側位停車數學建模

一.問題重述側位停車是指駕駛員在停車位時利用自身的倒車技巧，使車輛按照一定的行駛軌跡，安全的，在不觸碰到兩邊車輛的前提下，讓自己的車停到規(guī)定好的停車位上。側位停車常常會出現許多兩車碰擦的情況，通常時由于駕駛員技術的生疏或者不熟練，亦或是停車位長寬大小建造的不科學。正確的科學的停車位建設，能在給駕駛員提供充足的停車空間的條件下，盡可能的節(jié)約場地，對于當今停車位緊缺的問題具有相當大積極意義。現在我們根據題中所給的條件，研究停車位寬度一定時，車位長度最小的情況，以及保證車輛正常停車時，停車位長度與車輛可供行駛的道路寬度的關系，建立數學模型解決以下問題：問題（1），在可供行駛的道路寬度足夠大時，求車位長度的最小值。汽車如果可供行駛寬度y足夠大，車輛要能夠停進這個車位（車輛只能倒車，不能前進），車位長度x最小為多少？假設車輛的初始位置與車位平行，求出車輛的初始位置、倒車入庫過程中方向盤位置a的取值變化和車前輪的軌跡。（2）如果y不是足夠大（當然y肯定大于車寬），那么x和y滿足什么條件的情況下，車輛只通過倒車就能停進車位（車輛只能倒車不能前進）？（3）設y=2000mm，求出倒車過程中方向盤調整次數最少時x的最小值，以及此時倒車過程中a的取值變化。二．問題分析城市中建立起愈來愈多住房區(qū)，超市，商場，同時又由于人民收入水平的增加，越來越多的人加入到了“有車一族”的行列。城市建設和有車一族的人們對停車位的需求越來越大。而城市里的土地資源的緊張，則對我們如何規(guī)劃一個提高停車位利用率停車位提出了一定的要求。在此同時，由于一個個新手駕駛員的技術不熟練和內在的不自信，建設的停車位又要能容許他們的操控誤差。針對問題（1），我們考慮到了在停車位寬度一定的情況下，汽車恰好切入停車位的情況（忽略了汽車倒車時速度的大小）。此時利用一定的幾何知識，我們可以求得所求的停車位最小長度。同時結合汽車的最小轉彎半徑，我們確定了汽車轉彎的圓心，并建立了直角坐標系，求得汽車停車時前輪的運動軌跡。針對問題（2）我們根據問題中討論情況，我們選取汽車恰好能停入停車位的情況，繼而求得道路寬度與車位長度之間的關系。針對問題（3）我們在問題（1）的基礎上，選取圓弧軌跡最少的一次，起軌跡變化的次數既是所要求方向盤改變的最小次數。模型建立2.1車輛初始位置的初步探討初始位置的確定有幾個較重要的條件，分別為：(1)泊車時須保證車身不能和前一車位發(fā)生空間碰撞，需確定極限轉彎最遠點的值；(2)把路旁停車位假想為一個停車庫，泊車過程中車身不能和車庫的庫底發(fā)生碰撞，車輪不能和庫邊發(fā)生碰撞。(3)采用極限轉彎半徑，即最小轉彎半徑，來確定最小停車位長度從而約束泊車初始位置。極限轉彎最遠點值的確定如圖示=4\*ROMANIV—1所示，F代表泊車初始位置，MNPQ代表車位趨勢，把方向盤打到極限位置后，以低速穩(wěn)定車速轉彎。圖示=4\*ROMANIV—1極限轉彎最遠點值的計算示意圖試驗車最小轉彎半徑r=5500mm，車寬w=1778mm，EF=500ram，車輛中心點距車位角Ⅳ點距離為NE，可計算得出極限轉彎最遠點NE的值。NE的確定對泊車初始位置的確定有著實際的意義。2.2最短停車位長度的確定如果停車位長度較長，車輛泊車的初始位置較合理，泊車“二個步驟"即可完成泊車。一般來說，停車位空間較長時，兩平行車輛間存在著一最佳水平距離，車輛“兩次泊車”即可完成泊入停車位。圖示=4\*ROMANIV—2所示的最小停車位空間示意圖中，車輛“兩次泊車"可泊入車位。顯然，車輛初始位置不同，“兩次泊車”泊入停車位空間時，所必需的停車位長度是不同的。當泊車轉向角最小時，停車位有一個極限值，稱為最小停車位。泊車入位過程中，當方向盤打死到極限轉彎的狀態(tài)，車輛“兩次泊車"完成泊入停車位空間時，所占用的停車位長度最小。圖示=4\*ROMANIV—2平行泊車最小停車空間示意圖泊車準備時車輛放于F點，逐漸行駛到N點，此時恰好為泊車時內側車頭恰好與前方車輛不碰撞的位置狀態(tài)。當車輛到達S點位置時，車身方向角大約為45°左右，此時反打方向盤直至方向盤打死。當到達T點時，為防止車尾與后方車輛、右車輪與右側路邊相碰撞，取車尾與后車頭部、車身與右側路邊最短距離為100mm，最小停車位的約束值為：其中，NE的計算見本條中“泊車初始位置的初步探討，r、l與w分別為車輛最小轉彎半徑，車輛長度與寬度，500表示在泊車預備時泊車距離車道實線的最小安全距離，單位為mm。代入試驗車相關參數，可得：NP的最小值=2321mm，QP的最小值=5855mm。經過多次軌跡的仿真，最小停車位的幾何參數定為長度5．8m，寬度2．2m。對于試驗車來說，停車位空間不小于5．8m掌2．2m時，車輛可完成泊入停車位。停車位的長度對于泊車成功與否起著重要的作用，上述的最小停車位長度是一個相對寬松的極限值。車輛“兩次泊車’’可泊入停車位，所需車位長必須大于或等于最小停車位。在平行泊車過程中，判斷泊車能否成功，首先應檢測停車位空間大小，使其不小于最小停車位的大小。2.3普通停車位空間大小的確定停車位空間大小對平行泊車難度系數影響很大，停車位空間由車位長度和車位寬度確定。車位空間越大，泊車困難程度相對較小；車位空間越小，泊車困難系數就越大。圖示=4\*ROMANIV—3平行泊車普通車位空間坐標圖如圖示=4\*ROMANIV—3，普通車位大小標記為*，代表車位長，代表車位寬，矩形abcd表示試驗車，o’代表車輛的幾何中心點。環(huán)繞車位的三面標記為BK、FT和SE，為車身方向角，即車身與水平方向的夾角，定義逆時針為正。泊車時，駕駛員反打方向盤的時刻為，當車身方向角接近于45°時，極少會達到45°。在實際泊車過程中，大多數駕駛員會潛意識地躲避車位頂點N點(見圖示=4\*ROMANIV—2)，很少一開始就把方向盤打死的，基本都是逐漸加大方向盤轉角，直到打死；在接近45°至最大車身方向角時，一般維持方向角不變一段時間，保證反打方向盤時車頭不會碰撞到N點，才開始反打方向盤；反打方向盤時，逐漸加大角度，直至反向打死。通過多次平行泊車軌跡計算與仿真，確定停車位長度為7．5m比較理想。這樣，任意車輛長度不大于5．5m，最小轉彎半徑不大于6m的小轎車“兩次泊車"即可泊入停車位。其中，停車位寬度采用標準的路旁停車位寬度2．2所，和NP的最小值=2．2m吻合。這樣，確定普通車位大小為：=7．5m，=2．2m若有停車位空間滿足長度不小于7．5m，寬度不小于2．2m，則可認為找到了適合的泊車空間，車輛很容易就能完成泊車。2.4車輛的運動學模型即運動軌跡建立車輛側位停車的運動學模型，上文中建立了側位停車系統(tǒng)中質點的運動學模型。在此需要求車輛側位停車時車輪的運動軌跡。需要建立車輛側位停車的運動學模型，以推導出車輛側位停車的運動軌跡方程式，作為后續(xù)研究側位停車系統(tǒng)的理論基礎。下面是側位停車運動軌跡方程：圖示=4\*ROMANIV—4為車輛泊車的運動學模型，其中（xf，yf)位前軸中心點坐標，()為后軸中心點坐標，v為前軸中心點速度，為軸距，為后輪距，為前軸中心點轉向角，為車輛中心軸與水平方向的夾角。正常情況下泊車速度很低(約≤5km／h)，由此假定無滑輪現象產生，后輪軌跡的垂直方向速度為0，其方程式表示如下：……=1\*GB3①而圖示=4\*ROMANIV—4可知，前后軸中心點坐標關系為：……=2\*GB3②對=2\*GB3②式進行積分得速度關系式：……=3\*GB3③把=3\*GB3③式代入=1\*GB3①式，得……=4\*GB3④前后中心點的x，y方向速度為：……=5\*GB3⑤將=5\*GB3⑤式代入=4\*GB3④式，即可求得車輛回轉圓角速度為：……=6\*GB3⑥將=5\*GB3⑤和=6\*GB3⑥同時代入式=3\*GB3③，即可求得后輪中心點x，y方向速度分別……=7\*GB3⑦最后對=6\*GB3⑥式求時間積分，并代入=7\*GB3⑦式后，在對時間積分即可求得后軸中心點的軌跡方程式：……=8\*GB3⑧根據圖示=4\*ROMANIV—4中坐標位置的關系，可進一步求出左右輪中心點的運動軌跡方程式：左輪：……=9\*GB3⑨右輪：……=10\*GB3⑩由式=9\*GB3⑨和式=10\*GB3⑩知，當低速泊車，且不考慮輪胎側滑時，后輪的行徑軌跡與輪距，軸距及前軸中心點轉向角有關，而與泊車速度無關。以試驗車(軸距2548mm，后輪距1422mm)之相關尺寸參數為例，代入所推導之軌跡方程式中，前軸中心點左轉向角為10°，泊車速度為5km/h，后輪的預測行進軌跡如圖示=4\*ROMANIV—5示：圖示=4\*ROMANIV—5轉向角為10°時后輪倒車軌跡之回轉圓三．模型求解對整個泊車過程成功與否影響較大的兩點為：1．選準泊車起始位置2．泊車入車位時的切入點。如圖示=4\*ROMANV—1和圖示=4\*ROMANV—2所示。圖示=4\*ROMANV—1準備泊車圖示=4\*ROMANV—2調整方向盤I．平行泊車系統(tǒng)模型圖示=4\*ROMANIV—3、圖示=4\*ROMANIV—4、圖示=4\*ROMANIV—5和圖示=4\*ROMANIV—6為平行泊車步驟示意圖，其中停車位長度為，停車位寬度為，車長為l，車寬為w，平行車輛車a與車b問水平距離為d。從圖示=4\*ROMANIV—5可看出，泊車過程是后車輪改變方向反復畫圓弧的過程，但圓弧半徑與弧度要受到停車位空間和車輛參數的約束。圖示=4\*ROMANV—3泊車步驟一圖示=4\*ROMANV—4泊車步驟二圖示=4\*ROMANV—5泊車步驟三圖示=4\*ROMANV—6泊車步驟四在車輛平行泊車過程中，令步驟廳結束時后車輪泊車軌跡的轉角弧度為車軸與水平方向的夾角為nt，如圖示=4\*ROMANIV—8和圖示=4\*ROMANIV—9所示。那么有：，其中n=1,2,3……，當車輛完全泊車入位時，即，n為泊車步驟，n=1,2，3…泊車n個步驟后，后右輪中心點記為n(,)，車頭右端點記為()，后左輪中心點記為（)，車尾左端點記為()，n=a，b，c，d…。如圖示=4\*ROMANV—3所示，首先右打方向盤，使車身沿后車軸以半徑r1旋轉。泊車“一個步驟’’后，后右輪中心點記為a()，車頭右端點記為（），后左輪中心點記為（），車尾左端點記為()。容易得出：再左打方向盤，使車身沿后車軸以半徑旋轉，如圖示=4\*ROMANV—4所示。泊車“兩個步驟"后，后右輪中心點記為b(，)，車頭右端點記為()，后左輪中心點記為（），車尾左端點記為()。容易得出：接著右打方向盤，同理可推得：依次往下推，可得到類似的結論：有了上述各點的坐標值，在泊車過程中可對車輛車身進行精確的定位，在自動尋軌算法中對泊車軌跡進行精確計算。設車輛右車輪中心點橫坐標值為，左下角縱坐標值為，車輛自身參數中，車長、車寬、前懸夠、最小轉彎半徑r，已知；道路參數中，平行車輛車與車b間水平距離d已知，車位寬CW按道路標準設為定值2．2m。當車輛停在停車位正中央時，車輛與停車位右側水平最小距離為，車輛右后輪中心點與停車位右側水平距離為。由圖示=4\*ROMANIV—可知：車輛泊車時車輪運動軌跡為圓，車a要泊入停車位，泊車軌跡由參數…與n決定。因此，對于一泊車任務，如何泊車就轉化為如何求未知參與n的值，可以用以下方程式來表示：丄式等價與其中，建立好平行泊車系統(tǒng)模型后，就可以根據泊車模型計算未知參數的值，從而確定如何泊車。下面論述如何根據車長，、車寬、前懸、最小轉彎半徑、平行車輛水平距離、車位寬這些已知參數，來確定未知參數…及的值?？傮w來說，計算…與的步驟可分為如下三個步驟：步驟一．假設已知，求以(…)的值。步驟二．優(yōu)化，求出新的(…)值。步驟三．確認及（…)的值。其中步驟一可細化為以下4個分步驟：3.1首先令=，（…)(1)車輛不可能“一次泊車"就泊入停車位。首先假設車輛“兩次泊車”可泊入車位，此時包括，則有：由可以求出的值，求出，此時兩平行車輛間距離為時的最小停車位，車輛恰好泊入停車位正中央。(2)假設車輛“三次泊車"可泊入車位，此時，則有：可求出，的值。其中為已知?！源祟愅?，可依次求得的值。3.2步驟二可細化為以下4個分步驟：泊車過程中，車輛轉彎半徑和轉向角要受到車位長度和車位寬度的約束，必須對步驟一中假設的和(…)進行檢驗并修正。(1)假設車輛兩下可泊入給定停車位，那么停車位長度一定大于等于最小停車位的值。,在步驟一中(1)已求出，僅與兩平行車輛間水平距離有關。此時，車輛恰好恰好泊入停車位的正中央，無需修正。(2)假設軍輛二卜司泊入給定停車位，則。將步驟一中(2)所求之代入，若，則增大代入中，求出新，重新代入，直到。如此循環(huán)，最終可求得和值。若，減小代入，以減小的值，從而求得和的值，再計算的值。（3）假設車輛四下可泊入給定停車位，則。將步驟一中（3）所求值代入，若，則增大代入，求出新的重新代入，直到，如此循環(huán)往復，最終可求得和的值。已知，令=，則可求得。若，則增大重新計算，直到，如此重復循環(huán)，最終可求得；若，增大代入以增大的值。從而求得和的值，在回頭計算的值，直到滿足。（5）假設車輛五下可停入定停車位，則=.將步驟一（4）中所求之代入，若增大代入以增大的值，從而求得和的值，再回頭計算的值，直到滿足。(6)假設車輛五下可泊入給定停車位，則。將步驟一中（4）中所求值代入，若，增大的值代入中，求出心的重新代入，直到，如此循環(huán)，最終可求得和的值。已知，令，則可求得。若，減小的值代入以減小的值，從而求得的值，再計算的值。以此類推，可求得調整后的，，…及，，…。3.3步驟三：及的修正步驟二計算出的及有時并不符合實際情況，例如會出現或。為車輛的最小轉彎半徑，即極限轉彎半徑，計算出的不能小于極限轉彎半徑，當計算出的時，必須修正為。步驟一中的的計算是以停車位的空間未約束條件的，若修正的值變小，這就意味著車輛必定超出停車位空間，在實際生活中肯定碰擦到其他車輛或者超出原來的停車位。必須按照步驟二重新計算及，直到所有的參數，，…及，，…都符合實際為止。平行泊車軌跡的計算及初始位置的確定泊車過程中，車身不能和前后車位發(fā)生空間干涉，車輪與不能跨越路邊，需說明一下符號代表含義：軸距設為，前懸;軸距加前懸設為，；泊車一次后車輛的右上角到前方車輛的距離設為，；泊車一次后車輛的左下角到后方車輛的距離設為，一次泊車后車輛與路邊，后方車輛的距離分別為，，二次泊車后車輛與路邊，前方車輛與后方車輛的距離分別為，，圖示=5\*ROMANV—7泊車過程車身定位圖0

步驟一本文反向思考先分析并計算汽車已經進入停車場時的過程，如圖Fig.4可以得到車右下角端點即點A的坐標為： 通過分析可知，汽車中心的軌跡的方程為： （4-1那么，汽車的右側的相對應的點的軌跡方程為（4-2）下面以A點為基準點，計算A點到達遠的部分的切點。設這個切點為B點，B的具體坐標為另外通過對幾何圖形Fig.4的分析延長AB交橫軸于一點他與橫軸正方向所形成的角為θ4，由于此處為切線，那么有到，可以得到步驟二車場的過程如圖Fig.5所示以車右后輪為原點建立直角坐標，得到車的右側中心點C點的坐標和車的軌跡的圓心點D的坐標。五、模型檢驗上一小節(jié)中建立了泊車入位的模型，本節(jié)將帶入相關數據，求解模型，驗證模型的合理性。（1）Matlab編程以及計算結果如下：[a,b]=solve('(a+5060)^2+b^2=6170^2','b*(b+3750)=-(a+1100)*(a+5060)')b=275220/33049+(33935000*43^(1/2)*i)/99147275220/33049-(33935000*43^(1/2)*i)/99147a=-475861250/99147+(11945120*43^(1/2)*i)/330