面，而內(nèi)、丁兩位同學(xué)坐另兩個(gè)位置的坐法有8種，

.?.共有坐法種數(shù)為C：?8=4χ2=8種.

【反思】排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特、計(jì)算量大，對結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問題時(shí)就

要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則，先取后排原則，先分組后分配原則，正難則反原則

等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問題時(shí)必須考慮周全，做到不重不漏，正確解題.

15.已知拋物線C：V=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸且斜率為1的直線與拋物線C相交于4,B兩點(diǎn)，

與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)E,若IAM=IE肝，則P=.

【答案】2

【分析】過點(diǎn)F且斜率為1的直線方程為y=x-5,聯(lián)立拋物線C的方程，求出IABl,但尸|,由IABI=IEF『，

即可求出P的值.

【詳解】過點(diǎn)尸且斜率為1的直線方程為y=χ-5,

聯(lián)立拋物線C的方程，得尤2-3px+?=0,

所以∣A8∣=3p+?^+?^=4p,

又因?yàn)榱顈=x∕中X=則又因?yàn)猷?0),

所以∣EF∣=√Σp,又因?yàn)镮ABI=IE尸所以4p=2p2,解得p=2.

故答案為：2.

16.設(shè)Sil={α∣α=(0,,n2,,α,,),a,∈{θ,l},z=l,2,,n}(n∈N',n≥2),α=(α∣,α2,?,αn)∈5n,定義。的差分運(yùn)

算為。(4)=(也-吼出一局，,也一4」)€51.用。"(4)表示對4進(jìn)行〃?(〃"此,三〃)次差分運(yùn)算，顯然,

。"⑷是一個(gè)GLm)維數(shù)組.稱滿足⑷=(0,0,,0)的最小正整數(shù)〃?的值為。的深度.若這樣的正整數(shù)，〃

不存在，則稱”的深度為〃.

(1)已知α=(0,l,l,l,0,l,U)eS8,則。的深度為.

(2)SK中深度為"("∈N*,J≤n)的數(shù)組個(gè)數(shù)為.

【答案】42rf-'

【分析】利用新定義和集合的運(yùn)算性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】空I：因α=(0,1,1,1,(),1,1,1)eSji,

則D(α)=(,0,0,1,1,0,0),D2(?)=(1,0,1,0,1,0),

Z>,(α)=(1,1,l,l,?),D4(a)=(0,0,0,0).

故答案為：4

空2：易知Sm中僅有一組(0,0,0,.?,0),

S,田中深度4=1的數(shù)組僅1組(I，1/，，1)，

S,,“2中深度d=2的數(shù)組僅2組，

鼠+3中深度d=3的數(shù)組僅4組，

s,,,+t中深度4=后的數(shù)組僅2*-'組，

所以s,,中深度為d的數(shù)組僅有2小組.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查新定義和集合運(yùn)算的綜合應(yīng)用能力，屬于高難度題，需要認(rèn)真審題，抓住新

定義的本質(zhì).

四、解答題：本題共6小題，共70分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程成

演算步驟

17.設(shè)數(shù)列｛/｝滿足4=2,。l-4=3-2"1.求｛4｝的通項(xiàng)公式.

2n

【答案】an=2-'

l221,2,32,,52π3

【詳解】a,,=an.l+3×2?S-A=(an_2+3×2("^^)+3×2'^==αn-2+3×2^+3×2^

232523

=(απ-3+3×2'"^'^')+3×2"^+3×2"^=???

35252,i

=αl+3×(2+2+2+---+2"-+2-)

7_72n~,

2,2,,

=αl+3×22=2+(2---2)=2^,.

18.已知銳角ABC的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為0,6,c,向量機(jī)=(SinC,cosC),〃=(2SinA-CoS8,-sin8),

且/n_L〃.

(1)求角C的值；

(2)若α=2,求ABC周長的取值范圍.

TT

【答案】(I)C=F

O

(2)(3+√3,2+2√3)

【分析】(I)利用向量垂直的坐標(biāo)表示得2sinCsin4-(SinCcoS8+cosCsin8)=0,應(yīng)用正余弦定理的邊角

關(guān)系化簡，結(jié)合銳角三角形求角C

ππ

(2)法一：將。,c用A的三角函數(shù)表示出來，結(jié)合Ae求周長范圍：法二：首先得到〃

3,2

再用〃表示周長，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍.

【詳解】(1)mn=sinC(2sinA-cosB)-cosCsinB=2sinCsinA-(sinCcosB÷cosCsinB)=O,

(法一)2。SinC-(CCoSB+bcosC)=O,cosB-a+C~b,cosC=a+b~C

2ac2ab

I兀

.?.2"sinC-4=0,則SinC=乂ABC為銳角三角形，故C=?.

267

(法二)則2sinCsinA-sin(C+B)=2sinCsinA-sinA=O,sinA≠O,

iJT

.??SinC=;,旦二ABC為銳角三角形，故C=2.

26

2sin(；兀一A

F-αsιnC1

(2)tzsinBcosA+√3sιnArτcosA,C=-；-----=------

D-----------------=√3+—―-sinAsinA

sinASinA:sinA----------sinA

TT

由于ABC為銳角三角形，則4e(θ,?∣),且0<C=5πA<^,解得Aeππ

63,2

(法一)周長∕=α+b+c=2+G+竺^+」一=2+6+°°S4+∣

sinAsinAsinA

2

2cos—iaA

∣∈ππ

=2+√3+―Γ?=2+√3+-,rf∏,即tan—∈

6,4

2cos—sin-tan一

222

jW∈(l,6),故.λβc的周長/的取值范圍為(3+G,2+2√5).

tan——

2

(法二)由上％w∣√3,,由余弦定理得C=yja2+b2-2abcosC=y∣(b-?∕3)2÷1.

周長∕=α+b+c=JS-√5)2+l+b+2,

2

記f(h)=λ∕(?-√3)+l+b+2>則/S)在單調(diào)遞增,

ABC的周長/的取值范圍為(3+6,2+2行).

19.如圖，在圓錐Po中，已知尸。1底面O,Po=五,O的直徑AB=2,C是AB的中點(diǎn)，。為AC

的中點(diǎn).

（1）證明：平面POO，平面PAC；

（2）求三棱錐Q-PBC的體積；

（3）求二面角8-PA-C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵也

6

⑶半

【分析】（1）連接。C,先根據(jù)ΔAOC是等腰直角三角形證出中線OD_LAC,再結(jié)合尸0，AC證出AC_LPOD,

利用平面與平面垂直的判定定理，可證包平面PoDJL平面PAC；

（2）依題意可得。CLAB,貝IISAg,=SAECO,再根據(jù)VO-W）C=%YC"=g尸。出時(shí)。計(jì)算可得.

（3）過。分別作OH，物于H,OGJLR4于G,再連接GH,根據(jù)三垂線定理證明NoGH為：面角3-7?-C

的平面角，最后分別在RtAZ>∕M?RtODP、RtOG”中計(jì)算出。H、OG和SinNOGW,最后求出所求二面

角的余弦值.

【詳解】（1）連接0C,

OA=OC,。是AC的中點(diǎn)，

.?.ACLOD,

又?PO，底面O.ACU底WkO,

.-.ACLPO,

ODPO=O,。。,2。^^平面尸。。，

.?.4。工平面〃。。，而ACU平面PAC,

???平面PQOJ_平面PAC.

（2）因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，4B是Co的直徑，所以"J_A3,

所以S8co=S3co=gxlxl=T,

所以=

VDPBC=VPBCD^PO?Sbcd=—×V2XL=.

"-YlfLΓ-15?,U3DV.IJ326

（3）在平面POD中，過。作QH_LPD于H,由（1）知，平面PODJ■平面PAC,

平面PODC平面PAC=PD,OHU平面POD.

所以O(shè)H_L平面PAC,

又?AAu平面PAC,

.-.PAlHO,

在平面PAo中，過。作OGLpA于G,連接G",OG0H=0,OG,OHU平面OGH,

所以PA平面OGH,乂"Gu平面OGH,從而PALHG.

故NoGH為二面角B-EA-C的平面角,

在RtΛθDA中,OD=OΛsin450=-,

2

5顯L

POOD72F.

在RtODP中,On=/=-----------=------

-JPO2+OD25

POOA√2×1√6

在RtAOR4中,OG

y∣PO2+OA2√2+T3'

√io

在RtOGH中,SinNoGH=怨=3=埠,

C/G√65

T

所以CoSAOGH=Vl-Sin2ZOGH

故二面角8-PA-C的余弦值為強(qiáng).

5

-＞2

20.已知橢圓］+4=l（"＞方＞0）上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)K，6的距離之和為2及，且它的離心率

a~Zr

(1)求橢圓的方程；

(2)如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長軸端點(diǎn))，AK的延長線與橢圓交于點(diǎn)B,A。的延長線與橢圓交于點(diǎn)C.

①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；

②求AABC面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程.

2

【答案】(1)r5+V=ι

⑵①證明見解析；②最大值為0,x+l=O.

【分析】(1)根據(jù)雙曲線與橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的定義求解即可；

(2)①設(shè)A(XA,以),8(乙,%),BA的方程為y=Hx+D,再聯(lián)立橢圓的方程，利用書達(dá)定理表達(dá)砥(AJC化

簡即可；

②同①，根據(jù)弦長公式結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式，代入韋達(dá)定理化簡可得SABC的表達(dá)式，結(jié)合A的范圍求解

面積范圍即可.

(1)

由橢圓的定義知2a=2夜，雙曲線d-y2=2的離心率為正，

故橢圓W→W?=1的離心率e=變，故α=√∑,c=l,b=l,故橢圓的方程為《+V=1.

a2b222

(2)

①證明：設(shè)A(XA,yjB(j?,%),則C(TAf).

γ=?(x+l)

設(shè)直線區(qū)4的方程為y=-x+l),聯(lián)立方程/化簡得,

—+/=I

4k2

(2?2+1)X2+4FX+2F-2=0,..X+X=-

AB2/+1

(4k]2

%+%=M??+/)+2k=%[-l=

%+%_2/?

XB+XA-Ak-2

(石、(石、(Γ?

②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可知AT號，B-1-?-,Cl,-?-,故S.c=&，當(dāng)直線AB的

AL2，爐一，

斜率存在時(shí)，由①知，X+X=一」舁