2023-2014年-三角函數(shù)與解三角形解答題（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2014-2023)與優(yōu)質模擬題(北京卷)

專題06三角函數(shù)與解三角形(解答題)

真題匯總J

1.【2023年北京卷17】設函數(shù)/(x)=sinaxcos,+cos3xsin,(3>0,|租|<

(1)若/(0)=-］,求0的值.

(2)已知f(x)在區(qū)間卜點與］上單調遞增，/(g)=1，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個

作為已知，使函數(shù)f(x)存在，求3,3的值.

條件①:f削僖

條件②：/(-=)=-1;

條件③：f(x)在區(qū)間上單調遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】(1)8=一今

(2)條件①不能使函數(shù)f(x)存在；條件②或條件③可解得3=1,年=/

(1)因為/'(%)=sincoxcos<p+coseoxsinc^,o)>0,\(p\<

-V3

所以f(0)=sin(a)?0)cos<p+cos(o)-0)sin(p=sin(p=~~f

因為lgl<3所以3=一g

(2)因為f(x)=sina)xcos(p+costoxsintp,o)>0,\(p\<p

所以f(x)=sin(3%+3),3>0,|@|V》所以f(x)的最大值為1,最小值為一1.

若選條件①：因為/(x)=sin(3x+0)的最大值為1,最小值為一1,所以/傅)=/無解，故條件①不能使

函數(shù)存在；

若選條件②：因為f(x)在卜,與］上單調遞增，且(償)=1,/(-=)=-1

所以;二等一(—g)=n,所以T=2IT,CO=y=1,

所以/(%)=sin(x+cp),

又因為f(-；)=-1，所以sin+0)=

所以一］+9=-1+2/nr,/c6Z,

所以中=一1+2/nr,kWZ,因為|?|<，所以9=一?

所以3=1,(P=-7O：

若選條件③：因為/(X)在卜,與］上單調遞增，在卜,-手上單調遞減，

所以/"(X)在x=-三處取得最小值—1,即/■(—;)=-1.

以下與條件②相同.

2.【2022年北京卷16】在△4BC中，sin2C=V3sinC.

⑴求H

(2)若b=6,且AABC的面積為6e，求△ABC的周長.

【答案】⑴？

(2)6+6V3

【解析】

(1)1?：因為C6(0,乃)，則sinC>0,由已知可得V5sinC=2sinCcosC,

可得cosC=立，因此，C=W

26

(2)解：由三角形的面積公式可得=\abs\nC=1a=673,解得a=4g.

由余弦定理可得M+爐—2abcosC=48+36—2x4V3X6X/=12,.??c=2^3?

所以，△4BC的周長為a+8+c=6V3+6.

3.【2021年北京16】已知在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

(1)求B的大?。?/p>

(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的中線的長度.

①c=缶;②周長為4+2次；③面積為S4ABe=學；

【答案】(1)3(2)答案不唯一，具體見解析.

O

(1)%,c=2bcosB,則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

???sin2F=sinY=爭vC=容：,B￡(0,j),2BG(0,爭,

:?2B=g解得

36

(2)若選擇①：由正弦定理結合(1)可得￡=絲￡=與=百，

bsinB-

2

與C=V^b矛盾，故這樣的△4BC不存在；

若選擇②：由(1)可得4=￡

設△ABC的外接圓半徑為R,

則由正弦定理可得a=b=2Rsin￡=R,

c=2/?sin—=V3/?,

3

則周長Q+b+c=2R+V3/?=4+2百，

解得R=2,則Q=2,c=2A/3,

由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

J(26)2+l2-2x2V3xlxcos'=V7：

若選擇③：由(1)可得4=士即。=4

則S-8C=-cibsinC=-a2x3=—,解得Q=W，

八八DJ2224

則由余弦定理可得8C邊上的中線的長度為：

Jb24-(|)2—2x&xxcosy=^3+^+V3xy=導.

4.【2020年北京卷17］在△4BC中，a+h=ll,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知,

求：

(I)Q的值：

(II)sinC和△ABC的面積.

條件①：c=7,cosA=_1

條件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】選擇條件①(I)8(11)sinC=泉S=6V3；

選擇條件②(1)6(0)sinC=-,S=—.

44

【解析】

選擇條件①(I)c=7,cos/1=一，a+b=11

va2=b2+c2—2bccosA:.a2=(11—a)24-72—2(11—a)?7?(—：)

-a=8

(II)vcos?l=一，AE(0,7i)AsinA=V1—cos27l=等

由正弦定理得：--=-T—磊=:，sinC=手

smAsinCsmC2

7

S=^bas\nC=1(11-8)x8xy=673

選擇條件②(I),??cosA=-,cosB=2,A,BE(0,TT)

816

二sin4=V1-cos2A=—,s\nB=V1—cos2F=—

816

由正弦定理得：號=’*??.森9???Q=6

sm4sinBM包

816

(II)sinC=sin(4+8)=sin4cos8+sinBcosA=—x--+■—x-=—

kJ8161684

1.?61C、/八，夕15V7

Sc=—bcis\Y\C=-(11-6)x6x—=---.

22''44

i

5.【2019年北京文科15】在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=

(I)求b,c?的值；

(II)求sin(8+C)的值.

【答案】解：⑴：a=3,b-c=2,cosB=

，由余弦定理，得Z?2=〃2+c2_2accos8

c1

=9+(b—2)2—2x3x(匕—2)x(―力,

:?b=7,：.c=b-2=5；

(2)在△ABC中,VcosB=1；?sinB=賢/?,

ab

由正弦定理有:

sinAsinB'

asinB3xf3百

.*.sinA=

~b~

/.sin(B+C)=sinCn—A)=sirb4=-T-T-.

6.【2019年北京理科15】在△4BC中，a=3,b-c=2,cosB=

(I)求b,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

【答案】解：(I);。=3,b-c=2,cosB=—

，由余弦定理，得。2=/+。2_2accosB

1

=9+(b-2乃o一2x3x(b—2)x(一辦

:?b=7,:?c=b-2=5；

(II)在△ABC中,VcosB=一夕AsinB=賢,

由正弦定理有:

sinCsinB'

~~1A

Vb>c,：.B>C,?,?C為銳角，

?廠11

.?cosC=

/.sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC

7311k573

=TXT4-(z_2)XTT

_4V3

=~T，

1

7.【2018年北京理科15】在△ABC中，“=7,b=8,cosB=-最

(I)求/A；

(II)求AC邊上的高.

【答案】解：(I)a〈b,即A是銳角，

VcosB——y,sinB=V1-cos2B—11—(―^)2=

由正弦定理得合asinB_7x

彳導siiVl=

則A=J.

(II)由余弦定理得b2=a2+c1-2accosB,

BP64=49+C2+2X7XCX

即C2+2C-15=0,

得(c-3)(c+5)=0,

得c=3或c--5(舍),

則AC邊上的局h—c,sirL4=3x.

8.【2018年北京文科16］已知函數(shù)f(x)=sin2x+V3sinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期；

(H)若/(元)在區(qū)間［—*㈤上的最大值為|,求相的最小值.

【答案】解：(/)函數(shù)/(x)=sin2x4-V3siarcosx=--箸在+與sin2x

=sin(2v￥—?)+i,

62

f(X)的最小正周期為7=至=7T；

(H)若/(X)在區(qū)間［一不加］上的最大值為|,

可得2x一看6［-",2"?—1］,

即有2/77—^>5,解得m>5,

OZJ

71

則m的最小值為J

9.【2017年北京理科15】在△ABC中，/A=60°,c=

(1)求sinC的值；

(2)若a=7,求AABC的面積.

-2

【答案】解：(1)ZA=60°,c=*z,

由正弦定理可得sinC=^sirk4=方x苧=年楙，

(2)。=7,則c=3,

JCV4,

Vsin2C+cos2C=1,又由(1)可得cosC=和，

?.n./A-、..「../313135/34>/3

..sinn=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=~n-x3-74-□x-r-r-=—=-

L14-Z14/

I.14J3r-

S/\ABC=)acsin8=)x7X3x=6y13,

10.【2017年北京文科16］已知函數(shù)f(x)=V3cos(2x-J)-2sinxcosx.

（/）求/（X）的最小正周期;

(//)求證：當咐-冬不時，/(X)>-i

【答案】解：(I)/(x)=V5cos(2T—q)-2sinxcosx,

L1J3

=V3(-c<?2r4--y-sin2x)-sin2x,

22

73CLI.個

=2"CosZr+2Sin2；G

=sin(2x+"

：.T=^=TC,

：.f（x）的最小正周期為IT,

TTT[

(ID'：xe[-l，-J

1t4

TTTT57r

2x+#飛，r

'?-2Wsin(〃+可)Wl,

1

：.f(x)>-

11.【2016年北京理科15】在△ABC中，￡+2=?+近ac.

（I）求NB的大小;

(II)求V^cosA+cosC的最大值.

【答案】解：（I）;在△43C中，a2+c1=b1+y/2ac.

**.a2+c2-b2=y/2ac.

.a2+c2-b2J2ac42

??COSnO-Q——,

zaczac2

（n）由（/）得：C=^-A,

.—.-37r

V2cosA+cosC=V2cosA+cos(———A)

4

=&cosA-^^^cosA+^sinA

=圣。s4+冬iM

=sin(4+彳).

nn

.??A+彳W(1,Tt),

44

故當A+E=獅，sin(A+9取最大值1,

即夜cosA+cosC的最大值為1.

12.【2016年北京文科16］已知函數(shù)=2sin3xcos3x+cos23x(3>0)的最小正周期為n.

(1)求3的值；

(2)求/(尤)的單調遞增區(qū)間.

【答案】解：f(x)=2sina)xcosa)x+cos2u)^,

=sin2u)x+cos2a)x,

=y/2sin(2a)x+今)，

由于函數(shù)的最小正周期為m

則：7=需=兀，

解得：3=1.

(2)由⑴得：函數(shù)/(X)=V2sin(2x+^),

令一5+2kTtW2x+7W2/CTT+5(LeZ),

Z4/

解得:—4"fc?r<x<ku+(ZwZ),

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為：［一籌+加1+而］(依Z).

Xxf-X

13.【2015年北京理科15】已知函數(shù)/(x)=V2sin—cos——yZsin2

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(X)在區(qū)間［-11,0］上的最小值.

【答案】解：(I)/(x)=V2sin-cos——V2sin2—

8.42、

=1-smx-2-M(1-cosx)

nnV2

=sinxcos-+cosxsin———

442

=sin(x+/)一冬

則了(%)的最小正周期為2m

(II)由-TTWXWO,可得

37r,7T.7T

一彳乩+f

即有-lWsin(x+然孝,

則當x=-當時，sin(x+與)取得最小值-1,

則有了(X)在區(qū)間[F,0]上的最小值為-1一竽

14.【2015年北京文科15】已知函數(shù)f(x)-siiu-2V3sin2^.

(1)求/(x)的最小正周期；

27r

(2)求fG)在區(qū)間[0,萬]上的最小值.

【答案】解：(1)V/(x)=sinx-2V3sin2-

2

=sinx-2>/3x1與2sl

=sinx+V3cosx—V3

=2sin(x+可)—V3

???/(%)的最小正周期丁=竿=2冗；

2n

(2)VAG[O,—],

|e[pn],

Asin(x+?G[0,1],即有：/(x)=2sin(x+電-V3G[-V3,2-㈣，

???可解得/(無)在區(qū)間[0,年]上的最小值為：T.

15.【2014年北京理科15】如圖，在△ABC中，ZB=J,AB=8,點。在邊3。上，且CD=2,cosZADC=

1

7,

(1)求sinNBA。；

(2)求BD,AC的長.

RD

【答案】解：⑴在△4BC中，VcosZADC=

/.sinZADC=vl—cos2Z-ADC=乒=舊=察

則sinN8A。=sin(ZADC-ZB)=sin/4OC?cos3-cosZADC#sinB=x*一}x5=

ABsin匕BAD8x賀.§

（2）在△ABO中，由正弦定理得80=-

sin乙ADBFT-3,

7

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2-2y4B-BCcosB=82+52-2X8x5x1=49,

即AC=1.

n

16.【2014年北京理科18】已知函數(shù)/(x)=xcosx-sinx,xE[0,—]

(1)求證：f(x)WO；

(2)若OV型:。對xe(0,-)上恒成立，求。的最大值與b的最小值.

【答案】解：(1)由/(x)=xcosx-siiu?得

f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

71

此在區(qū)間W(0,-)h/(x)=-xsinx<0,

71

所以/a)在區(qū)間qo,上單調遞減，

從而/(x)(o)=o.

sinxsinx

(2)當%>0時，”——>atf等價于“sinx-or>0”,"——<bff等價于“sinx-版VO”

XX

令g(x)=sinx-ex,則g'(x)=cosx-c,

當c<0時，g(x)>0對大W(0,])上恒成立，

TC

當cel時，因為對任意xW(0,一),g'(x)=cosx-c<0,

2

所以g(x)在區(qū)間[0,卞上單調遞減，

71

從而，g(x)Vg(0)=0對任意在(0,-)恒成立，

7T

當OVcVl時，存在唯一的xoW(0,-)使得g'(刈)=cosxo-c=0?

n

g(x)與g'(x)在區(qū)間(0,-)上的情況如下：

X(0,xo)X0(加,：

g，(X)+-

g(x)tI

因為g(x)在區(qū)間(0,xo)上是增函數(shù)，

71

所以g(xo)>g(0)=0進一步g(x)>0對任意(0,W)恒成立，

當且僅當g$)=1—k20卯0VcW(

綜上所述當且僅當cW,時，g(x)>0對任意.詫(0,3)恒成立，

當且僅當c》l時.，g(x)<0對任意(0,])恒成立，

所以若誓y,對燒(0,上恒成立，則a的最大值為，匕的最小值為1

17.【2014年北京文科16]函數(shù)/(x)=3sin⑵+4的部分圖象如圖所示.

(I)寫出/(x)的最小正周期及圖中刈，巾的值；

(II)求/(x)在區(qū)間[-a-鄉(xiāng)上的最大值和最小值.

【答案】解：(I)V/(x)=3sin⑵+，),

,V(%)的最小正周期7=竿=m

可知州為函數(shù)的最大值3,刈=著；

(II)，，--^],

?,*2A*+^6[—0],

，當2x+5=。，即x=-需時，f(x)取最大值0,

當2x+1=—掾，即x=—號時，f(%)取最小值-3

膜把好題

1.【北京市海淀區(qū)北京大學附屬中學2023屆高三三?！吭凇鰽BC中，乙4=60。兒=,a.

⑴求sinC的值；

(2)若c=5,求AABC的面積.

【答案】(1)逋

14

(2)1073

【詳解】(1)在AABC中，因為乙4=60。，c=|a,

所以由正弦定理得sinC=咧絲=三x3=壁.

a7214

(2)因為c=5,所以a=(x5=7.

由余弦定理a?=b2+c2—2bccosA得72=b2+52-2hx5x

解得b=8或b=-3(舍).

所以△ABC的面積S=-bcsinA=-x8x5x—=IOA/3-

222

2.【北京市第四中學2023屆高三數(shù)學保溫測試】已知函數(shù)f(x)=2cos2皿》-sintd2x.

⑴求/(0)的值；

(2)從①%=1,32=2;②31=1,32=1這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件，求函數(shù)f(x)在

卜(看上的最小值，并直接寫出函數(shù)/(X)的一個周期.

【答案】(1)2

(2)詳見解析

22

【詳解】(1)/(%)=2cosa)1x—sindo2x,則/(0)=2cos0—sinO=2

(2)選①磯=l,co2=2時，

/(%)=2cos2%—sin2x=14-cos2x-sin2x=V2cos(2x+*)+1

由X十黑｝可得2x+：e卜:,胃

則一號Wcos(2x+；)W1,則0<V2cos(2%+J)+1<V2+1,

則當2x+?=-拳即x=一泓函數(shù)/⑺取得最小值0,

函數(shù)/"(X)的周期為:=n

選②3]=1,32=1時，

2

)7/1\17

/(%)=2coszx—sinx=-2sinzx—sinx4-2=—2(sin%+-I4--

由xe[—屋],可得sinxe卜1,斗則f(x)Nl

則當X=-]或X=，時函數(shù)f(x)取得最小值I,

函數(shù)/'(幻的周期為m

3.【2022屆北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學高三模擬考試】在AABC中，已知b=5,cosB=白，再從條件①、條件

②這兩個條件中選擇一個作為已知.

⑴求sinA；

(2)求△ABC的面積.

條件①：cosC=：；條件②：a=4.

O

【答案】(1)條件選擇見解析，shvl=±

4

(2陷

4

【詳解】(1)選①：因為cosB=工cosC=J,B,CG(0,ir),

168

所以sinB=亞，sinC=—.

168

所以sin(B+C)=sinBcosC+cosFsinC=—x-4-—x—=—.

,1681684

所以sinZ=sin(B+C)=%

選②：由cosB=白，8€(0,T[),可得sinB=—.

1616

由正弦定理得sirtA=-sinB=—.

b4

(2)選①：由正弦定理得。=竺”=4.

所以S—BC=^absinC=jx4x5x箏=

選②：由余弦定理/=a2+c2—2accosB,得25=16+c2-2x4xcx^.

即2c2-九-18=0,解得c=6(負值舍)，

所以S0BC="acsinB=-x4x6x亞^=竺".

△A-22164

4.【北京航空航天大學實驗學校中學部2023屆高三三模】已知函數(shù)/。)=得急.

(1)如果/(a)=g,試求sin2a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

【答案】(%；

(2)遞增區(qū)間是(2kn—日,2kir—：)(k6Z),遞減區(qū)間是(2/CTT—12kn+乎)(kGZ).

【詳解】(1)函數(shù)f(x)=「施中，X七豐kn,k￡Z,即xw/nr-jkez,

/(乃=詈生2_=魚(cosx-sinx)=2cos(x+?由/'(a)=得cos(a+工)=3

Y(sinx+cosx)勺3、4Z3

所以sin2a=-cos(2a+])=-cos2(a+：)=-2cos2(a+：)+1=—2x(1)2+1=[.

(2)由(1)知，函數(shù)/(x)的定義域為{久€R|xW/nrEZ},即有cos(x+：)H±1,

由2/TTT-n<%+7<2kn,k6Z,得2kli--<x<2kn-EZ,

由2/nr<x4-7<2kn+n,kWZ,得2lcn--<x<2kn+—,k6Z,

444

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(2k7T2kn—》(k€Z),遞減區(qū)間是(2kn-%2kn+9(k€Z).

5.【北京市豐臺區(qū)第二中學2023屆高三三?！吭O函數(shù)f(x)=AsinQtcoscox+cos2a)xG4>0,3>0),從條

件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，使得"%)存在.

⑴求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)當％若函數(shù)g(%)=/(%)-M恰有兩個零點，求m的取值范圍.

條件①：/(x)=/(-%)；

條件②：f(x)的最小值為一也

條件③：/(X)的圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為今

【答案】(1)選擇條件②③，/(x)=sin(2x+=)+i

⑵M)

【詳解】(i)若選擇條件①，

因為/(x)=^sin2(ox+cos2o)x,所以/(—x)=^sin(-2(z)x)+cos2(—wx)=-^sin2a>x+cos2wx,

由f(x)=f(—x)可得4sin23%=0對xGR恒成立,與A>0,co>0矛盾,

所以選擇條件②③.

由題意可得/'(x)=^sin2a)x4-|cos2wx+1=^^sin(2o>x+</>)+1>

其中cos@=扁，sinw=^，

因為/(*)的最小值為一；，所以—旦+［=—匕解得4=百，

2222

所以sin*=點設一］<0<5，則0=也

由f(x)的圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為可得T=p

所以7=誓=71,解得3=1,

23

所以/(x)=sin(2x+1)+：.

⑵當xe［詞時，2x+襄玲署

<2x+=<p解得所以/(x)在［。用上單調遞增，

R.|<sin(2x+<1,則lWf(x)w|,

令上2x+三零，解得花》號，所以f(x)在［精］上單調遞減，

旦-gWsin(2x+5W1,則0W/(x)<|,

因為函數(shù)g(x)=/(x)-m恰有兩個零點，所以y=/(x)與y=m在［o,］］上有兩個交點，

所以14m<I，即實數(shù)m的取值范圍為

6.【北京市第八十中學2023屆高三熱身考試】已知函數(shù)九⑴=sin(%+習，g(x)=cos(x+習，再從條件

①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得/(x)的最小正周期為TT.求：

(l?(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)/(x)在區(qū)間［0,1上的取值范圍及零點.

條件①：/(%)=h(x)+遮g(%);條件②：/(%)=九(%)?g(件;條件③：/(x)=/i(x)—g(件.

注：如果選擇不同條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴［而一患,kn+/，fcGZ

⑵［-巴斗=

L42」3

［詳解】(1)選①：/(x)=九(%)+Wg(x)=sin(x+7)+A/3COS(X+7)=2sin(x+7+7)

6663

=2sin(x+；)=2cosx,不滿足/(x)的最小正周期為it.

選③:f(x)=h(x)-g(x)=sin(x+>-cos(x+》=V2sin(x+合》=V2sin(x--),不滿足f(x)的最

小正周期為IT.

選②：/(X)=/i(x)?g(x)=sin(x+￡)?cos(x+：)=|sin(2x+^),滿足/'(x)的最小正周期為n.

令2/CTT-<2x+^<2/cn+keZ,解得/CTT——<x<kit+—^,kGZ,

23Z1212

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為阿一工,+/，kEZ

(2)當xe［0,；］時，<2x+^<y,

所以一日Wsin(2x+$<1.

所以/(x)=/in(2x+9G［一個,外

2x+==n+2kmkeZ且xe［0,J所以零點是今

7.【北京市人大附中2023屆高三三模】在△ABC中，a,乩c分別為內角A,B,C所對的邊，且滿足sim4cos

(n

(1)求角A的大??；

(2)試從條件①②③中選出兩個作為已知，使得△ABC存在且唯一，寫出你的選擇,并以此為依

據(jù)求△力BC的面積.(注：只需寫出一個選定方案即可)

條件①：a=2；條件②：B=彳；條件③：c=百人

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】(1)4=?

O

⑵選②③不合題意；選①②，面積為百+1;選①③，面積為8

【詳解】(1)sinAcos(A+=i,sin/1gcosA—|sin4)=

x/3.441-2A1V3..11—cos2>41

-sinAcosA——sin'/=一，一smn2/——x------=一，

2244224

Ysin2/l+1cos2i4=1,sin(2A+5)=1,

由于0<A<IT4V24+2<至，所以=

6660Z0

(2)若選②③，三個已知條件是4=%8=：,0=百比沒有一個是具體的邊長，無法確定△ABC.

64

若選①②，三個已知條件是4=}B=5a=2,

64

由正弦定理得益=2=b=2V2,此時△ABC存在且唯一，

64

sinC=sinU+B)=2x^+^x^=鵬,

'722224

所以S—BC=|absinC=jx2X2或x0：蟲=V3+1;

若選①③，三個已知條件是4=±c=V5瓦Q=2,

由余弦定理得M=b2+c2—2bccosA,

即4=爐+3/72—2bxx亨，解得b=2,c=2百，此時△ABC存在且唯一,,

所以SAABC=^besinA=|x2x2>/3xj=V3.

8.【北京市中關村中學2023屆高三三模】已知函數(shù)/'(X)=2sin(we+J)+巾—次(3>0).在下列條件①、

條件②、條件③這三個條件中，選擇可以確定3和m值的兩個條件作為已知.

(1)求/6)的值；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,a］上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值.

條件①：/(0)=2；條件②：f(x)最大值與最小值之和為0；條件③：f(x)最小正周期為優(yōu)

【答案】⑴選條件①③時，/Q)=2；選條件②③，/Q)=V3.

(2謗

【詳解】(I)由題意，

在f(幻=2sin(3%++m—V3(co>0)中，

選條件①②：

由①知，/(0)=2sin(；)—+m=2,所以m=2：

由②知，(2-M+m)+(-2-V5+m)=0,所以m=遮；矛盾.

函數(shù)f(x)不能同時滿足條件①和②，

.??不能選①和②.

選條件①③：

由條件③得，7=含=m又因為3>0,所以3=2.

由①知，/(0)=2sin-V3+m=2,所以?n=2.

貝=2sin^2x++2—V3.

所以fg)=2sin(y)+2-V3=2

選條件②③：

由于/'(x)最小正周期為m所以3=2,所以/'(x)=2sin卜工+§+6一百；

由f(x)最大值與最小值之和為0,aW巳

/(x)min=-2-V3+m,/(x)max=2-V3+m,

故—2—%+?n+2—V5+ni=0，解得m=V3.

所以/(x)=2sin(2x+().故/1傳)=2siny=V3.

(2)由題意及(1)得，

選條件①③：

在/'(x)=2sin(2x+三)+2—6中,

令—1+2kli<2x+^<^+2kn(k6Z),

—整+kti<x<-^+kit(k6Z),

函數(shù)/Xx)的單調增區(qū)間為卜工+Mr*+MT](keZ).

???函數(shù)在區(qū)間[0,a]上單調遞增，且06[-,哥，此時k=0,

所以

.?.a的最大值為

選條件②③：

令一T+2kH<2x+^<^+2kMkeZ),所以一空+/at4xW—+fcn(fcGZ)，

2321212

所以函數(shù)/(X)的單調增區(qū)間為卜工+kn*+同(keZ).

因為函數(shù)在區(qū)間［0,a］上單調遞增，且0€卜.此時％=0,

???a的最大值為".

9.【北京市2023屆高三高考模擬預測】在△4BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.已知4=%bsin《+C)-

csing+B)=a.

(1)求證：sinB=cosC；

(2)若Q=VL求△ABC的面積.

【答案】(1)證明見解析

【詳解】(1)證明：由bsin《+G-csin《+B)=a,

由正弦定理可得sinBsin(W+C)-sinCsin(^+B)=sin4.

sinB(ysinC4-ycosC)—sinC(jsinB+ycosF)=y.

整理得sinBcosC—cosBsinC=1,即sin(8—C)=1,

由于0<B<亞,0<C(當從而B-C=￥,sinB=sin(C+-)=cosC.

4422

(2)解：B+C=n-A=—,因此B=里，C=g

48o

由。=&,4=9,得b="萼=2sin/c=智=2sing,

4s\nA8s\nA8

所以三角形的面枳S=-bcsinA=V2sin—sin-=V2cos-sin-=-sin-=

28888242

10.【北京市房山區(qū)2023屆高三二?！吭赨BC中，cos2F=-|,c=8,6=7.

⑴求sinC；

(2)若角。為鈍角，求/MBC的周長.

【答案】(1)迪

7

(2)18

A

在A4BC中，因為cos2B=-/所以1-2siMB=-3

因為0<8<TT,sinB>0,所以sinB=立，

2

hr78

由=7得忑-sinC，

sinBsinC—

解得sinC=手

(2)因為sin2c+cos2C=1,C為鈍角，所以cosC=_Jl—（手）2_1，

7

由/=Q?+爐—2abcosC,得8?=a24-72-2a?7-

整理得Q2+2Q—15=0,解得Q=3或a=—5（舍），所以。=3.

所以△48c的周長為a+b+c=3+7+8=18.

11.12023屆北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校高考三?！吭凇鰽BC中，V3a=2bsinA.

⑴求出

（2）若b=y/7,c=3，求44BC的面積.

【答案】（嗚或g

【詳解】（1）因為百a=2bsin4由正弦定理可得,

V3sin?l=2sinBsin4

因為sin4>0,所以sinB=—?

2

且所以或

（2）由（1）可知8=孑或拳且匕=々,。=3,b<c,所以BVC

即8=三，由余弦定理可得，b2=a2-Fc2—2accosB,

即7=a?+9-2Qx3x%解得Q=1或Q=2,

當a=1時;SXABC=jacsinB=|xlx3xy=^,

當a=2時，ShABC=jacsinB=|x2x3xy=^!,

所以△ABC的面積為這或延.

24

12.【北京市東城區(qū)2023屆高三二模】在△4BC中,bsin4-acos：=0.

⑴求㈤

(2)若b=3,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求(1及4

4BC的面積.

條件①:sin4+sinC=2sinB;

條件②:c=V3；

條件③:ac=10.

【答案】(1)B=W

(2)答案見解析

【詳解】(1)由正弦定理得bsinA=asinB,

B

得asinB—acos-=0,

、,BBB

2asin-cos——acos-=n0,

222

因為0<^<~,

所以QCOS：H0.

則sin；*

所以**

No

所以8=1

(2)選條件①:sin4+sinC=2sinB.

因為力=3,F=psin/l+sinC=2sinB.

由正弦定理得a+c=2b=6,

由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a4-c)2一3ac,

解得ac=9,

則新建

解得｛、;，

所以4人夕。存在且唯確定，

則SA.BC=|acsinF=*

選條件②:c=V3,

已知8==3,c=V5,

由正弦定理得sinC=：sinB="

因為c<b,

所以C=初=2,a=迎2+c2=2>/3.

所以△48c存在且唯一確定，

則S-BC=：bc=雷.

選條件③:ac=10,

由余弦定理得9=a2+c2—ac=（a+c）2—3ac,

即a+c=V39.

所以a（聞-a）=10,即a?-V39a+10=0.

因為（回:一4x10=-1<0，

所以不存在a使得△力BC存在.

13.【北京市朝陽區(qū)2023屆高三二?！吭凇鰽BC中，a=4,b=5,cosC=：.

o

（1）求△ABC的面積；

⑵求c及sin"的值.

【答案】（1）改

4

（2）c=6,sinA=—

4

【詳解】（1）由cosC=J且0VC<TG則sinC=江，

88

所以S.BC=|absinC=

(2)由c?=Q2+82-2abcosC=16+25-5=36,則c=6,

而.=白，貝人比4=竺型=亞?

sinesm/1c4

14.【北京市第一。一中學2023屆高三三?！吭凇癇C中，每in(B+弓)=-cos(B+*

(1)求B的值；

(2)給出以下三個條件：①a?-/+c2+3c=0；②a=V5,b=l；③SA^C=竽，若這三個條件中僅有

兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：

(i)求sin力的值；

(ii)求NA3c的角平分線5。的長.

【答案】⑴B=與

(2)正確條件為①③，(i)sim4=這，(ii)BD=^

【詳解】(1)由題設bsin((+,)+cos(B+,)=2sin(B+,)=0,

而*1T&<,BDITT<J三4n，

所以B+g=n,故8=§；

(2)若①②正確，則c2+3c+2=(c+l)(c+2)=0,得c=-1或c=-2,

所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，

若②③正確，則SA4Bc=[absinC=竽，可得sinC=￡>l,即②為錯誤條件,

綜上，正確條件為①③，

(i)由2QCCOSB=@2+—力2,則c(3-Q)=0,即Q=3,

又S^ABC=jacsinB=號士可得c=5,

所以9—爐+25+15=0,可得b=7,則4三—-AT—3，

Sin4sinBV3

故sin4=—;

14

(ii)因為sinA=^^且46得cos4=Vl-sin2i4=擠

14\3/14

由8。平分4ABe得=p

在^ABD中，sinZ.ADB=sin(UBC+/l)=^x-+ix—=—

'72142147

_373

在△48。中，由胃=-^林，得8。=奈=9.

sm4sm￡ADB處8

7

B

15.【北京市東城區(qū)2023屆局三綜合練習】已知函數(shù)/'(x)=2V3sina)xcosajx—2sin2a)x+1(0<o)<2).在

下面兩個條件中選擇其中一個，完成下面兩個問題：

條件①：在"X)圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為今

條件②：f(x)的一條對稱軸為％=也

(1)求你

(2)將"%)的圖象向右平移三個單位(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的值域.

【答案】(1)3=1

⑵[-2,1]

【詳解】(1)/(%)=2V3sincoxcoscox—2sin2cox+1

=V3sin2cox+cos2cox

n

=2sin(2a)x+—)

選①：/(%)圖象上相鄰兩個對稱中心的距離為今

則7=TT=/，則CO=1,

2a)

選②：f(%)的一條對稱軸為％=也

貝l]2co--+-=/cn4--,k6Z,

662

:3=3k+1,乂0<co<2,則3=1,

于是/(%)=2sin(2x4-勻

(2)將/(%)=2$也(2工+?)的圖象向右移三個單位長度(縱坐標不變)，

OD

得到函數(shù)g(x)=2sin[2(x—三)+勺=2sin(2x-g)=-2cos2x的圖象

ooZ

V%G

???2一號