2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高一年級下冊冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

【正確答案】B

、乂AJ*.3ITTI/口/----T—4LLsinb3

【r詳解T】由Slna=;，α∈不乃得COSa=—J>sin0=一二，所以tanα=-------=---

5\27Y5cosσ4

故答案為B.

2.已知向量α=(r,l),6=(1,2).若一/,,則實數(shù)r的值為()

A.12B.2C.—D.?

22

【正確答案】A

由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求出f的值.

【詳解】解：：向量4=(41),6=(1,2),若α_L〃，則d?A=f+2=0，

實數(shù)！=—2,

故選：A.

本題考查向量垂直的求參，重在計算，屬基礎(chǔ)題.

3JT

3.如圖，角α以O(shè)?為始邊，它的終邊與單位圓。相交于點尸，且點尸的橫坐標為(，則Sin(I→ɑ)的

值為()

【正確答案】B

【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得Sin(I+α)的值.

3

【詳解】角α以以為始邊，它的終邊與單位圓。相交于點P,且點P的橫坐標為,，所以COSa3則

sin(?+α)=cosa=-；故選：B.

25

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.向量&b,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則(α-8)?c=()

A.-4B.4C.2D.-8

【正確答案】A

【分析】將α,?,C平移至同一個起點并構(gòu)建直角坐標系，寫出相關(guān)向量的坐標，再應(yīng)用向量數(shù)量

積的坐標表示求(a-b)c.

【詳解】將α,b，C平移至同一個起點位置，如下圖。點位置，建立直角坐標系XQV,

則。=(2,2),〃=(2,0)[=(-1,-2)，所以(α-方)?C=(0,2)?(-1,-2)=-4?

故選：A

5.已知向量”，b，滿足M=l,6=(-2,1),且卜一〃卜2,則〃力=()

A.-?B.0C.1D.2

【正確答案】C

【分析】求出b的模，利用∣α-]=2即可求出a?b的值.

【詳解】由題意，

p∣=l>6=(-2,1),且卜一4=2,

Λ∣fo∣=7(-2)2+12=√5,

卜—M=y∣a+b-2a?b=^∣tz∣+∣?∣-2a?b=+(右-2α?∕7=2,

解得：ab=T，

故選：C.

6.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(ox-令+&3>0),若"x)≤∕(T對任意的實數(shù)X都成立，則”的一個可取值為

()

A.4B.5C.7D.8

【正確答案】D

【分析】由〃x)≤J停對任意的實數(shù)X都成立得SinjOT-2=1,即有“T4=3+2s,機eZ,求

V3√V?o√362

解即可

【詳解】..?”x)≤∕(g]對任意的實數(shù)X都成立，故sin(o?U)=l,貝1」0(_1蕓+2皿，zneZ,故

?JJ36362

0=2+6m,m∈Z,故當m=l時，一個可能取值為8.

故選：D

7.已知尸為一ABC所在平面內(nèi)一點，BC=2CP,則()

IIUD1IJlID3IJlinI2

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB+-AC

2233

IiUn3LUI1ULlDULDOυira1ULlD

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB-^--AC

2233

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運算即可得到答案.

【詳解】由題意作出圖形,如圖,則

AP=AC+CP=AC+-BC=AC+-(AC-AB)

22

13

=——AB+-AC

22f

故選：A.

8.設(shè)αeR,則“a是第一象限角”是“sina+cosa>1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【詳解】充分性：若a是第一象限角，則Sina>0,CoSC>0,(si"a+cosa)2=l+2si"acosa>1,可得

sinor+coscn>1>必要性：若Sina+cosa>1,a不是第三象限角，(siaa+CoSay=I+2s∕7ιacosa>l,

SinacOSa>0,則a是第一象限角,‘七是第一象限角，，是“sina+cosa>l”的充分必要條件,故選C.

【方法點睛】本題通過任意角的三角函數(shù)主要考查充分條件與必要條件，屬于中檔題.判斷充要條件

應(yīng)注意：首先弄清條件P和結(jié)論4分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試PnqM=P.

對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆

否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系

來處理.

9.己知函數(shù)y=Asin(3+0)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移r(r>0)個單位長度,

得到函數(shù)y=∕(χ)的圖象.若函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于原點對稱，則t的最小值()

【正確答案】B

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)y=Asin(ox+e)的圖像距離原點最近的點的坐標，即可確定，的值

【詳解】解：如圖設(shè)函數(shù)y=Asin(ox+°)的部分圖像與X軸的交點為A,8,C,

所以點上?，“與點后，司關(guān)于點A對稱,

設(shè)4(x.,0),則一J+g=24,解得七1=J,

626

因為將函數(shù)y=Asin(ox+°)函數(shù)的圖像向左平移f(f>0)個單位長度，得到函數(shù)y=∕(χ)的圖像,

且圖像關(guān)于原點對稱,

所以平移后的函數(shù)y=∕(χ)為奇函數(shù)，即F(O)=。相當于把y=Asin(w+e)的圖像與X軸最近的交點

平移到坐標原點即，由圖可知此點為A(2,O),

所以f=J,

O

故選：B

10.函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)y=2sinx的圖象，可以把函數(shù)F(X)的圖象

A.每個點的橫坐標縮短到原來的g(縱坐標不變)，再向左平移。個單位

B.每個點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移?個單位

C.先向左平移夕個單位，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)

D.先向左平移W個單位，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的T(縱坐標不變)

【正確答案】C

【詳解】根據(jù)函數(shù)/(x)的圖象，設(shè)八X)=Aox+G，可得A=2,g§=*—∕?.o=2.

再根據(jù)五點法作圖可得2x9+e=0,.?#=—￡，/(x)=2s%(2x-g)，

633

故可以把函數(shù)/(X)的圖象先向左平移m個單位，得到y(tǒng)=2si”(2x+W-W)=2sin2x

633

的圖象，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，即可得到y(tǒng)=2s譏T函數(shù)的圖象,

故選C.

二、填空題

11.已知：，=(1,一2),b=(-2,x),若“〃-則實數(shù)X的值為.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示：a〃bo由%-々乂=O即可求解.

【詳解】因為a〃6o玉=0,所以IXX-(-2)χ(-2)=0,解之得.x=4

故4.

12.在平行四邊形ABC。中，已知向量AB=(1,2),AD=(2,3),則AC=

【正確答案】(3,5)

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知AC=AB+AO,利用向量的坐標運算即可.

【詳解】因為在平行四邊形ABCD中，

所以AC=A8+40，

又因為AB=(1,2),AO=(2,3),

所以AC=(1,2)+(2,3)=(3,5),

故(3,5)

本題主要考查了向量加法的平行四邊形法則，向量的坐標運算，屬于容易題.

13.已知向量α=(l,2),b=(3,l),則向量”,人夾角的大小為.

【正確答案】?

4

【分析】直接利用8s(α,今=扁，即可能求出向量〃與人的夾角大小.

【詳解】???平面向量二=(1,2),力=(3,1),

,ab3+2√2

，cosa,b=i=—；=~=—

∣α∣?∣?∣?/?-Vio2，

又?.?O≤(α,b)≤乃，Λ(β,?)=p

.?.向量α與人的夾角為故答案為￡.

44

本題考查兩向量的夾角的求法，解題時要認真審題，注意平面向量坐標運算法則的合理運用，是基礎(chǔ)

題.

(π兀、

14.直線V=依與函數(shù)y=tanq-,<x<5j的圖象交于M,N(不與坐標原點O重合)兩點，點A

的坐標為卜宗o),則(AΛ∕+AN)?AO=_.

2

【正確答案】—

2

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則以及向量的數(shù)量積，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則以及向量的數(shù)量積，得

I2π2

AM+AN]AO=2AO?AO=2?A0?

2

故匚

15.已知函數(shù)/(x)=2Sin(S+e)3>0),曲線y="x)與直線y=6相交，若存在相鄰兩個交點間

TT

的距離為七，則。的所有可能值為__________.

6

【正確答案】2或10

令2sin(fυx+e)=百,^^ωx+φ=2kπ+^,k≡Z或ωx+φ=2kπJ^^,kwZ,

根據(jù)存在相鄰兩個交點間的距離為得到即可求解，得到答案.

63w63w6

【詳解】由題意，函數(shù)/(%)=2sin(8+°)(G>0),曲線y="x)與直線)，=6相交，

令2Sin(GX+e)=百，即Sin(GJV+夕)=?，

Tr2加

解得GX+0=2左)+?■,攵∈Z^ωx+φ=2kπ+—,k∈Z,

TT

由題意存在相鄰兩個交點間的距離為J,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

6

24TC7171

口J得------F2kτr=vv(x—X),?∈Z,令Z二0,可得/―XI=—=—,解得w=2.

33213w6

7yr2ττSTrTT

或:---—+1kττ=w{x-x{),keZ,令&=0,可得與―%∣=7i—=~7,解得VV=10.

3313w6

故2或10.

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角方程的求解，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)

的圖象與性質(zhì)，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理能力與計算鞫能力，屬于中檔試題.

三、解答題

16.函數(shù)/(x)=2Sin

(1)求函數(shù)/(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(2)請用“五點法''畫出函數(shù)/(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖(先在所給的表格中填上所需

的數(shù)值，再畫圖)；

斗

2-

1-

上的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的X的值.

【正確答案】(I)單調(diào)遞增區(qū)間是-m+E(+k兀，keZ;最小正周期小(2)填表見解析；作圖

O3

見解析；(3)最大值為2,最小值為-1,X=當時/(x)取得最小值，X=；時/(x)取得最大值.

【分析】(1)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期;

(2)列表，描點、連線，畫出函數(shù)/(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖;

Tr?TT

(3)求出Xe時函數(shù)/(x)的最大值和最小值，以及對應(yīng)X的值.

【詳解】解：(1)函數(shù)/(x)=2sin(2x-「，

TTTTTT

令--1-2lσι≤2x—≤—+2kπ,∈Z；

262

Tr2兀

MW-→2?π≤2x≤y+2Aπ,keZ；

JTTT

即—+ku≤X≤—Hkn,Zc∈Z；

63

TtTt

所以函數(shù)〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間是-w+Eq+k兀，ZeZ;

最小正周期Tq=冗；

(2)填寫表格如下；

ππ7兀13π

X5π4π

nTn~6^I2^T

π3π5π

2x--0π2π

62~2~2

y020-202

用“五點法''畫出函數(shù)f(χ)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖為;

最小值為一1,

且X=爭寸“X)取得最小值，X=W時“X)取得最大值.

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)以及“五點法”作圖，本題要掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)以及整體法的應(yīng)用，同時

熟悉“五點法”作圖，考查分析能力以及作圖能力，屬中檔題.

1π

17.已知函數(shù)/(x)=Sin—X+—

23

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及對稱軸方程;

(2)設(shè)x=m(meR)是函數(shù)y=∕(x)圖像的對稱軸，求sin4"?的值;

(3)把函數(shù)/(x)的圖像向左平移W個單位，與“X)的圖像重合，直接寫出一個9的值:

(4)把函數(shù)/(x)的圖像向左平移。個單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，直接寫出0的最小值;

⑸當x∈[0j]時，函數(shù)的取值范圍為[T1],直接寫出/的最小值;

(6)已知函數(shù)/(x)在［O,f］上是一個中心對稱圖形，直接寫出一個符合題意的/的值:

COS(X+]

/(χ)

⑺設(shè)函數(shù)g(χ)=,直接寫出函數(shù)g(x)在［0,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

sin(x+π)

【正確答案】⑴單調(diào)遞減區(qū)間為→4far,y+4?π,(Λ∈Z).5對稱軸方程為χ=g+2E伙eZ)

(2)sin4m=-—

2

(3)4π

/八7兀

⑸W

(6)y

⑺即)利n,2n)

【分析】函數(shù)"x)=sin(gx+W］,由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，依次解決各小題中的單調(diào)區(qū)間、對稱

軸、值域、奇偶性、圖像平移等問題.

【詳解】(1)由］+2E≤≤?^+2既(&eZ),解得?^+4?π≤x≤日+4E(∕eZ),

所以"x)的單調(diào)遞減區(qū)間為→4?π,y+4?π,(?eZ).

由gx+g'+E，解得x=1+2?(kwZ),所以〃x)的對稱軸方程為x.+2E(keZ);

(2)由(1)知機=1+2Aπ(AeZ),sin4m=sin+8?π^=-sin?-='

T=竺=4

(3)函數(shù)最小正周期為7一，所以。的一個值可以是4兀；

2

(4)把函數(shù)/(x)的圖像向左平移9個單位，所得函數(shù)y=sin+g=Sin+由函

iTTTTTTTT

數(shù)為偶函數(shù)，Is+］=］+?，φ吟+2kπ,夕的最小值為］；

(5)當XWO,r］時，∣x+^∈Γp→^L函數(shù)〃X)的取值范圍為［Tl］,→?≡≥^,t≥9t

的最小值為g7π;

(6)XqO/］時，+，己知函數(shù)〃x)在［0/］上是一個中心對稱圖形，g+g客時

乙JJ乙JN??

o

符合條件，此時r=^π;

(7)設(shè)函數(shù)N,,f(x)c°s卜+jF(X)∕sinx),由(］)中結(jié)論和SinXH0,函數(shù)g(x)在

Sin(X+兀)-SinX

［。,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為疑)和(n,2n).

18.已知函數(shù)/(x)=Sin2χ+3COSX+3,(x∈R).

⑴判斷函數(shù)/(x)的奇偶性并說明理由；

⑵求/(?)的最小值并指出函數(shù)取得最小值時X的值；

⑶直接寫出函數(shù)"x)在［(),2可上的零點.

【正確答案】(1)∕(x)是偶函數(shù)，理由見解析.

(2)X=π+2?π(ZGZ)時，f(x)取得最小值為0.

(3)π

【分析】(1)判斷f(r)與f(x)的關(guān)系即可.

(2)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于CoSX的二次函數(shù)求最值.

(3)先求出c。SX的值，再結(jié)合定義域可得/(x)的零點.

【詳解】(1)解：/(x)的定義域為R，

因為/(-x)=Sin2(-χ)+3cos(-x)+3=Sin2χ+3CoSX+3=f(x),

所以是偶函數(shù).

(2)解：/(x)=sin2x+3cosx+3=1-cos2x+3cosx+3

2?Z3、225

=-cos?+3cosX+4λ=-(cosx~~)+—，

因為一l≤cosx≤l,所以當CoSX=T即x=7C+2E(%∈Z)時，

/(x)取得最小值為0.

(3)函數(shù)f(x)在［0,2可上的零點為兀.

19.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若存在常數(shù)7≠O,使得/(x)=V(X+T)對任意的XeR成立，則

稱函數(shù)〃x)是Ω函數(shù).

⑴判斷函數(shù)F(X)=X,MX)=Sinn是否是Q函數(shù)，不必說明理由；

⑵若函數(shù)”X)是Ω函數(shù)，且/(x)是偶函數(shù)，求證：函數(shù)〃X)是周期函數(shù)：

⑶若函數(shù)/(x)=Sin丘是。函數(shù).求實數(shù)2的取值范圍；

(4)定義域為R的函數(shù)g(x)同時滿足以下三條性質(zhì)：

①存在XOeR,使得g(%)≠0;

②對于任意XeR,有g(shù)(x+2)=9g(x).

③/(x)不是單調(diào)函數(shù)，但是它圖像連續(xù)不斷，

寫出滿足上述三個性質(zhì)的一個函數(shù)g(x),則g(x)=_.(不必說明理由)

【正確答案】(DF(X)=X不是Ω函數(shù),MX)=Sin值是C函數(shù)

(2)證明見解析

⑶伙伙=∕π,feZ}

(4)g(x)=3"sin2Kr(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)所給定義判斷即可；

(2)根據(jù)Ω函數(shù)的定義、偶函數(shù)的性質(zhì)及周期函數(shù)的定義證明即可；

(3)依題意可得SinAX=TSin"COSZT+TcosAxsinZT對任意的XeR成立，即可得到COSA7??、

SinAT=O,從而得解；

(4)根據(jù)所給性質(zhì)找到符合題意的函數(shù)解析式，再一一驗證即可.

【詳解】(1)函數(shù)F(X)=X不是Ω函數(shù)，MX)=Sin"是C函數(shù)，

證明：假設(shè)函數(shù)F(X)=X是Ω函數(shù)，

則尸(X)=TF(X+7),即X=T(X+7)對任意的XeR成立，

令X=O得〃=0,所以T=O,這與TxO相矛盾