2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達標檢測第37講數(shù)列的綜合應(yīng)用（達標檢測）

第37講數(shù)列的綜合應(yīng)用（達標檢測）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會1．（2020春?梅州期末）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第十五日所織尺數(shù)為A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根據(jù)題意，設(shè)每日所織數(shù)量構(gòu)成數(shù)列，分析可得數(shù)列為成等差數(shù)列，且，，據(jù)此可得數(shù)列的首項與公差，計算可得答案．【解答】解：由題意可知，設(shè)每日所織數(shù)量構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列為成等差數(shù)列，且，，設(shè)其公差為，由，得，解可得，又由，得，變形可得，則，故．故選：．2．（2020春?成都期末）已知數(shù)列的通項公式，為數(shù)列的前項和，滿足，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】首先把數(shù)列的關(guān)系式進行變換，進一步利用裂項相消法求和求出數(shù)列的和，解不等式可得所求最小值．【解答】解：數(shù)列的通項公式，所以．由于滿足，所以，解得，所以的最小值為5．故選：．3．（2020春?常德期末）明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)命題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠望魏巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，”“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增），根據(jù)此詩，可以得出塔的第四層燈的數(shù)量為A．12 B．24 C．48 D．96【分析】由題意利用等比數(shù)列的通項公式、前項和公式，求出首項，可得塔的第四層燈的數(shù)量的值．【解答】解：由題意每一層的燈數(shù)成等比數(shù)列，公比為，前7項的和為，求得，故塔的第四層燈的數(shù)量，故選：．4．（2020春?嘉興期末）對于數(shù)列，若存在常數(shù)，使對任意，都有成立，則稱數(shù)列是有界的．若有數(shù)列滿足，則下列條件中，能使有界的是A． B． C． D．【分析】通過定義逐項分析真假即可．【解答】解：對于選項，假設(shè)有界，即存在常數(shù)，對任意，都有，，則．由于左邊遞增到無窮大，而右邊為常數(shù)，從而項錯誤；同理，項，錯誤；對于項，時，，累加可得，，，，顯然不是有界的；對于選項，，，累乘可得，，從而，正確．故選：．5．（2020?山東模擬）已知數(shù)列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項”，則數(shù)列的所有“和諧項”的平方和為A． B． C． D．【分析】根據(jù)得出，然后兩式相減，得出，再然后根據(jù)得出以及最后根據(jù)“和諧項“的定義得出，通過等比數(shù)列前項和公式求和即可得出結(jié)果．【解答】解：因為，所以，則，即，，所以，因為，所以，故，因為，所以，于是數(shù)列的所有“和諧項“的平方和為：，故選：．6．（2020春?石家莊期末）如果一個數(shù)列由有限個連續(xù)的正整數(shù)按從小到大的順序組成（數(shù)列的項數(shù)大于，且所有項數(shù)之和為，那么稱該數(shù)列為“型標準數(shù)列”，例如，數(shù)列3，4，5，6，7為“25型標準數(shù)列”，則“5336型標準數(shù)列”的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)已知條件“型標準數(shù)列”，則“5336型標準數(shù)列”的公差為1和所有項的和為5336．【解答】解：由題意知，，且一奇一偶，，，，，共三組．故選：．7．（2020春?宜賓期末）河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．在龍門石窟的某處“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案．已知該處共有1016個“浮雕像”，則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量為A．508 B．256 C．128 D．64【分析】根據(jù)題意，假設(shè)從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列，分析可得是以2為公比的等比數(shù)列，共有7項且；由等比數(shù)列的前項和公式可得，解可得的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列，又由“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，且該處共有1016個“浮雕像”，則是以2為公比的等比數(shù)列，共有7項且；則有，解可得，則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量即；故選：．8．（2020春?宜賓期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則滿足的最小正整數(shù)的值為A．1010 B．1011 C．2020 D．2021【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項公式，可得，，進一步得到答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，若，，則，，故滿足的最小正整數(shù)的值為2020；故選：．9．（2020春?河南期末）等差數(shù)列的前項和為，，，則滿足的A．50 B．51 C．100 D．101【分析】由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得；，進而可得，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，，則有，則有；又由，則有；則有，若，必有；故選：．10．（2020春?九龍坡區(qū)期末）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多斐波那契于1202年提出的數(shù)列．斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，，此數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，記該數(shù)列為，則的通項公式為A． B．，且（1），（2） C． D．【分析】對于，推導(dǎo)出（1）；對于，，且（1），（2），滿足斐波那契數(shù)列；對于，推導(dǎo)出（8）；對于，推導(dǎo)出（2）．【解答】解：對于，（1），故錯誤；對于，，且（1），（2），滿足斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，，此數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，故正確；對于，（2），（4），（8），故錯誤；對于，（2），故錯誤．故選：．11．（2020春?鏡湖區(qū)校級期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇．這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為130尺，則在第幾天墻才能被打穿？A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的前項和列不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，．結(jié)合函數(shù)零點的判定得答案．【解答】解：設(shè)需要天時間才能打穿，則，化為：，令，則（7）．（8）．令，．在內(nèi)存在一個零點．又函數(shù)在時單調(diào)遞增，因此在內(nèi)存在唯一一個零點．需要8天時間才能打穿．故選：．12．（2020春?宣城期末）已知等比數(shù)列的公比為3，前項和為，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則的取值范圍為A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】先通過數(shù)列求和公式把求出來，代入到把不等式中，得到①，再分和兩種情況分類討論，顯然易得是不等式的解，所以當(dāng)時不等式①有且僅有一個解，即有且僅有一個大于等于2的解，令令，作差求的單調(diào)性之后即容易得到，解出來即得答案．【解答】解：因為等比數(shù)列的公比，所以，不等式等價于①，當(dāng)時，顯然是不等式①的解；當(dāng)時，，則等價于，因為關(guān)于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，所以當(dāng)時有且僅有一個解，令，則，故在時單調(diào)遞減，所以，又因為（2），解得的取值范圍為，，．故選：．13．（2020春?威寧縣期末）《塵劫記》是在元代的《算學(xué)啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個這樣的問題：假設(shè)每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個月后，每對老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此類推，假設(shè)個月后共有老鼠只，則．【分析】依題意得出第個月老鼠與第個月老鼠總數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式，最后把代入即可求得答案．【解答】解：設(shè)個月后共有只老鼠，且雌雄各半，所以個月后的老鼠只數(shù)滿足：所以，即，又因為，所以，所以數(shù)列是以14為首項7為公比的等比數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，故答案為：．14．（2020春?閔行區(qū)校級期末）已知數(shù)列中，，，，若對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】通過裂項消項法以及累加法求數(shù)列的通項公式，然后求出的范圍即可．【解答】解：數(shù)列中，，，，則，所以，，累加可得，所以，因為對任意正整數(shù)恒成立，所以．故答案為：，．15．（2020?天心區(qū)校級模擬）十三世紀意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項和為．（1）．（2）設(shè)，，為常數(shù)），．【分析】（1）由已知，，，結(jié)合遞推關(guān)系式代入可求，，，可求，（2）由已知可得，分組求解，，從而可求．【解答】解：（1）因為，，，所以，，，，故，（2）由（1）得：，因為，，所以．故答案為：1，．16．（2020?葫蘆島二模）定義：數(shù)列，滿足，則稱數(shù)列為的“友好數(shù)列”．若數(shù)列的通項公式，，則數(shù)列的“友好數(shù)列“的通項公式為；記數(shù)列的前項和為．且，則的取值范圍是．【分析】①直接利用友好函數(shù)的定義和遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．②利用，進一步整理得，利用解不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：①數(shù)列，滿足，則稱數(shù)列為的“友好數(shù)列”．若數(shù)列的通項公式，則：，整理得，所以①，當(dāng)時，②，①②得，故．②由于，設(shè)，由于，所以為最大值，所以，解得．即．故答案為：；17．（2020春?成都期末）已知是首項不為1的正項數(shù)列，其前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：．【分析】（1）在已知數(shù)列遞推式中，取求得首項，以替換，再與原遞推式聯(lián)立可得，得數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，則其通項公式可求；（2）把數(shù)列的通項公式代入，整理后利用裂項相消法證明．【解答】解：（1）由，①得，解得（舍或．當(dāng)時，，②①②得，整理得：．，．可得數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列．；證明：（2），．18．（2020春?內(nèi)江期末）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和，當(dāng)對一切正整數(shù)恒成立時，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）數(shù)列滿足①，當(dāng)時，，②當(dāng)時，，①②得，所以（首項符合通項），所以．（2）由（1）得，所以①，②，①②得，整理得，所以當(dāng)時，的最小值為，所以當(dāng)對一切正整數(shù)恒成立時，只需滿足，解得．故實數(shù)的取值范圍為，．19．（2020春?衢州期末）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．（Ⅲ）若數(shù)列滿足，求證：．【分析】（Ⅰ）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的應(yīng)用，利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．（Ⅲ）利用分類討論思想的應(yīng)用和恒成立問題的應(yīng)用，求出的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足，，所以（常數(shù)），故，數(shù)列是公比為的正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列．所以，解得．所以．故：，，解：（Ⅱ）數(shù)列滿足，所以，．證明：（Ⅲ）數(shù)列滿足，所以，，，，．20．（2020?鎮(zhèn)江三模）各項為正數(shù)的數(shù)列如果滿足：存在實數(shù)，對任意正整數(shù)，恒成立，且存在正整數(shù)，使得或成立，則稱數(shù)列為“緊密數(shù)列”，稱為“緊密數(shù)列”的“緊密度”．已知數(shù)列的各項為正數(shù)，前項和為，且對任意正整數(shù)，，，為常數(shù)）恒成立．（1）當(dāng)，，時，①求數(shù)列的通項公式；②證明數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”；（2）當(dāng)時，已知數(shù)列和數(shù)列都為“緊密數(shù)列”，“緊密度”分別為，，且，，，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)題意可得遞推式，由，可得是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，然后求出的通項公式；②由①所得通項公式及“緊密數(shù)列”的定義可得結(jié)論；（2）由可得遞推式，由此可得，由，討論，時與已知矛盾，即可得數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，再討論和，進而求得實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)，，時，①，當(dāng)時，，由得，整理，得，因為，所以，即有，當(dāng)時，．則是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則．②由①中，得隨著的增多而減小，則對任意正整數(shù)，恒成立，且存在，使得，則數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”．（2）當(dāng)時，，，得，若，則上式右端中，與矛盾；若，則上式右端，與矛盾，則，．則為常數(shù)，即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列為“緊密數(shù)列”，則，所以，又．（Ⅰ）當(dāng)時，，對任意正整數(shù)恒成立，且存在正整數(shù)，使得，數(shù)列的“緊密度”為，，又，即，此時，隨的增大而減小，所以，對任意正整數(shù)恒成立，且當(dāng)時，，所以數(shù)列的“緊密度”為，，則，與式矛盾．（Ⅱ）當(dāng)時，，對任意正整數(shù)恒成立，且存在正整數(shù)，使得，則此時的“緊密度”為，，即而隨著的增大而減小，則以對任意正整數(shù)恒成立，且當(dāng)時，，則的“緊密度”，，即，由，得，即，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為，．[B組]—強基必備1．（2020?湖北模擬）斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列定義如下：，，隨著的增大，越來越逼近黃金分割，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以、為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是A．20厘米 B．19厘米 C．18厘米 D．17厘米【分析】因為由已知有，又，得，進而解得．【解答】解：由已知有，得：，由，得，即，由于，，所以（厘米），故選：．2．（2019?蘭州二模）定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列是等積數(shù)列且，前41項的和為103，則這個數(shù)列的公積為A．2 B．3 C．6 D．8【分析】根據(jù)“等積數(shù)列”的定義知，相鄰兩項乘積相同，所以每隔一個數(shù)的項都是相同的，利用所給條件列方程求解即可．【解答】解：因為數(shù)列是等積數(shù)列，可設(shè)其公積為，則有，因為，前41項的和為103，所以，即，所以，解得．故選：．3．（2020春?荔灣區(qū)校級期中）對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項和為，則．【分析】先由題設(shè)條件得到，再利用，兩式相減求出，檢驗時是否適合，然后求出即可．【解答】解：由題意知，即，又當(dāng)時，有，兩式相減得：，整理得，當(dāng)時，有也適合，，，．故答案為：．4．（2020?荊門模擬）定義：若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線一零點數(shù)列”已知函數(shù)有兩個零點1，2，數(shù)列為“切線一零點數(shù)列”，設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為．則．【分析】由題意求出函數(shù)的，再由題意得出，是等比數(shù)列，進而求出通項公式．然后求解數(shù)列